（人教2024版）數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)

第十三章三角形大單元教學(xué)設(shè)計(jì)

一大單元主題背景分析（教材分析）

教材地位與作用

三角形是初中幾何的基石，本章內(nèi)容既是七年級(jí)“線段、角”知識(shí)的深化，也為后續(xù)學(xué)習(xí)“全等三角形軸

對(duì)稱圖形”等章節(jié)奠定基礎(chǔ).通過研究三角形的基本概念、邊角關(guān)系、特殊線段（高、中線、角平分線）及內(nèi)

角和性質(zhì)，學(xué)生將系統(tǒng)掌握幾何圖形的核心要素，培養(yǎng)空間觀念與邏輯推理能力.

新課標(biāo)銜接與核心素養(yǎng)

?幾何直觀：通過觀察、操作（如畫高、折中線）感知三角形穩(wěn)定性及內(nèi)角和規(guī)律；

?推理能力：從“三角形內(nèi)角和為180。”的證明，到直角三角形性質(zhì)與判定的邏輯推導(dǎo)；

?模型觀念：結(jié)合實(shí)際問題（如設(shè)計(jì)三角形支架、計(jì)算多邊形內(nèi)角和），建立三角形模型解決現(xiàn)實(shí)問題.

學(xué)情分析

?認(rèn)知基礎(chǔ)：學(xué)生已熟悉線段、角的基本性質(zhì)，但空間想象能力較弱，對(duì)“三角形穩(wěn)定性”的抽象理解存在

困難；

?學(xué)習(xí)難點(diǎn)：動(dòng)態(tài)理解三角形高、中線、角平分線的區(qū)別與聯(lián)系，以及直角三角形斜邊中線性質(zhì)的應(yīng)用；

?興趣點(diǎn)：通過實(shí)驗(yàn)操作（如拼接三角形紙片）和實(shí)際測(cè)量（如校園內(nèi)三角形結(jié)構(gòu)）激發(fā)探究欲望.

---------------------------單元教學(xué)目標(biāo)------

知識(shí)與技能

1.理解三角形的定義及分類（按角、按邊），掌握三角形三邊關(guān)系定理；

2.識(shí)別并畫出三角形的高、中線、角平分線，理解其性質(zhì)（如中線平分面積）；

3.掌握三角形內(nèi)角和為180。，外角等于不相鄰兩內(nèi)角之和；

4.理解直角三角形的性質(zhì)（如斜邊中線等于斜邊一半）及判定方法（如一個(gè)角為90。）.

數(shù)學(xué)思考

1.經(jīng)歷從“實(shí)驗(yàn)操作”到“邏輯論證”的推理過程（如通過折疊驗(yàn)證內(nèi)角和）：

2.培養(yǎng)分類討論思想（如已知兩邊及一邊對(duì)角時(shí)三角形的存在性分析）；

3.建立幾何命題的逆向思維（如從內(nèi)角和反推外角性質(zhì)）.

問題解決

I.能用三角形穩(wěn)定性原理解決實(shí)際問撅（如設(shè)計(jì)穩(wěn)固的支架）：

2.運(yùn)用內(nèi)角和、外角性質(zhì)計(jì)算特殊圖形角度；

3.通過小組合作完成項(xiàng)目式學(xué)習(xí)（如“校園內(nèi)三角形結(jié)構(gòu)調(diào)查“）.

情感態(tài)度

I.感受幾何圖形在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用價(jià)值；

2.培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)表達(dá)習(xí)慣（如規(guī)范書寫證明過程）；

3.增強(qiáng)團(tuán)隊(duì)合作意識(shí)（如小組討論中的角色分工）.

學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì)

活動(dòng)一三角形的概念

活動(dòng)二與三角形有關(guān)的線段

活動(dòng)三三角形的內(nèi)角和外角

------學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)------

過程性評(píng)價(jià)

?課堂表現(xiàn)：通過提問、板演記錄學(xué)生參與度（占比20%）；

?實(shí)踐任務(wù)：評(píng)價(jià)尺規(guī)作圖、模型制作等動(dòng)手操作能力（占比30%）；

?階段性測(cè)驗(yàn)：設(shè)計(jì)分層測(cè)試題（基礎(chǔ)題、變式題、拓展題），關(guān)注思維過程而非唯一答案.

終結(jié)性評(píng)價(jià)

?單元測(cè)試：包含選擇題（概念辨析）、填空題（性質(zhì)應(yīng)用）、解答題（綜合證明）和開放題；

?成長(zhǎng)檔案袋：收集學(xué)生錯(cuò)題分析、思維導(dǎo)圖、學(xué)習(xí)反思等材料.

---------------------------反思性教學(xué)改進(jìn)------

?教學(xué)實(shí)施反思

問題1:部分學(xué)生對(duì)“三角形高”的概念理解困難，尤其在鈍角三角形中.

改進(jìn)策略：增加動(dòng)態(tài)演示（如幾何畫板展示高隨頂點(diǎn)移動(dòng)的變化），設(shè)計(jì)對(duì)比實(shí)驗(yàn)（銳角、百角、鈍角式

角形高的位置）.

問題2：小組討論參與度不均衡.

改進(jìn)策略：采用“異質(zhì)分組+角色輪換制”，設(shè)置“記錄員”“匯報(bào)員”“質(zhì)疑員”等明確職責(zé).

?資源優(yōu)化建議

1.開發(fā)“三角形性質(zhì)”互動(dòng)微課，支持學(xué)生課前預(yù)習(xí)與課后鞏固；

2.引入AR技術(shù)，通過虛擬實(shí)驗(yàn)觀察三角形穩(wěn)定性（如橋梁結(jié)構(gòu)中的三角形應(yīng)用）.

?長(zhǎng)效目標(biāo)調(diào)整

1.將“數(shù)學(xué)文化''融入課堂（如介紹古代建筑中的三角形結(jié)構(gòu)）；

2.聯(lián)合物理教師開展“三角形與力的平衡”跨學(xué)科項(xiàng)目，強(qiáng)化核心素養(yǎng)的綜合性培養(yǎng).

-----單元教學(xué)結(jié)構(gòu)圖------

表示三角形時(shí)，字母沒有先后順序.即：可以記作AABC,也可記作AACB.

在AABC中，

AB邊所對(duì)的角是：ZC

ZA所對(duì)的邊是：BC

追問：再說幾個(gè)對(duì)邊與對(duì)角的關(guān)系試試.

