14.1全等三角形及其性質(zhì)導(dǎo)學(xué)案

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.理解全等（三角）形的定義及其相關(guān)概念。

2.探究并掌握全等三角形的性質(zhì)；能靈活運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)解決簡(jiǎn)單的幾何問題。

3.在探究全等三角形相關(guān)知識(shí)的過程中，培養(yǎng)觀察、分析、歸納能力，體會(huì)圖形變換和數(shù)學(xué)知識(shí)間的內(nèi)

在聯(lián)系，增強(qiáng)幾何直觀和邏輯推理能力。

學(xué)習(xí)重點(diǎn)：理解全等（三角）形的定義及其相關(guān)概念；探究并掌握全等三角形的性質(zhì)。

學(xué)習(xí)難點(diǎn)：能靈活運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)解決簡(jiǎn)單的幾何問題。

二、學(xué)習(xí)過程

（一）情境引入

問題1對(duì)開的大門、郵票、設(shè)計(jì)的圖案中都有形狀、大小可同的圖形的形象，你能再舉出一些類似的

例子嗎?

形狀、大小相同的圖形放在一起能夠完全重合.能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫作.能夠完全重合的

兩個(gè)三角形叫作.

（二）合作探究

思考在圖（1）中，把a(bǔ)ABC沿直線8c平移，得到在圖⑵中，把△ABC沿直線8c翻折18。°,得

到△OBC.在圖（3）中，把△A8C繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，得到△4。￡各圖中的兩個(gè)三角形全等嗎？

A

AD

⑴⑵⑶

一個(gè)圖形經(jīng)過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后，變化了，沒有改變，即平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后

的圖形.全等用符號(hào)“”表示，讀作“”.

把兩個(gè)全等的三角形重合到一起，重合的頂點(diǎn)叫作,重合的邊叫作,重合的角叫

作.

追問：你能說出△A8C和△0E/的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角嗎？

對(duì)應(yīng)頂點(diǎn):

對(duì)應(yīng)邊:

對(duì)應(yīng)角:

注意記兩個(gè)三角形全等時(shí)，通常把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)的位置上.

思考圖⑴中，AABCG4DEF,對(duì)應(yīng)邊有什么關(guān)系?對(duì)應(yīng)角呢?其他兩圖中的全等三角形呢?

全等三角形的性質(zhì):

（三）典例分析

例1如圖，點(diǎn)A和點(diǎn)8,點(diǎn)。和點(diǎn)。是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，ZBAC=65°,N4BO26。，AC,

BD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E.求/CBD,NAEB的度數(shù).

AB

例2如圖，＞ABg/\BDE,NA和/NC和/E是對(duì)應(yīng)角.說出這兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊和另一組

對(duì)應(yīng)角.

例3如圖，△OCAgZXOBD,點(diǎn)。和點(diǎn)B,點(diǎn)A和點(diǎn)。是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn).說出這兩個(gè)三角形中相等的邊和角.

（四）鞏固練習(xí)

1.巴黎奧運(yùn)會(huì)上中國體育代表團(tuán)獲得40枚金牌，金牌數(shù)與美國隊(duì)并列第、創(chuàng)造了參加境外奧運(yùn)會(huì)

的最佳戰(zhàn)績(jī).下列各組巴黎奧運(yùn)會(huì)的項(xiàng)目圖標(biāo)中，是全等形的是（）

3.如圖，已知△ABCwaEBD,若A8=5,BD=8,則CE的長(zhǎng)為（）

A.1B.2C.3D.4

A.120°B.135°C.150°D.180°

5.如圖，己知長(zhǎng)方形A8co的邊長(zhǎng)A5=16cm,5c=12cm,點(diǎn)笈在邊AB上，AE=6cm.如果點(diǎn)P從點(diǎn)

8出發(fā)在線段BC上以2cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CD上由點(diǎn)。向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，那么當(dāng)aBPE

與ZiCQP全等時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間，的值為.

（五）歸納總結(jié)

全等三角形及其性質(zhì)

的兩個(gè)圖形叫作全等好.能夠完全更合的兩個(gè)

全等（三角）形

三角彩叫作___________.

全等三角形的把兩個(gè)全等的三角舫重合到一起，重合的頂點(diǎn)叫作，

相關(guān)概念重合的邊叫作—，重合的角叫作___

全等三角膨的全等三角彩的，

性質(zhì)全等三角形的一.

