20252026學(xué)年河北省唐縣第一中學(xué)高二上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)4=l—i,22=2-i,則Z]/2對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是()

A.(3,-2)B.(-1,0)C.(1,-3)D.(3,-3)

2.已知向量值=(1,4),b=(2,3A-5),且(5-4)〃石,則實(shí)數(shù)7=()

A.-5B.-10C.5D.10

3.已知向量乙方滿足同=2,同=1,一同=2,貝必在E方向上的投影向量是()

6B

五

一C--

A.44D.2

4.有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形(如圖所示)，4ABC=45。,

AB=AD=1,0C_L8C,則這塊菜地的面積為()

10

+

C.2+苧D.2-2

一

5.一個(gè)社會調(diào)查機(jī)構(gòu)就某地居民的月收入調(diào)查了10000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)制作了樣本的頻率分布直方圖(

如下圖).為了分析居民的收入與年齡、學(xué)歷、職業(yè)等方面的關(guān)系，要從這10000人中再用分層隨機(jī)抽樣的

方法抽出100人做進(jìn)一步調(diào)查，則在[2500,3000)段應(yīng)抽出()

A.25人B.50人C.100人D.125人

6.一般輪船以18海里/時(shí)的速度沿北偏東40。的方向直線航行，在行駛到某處時(shí)，該輪船南偏東20。方向10

海里處有一燈塔，繼續(xù)行駛20分鐘后，輪船與燈塔的距離為()

A.17海里B.16海里C.15海里D.14海里

7.底面半徑為側(cè)面展開圖的扇形圓心角為胃的圓錐側(cè)面積為()

A.9nB.67rC.4/3nD.3/3n

8.如圖，在團(tuán)力BC中，點(diǎn)D,E滿足就=2前，石？=3瓦.若屁=》通+）/前（%/€/?），Mx+y=（）

A.——B.——C.—D.—

?04D乙

9.已知cos（*-a）cos@+a）=噂（0<a<今則sin2a等于

A.等B.?C.等D.?

5663

10.已知直三棱柱ABC-481G的底面為直角三角形，且兩直角邊長分別為1和2門，此三棱柱的高為

則該二棱柱的外接球的體積為

,87r167r_327r_64n

A.-B.-T-C.-r-D.—

O000

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

11.10件同類產(chǎn)品中，有8件是正品，2件是次品，從中任意抽出3件，與事件“1件正品2件次品”互斥而不

對立的事件為（）

A.恰有1件次品B.至多有1件次品C.至少有1件次品D.都是正品

12.已知點(diǎn)P是團(tuán)力BC的中線BD上一點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），且淳二與石+y而，則下列說法正確的是（）

A.x+2y=1B.xy的最大值為g

C./+y2的最小值為2D,+3的最小值是9

3xy

13.如圖，正方體4BCD—力iBiG%的棱長為1,則下列四個(gè)命題正確的是（）

A.直線8C與平面4BG2所成的角等于?

B.點(diǎn)C到平面ABQOi的距離為今

4

C.兩條異面直線。傳和BC1所成的角為:

D.二面角C-BG—。的平面角的余弦值為日

三、填空題：本題共2小題，每小題5分，共10分。

14.2020年，新型冠狀病毒引發(fā)的疫情牽動著億萬人的心，八方馳援戰(zhàn)疫情，眾志成城克時(shí)難，社會各界

支援湖北共抗新型冠狀病毒肺炎，重慶某醫(yī)院派出4名醫(yī)生，2名護(hù)士支援湖北，現(xiàn)從這6人中任選2人定點(diǎn)

支援湖北某醫(yī)院，則恰有1名醫(yī)生和1名護(hù)士被選中的概率為.

15.先把函數(shù)/(%)=sin%-cos%的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向右

平移/個(gè)單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)圖象的對稱軸.

四、解答題：本題共3小題，共36分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

16.(本小題12分)

牯藏節(jié)星苗族的傳統(tǒng)節(jié)日，西江苗寨為了豐富居民的根余?；?，舉辦了關(guān)于牯藏節(jié)的知識競寒，比賽共分

為兩輪.在第一輪比賽中，每一位選手均需要參加兩關(guān)比賽，若在兩關(guān)比賽均達(dá)標(biāo)，則進(jìn)入第二輪比賽.己

知在第一輪比賽中，選手小B第一關(guān)達(dá)標(biāo)的概率分別為:生第二關(guān)達(dá)標(biāo)的概率分別是小8在第

一輪的每關(guān)比賽中是否達(dá)標(biāo)互不影響.