思考：按照三角形內(nèi)角的大小，三角形可以分為哪幾類？

三角形的分類

直角三角形

銳角三角形直角三角形

三角形銳角三角形

鈍角三角形

鈍角三角形

思考：你能找出下列三角形各自的特點(diǎn)嗎？

總結(jié)：三條邊各不相等的三角形叫作不等邊三角形；

有兩條邊相等的三角形叫作等腰三角形；

三條邊都相等的三角形叫作等邊三角形.

追問：等邊三角形和等腰三角形之間有什么關(guān)系？

結(jié)論：等腰三角形兩邊相等，等逅三角形三邊相等.等邊三角形是特殊的等腰三角形.

A

思考：按照三角形三邊情況，三角形可以分為哪幾類？

練習(xí)：判斷以下命題的真假：

（1）一個(gè)鈍角三角形一定不是等腰三角形.（）

（2）等邊三角形是特殊的等腰三角形.（）

（3）等腰三角形的腰和底一定不相等.（）

（4）等邊三角形是銳角三角形.（）

（5）直角三角形一定不是等腰三角形.（）

（6）銳角三角形是三條邊都不相等的三角形；（）

（7）等腰三角形是等邊三角形；（）

（8）等邊三角形是等腰三角形.（）

答案：X^X^XXXA/

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生思考，待學(xué)生充分交流后，教師選代表總結(jié)，教師補(bǔ)充.

設(shè)計(jì)意圖：把未知的知識(shí)交給學(xué)生，讓他們?cè)诤献鲗W(xué)習(xí)的過程中，體會(huì)到可以用自己的能力去解決新問題，

探索新方法，從而獲得成功的喜悅.這樣一來又大大調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)和提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的主

動(dòng)性和合作精神，同時(shí)又使學(xué)生的觀察力和語言表達(dá)能力得到了鍛煉.

■應(yīng)用新知

例I.卜?列圖形是三角形嗎？

例2.如圖，在aABC中，點(diǎn)D在邊BC上，BD=AD=DC=AC.

（1）寫出以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的三角形；

（2）寫出以AB為邊的三角形；

（3）找出圖中的等腰三角形和等邊三角形.

A

解：

(1)以點(diǎn)。為頂點(diǎn)的三角形有ZUBC.A-4DC；

(2)以48為邊的三角形有△4HC,△血；

(3)等腰三角形有△45。C,

等邊三角形有△"(?

例3.(1)圖中有幾個(gè)三角形？用符號(hào)表示出這些三角形.

(2)以AB為邊的三角形有哪些？

(3)以E為頂點(diǎn)的三角形有哪些？

(4)以ND為角的三角形有哪些？

(5)說出ABCD的三個(gè)角和三個(gè)頂點(diǎn)所對(duì)的邊.

解：⑴5個(gè)，分別是AABE,AABC,ABCE,ABCD,AECD.

(2)AABCSAABE.

(3)AABENABCE>ACDE.

(4)"CD、ADEC.

(5)ABCD的三個(gè)角是NBCD、ZD和ZCBD.

頂點(diǎn)B所對(duì)的邊為DC,頂點(diǎn)C所對(duì)的邊為BD,頂點(diǎn)D所對(duì)的邊為BC.

例4.把下列三角形進(jìn)行分類，并把序號(hào)填入到正確的位置.

(I)按邊分類：

三邊均不相等的是不等邊三角形；

兩條邊相等的是等腰三角形；

三條邊相等的是等邊三角形.

(2)按角分類：

都是銳角的是銳角三角形；

有直角的是直角三角形；

有鈍角的是鈍角三角形.

答案：②④⑤⑦，①③??,①；①④⑥，③⑤⑦，②⑧

例5.圖①、圖②、圖③均是4x4的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，

線段AB的端點(diǎn)均在格點(diǎn)上，只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，按下列要求以AB為邊畫aABC,要求：

（1）在圖①中畫一個(gè)直角三角形，在圖②中畫一個(gè)銳角三角形，在圖③中畫一個(gè)鈍角三角形.（2）點(diǎn)C

圖①圖②圖③

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立完成，然后同桌互批;教師鼓勵(lì)學(xué)生到黑板前演示，再走到學(xué)生中間對(duì)個(gè)別學(xué)生指導(dǎo)，在學(xué)

生完成后組織學(xué)生進(jìn)行交流、評(píng)價(jià)和實(shí)物投影展示，對(duì)■于細(xì)節(jié)上存在的問題要讓學(xué)生進(jìn)行糾錯(cuò)，必須做到解題

規(guī)范.

設(shè)計(jì)意圖：通過例題的解答，讓學(xué)生真正掌握所學(xué)知識(shí)，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生變相思考問題的能力，運(yùn)用知識(shí).學(xué)

生審題是解題的關(guān)鍵，培養(yǎng)了學(xué)生的應(yīng)用意識(shí).

活動(dòng)二與三角形有關(guān)的線段

■情境引入

思考：從A到C你會(huì)選擇哪條路?

追問：為什么？你能證明嗎?

證明：

VAB為線段

AAC+BOAB

（兩點(diǎn)之間線段最短）

同理，AB+BOAC

AC+AB>BC

師生活動(dòng)：在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生理解情境問題，合作探究，積極參與到課堂中去.

設(shè)計(jì)意圖：生活中的實(shí)際案例引入，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.從生活中，讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)存在的教學(xué)問題，體

會(huì)教學(xué)來源于生活，應(yīng)用于生活；同時(shí)引出本節(jié)課題.

■探究新知

思考：任意選三根小棒，能圍成一個(gè)三角形嗎？先圍一圍，再與同學(xué)交流.

8cm4cm

5cm2cm

師生活動(dòng)：學(xué)生先獨(dú)立思考，再小組交流，最后以小組為代表匯報(bào)展示.

追問：為什么有的圍的起來，有的圍不起來呢？記錄一下所有你圍成的邊長(zhǎng)情況，分析交流一下吧!

小棒長(zhǎng)度小棒長(zhǎng)度小棒長(zhǎng)度能否圍成

第一次8cm4cm5cm能圍成

第二次4cm5cm2cm能圍成

第三次8cm4cm2cm不能圍成

第四次8cm5cm2cm不能圍成

任意選取三根小棒,圍一圍，發(fā)現(xiàn)有的能圍成一個(gè)三角形,有的則不能.

追問：以第三次為例，說明為什么不能構(gòu)成三角形.