3.在探究和證明的過程中，發(fā)展直觀想象和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，培養(yǎng)邏輯推理能力，提高有條理地思考和表

達(dá)的能力：在解決實(shí)際問題的過程中，增強(qiáng)數(shù)學(xué)建模意識(shí)和應(yīng)用意識(shí)。

學(xué)習(xí)重點(diǎn)：掌握基本事實(shí)：兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等。

學(xué)習(xí)難點(diǎn)：能熟練應(yīng)用SAS證明兩個(gè)三角形全等。

二、學(xué)習(xí)過程

（一）復(fù)習(xí)引入

1.同學(xué)們，上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了全等三角形和全等三角形的性質(zhì)，請(qǐng)你說說什么是全等三角形？全等三角

形具備什么性質(zhì)呢？

2.反過來，具備什么條件的兩個(gè)三角形全等？

根據(jù)全等三角形的定義，如果aABC與AAbC滿足三條邊分別相等，三個(gè)角分別相等，就能判定

AB=A'B',BC=B'U,C4=CN',

ZB=ZB\ZOZC.

問題1上述六個(gè)條件中，有些條件是相關(guān)的.能否在上述六個(gè)條件中選擇部分條件，簡(jiǎn)捷地判定兩個(gè)三

角形全等呢？

（二）合作探究

探究1先任意畫出一個(gè)△A8C.再畫一個(gè)△AEC',使△ABC與△/VBC'滿足上述六個(gè)條件中的一個(gè)

（一邊或一角分別相等）或兩個(gè)（兩邊、一邊一角或兩角分別相等）.你畫出的△A7TC'與△A8C一定全等嗎？

問題2滿足上述六個(gè)條件中的一個(gè)或兩個(gè),△ABC與△ABC不一定全等.滿足上述六個(gè)條件中的三個(gè),

能保證△ABC與AA5C全等嗎？

探究2如圖，直觀上，如果/A,AB,AC的大小確定了，△ABC的形狀、大小也就確定了.也就是說,

在ZiAbC與△ABC中，如果NA，=NA,A'B'=AB,HC=AC,那么△這個(gè)判斷正確嗎？

判定兩個(gè)三角形全等的基本事實(shí):

（簡(jiǎn)寫成)

符號(hào)語言:

（三）典例分析

例1如圖，AC=AD,A5平分NC4。，求證NOND

思考我們知道，如果兩個(gè)三角形的兩邊和它們的夾角分別相等，那么這兩個(gè)三角形全等.如果兩個(gè)三角

形的兩邊和其中一邊的對(duì)角分別相等，那么這兩個(gè)三角形全等嗎？

這說明：.

（四）鞏固練習(xí)

1.如圖，有一池塘，要測(cè)池塘兩端A,3的距離，可先在立地上取一個(gè)點(diǎn)C,從點(diǎn)。不經(jīng)過池塘可以

直接到達(dá)點(diǎn)A和點(diǎn)8.連接AC并延長(zhǎng)到點(diǎn)。，使CO=C4.連接8c并延長(zhǎng)到點(diǎn)E,使CE=CR連接?！?那么

量出DE的長(zhǎng)就是A,B的距離.為什么?

2.如圖，點(diǎn)、E,尸在BC上，BE=CF,AB=DC,NB=NC求證：ZA=ZD.

3.如圖，已知48=4C,請(qǐng)?jiān)偬砑右粋€(gè)條件,使口力8瓦［24CO（無需添加任何輔助線或點(diǎn)）.

4.同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)完全等三角形之后，體會(huì)到了全等具有轉(zhuǎn)化等線段的作用.如圖，A、B兩點(diǎn)分別位

于一個(gè)池塘的兩端,小明想用繩子測(cè)量4、B間的距離，如圖所示的這種方法,只需測(cè)量（）就可得到

A、B間的距離.

A.ACB.BCC.BDD.CD

B

第3題圖

5.如圖，已知方格紙中是4個(gè)相同的正方形，則/I與/2的和為（)

A.100°B.90°C.60°D.45°

6.如圖，把兩根鋼條的中點(diǎn)連在一起，可以做成一個(gè)測(cè)量工件內(nèi)槽寬的工具（卡鉗）.在圖中，要測(cè)量工件

內(nèi)槽寬人叢只需要測(cè)量哪些量?為什么？

A

7.如圖，點(diǎn)C是線段A8的中點(diǎn)，AD=BE,NA=/8.求證：ZD=ZE.

8.如圖，在△ABC和△4EO中，AB=AE,NBAE=NCAD,AC=AD.求證：△ABCgZXAKO.

(七)歸納總結(jié)

全等三角形的判定(SAS)

邊角邊

和分別相等的兩個(gè)三角形全等.

(SAS)

圖示

邊邊角

(SSA)兩邊和分別相等的兩個(gè)三角形1

(八)感受中考

1.如圖，AC,8。相交于點(diǎn)0,0B=0D,要使△AOBg/XC。。，添加一個(gè)條件是

2.如圖，C4=C。，ZACD=ZBCE,請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件,使△

D

第1題圖第2題圖

3.（2025?新疆）如圖，AD=BCiUDAB=UCBA,求證：AC=BD.

4.（2025?陜西）如圖，點(diǎn)。是口力8。的邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BD=AB,DELAB,DE=BC.求證：BE=AC.