(1)分別求出力、B進(jìn)入第二輪比賽的概率；

(2)若A、8兩人均參加第一輪比賽，求兩人中至少有一人進(jìn)入笫二輪比賽的概率.

17.(本小題12分)

已知向量五=(sinx,2cosx),b=(2V_3cosx,cosx),函數(shù)/(x)=a-b.

(1)求函數(shù)f(x)的周期T及對稱中心；

(2)將函數(shù)/(切的圖象向右平移著個(gè)單位長度，然后再向下平移1個(gè)單位長度，最后使圖象上所有點(diǎn)的縱坐

標(biāo)變?yōu)樵瓉淼霓樱瑱M坐標(biāo)不變，得到函數(shù)g(x)的圖象.當(dāng)％-烷］時(shí)，9。)-血+吳0恒成立，求實(shí)

數(shù)機(jī)的取值范圍.

18.(本小題12分)

記團(tuán)^48c的內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,已知b+c=a(cosC+OsinC),D為邊BC上一點(diǎn),BD=

2DC,AD=3.

⑴求4

(2)若AD平分NB4C,求a.

BC=BE+EC=—+1.

由此可還原原圖形如圖所示.在原圖形中，A'Dr=1,AB'=2,8（'=苧+1,

A1—

2_____

C'x

且』D'〃&C',

.?.這塊菜地的面積為S=1（ND'+夕L）?片夕="x（1+1+苧）x2=2+苧.

故選:C

5.【答案】A

【解析】【分析】根據(jù)頻率分布直方圖結(jié)合分層抽樣的定義求解即可

【詳解】10000人中在［2500,3000）段的有10000x0,0005x500=2500（人），利用分層隨機(jī)抽樣從10000

人中抽取100人做進(jìn)一步調(diào)查，

設(shè)在［2500,3000）段應(yīng)抽取x人，則樹黑=備，解得％=25.

JLUUUU

故選：A

6.【答案】D

【解析】【分析】先閱讀題意，再在4a4B中利用余弦定理求解即可.

【詳解】解：記輪船行駛到某處的位置為4燈塔的位置為8,20分鐘后輪船的位置為C,

如圖所示.則48=10,AC=6,LCAB=120%

所以SC?=102+62-2X10X6X=196,

所以BC=14,

即20分鐘后，輪船與燈塔的距離為14海里.

故選：D.

c

【點(diǎn)睛】本題考查了余弦定理，重點(diǎn)考查了解斜三角形，屬中檔題.

7.【答案】A

【解析】【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖求圓錐的母線長，進(jìn)而求側(cè)面積.

【詳解】因?yàn)閳A錐的底面半徑為r=C，則側(cè)而展開圖的弧長為2/In,

又因?yàn)閭?cè)面展開圖的圓心角為?，可得圓錐母線長1=空=30，

3T

所以圓錐的側(cè)面積S=irrZ=9K.

故選：A.

8.【答案】A

【解析】【分析】根據(jù)向量加減法的幾何表示和平面向量的基本定理可得.

【詳解】=+++

L52'z5Lb

故x=一：，y=Px+y=-1+7=

ZOZOa

故選：A

9.【答案】D

【解析】【分析】利用兩角和差的余弦公式以及二倍角公式得cos2a=苧，進(jìn)而得出答案.

【詳解】由兩角和差的余弦公式可得(苧cosa+/sina)住cosa-/sina)=今

所以：cos2a—|sin2a=?即cos2a—sin2a=W

由二倍角公式，得cos2a=?

乂因?yàn)閍為銳角

所以sin2a=V1-cos22a=?

故選。

【點(diǎn)睛】本題考查兩角和差的余弦公式與二倍角公式，屬于簡單題.

10.【答案】C

【解析】【分析】將直三棱柱4B。-4當(dāng)G補(bǔ)成為長方體，求得長方體的體對角線長，得到球的半徑，利

用球的體積公式，即可求解.