追問：根據(jù)以上結(jié)果，你能得出什么結(jié)論？

得出初步的結(jié)論：

兩條短邊的長(zhǎng)度之和要大于最長(zhǎng)的邊.

探究：三角形任意兩邊長(zhǎng)度的和真的是一定大于第三邊嗎？每位同學(xué)都來試試，先畫一個(gè)三角形，再量一

量、算一算，看看有沒有能推翻這個(gè)結(jié)論的“例子”！

結(jié)論：三角形兩邊的和大于第三邊.三角形兩邊的差小于第三邊.

即a+b>c,a+c>b,b+c>a,a-b<c,a-c<b,b-c<a

思考：把三根木條用釘子釘成一個(gè)三角形木架，然后扭動(dòng)它，它的形狀會(huì)改變嗎？

三A角形木架的形狀不會(huì)改變，說明三角形具有穩(wěn)定性.

三角形的穩(wěn)定性:只要三角形三條邊的長(zhǎng)度固定，這個(gè)三角形的形狀和大小也就完全確定，三角形的這種性

質(zhì)叫做“三角形的穩(wěn)定性”.這就是說，三角形的穩(wěn)定性不是“拉得動(dòng)或拉不動(dòng)”的問題，其實(shí)質(zhì)應(yīng)是“三角形的

邊長(zhǎng)一旦確定，其形狀和大小就確定了

追問：三角形的穩(wěn)定性有著廣泛的應(yīng)用，以下是其中的一些例子.你能再舉出一些例子嗎？

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生思考，待學(xué)生充分交流后，教師選代表總結(jié)，教師補(bǔ)充.

設(shè)計(jì)意圖：把未知的知識(shí)交給學(xué)生，讓他們?cè)诤献鲗W(xué)習(xí)的過程中，體會(huì)到可以用自己的能力去解決新問題，

探索新方法，從而獲得成功的喜悅.這樣一來又大大調(diào)動(dòng)了學(xué)芻的學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)和提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的主

動(dòng)性和合作精神，同時(shí)又使學(xué)生的觀察力和語言表達(dá)能力得到了搬煉.

■探究新知

思考：如圖，有一塊三角形的菜地，現(xiàn)要求分成面積比為1：1：2三塊，且圖中A處是三塊菜地的共同水

源處，應(yīng)該怎么分？

AB

OA

垂線：當(dāng)兩條直線相交所

成的四個(gè)角中，有一個(gè)角線段中點(diǎn)：把一角的平分線：一條射

是直角時(shí)，就說這兩條直條線段分成兩條線把一個(gè)角分成兩個(gè)

線互相垂直，其中一條直相等的線段的點(diǎn).相等的角，這條射線

線叫做另一條直線的垂線.叫做這個(gè)角的平分線.

在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)與它對(duì)邊中點(diǎn)的線段，叫做這個(gè)三角形的中線.

如圖，在ZkABC中，E是BC的中點(diǎn).則AE是BC邊上的中線，此時(shí)BE二CE.

如圖，在AABC中，AE是BC邊上的中線.則E是BC的中點(diǎn)，此時(shí)BE=CE.

思考：每一個(gè)三角形都有個(gè)頂點(diǎn)，因此每一個(gè)三角形都有條中線.如圖，畫出三角形的

中線.

追問：這三條中線之間有怎樣的位置關(guān)系？

追問：銳角三角形的三條中線是在三角形的內(nèi)部還是外部?

追問：對(duì)于任意三角形，是否也滿足“三條中線相交于一點(diǎn)“？

分別畫出卜.列銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形的三條中線，并觀察三條中線是否相交于一點(diǎn).

八

三角形的三條中線____gm交于一點(diǎn),且該交點(diǎn)位于三角形內(nèi)部

三角形三條中線的交點(diǎn)，叫做三角形的的圭.

思考：如圖，在AABC中，AD是aABC的中線，AE是z\ABC的高.試判斷aABD和aACD的面積有

什么關(guān)系，為什么？通過以上問題你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

A

G

BDEC

1.一:角形的三條中線相交于一點(diǎn)，這點(diǎn)叫做三角形的重心.

2.三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分.

3.三角形重心的性質(zhì)

(1)AG=2GD=|AZ);

(2)S&BG=S&CG=S@CG=7S48U

BDC

總結(jié)：一:角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分.

高相等時(shí)，面積的比等于底邊的比；

底相等時(shí)，面積的比等于高的比.

S@BE_BE_5

⑵S&BF_BF_s國(guó)CF

BF

師生活動(dòng)：學(xué)生先獨(dú)立思考，再小組交流，最后以小組為代表匯報(bào)展示.

思考：你能類比三角形的中線的定義，說明什么是三角形的角平分線嗎？

在三角形中，一個(gè)內(nèi)角的一平分線與它的對(duì)邊相交.這個(gè)角

的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段,叫做三角形的角平分線.

A

如圖，在A4BC中，Z1=Z2

則AD是N且的角平分線

如圖，在△ASC中，4□是的角平分線

則N1=N2

追問：三角形的角平分線與角的平分線相同嗎?

相同點(diǎn)是：，ABD=NCBD；

不同點(diǎn)是：前者是線段，后者是射線.

思考：每一個(gè)三角形都有個(gè)內(nèi)角，因此每一個(gè)三角形都有條角平分線.

如圖，畫出三角形的角平分線.

追問：這三條角平分線之間有怎樣的位置關(guān)系？

追問：銳角三角形的三條角平分線是在三角形的內(nèi)部還是外部”

追問：對(duì)于任意三角形，是否也滿足“三條角平分線相交于一點(diǎn)”？

分別畫出下列銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形的三條角平分線,

并觀察三條角平分線是否相交于一點(diǎn).

三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn).且該交點(diǎn)位于三角形內(nèi)部.

該點(diǎn)稱為三角形的內(nèi)心.

三角形的角平分線是一條理

從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在的直線做垂線,頂點(diǎn)和垂足

之間的線段叫做三角形的高.

如圖，在A45C中，點(diǎn)D是垂足,

則AD是A本期邊K'上的高一

NAD5=NJDC=9Qo.

注意：

標(biāo)明垂直的記號(hào)和垂足的字母一

高的敘述方法（如圖）：有三種

①AD是aABC的即

②AD1BC,垂足為D.

③點(diǎn)D在BC上，且/BDA=NCDA=90。.