5.如圖，/3是4。的中點(diǎn)，BC//DE,BC=DE.求證：ZC=ZE.

（七）小結(jié)梳理

全等三角形

定義性質(zhì)判定

對(duì)應(yīng)邊相等）兩邊一夬角（SAS）

一J

對(duì)應(yīng)角相等）

（八）布置作業(yè)

1.必做題：習(xí)題14.2第1,2,14題.

2.探究性作業(yè)：請(qǐng)同學(xué)們用長(zhǎng)度合適的木棒制作能體現(xiàn)SSA不能證明三角形全等的模型，下節(jié)課分享

制作思路與結(jié)論.

14.2三角形全等的判定（第2課時(shí)ASA和AAS）導(dǎo)學(xué)案

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.掌握基本事實(shí)：兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等。證明定理：兩角分別相等且其中一組等角

的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等。

2.經(jīng)歷ASA和AAS的探究過程，體會(huì)分類討論思想；應(yīng)用ASA和AAS判定三角形全等，體會(huì)轉(zhuǎn)化思

想，提高有條理地思考和表達(dá)的能力。

3.在探究和證明的過程中，發(fā)展直觀想象和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，提升邏輯推理能力。在解決實(shí)際問題的過程

中，增強(qiáng)數(shù)學(xué)建模意識(shí)和應(yīng)用意識(shí)。

學(xué)習(xí)重點(diǎn)：掌握基本事實(shí)：兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等。證明定理：兩角分別相等且其

中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等。

學(xué)習(xí)難點(diǎn)：能熟練應(yīng)用ASA和AAS判定三角形全等。

二、學(xué)習(xí)過程

（一）復(fù)習(xí)引入

1.同學(xué)們，上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了全等三角形的判定方法，你能說說具體內(nèi)容嗎？

2.本節(jié)課我們將從兩角一邊的角度繼續(xù)探索全等三角形的判定方法.

（二）合作探究

探究3如圖，直觀上，AB,NA,的大小確定了，△ABC的形狀、大小也就確定了:也就是說，在

△4EC與△ABC中，如果NB'=NB,那么△這個(gè)判斷正魂嗎？

CC，

ABA1Bf

判定兩個(gè)三角形全等的基本事實(shí)???

（簡(jiǎn)寫成）

CC'符號(hào)語言：

k

f

ABAB「

思考如果兩個(gè)三角形的兩角和其中一組等角的對(duì)邊分別相等，那么這兩個(gè)三角形全等嗎?

已知：在^ABC和4Ab。中,

求證：

證明：

判定兩個(gè)三角形全等的方法3：

（簡(jiǎn)寫成.)

符號(hào)語言:

（三）典例分析

例2如圖，點(diǎn)。在上，點(diǎn)E在AC上,4B=AC,/B=NC.求證AD=AE.

（四）鞏固練習(xí)

1.如圖所示，某同學(xué)把一塊三角形的玻璃打碎成了三塊，現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃,

那么最省事的辦法是帶（）去玻璃店.

A.①B.②D.①和②

2.如圖，已知口48。，則甲、乙、丙三個(gè)三角形中與口/BC全等的是（）

A.甲和乙

3.如圖,AB1BC,ADJ,DC,垂足分別為B,D,且N1=N2.求證：AB=AD.

4.如圖，要測(cè)量池塘兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)A,8的距離，可以在池塘外取A8的垂線8b上的兩點(diǎn)C,D,使

BC=CD,再畫出8尸的垂線。E,使點(diǎn)E與點(diǎn)A,C在一條直線.匕這時(shí)測(cè)得QE的長(zhǎng)就是A8的長(zhǎng)，為什

么？

5.如圖，點(diǎn)8,尸，C,E在一條直線上，F(xiàn)B=CE,AB//DE,AC//DF.求證：AB=DE,AC=DF.

（九）歸納總結(jié)

全等三角形的判定（ASA/AAS）

（十）感受中考

1.（2024?牡丹江）如圖，△ABC中，。是AB上一點(diǎn)，C尸〃A8,D、E、尸三點(diǎn)共線，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件,

使得4E=CE.（只添一種情況即可）.

2.（2022?湖北）如圖，已知八8〃。石，AB=DEf請(qǐng)你添加一個(gè)條件,使△

3.（2023?涼山州）如圖，點(diǎn)七、點(diǎn)?在8。上,8石=。/,//3=/。,添加一個(gè)條件，不能證明4八/獷0/\。?！辏?/p>

的是（）

A.ZA=ZDB.ZAFB=ZDECC.AB=DCD.AF=DE

D

5.（2023?吉林）如圖，點(diǎn)C在線段3。上，AABC和△QEC中，NA=NQ,AB=DE,NB=NE.求

證：AC=DC.

6.（2022?益陽）如圖，在陽△ABC中，ZB=90°,CD//AB,DE上AC于點(diǎn)、E,KCE=AB.求證:

△CED^/^ABC./\P

7.（2024?南充）如圖，在△45C中，點(diǎn)。為8c邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)8作交A。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.求

（七）小結(jié)梳理

對(duì)應(yīng)邊相等,兩邊一昊角（SAS）

對(duì)應(yīng)角相等）兩角一夾邊（ASA）,

兩角一對(duì)邊（AAS）

（八）布置作業(yè)

1.必做題：習(xí)題14.2第4,5,6題.

2.探究性作業(yè)：習(xí)題14.2第16題.

變式①4Q,ANT分別是△A8C,△A5C的對(duì)應(yīng)邊上的中線.

變式②AO,分別是AABC,△AbC的對(duì)應(yīng)邊上的高線.

14.2三角形全等的判定（第3課時(shí)SSS）導(dǎo)學(xué)案

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.掌握基本事實(shí)：三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等。能熟練運(yùn)用該方法判定兩個(gè)三角形是否全等。能用

尺規(guī)作圖：已知三邊作三角形。

2.經(jīng)歷SSS的探究過程，體會(huì)分類討論思想；應(yīng)用SSS判定三角形全等，體會(huì)轉(zhuǎn)化思想，提高有條理

地思考和表達(dá)的能力。

3.在探究和證明的過程中，發(fā)展直觀想象和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，提升邏輯推理能力。在解決實(shí)際問題的過程

中，增強(qiáng)數(shù)學(xué)建模意識(shí)和應(yīng)用意識(shí)。

學(xué)習(xí)重點(diǎn)：掌握基本事實(shí)：三邊分別相等的兩個(gè)三角形全筆。

學(xué)習(xí)難點(diǎn)：能熟練應(yīng)用SSS判定三角形全等。

二、學(xué)習(xí)過程

（一）復(fù)習(xí)引入

1.同學(xué)們，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了全等三角形的哪些判定方法？你能說說具體內(nèi)容嗎？

2.本節(jié)課我們將從三邊的角度繼續(xù)探索全等三角形的判定方法.

（二）合作探究

探究4如圖，直觀上,AB,BC,C4的大小確定了，△ABC的形狀、大小也就確定了.也就是說，在△A'8'C

與AABC中，如果B'C=BC,CA'=CA,那么△A'B'C絲△ABC.這個(gè)判斷正確嗎？

C

ABB'

判定兩個(gè)三角形全等的基本事實(shí):

（簡(jiǎn)寫成.)

符號(hào)語言:

C

利用這個(gè)基本事實(shí)，可以說明三角形具有性

上述分析過程也告訴我們：已知三角形的三邊，可以利用直尺和圓規(guī)作?個(gè)三角形.

問題如圖，已知三條線段“，b,C（其中任意兩條線段的和大于第三條線段），求作△ABC,使其三邊

分別為b,

作圖區(qū)域:

b

下面我們將從“三角”的角度繼續(xù)探索全等三角形的判定方法.

思考三角分別相等的兩個(gè)三角形全等嗎？

這說明,

（三）典例分析

例3在如圖所示的三角形鋼架中，AB=AC,4。是連接點(diǎn)4與8c中點(diǎn)。的支架，求證

BDC

（四）鞏固練習(xí)

1.圖是手工藝人制作的風(fēng)箏，他根據(jù)48=4。，BC=CD,利用兩個(gè)三角形全等不用度量就可以知道

匚44OC,他判定兩個(gè)三角形全等的依據(jù)是（）

A.SSSB.SASC.ASAD.AAS

2.如圖，AB=AC,8ZACZ）,則可推出（）

A.BCDB.UABDQ[JACDC.CACDCUBCDC）.^ACEJCBDE

寸4

JB

第1題圖第2題圖

3.如圖，AC=BD,8040.求證：ZABC=ZBAD.

DLJC

泠

L

A

4.工人師傅常用角尺平分一個(gè)任意角.如圖，在NA08的邊OA,OB.上分別取0M=0N,移動(dòng)角尺,

使角尺兩邊相同的刻度分別與點(diǎn)M，N重合.過角尺頂點(diǎn)C的射線0C便是NA08的平分線，為什么?

（十一）歸納總結(jié)

全等三角形的判定（SSS）

（十二）感受中考

1.如圖，。是A4的中點(diǎn)，且CQ=8E,請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件,使得

第I題圖第2題圖

2.如圖，小明家仿古家具的一塊三角形狀的玻璃壞了，需要重新配一塊.小明通過電話給玻璃店老板

提供相關(guān)數(shù)據(jù)，為了方便表述，招該三角形記為△A8C,提供下列各組元素的數(shù)據(jù)，配出來的玻璃不一定符

合要求的是（）

A.A8,BC,CAB.AB,BC,ZB

C.AB,AC,ZBD./A,NB,BC

3.如圖，點(diǎn)A、D、B、E在同一條直線上，AD=BE,AC=DF,BC=EF.