思考：每一個(gè)三角形都有個(gè)頂點(diǎn)，因此每一個(gè)三角形都有條高.

追問：這三條高之間有怎樣的位置關(guān)系？

追問：銳角三角形的三條高是在三角形的內(nèi)部還是外部？

追問：對(duì)于任意三角形，是否也滿足“三條高相交于一點(diǎn)”？

分別畫出下列銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形的三條高，

并觀察三條高是否相交于一點(diǎn).

（1）銳角三角形

欣邊上的高為AD

/曲上的高為怔

■姐邊上的高為b

②銳角三角形的三條高（線段￡）,BE.CD相交于一點(diǎn)

且該點(diǎn)位于三角形的內(nèi)部.

(2)直角三角形

64(^2上的高為BD

直角邊四上的高為CB

直角邊8c上的高為AB

,②直角三角形的三條高相交于直角頂點(diǎn).

(3)鈍角三角形

①次邊上的高為期

，仍邊上的高為CE

月Mh的高為BF

②鈍角三角形的三條高人相交于一點(diǎn).

思考：鈍角三角形的三條高相交嗎？它們所在的直線交于一點(diǎn)嗎？這點(diǎn)位于何處？

A

銳角三角形直角三角形鈍角三角形

高在三角形內(nèi)部的數(shù)置311

高之間是否相交相交相交不相交

高所在的直線是否相交相交相交相交

三條高所在直線的三角形直角三角形

交點(diǎn)的位置內(nèi)部頂點(diǎn)外部

三角形三條高所在直線的交點(diǎn)稱為三角形的垂心.

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生思考，待學(xué)生充分交流后，教師選代表總結(jié)，教師補(bǔ)充.

設(shè)計(jì)意圖：把未知的知識(shí)交給學(xué)生，讓他們?cè)诤献鲗W(xué)習(xí)的過程中，體會(huì)到可以用自己的能力去解決新問題，

探索新方法，從而獲得成功的喜悅.這樣一來又大大調(diào)動(dòng)了學(xué)芻的學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)和提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的主

動(dòng)性和合作精神，同時(shí)又使學(xué)生的觀察力和語言表達(dá)能力得到了俄煉.

■應(yīng)用新知

例I.下列長(zhǎng)度的三條線段能否拼成三角形？為什么？

(1)3cm、8cm、4cm；(2)5cm、6cm、11cm；

(3)5cm、6cm>10cm.

解：(1)不能，因?yàn)?cm+4cm<8cm.

(2)不能，因?yàn)?cm+6cm=11cm.

(3)能，因?yàn)?cm+6cm>10cm.

歸納總結(jié)：判斷三條線段是否可以組成三角形，只需判斷兩條較短線段長(zhǎng)之和是否大于第三條線段長(zhǎng)即可.

例2.一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為J7,x,那么x的取值范圍是()

A.3<x<llB.4<x<7

C.-3<x<lID.x>3

解：???三角形的三邊長(zhǎng)分別為4,7,x,

??.7-4VxV7+4,即3VxVU.

歸納總結(jié)：三角形的第三邊長(zhǎng)x滿足兩邊之差VxV兩邊之和.

若三角形的三邊長(zhǎng)分別為a,b,則第三邊長(zhǎng)度x應(yīng)該滿足：|a-b|<x<a+b.

例3.若三角形的兩邊長(zhǎng)分別是2和7,第三邊長(zhǎng)為奇數(shù)，求第三邊的長(zhǎng).

解：設(shè)第三邊的長(zhǎng)為X,

根據(jù)兩邊之和大于第三邊得：

x<2+7即x<9

根據(jù)兩邊之差小于第三邊得：

x>7-2即x>5

所以x的值大于3小于9,又因?yàn)樗瞧鏀?shù)，

所以x只能取7.

例4.用一條長(zhǎng)為18cm的細(xì)繩圍成一個(gè)等腰三角形.

(1)如果腰長(zhǎng)是底邊的2倍，那么各邊的長(zhǎng)是多少？

(2)能圍成有一邊的長(zhǎng)是4cm的等腰三角形嗎？為什么？

解：(1)設(shè)底邊長(zhǎng)為xcm,則腰長(zhǎng)為2xcm.

x+2x+2x=18.

解得x=3.6.

所以，三邊長(zhǎng)分別為3.6cm,7.2cm,7.2cm.

(2)①如果4cm長(zhǎng)的邊為底邊，設(shè)腰長(zhǎng)為xcm,貝ij

4+2x=18.解得x=7.

②如果4cm長(zhǎng)的邊為腰，設(shè)底邊長(zhǎng)為xcm,則

4x2+x=18.解得x=10.

因?yàn)?+4V10,不符合三角形兩邊的和大于第三邊，

所以不能圍成腰長(zhǎng)為4的等腰三角形.

由以上討論可知，第①種情況可以圍成底邊

長(zhǎng)為4cm的等腰三角形.

例5.蓋房子時(shí)，在窗框未安裝好之前，工人師傅常常先在窗框上斜釘一根木條，為什么要這樣做呢?生活中

壞有哪叱是利用了這個(gè)原理？

解N：利用三角形的穩(wěn)定性.四邊形不穩(wěn)定，容易變形.斜釘一根木條后，就形成了兩個(gè)三角形，利用三角形的穩(wěn)

定性可以預(yù)防窗框變形.

例6.如圖，有一塊三角形的菜地，現(xiàn)要求分成面積比為1：1：2三塊，且圖中A處是三塊菜地的共同水源

處，應(yīng)該怎么分？

解：根據(jù)面積比值為1：I：2的要求，可以將三角形菜地的總面積看作4份.

利用三角形的中線可以將三角形分成面枳相等的兩個(gè)小三角形的性質(zhì).

如圖，分別作出兩條中線，所得到的^ABE,ZkAED,ZkADC的面積之比就是1：1：2.

例7.如圖，AD為aABC的中線，AB=12cm,z^ABD和aADC的周長(zhǎng)差是4cm,求^ABC的邊AC的長(zhǎng)（AC

<AB）.

ABD=CD

「△ABDfUAADC的周長(zhǎng)差是4cm

AAB+AD+BD-(AC+AD+CD)

=AB+AD+BD-AC-AD-BD

=AB-AC=4cm

*.*AB=12cm

AC=AB-4cm=8cm

??.△ABC的邊AC的長(zhǎng)為8cm

例8.如圖，ffiAABC中，E是BC上的一點(diǎn)，EC=2BE,點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，設(shè)aABC,AADF和ABEF

的面積分別為SAABC,SAADF和S^BEF,且SAABC=12,求SAADF-SABEF的值.