(I)求證：/XABCg/XOE/；

(2)若NA=55°,ZE=45°,求/尸的度數(shù).

4.如圖，已知A8=C。，點(diǎn)￡尸在線段8。上，且A/=CE.

請(qǐng)從①BF=DE；②NBAF=NDCE；?AF=CF中.選擇一個(gè)合適的選項(xiàng)作為已知條件，使得△ABFg4

CDE.你添加的條件是：_____________________________（只滇寫一個(gè)序號(hào)）.

添加條件后，請(qǐng)證明AE〃CT.

（七）小結(jié)梳理

對(duì)應(yīng)邊相等兩邊一夾角（SAS）,

對(duì)應(yīng)角相等兩角一失邊（ASA））

兩角一對(duì)邊（A.AS）

一J

三邊（SSS）J

（八）布置作業(yè)

1.必做題：習(xí)題14.2第7,8,13題.

2.探究性作業(yè)：請(qǐng)你利用身邊的工具（三角尺、量角器、直尺、圓規(guī)等），制作一個(gè)30。的角.

14.2三角形全等的判定（第4課時(shí)尺規(guī)作圖）

導(dǎo)學(xué)案

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.能用尺規(guī)作圖：作一個(gè)角等于已知角；過直線外一點(diǎn)作這條直線的平行線；已知兩邊及其夾角、兩角

及其夾邊作三角形。

2.經(jīng)歷尺規(guī)作圖的過程，體會(huì)轉(zhuǎn)化思想（平行線一等角）和類比思想（已知兩邊及其夾角、兩角及其夾

邊作三角形）。

3.在作圖過程中培養(yǎng)邏管推理能力，逐步建立幾何直觀和空間觀念.在解決綜合作圖問題時(shí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)

建模意識(shí)和應(yīng)用意識(shí)。

學(xué)習(xí)重點(diǎn)：能用尺規(guī)作圖：作一個(gè)角等于己知角。

學(xué)習(xí)難點(diǎn)：能用基本尺規(guī)作圖解決綜合作圖問題。

二、學(xué)習(xí)過程

（一）復(fù)習(xí)引入

1.同學(xué)們，我們學(xué)習(xí)了全等三角形的哪些判定方法？

2.利用三角形全等的判定方法，可以幫助我們解決一些尺規(guī)作圖問題.

（二）合作探究

思考線段和角都是基本的幾何圖形，也是構(gòu)成其他幾何圖形的元素，我們己經(jīng)學(xué)習(xí)了作一條線段等于

已知線段的尺規(guī)作圖，如何用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角呢？

探究作一個(gè)角NA，Ob等于已知角/A08.

作圖區(qū)域:

追問為什么NAOE=NAOB?

是一種基本尺規(guī)作圖.

（三）典例分析

例4如圖，己知直線AB及直線48外一點(diǎn)C利用直尺和圓規(guī)過點(diǎn)C作直線AB的平行線CD.

作圖區(qū)域：

c?

4

例5如圖，己知線段a,方和Na,求作△ABC,使AB=a,AC=b,N4=Na.

作圖區(qū)域:

（四）鞏固練習(xí)

1.如圖，△ABC中，AB>AC,NCA。為的外角，觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡，則下列結(jié)論錯(cuò)誤

的是（）

A.ZDAE=ZBB.ZEAC=ZCC.AE//BCD.ZDAE=ZEAC

2.如圖，用直尺和圓規(guī)作一條直線，使這條直線過△ABC的頂點(diǎn)A,并且與邊8c平行.

3.如圖，用直尺和圓規(guī)作一個(gè)三角形，使這個(gè)三角形的兩角分別等于Na,Zp,這兩角的夾邊等于線

段a

作圖區(qū)域:

（十三）歸納總結(jié)

基本尺規(guī)作圖：作一個(gè)角等于已知角

（1）以點(diǎn)。為同心，任意長(zhǎng)為半徑作范，分別交05于點(diǎn)C,D\

必.,1（2）作一條射線。為'，以—為圓心，―為半徑作弦，交于點(diǎn)。：

'（3）以一為圓心，—為半徑作弧，與上一步作的弧相交于點(diǎn)ZT;

（十四）感受中考

1.如圖是“作一個(gè)角使其等于“。4”的尺規(guī)作圖方法.該述方法通過判定匚C0。'□匚C。。得到

□/。力'=□408,其中判定口。‘。力’：!二C。。的依據(jù)是（

A.三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等

B.兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等

C.兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等

D.兩角分別相等且其中一組等角的時(shí)邊相等的兩個(gè)三角形全等

2.如圖，已知△A8C,AOAB,NC=45。.請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在AC邊上求作一點(diǎn)P,使NPBC=45。.（保

留作圖痕跡.不寫作法）

作圖區(qū)域:

（七）小結(jié)梳理

尺規(guī)作圖

基本尺規(guī)作圖綜合尺規(guī)作圖

作一條線段等于已知線均

過直線外一點(diǎn)作這條直域的千行%

作一個(gè)角等于已知角）-已知兩邊及其夫角作三的學(xué)

已知兩角及其夫邊作三角e

（八）布置作業(yè)

1.必做題:習(xí)題14.2第9,10題.