解：???點(diǎn)。是.4。的中點(diǎn)，

S"5c=12,~S-12=6.

?；EC=2BE,S=3C=12,

??12=4.

=^^ADF^^^ABF)~=S^F-S*一

?0-5科)尸-5口￡尸=5"助一5_4￡￡=6-4=2.

例9.如圖，在^ABC中，AD±BC,AE平分NBAC(ZB>ZC).若NB=80。，NC=30。，求NDAE.

解：???在△A8C中，Z3=808,ZC=30s,

/.Z5JC-709.

YAE平分NBAC,

/.NBAC=2ZBAE=2NCAE.

???NBdC=7(r,：.^BAE=35'.

9

-.'AD±BCtZ5=80",：,^BAD=10

/.乙DAE=乙BAE-NBAD=35,-10。=253.

例10.如圖，在ZkABC中，AD±BC,AE平分/BAC(ZB>ZC).若NB=x。，ZC=y°,求NDAE(用x,y

表示).

解：???在△ASC中，NBr",ZC-y8,

Z5-4C=(180-x-y)0.

?二/上平分N3/C,

2BAC=2/BAE=2/CAE.

???NBAE3-0.5(x-y)°.

'.'ADJ-BC,Z3=808,：.^BAD=(90-xy.

ZD<4￡=ZA4E-Z5^Z>=0.5(X5')'.

例II.下列各組圖形中，哪一組圖形中AD是八ARC的高()

(A)(C)(D)

例12.如圖，在AABC中，AC=8.BC=4,高BD=3,試作出BC邊上的高AE,并求AE的長(zhǎng).

解：如圖，過點(diǎn)A作BC邊上的高線AE,交CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)E

VI/2BC*AE=l/2AC*BD,AC=8,BC=4,而BD=3

i/2x4AE=l/2x8x3

解得AE=6

???AE的長(zhǎng)為6

D

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立完成，然后同桌互批;教師鼓勵(lì)學(xué)生到黑板前演示，再走到學(xué)生中間對(duì)個(gè)別學(xué)生指導(dǎo)，在學(xué)

生完成后組織學(xué)生進(jìn)行交流、評(píng)價(jià)和實(shí)物投影展示，對(duì)于細(xì)節(jié)上存在的問題要讓學(xué)生進(jìn)行糾錯(cuò)，必須做到解題

規(guī)范.

設(shè)計(jì)意圖；通過例題的解答，讓學(xué)生真正掌握所學(xué)知識(shí)，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生變和思考問題的能力，運(yùn)用知識(shí).學(xué)

生審題是解題的關(guān)鍵，培養(yǎng)了學(xué)生的應(yīng)用意識(shí).

活動(dòng)三三角形的內(nèi)角和外角

■復(fù)習(xí)回顧

思考：三角形的內(nèi)角和是多少？我們?cè)趺醋C明呢？

設(shè)計(jì)意圖：由問題導(dǎo)入新課，既復(fù)習(xí)了舊知識(shí)，又引出了新課題，最后設(shè)置懸念，既增強(qiáng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興

趣，又激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，對(duì)學(xué)生探究新知識(shí)起到很好的推動(dòng)作用，讓學(xué)生發(fā)表自己的見解，既培恭

了學(xué)生的數(shù)學(xué)語言表達(dá)的能力，又發(fā)揮了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，使他們的注意力始終集中在課堂上.

■探究新知

由于測(cè)量常常有誤差，這樣驗(yàn)證三角形的內(nèi)角和等于180。，不能完全令人信服；又由于形狀不同的三

角形有無數(shù)個(gè)，我們不可能用上達(dá)方法一一驗(yàn)證所有三角形的內(nèi)角和等于180。.因此，需要通過推理的方法

去證明：任意一個(gè)三角形的內(nèi)角和等于180°.

已知：AABC.

求證：ZA+ZB+ZC=180°

證明方法三：推理驗(yàn)證法（1）

???NB=NI（兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等）

/ON2（兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等）

VZ2+Z1+ZBAC=I8O°

/.ZB+ZC+ZBAC=180°

證明方法三：推理驗(yàn)證法（2）

E

A

證明：延長(zhǎng)BC到D,過點(diǎn)C作CE〃BA

???NA=N1（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

NB=N2（兩直線平行，同位角相等）

又???Nl+/2+NACB=180。

/.ZA+ZB+ZACB=180°

證明方法三：推理驗(yàn)證法（3）

證明：過D作DE〃AC,作DF〃AB

???NC;NEDB.NB=NFDC（兩直線平行，同位角相等）

ZA+ZAED=I80°,ZAED+ZEDF=180°

（兩直線平行，同旁內(nèi)角相補(bǔ)）

JZA=ZEDF.

???ZEDB+ZEDF+ZFDC=180°

AZA+ZB+ZC=180°

思考：多種方法證明三角形內(nèi)角和等于180°的核心是什么？

結(jié)論：借助的平行線“移角”的功能，將三個(gè)角轉(zhuǎn)化到一個(gè)平角上.

師生活動(dòng)：學(xué)生先獨(dú)立思考，再小組交流，最后以小組為代表匯報(bào)展示.

設(shè)計(jì)意圖：在教學(xué)中運(yùn)用探究式教學(xué)模式，不僅使學(xué)生體驗(yàn)教學(xué)再創(chuàng)造的思維過程，而且還培養(yǎng)了學(xué)生的

創(chuàng)造意識(shí)和科學(xué)精神.

■溯源

三角形的內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和等于180。.

帕斯卡：（1623—1662）是法國(guó)著名的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家.早在300多年前，他12歲時(shí)，就獨(dú)立發(fā)現(xiàn)了任何

三角形的內(nèi)角和都是18()。.

■應(yīng)用新知

例I.求出下列各圖中的x值.

答案如上

例2.如圖，在aABC中，ZB=42°,ZC=78°,AD平分/BAC.求NADC的度數(shù).

78°,

.-.ZBAC=180°-ZB-ZC=60°.

VAD平分DBAC

AZCAD=1/2ZBAC=30°.

AZADC=180°-ZC-ZCAD=72°.

例3.如圖，ZkABC中，D在BC的延長(zhǎng)線上，過D作DE±AB于E,交AC于F.己知NA=30。，Z

FCD=80°,求ND.

.\ZFEA=90o.

在AAEF中，ZFEA=90°,ZA=30°,

???NAFE=180。一NFEA-ZA=60°.

又,.,NCFD=NAFE,

.\ZCFD=60°.

在^CDF中，ZD=1800-ZCFD-ZFCD=40°.

歸納總結(jié)

事實(shí)上，在ZiAEF中，ZA+ZAFE+ZAEF=180°,

在&CDF中，ZD+ZFCD+ZCFD=180°,

而NAFE=NCFD,

故有NA+NAEF=ND+NFCD.

這樣的模型我們稱之為“八字模型

由三角形的內(nèi)角和定理

易得NA+NB=/C+ND.

由三角形的內(nèi)角和定理易得，Zl+Z2=Z3+Z4.

例4.在^ABC中，已知/A=60。，ZB：ZC=2：I,求NB和NC.

解：設(shè)NC為x。，則/B為2x。，

從而有x+2x+60=180.

解得x=40.

:.2x=80.

答:ZC,ZB的度數(shù)分別為4()。，80。.

總結(jié)：幾何問題借助方程來解，這是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想.

變式：在^ABC中，已知NB=x。，AD、CE是aABC的兩條角平分線，CE與AD相交于點(diǎn)O,求NAOC的

度數(shù).

B

然：記皿1C為Nl,NACE為N2,

?「40是△HBC的角平分線(已知)，

N(角平分線的意義).

同理N2=；N3Ca

???N1+N2=；(4BAC+/BCA)=；(180a-x9)

在AHOC中，Nl-N2+Nj0C=18O‘

.../父。。=180?(180*-X")=90'+打

例5.如圖，B島在A島的南偏匪40°方向，C島在A島的南偏東15。方向，C島在B島的北偏東80°

方向，求從C島看A,B兩島的視角NACB的度數(shù).

B

解：如圖，由題意得55心”），ZBAD=40°,

ZCAD=15°,Z￡3C=80°,

/.^EBABAD=40°t

Z5JC=40o+15°=55°.

/.NCBA=4EBC-ZEBA=80°-40°=40°.

/.ZACB=180°-ZBAC-Z.IBC

=180°-55°-40°=85°.

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立完成，然后同桌互批;教師鼓勵(lì)學(xué)生到黑板前演示，再走到學(xué)生中間對(duì)個(gè)別學(xué)生指導(dǎo)，在學(xué)

生完成后組織學(xué)生進(jìn)行交流、評(píng)價(jià)和實(shí)物投影展示，對(duì)于細(xì)節(jié)上存在的問題要讓學(xué)生進(jìn)行糾錯(cuò),必須做到解題

規(guī)范.

設(shè)計(jì)意圖：通過例題的解答，讓學(xué)生真正掌握所學(xué)知識(shí)，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生變相思考問題的能力，運(yùn)用知識(shí).學(xué)

生審題是解題的關(guān)鍵，培養(yǎng)了學(xué)生的應(yīng)用意識(shí).

■探究新知

思考：如下圖所示是我們常用的三角板，它們兩銳角的度數(shù)之和分別為多少度?

三角板的兩銳角之和

450+45°=90°30°+60°=90°

追問：如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,兩銳角的和等于多少呢？

力

B-°C

解：在RSABC中，VZC=90°,

由三角形內(nèi)角和定理，

可得：ZA+ZB=90°.

由此可得：直角三角形的兩個(gè)銳角互余.

直角三角形的表示：直角三角形可以用符號(hào)“RI△”表示,

直角三角形ABC可以寫成RtAABC.

應(yīng)用格式：

在RtAABC中，

VZC=90°,

AZA+ZB=90o.

師生活動(dòng)：學(xué)生先獨(dú)立思考，再小組交流，最后以小組為代表匯報(bào)展示.

設(shè)計(jì)意圖：把未知的知識(shí)交給學(xué)生，讓他們?cè)诤献鲗W(xué)習(xí)的過程中，體會(huì)到可以用自己的能力去解決新問題，

探索新方法，從而獲得成功的喜悅.這樣一來又大大調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)和提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的主

動(dòng)性和合作精神，同時(shí)又使學(xué)生的觀察力和語言表達(dá)能力得到了搬煉.

■應(yīng)用新知

例1.如圖，在ZkABC中,ZACB=90°,CD_LAB于點(diǎn)D,若NA=40。，求NBCD.

解：在RQABC中，ZA+ZB+ZACB=180°,

AZB=50°,

在RtABDC中，ZB+ZBCD+ZBDC=180°

???ZBCD=40°.

思考：從以上例題中我們能得到什么啟發(fā)？

事實(shí)上，

在RQABC中，ZA+ZB+ZACB=180°,

在RsADC中，ZA+ZACD+ZADC=180°

因此，ZB=ZACD,

同理可得，ZA=ZBCD.

例2.如圖，在AABC中,ZB=50°,高AD、CE交于H,求NAHC.

A

c區(qū)

D

提示：能否找出以上雙垂直模型？

解：CE是的高，

；CEB=/CDH=90",

在RtAEBC中，

4B一4BCH=90言.

在RtZkHDC中，

NCW+/3cH=90,.

/.ZC2fD=ZB=50a,

Z^C=1803130s.

例3.如圖，ZC=ZD=90°,AD,BC相交于點(diǎn)E.ZCAE與ZDBE有什么關(guān)系？為什么？

2D

A

解：NC4￡=ND5E理由如下：

在RtA4CE中，ZC4￡=909-4AEC.

在RtZiBDE中，/DBE=90’ZBED.

?.,Z.4￡C=乙BED,

???NG4￡=4DBE.

事實(shí)上，這是一個(gè)條件更多的“八字型

如圖，ZB=ZD=90°,AD交BC于點(diǎn)0,則/A=NC.

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生審題，學(xué)生弄清題意后，師生共同分析思路，學(xué)生口答，教師板書解題過程.

設(shè)計(jì)意圖：鼓勵(lì)學(xué)生認(rèn)真思考；發(fā)現(xiàn)解決問題的方法，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)地參與教學(xué)活動(dòng)，發(fā)揚(yáng)數(shù)學(xué)民主，讓

學(xué)生在獨(dú)立思考、合作交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)中，排養(yǎng)學(xué)生合作互助意識(shí)，提高數(shù)學(xué)交流與數(shù)學(xué)耒達(dá)能力.