2.探究性作業(yè)：查閱資料，了解尺規(guī)作圖的起源、發(fā)展及作用.

推薦書籍或網(wǎng)站：①《幾何原本》.②百度百科、數(shù)學(xué)科普網(wǎng)站.

14.2三角形全等的判定（第5課時(shí)HL）導(dǎo)學(xué)案

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜邊、直角邊”定理。能運(yùn)用HL判定兩個(gè)直角三用形全等。

2.經(jīng)歷HL的探究過程，體會(huì)從一般到特殊的研究方法；應(yīng)用HL判定直角三角形全等，體會(huì)轉(zhuǎn)化思想，

提高有條理地思考和表達(dá)的能力。

3.在探究和證明的過程中，發(fā)展直觀想象和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，提升邏輯推理能力。在解決實(shí)際問題的過程

中，增強(qiáng)數(shù)學(xué)建模意識(shí)和應(yīng)用意識(shí)。

學(xué)習(xí)重點(diǎn)：探索并掌握判定直角三角形全等的“斜邊、直角邊”定理。

學(xué)習(xí)難點(diǎn)：能熟練應(yīng)用HL判定直角三角形全等。

二、學(xué)習(xí)過程

（一）復(fù)習(xí)引入

同學(xué)們，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了全等三角形的哪些判定方法？你能說說具體內(nèi)容嗎？

問題SAS、ASA、AAS、SSS適用于任意三角形全等的判定.直角三角形作為一種特殊的三角形，“直

角”這個(gè)特征會(huì)不會(huì)給它帶來獨(dú)特的全等判定方法呢？

r

兩邊一夾角（SAS）/A

兩角一失邊（ASA）/

dA:，--:

兩角一對(duì)邊（AAS）/d:-------------J

三邊（SSS）,2

----------------‘亡

追問如果滿足斜邊和一直角邊分別相等,這兩個(gè)直角三角形全等嗎？

（二）合作探究

探究5如圖，在aABC和△ABC中，ZC=ZC=90°,A'B'=AB,B'C=8C.這兩個(gè)三角形全等嗎?

A4’

—-^C

追問點(diǎn)A與點(diǎn)人是否重合？

判定直角三角形全等的方法：_________________________________________?

（簡(jiǎn)寫成_______________________）

符號(hào)語言：

AA

1

（三）典例分析

例6如圖，ACJ-BC,BDLAD,垂足分別為C,D,人C=AD.求證BC=AD.

AB

（四）鞏固練習(xí)

1.如圖，力。為口48。的高，E為AC上一大，BE交AD于點(diǎn)F,且有8戶XC,FD=CD,要證明口4QC□匚BDF

需要的判定方法是（）

A.HLB.SSSC.AASD.ASA

2.用三角尺可以畫角平分線：如圖所示，在已知匚力08的兩邊上分別取點(diǎn)M,N,使。W=QV,再過點(diǎn)

M畫04的垂線，過點(diǎn)N畫08的垂線，兩垂線交于點(diǎn)尸，那么射線0P就是匚408的平分線.小明發(fā)現(xiàn)說明此畫

法的合理性時(shí)需要證明［與匚PON全等，其依據(jù)是（）

3.下列條件，能判定兩個(gè)直角三角形全等的有（）

①兩個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等②兩條直角邊對(duì)應(yīng)相等③斜邊和一直角邊對(duì)應(yīng)相等

④一銳角和斜邊對(duì)應(yīng)相等⑤一銳角和一宜角邊對(duì)應(yīng)相等

A.5B.4C.3D.2

4.在Rt匚48c中，□4=90。，點(diǎn)。在上，DE匚BC于點(diǎn)E,RDE=DA,連接。8.若□C=20。，則匚。3E的

度數(shù)為.

5.如圖，C是路段AB的中點(diǎn)，兩人從C同時(shí)出發(fā)，以相同的速度分別沿兩條直線行走，并同時(shí)到達(dá)。，

E兩地，且D4_LA8,EBLAB,D,￡到路段A8的距離相等嗎?為什么？

6.如圖，AB=CD,AEA.I3C,DFA.BC,垂足分別為E,F,求證：AE=DF.