■應(yīng)用新知

例4.如圖，在^ABC中，ZA+ZB=90°,那么AABC直角三角形嗎？

解：ZU5C是直角三角形，理由如下：

在ZUBC中，因?yàn)镹4+/3+NC=180’,

而NH+N3=9(T,

所以NC=90’，

即ZUBC是直角三角形.

歸納總結(jié)：直角三角形的判定

有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形.

應(yīng)用格式：

在&ABC中，

VZA+ZB=90°,

/.△ABC是直角三角形.

例5.如圖，AB〃CD,/CAB和NACD的平分線相交于H點(diǎn)，那么^AHC是直角三角形嗎？為什么？

AB

解：△AHC是直角三角形,理由：

W4B//CD,AZCJB+Z^CD=1808.

?；AH,CH分別為NCAB,NjCD的平分線,

NC4月+NdCH=9(T.

???NNHC=9(T,即△dHC是直角三角形.

例6.如圖，在aABC中，ZACB=90°,CD_LAB于點(diǎn)D,若NA=40。，求/BCD.

解：在Rt^ABC中，ZA+ZB+^ACB=180°,

，ZB=50°,

在RtABDC中，ZB+ZBCD+ZBDC=180°

???ZBCD=40°.

思考：從以上例題中我們能得到什么啟發(fā)？

雙垂直模型

事實(shí)上，

在RQABC中，ZA+ZB+ZACB=180°,

在RSADC中，ZA+ZACD+ZADC=180°

因此，ZB=ZACD,

例7.如圖，在AABC中，ZB=50°,高AD、CE交于H,求NAHC.

解：?.?AD、CE是ZkABC的高，

.\ZCEB=ZCDA=90°,

在RtAEBC中，

ZB+ZBCH=90°.

在RIAHDC中，

ZCHD+ZBCH=90°.

AZCHD=ZB=50°,

.,.ZAHC=180°-ZCHD=130°.

思考：從以上例題中我們能得到什么啟發(fā)？

如圖，ZkABC中，CDXAB于D,BE_LAC于E,CD,BE相交于點(diǎn)F,

NA與NBFC有如下關(guān)系：ZA+ZBFC=180°.

證明：?:CD1AB于點(diǎn)D,BE_LAC于點(diǎn)E,

.\ZBEA=ZBDF=90°.

AZABE+ZA=90°,

ZABE+ZDFB=90°.

工/A二NDFB.

VZDFB+ZBFC=180°,

.\ZA+ZBFC=180°.

AD,BC相交于點(diǎn)E.ZCAE與ZDBE有什么關(guān)系？為什么?

解：ZCAE=ZDBE.理由如下：

在

中，

在RtAACEZCAE=90°-ZAEC.

RtABDE中，ZDBE=90°-ZBED.

ZAEC=ZBED,

AZCAE=ZDBE.

總結(jié)歸納：雙垂八字型

如圖，ZB=ZD=90°,AD交BC于點(diǎn)O,則NA=NC.

VZB=ND=90。，

/.ZA+ZAOB=90°,ZC+ZCOD=90°.

VZAOB=ZCOD,

AZA=ZC.

思考：如圖，在AABC中，NA+NB=90。，那么aABC直角三角形嗎？

解：AABC是直角三角形，理由如下：

在△ABC中，因?yàn)镹A+NB+NC=180。，而NA+NB=90。,

所以/C=90。，

即&ABC是直角三角形.

歸納總結(jié)：直角三角形的判定

有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形.

應(yīng)用格式：

在AABC中，

VZA+ZB=90°,

???△ABC是直角三角形.

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生思考，待學(xué)生充分交流后，教師選代表總結(jié)，教師補(bǔ)充.

設(shè)計(jì)意圖：在教學(xué)中運(yùn)用探究式教學(xué)模式，不僅使學(xué)生體驗(yàn)教學(xué)再創(chuàng)造的思維過程，而且還培養(yǎng)了學(xué)生的

創(chuàng)造意識(shí)和科學(xué)精神.

■探究新知

思考：假期,果果到爺爺?shù)霓r(nóng)田中幫忙,其中有一塊田是三角形形狀的.果果沿著這塊三角形農(nóng)田周圍的小

路，按逆時(shí)針行走.小明每從AC小路到AB小路時(shí)，身體轉(zhuǎn)過的角度是多少？

三角形的外角：如圖，把AABC的一邊BC延長(zhǎng)，得到NACD,像這樣，三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線

組成的角，叫做三角形的外角.

ZACD是AABC的一個(gè)外角.

三角形的外角應(yīng)具備的條件：

①角的頂點(diǎn)是三角形的頂點(diǎn),②角的一邊是三角形的一邊，③另一邊是三角形中一邊的延長(zhǎng)線.

思考：如圖，延長(zhǎng)AC到E,ZBCE是不是2SABC的一個(gè)外角？ZDCE是不是AABC的一個(gè)外角？

NBCE是AABC的一個(gè)外角，NDCE不是aABC的一個(gè)外角.

追問：每個(gè)頂點(diǎn)處有幾個(gè)外角？它們有何關(guān)系？

每個(gè)頂點(diǎn)處有2個(gè)外角，如上圖，AABC在點(diǎn)C處有兩個(gè)外角，分別是NBCE和NACD,它們是對(duì)頂角,

因此它們相等.

追問：三角形共有幾個(gè)外角？

每一個(gè)三角形都有6個(gè)外角.每一個(gè)頂點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的外角都有2個(gè)，且這2個(gè)角為對(duì)頂角.

思考：三角形的一個(gè)外向和它相鄰的內(nèi)向有何數(shù)量關(guān)系？三角形的一個(gè)外角和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角有何數(shù)

量關(guān)系？

:不相鄰的內(nèi)角：1y/

//：二角舷而芥角

，除旃內(nèi)角；

求正：ZBCD=ZA+ZB.

證法一：

由三角形的內(nèi)角和可知

NA+/B+NACB=1800

由鄰補(bǔ)角的定義可知

ZBCD+ZACB=180°

AZBCD=ZA+ZB.

思考：你還有其他證法嗎？

證法二：

過C1作CE//曲

則=

（兩直線平行，同位角相等），

Z2=

（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.

乙ACD=N2+N1=/N+N3

三角形內(nèi)角和定理的推論:三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.

應(yīng)用格式：

VZACD是AABC的一個(gè)外角，

AZACD=ZA+ZB.