AB

（十五）歸納總結(jié)

（十六）感受中考

1.（2025?山西）如圖，小誼將兩根長(zhǎng)度不等的木條4G8。的中點(diǎn)連在一起，記中點(diǎn)為。即

AO=CO,BO=DO.測(cè)得C,。兩點(diǎn)之間的距離后，利用全等三角形的性質(zhì)，可得花瓶?jī)?nèi)壁上a8兩點(diǎn)之間

的距離.圖中口4。9與口。0。全等的依據(jù)是（）

A.SSSB.SASC.ASAD.HL

2.如圖所示，點(diǎn)。在一塊直角三角板ABC上（其中NABC=30°）,OMLAB于點(diǎn)M,ON_LAC于點(diǎn)

N,若OM=ON,則度.

3.如圖，點(diǎn)。，E分別在AB,AC上，NADC=NAEB=90°,BE,CO相交于點(diǎn)O,OB=OC.

求證：Z1=Z2.

小虎同學(xué)的證明過程如卜.：

證明：ZADC=ZAEB=W,

???NQO8+/B=NEOC+NC=90°.

?:/DOB=/EOC,

??.N8=NC.……第一步

又。4=04,OB=OC,

???△480gZ\AC0.……第二步

AZ1=Z2.……第三步

（1）小虎同學(xué)的證明過程中，第步出現(xiàn)錯(cuò)誤;

（2）請(qǐng)寫出正確的證明過程.

（七）小結(jié)梳理

對(duì)應(yīng)邊相等兩邊一夾角（SAS）

對(duì)應(yīng)角相等兩角一央邊（ASA）適用于任

兩角一對(duì)一（AAS））意三角附

三邊（SSS））

斜邊直角邊（HL）,饕梵

------------?第二曲形

（A）布置作業(yè)

1.必做題：習(xí)題14.2第11,12題.

2.探究性作業(yè)：習(xí)題14.2第18題.

14.3角的平分線（第1課時(shí)）導(dǎo)學(xué)案

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.會(huì)用尺規(guī)作一個(gè)角的平分線；探索并證明角的平分線的性質(zhì)；能用角的平分線的性質(zhì)解決簡(jiǎn)單問題。

2.經(jīng)歷“操作一猜想一驗(yàn)證一證明”的幾何命題探究過程，感悟連續(xù)性的數(shù)學(xué)思維；在解決問題時(shí)，體

會(huì)轉(zhuǎn)化思想。

3.在探究和證明的過程中，發(fā)展直觀想象和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，培養(yǎng)邏輯推理能力，提高有條理地思考和表

達(dá)的能力；在解決實(shí)際問題的過程中，增強(qiáng)數(shù)學(xué)建模意識(shí)和應(yīng)用意以。

學(xué)習(xí)重點(diǎn)；能用尺規(guī)作圖；作一個(gè)角的平分線；掌握角平分線的性質(zhì)定理。

學(xué)習(xí)難點(diǎn)：能熟練運(yùn)用角平分線的性質(zhì)定理解決問題0

二、學(xué)習(xí)過程

（一）情境引入

問題1在紙上畫一個(gè)角，你能得到這個(gè)角的平分線嗎？

問題2如果把前面的紙片換成木板、鋼板等，還能用對(duì)折的方法得到木板、鋼板的角平分線嗎?

（二）合作探究

探究1如圖，OC是NA03的平分線，P是0C上的任意一點(diǎn)，M,N分別是04,03上的點(diǎn)，我們研

究PM與PN的關(guān)系.

追問在圖中，當(dāng)OM與0N滿足什么關(guān)系時(shí)，PM=PN?

探究1反過來，如圖，若M,N分別是NAOB的邊。4,OB上的點(diǎn)，0M=0M點(diǎn)P在NA08的內(nèi)部,

則點(diǎn)P的位置有什么特點(diǎn)？

思考由上述結(jié)論，你能想到如何作一個(gè)角的平分線嗎?

追問如何作出OM=ON!如何作出PM二PN?

作法如圖，已知NAO5.

⑴

⑵

⑶

作圖區(qū)域:

追問在（2）中，為什么半徑要大于;MN的長(zhǎng)？

基本尺規(guī)作圖.

探究2如圖，0C是NAOB的平分線.點(diǎn)P，B，凸，…在。C上，過

點(diǎn)、Pi，Pi，鼻，…分別畫。4與。月的垂線，垂足分別為小與自、》與

員、。3與七3……分別比較P1D1與PlEl、P2D2與P2E2、P03與尸3后……，

你有什么發(fā)現(xiàn)？

發(fā)現(xiàn).

猜想角的平分線有以下性質(zhì)：.

追問如何證明猜想呢？

已知：.

求證：.

證明：

角的平分線的性質(zhì)：.

歸納

一般情況下，要證明一個(gè)幾何命題時(shí)，可以按照類似的步驟進(jìn)行，即

1.明確命題中的和;

2.根據(jù)題意，畫出______,并用數(shù)學(xué)_________表示已知和求證；

3.經(jīng)過分析，找出由已知推出要證的結(jié)論的途徑，寫出.

（三）典例分析

例1如圖，在直線MN上求作一點(diǎn)P,使點(diǎn)。在NA08的內(nèi)部,且點(diǎn)P到射線0A和0B的距離相等.

例2如圖，0C是NAOB的平分線，點(diǎn)尸在。C上，PD10A,PEA.OB,垂足分別為E點(diǎn)F,G

分別在08上，DF=EG,連接尸尸，PG.求證PF=PG.

（四）鞏固練習(xí)

1.如圖，0P是匚M0N的平分線，已知尸C10.”于點(diǎn)C,且尸C=2,則點(diǎn)尸到ON的距離是（）

A.1B.2C.3D.4

2.三條公路將A8、C三個(gè)村莊連成一個(gè)如圖的三角形區(qū)域，如果在這個(gè)區(qū)域內(nèi)修建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng),

要使集貿(mào)市場(chǎng)到三條公路的距離相等，那么這個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建的位置是（）

A.三條高線的交點(diǎn)B.三條中線的交點(diǎn)

C.三條角平分線的交點(diǎn)D.三邊垂直平分線的交點(diǎn)

第2題圖

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡在第二象限內(nèi)作出點(diǎn)尸〃〃-1,2〃），則〃與〃的數(shù)量

關(guān)系是.

（十七）歸納總結(jié)

（十八）感受中考

1.（2025?內(nèi)蒙古）如圖，直線力AHCO,點(diǎn)￡廠分別在直線C。上，連接ER以點(diǎn)E為圓心，適當(dāng)

長(zhǎng)為半徑畫弧.交射線￡4f?點(diǎn)交七〃于點(diǎn)M再分別以點(diǎn)N為圓心，大廣；”N的長(zhǎng)為半徑畫?。▋苫?/p>

半徑相等），兩弧在口4E/的內(nèi)部相交于點(diǎn)H,畫射線于點(diǎn)G,若匚/E尸=80。，則［EG尸的度數(shù)為（）

A.100°B.80°C.50°D.40°

2.（2024?天津）如圖，Rt"5C中，匚C=90。,匚5=40。，以點(diǎn)4為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交AB千點(diǎn)、E,

交幺C于點(diǎn)F：再分別以點(diǎn)￡尸為圓心，大于;以?的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩?。ㄋ趫A的半徑相等）在匚"C的內(nèi)部

相交于點(diǎn)P;畫射線力尸，與8。相交于點(diǎn)。，則的大小為（）

A.600B.65°C.70口D.751

3.（2024?綿陽）如圖，在△ABC中，人8=5,八。平分NH4C交8c于點(diǎn)。，Q￡_LAC,垂足為七，△ABD

的面積為5,則?！甑拈L(zhǎng)為（）

A.1B.2C.3D.5

A

p

第1題圖第2題圖第3題圖

4.（2025?陜西）如圖，已知UZO8=50。，點(diǎn)C在邊。4上.請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在匚408的內(nèi)部求作一點(diǎn)P,

使得AOP=25U,且CPU。8.（保留作圖痕跡，不寫作法）

5.（2023?河南）如圖，EU8C中，點(diǎn)。在邊/C上，且4Z>/18.

（1）請(qǐng)用無刻度的直尺和圓規(guī)作出匚力的平分線（保留作圖痕跡，不寫作法）.

（2）若（1）中所作的角平分線與邊8c交于點(diǎn)E,連接OE.求證：DE=BE.

（七）小結(jié)梳理

相等的角）依據(jù):SSS/相等的能物

（八）布置作業(yè)

1.必做題：習(xí)題14.3第1,4,5題.

2.探究性作業(yè)：習(xí)題14.3第6,7題.

14.3角的平分線（第2課時(shí)）導(dǎo)學(xué)案

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.探索并證明角平分線性質(zhì)定理的逆定理，會(huì)用角平分線性質(zhì)定理的逆定理解決問題。

2.經(jīng)歷角平分線性質(zhì)定理的逆定理的探究過程，培養(yǎng)邏輯推理能力，體會(huì)逆向思維；在應(yīng)用逆定理解決

問題的過程中，體會(huì)轉(zhuǎn)化思想。

3.在探究和證明的過程中，發(fā)展直觀想象和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，提高有條理地思考和表達(dá)的能力；在解決實(shí)

際問題的過程中，增強(qiáng)數(shù)學(xué)建模意識(shí)和應(yīng)用意識(shí)。

學(xué)習(xí)重點(diǎn)：探索并證明角平分線性質(zhì)定理的逆定理。

學(xué)習(xí)難點(diǎn)：能熟練運(yùn)用角平分線性質(zhì)定理的逆定理解決問題。

二、學(xué)習(xí)過程

（一）復(fù)習(xí)引入

1.上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了基本尺規(guī)作圖：作一個(gè)角的平分線.你能說說作圖的步驟嗎？

2.角的平分線具有什么性質(zhì)呢？

3.反過