說明：推論是由定理直接推出的結(jié)論.和定理?樣，推論可以作為進(jìn)?步推理的依據(jù).

思考：如圖，ZBAE,ZCBF,ZACD是z\ABC的三個(gè)外角，它們的和是多少？

解：由三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，得

ZBAE=Z2+Z3,

ZCBF=Z1+N3,

ZACD=Z1+Z2.

又知N1+Z2+Z3=180°,

所以/BAE+NCBF+ZACD

=2（ZI+Z2+Z3）=360°.

追問：你還有其他解法嗎？

三角形的外角和：三角形每個(gè)頂點(diǎn)處分別有兩個(gè)外角，如果每個(gè)處各取一個(gè)外角，那么這三個(gè)外角的和就

叫做三角形的外角和.

結(jié)論：三角形的外角和等于360°.

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生思考三角形的外角，待學(xué)生充分交流后，教師選代表總結(jié)，教師補(bǔ)充.

設(shè)計(jì)意圖：通過對(duì)三角形外角的探索，拓展學(xué)生的思維.嘗試不同解法，培養(yǎng)思維發(fā)散性.

■應(yīng)用新知

例1.如圖，ZBEC是哪個(gè)三角形的外角？ZAEC是哪個(gè)三角形的外角？ZEFD是哪個(gè)三角形的外角？說

一說圖中還有外角嗎？

D

解：ZBEC是AAEC的外角；ZAEC是ABEC的外角；ZEFD是ABEF和ADCF的外角.

例2.求出下列圖形中N1的度數(shù)

例3.已知圖中NA、NB、NC分別為80。，20°,30°,求N1的度數(shù).

解：???/2是ZiACD的一個(gè)外角，

.?.Z2=Z3+ZC=110°,

VZ1是」BDE的一個(gè)外角,

.*.Zl=ZB+Z2=130°.

追問：如何把圖中Nl、N2、/3按由大到小的順序排列？

例4.如圖，D是^ABC的BC邊上一點(diǎn)，ZB=ZBAD,ZADC=80°,

NBAC=70。.求：（1）ZB的度數(shù)；（2）ZC的度數(shù).

解：（1）因?yàn)镹ADC是^ABD的外角，

所以NADC=NB+NBAD=80。.

又因?yàn)镹B=NBAD,所以NB=80"2=40。.

(2)SAABC中，因?yàn)镹B+/BAC+/C=180。,

所以NC=18()。-NB-NBAC

=1800-40°-70°=700

例5.如圖，求NA+ZB+ZC+ZD+ZE的度數(shù).

A

A解：是△尸SE的外角，

/.Z1=ZB+ZE,

同理N2=Nd+NO.

在△CFG中，

ZC+Z1+Z2=18O°,

「?N/+N5+NC+ND+Z￡=180°.

例6.如圖，ZA4-ZB+ZC+ZD+/E+ZF=

解：是△ABN的外角，

.*.Z1=Z5-ZJ,

同理N2=NC+N0

N3=NE+NE

根據(jù)三角形的外角和為360°,

NZ+N3+NC+N。+NE

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立完成，然后同桌互批;教師鼓勵(lì)學(xué)生到黑板前演示，再走到學(xué)生中間對(duì)個(gè)別學(xué)生指導(dǎo)，在學(xué)

生完成后組織學(xué)生進(jìn)行交流、評(píng)價(jià)和實(shí)物投影展示，對(duì)于細(xì)節(jié)上存在的問題要讓學(xué)生進(jìn)行糾錯(cuò),必須做到解題

規(guī)范.

設(shè)計(jì)意圖：通過例題的解答，讓學(xué)生真正掌握外角的應(yīng)用，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生變相思考問題的能力，運(yùn)用知識(shí).

學(xué)生審題是解題的關(guān)鍵，培養(yǎng)了學(xué)生的應(yīng)用意識(shí).

■課堂小結(jié)

師生活動(dòng)：教師和學(xué)生一起回顧本節(jié)課所講的內(nèi)容.

1.本節(jié)課你學(xué)到了什么？

2.什么是三角形？如何表示？其基本要素有哪些？

3.三角形如何分類？

4.三角形的三邊有何數(shù)量關(guān)系？這種數(shù)量關(guān)系有何應(yīng)用？

5.三角形具有穩(wěn)定性，你能舉出幾個(gè)例子嗎？

6.你會(huì)畫三角形的中線、角平分線和高嗎？它們有什么區(qū)別和聯(lián)系？

7.三角形的內(nèi)角和是多少？如何證明？

8.直角三角形的性質(zhì)是什么？如何判定？

9.什么是三角形的外角？三角形的外角有什么性質(zhì)？

設(shè)計(jì)意圖：通過小結(jié)讓學(xué)生進(jìn)一步熟悉鞏固本節(jié)課所學(xué)的知識(shí).由教師引導(dǎo)，學(xué)生進(jìn)行總結(jié)，目的是充分發(fā)

揮學(xué)生的主體作用，有助于學(xué)生在理解新知識(shí)的基礎(chǔ)上，及時(shí)把知識(shí)系統(tǒng)化，條理化.

■當(dāng)堂練習(xí)

1.國(guó)中的銳角三角形有)

A.3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)

B

2.下面給出的四個(gè)三角形都有一部分被遮擋，其中不能判斷三角形類型的是（）

E2△

3.下列長(zhǎng)度的線段不能組成三角形的是（

A.3,8,4B.4,9,6

C.15,20,8D.9,15,8

4.如圖，橋梁的斜拉鋼索是二角形的結(jié)構(gòu)，主要是為了（）

A.節(jié)省材料，節(jié)約成本

B.保持對(duì)稱

C.利用三角形的穩(wěn)定性

D美觀漂亮

5.總備下臉條件的AABC中，不是直角三角形的是（）

A.ZA+ZB=ZC

B.ZA-ZB=ZC

C.ZA：ZB：ZC=1：2：3

D.ZA=2ZB=3ZC

6.在一個(gè)直角三角形中，有一個(gè)銳角等于40。，則另一個(gè)銳角的度數(shù)是（）

A.40°B.50°C.60°D,70°

7.具備下列條件的AABC中，不是直角三角形的是（）

A.NA+ZB=ZC

B.ZA-ZB=ZC

C.ZA：ZB：ZC=1：2：3

D.ZA=2ZB=3ZC

8.如圖，AB〃CD,ZA=37°,ZC=63°,那么NF等于（）

A.26°B.63°C.37°D.60°

E