【詳解】由題意，將直三楂柱ABC-481G補(bǔ)成為長方體，如圖所示，

則該長方體的體對角線為J（24）2十（門了十M=4,

設(shè)長方體的外接球的半徑為R,則2R=4,R=2,

所以該長方體的外接球的體積V=*R3=猙,

故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了組合體的結(jié)構(gòu)特征，以及球的體積的計(jì)算，其中解答中把直三棱柱補(bǔ)成一個(gè)長方

體，求得球的半徑是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】AD

【解析】【分析】根據(jù)互斥事件和對立事件的概念逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】10件同類產(chǎn)品中，有8件是正品，2件是次品，從中任意抽出3件，

在力中，“恰有1件次品”與事件”1件正品2件次品”互斥而不對立的事件，故A正確；

在B中，“至多有1件次品”與事件“1件正品2件次品”是對立事件，故B錯(cuò)誤；

在C中，”至少有1件次品”與事件”1件正品2件次品”能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故C錯(cuò)誤；

在D中，“都是正品”與事件“1件正品2件次品”互斥不對立，故。正確.

故選：AD

12.【答案】ACD

【解析】【分析】由平面向量的基本定理及共線的推論得％+2），=1,再應(yīng)用基本不等式、二次函數(shù)性質(zhì)

判斷各項(xiàng)正誤.

【詳解】

B

因?yàn)槎?%而+、近，則而=x^+2y而，又B,P,0共線，所以無+2y=l,A正確;

由x,y>0,則1=2x+y22,2vy,貝l]xy工春，當(dāng)且僅當(dāng)x==：時(shí)取等號，4錯(cuò)誤；

由/+y2=(1-2y/+y2當(dāng)y=g時(shí)有最小值：，C正確:

因?yàn)?+/6+3（"+2丫）=5+§+A5+2^71=%

當(dāng)且僅當(dāng)§=年，即X=y="時(shí)，等號成立，。正確.

故選：ACD

13.【答案】ABD

【解析】【分析】根據(jù)線面角的定義及求法即可判斷4由點(diǎn)到平面的距離的求法即可判斷3；由異面直線

所成角的定義及求法即可判斷C：由平面角的定義及余弦定理即可判斷0.

【詳解】對于4如圖，取8G的中點(diǎn)H,連接

因48。。一4當(dāng)?！?為正方體，則CHlBCi，

因481平面BCGBi，CHu平面BCCiBi，則CH1AB,

又7IBnBG=B,AB,BCXu平面ABGDi，則CH1平面力BGQ,

所以4GBe是直線8C與平面/Bq5所成的角，顯然為:，故4正確；

對干氏由4分析，可得點(diǎn)C到平面48GA的距離為CH之長，為苧，故3正確；

對于C,因AB〃48i〃D]CiM8=48]=DiG，可得匹4BGD「故BQ〃也,

故異面直線D】C和BG所成的角為〃D〔C或其補(bǔ)角，

因?yàn)樘锪Α?為等邊三角形，故異的直線和BG所成的角為3故C錯(cuò)誤；

對于。，連接。H，因8。=DG，點(diǎn)，為8G的中點(diǎn)，則DH1.8G，

又CHJ.8G，所以4CHD為二面角C-8G—。的平面角，

在邊長為逅的等邊三角形團(tuán)DBG中，0”=4xJI=乎，

又CD=1,CH=4,

在@?！?。中，由余弦定理，cos乙CHD=嗎零霽T,故。正確.

Z/JnaCn3

故選：ABD.

14.【答案】4

JLO

【解析】【分析】利用組合數(shù)公式計(jì)算試驗(yàn)與事件所含的方法數(shù)，結(jié)合古典概率公式計(jì)算即得.

【詳解】因從這6人中仔詵2人，有鬃=15種方法，而恰有1名侯牛和1名護(hù)士被詵中的方法數(shù)為最X*=

8種，

故由古典概型概率公式，可得恰有1名醫(yī)生和1名護(hù)士被選中的概率為P=岑=今

cl15

故答案為：白.

XJ

15.【答案】x=?+2kmkez

4

【解析】【分析】利用輔助角公式化筒整理函數(shù)r(X),然后根據(jù)函數(shù)的變換得到函數(shù)g(x),令=

5+km求得函數(shù)g(x)的對稱軸.

【詳解】由題意可得：/(x)=sinx-cosx=V^sin(^_^)?

函數(shù)/'(%)=sinx-cosx的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，

縱坐標(biāo)不變可得函數(shù)y=^sinQx一9的圖象，

函數(shù)y=/2sinQx-J的圖象向右平移濘單位長度可得函數(shù)y=/2sin[|(x-一耶勺圖象，

所以g(x)=/2sin[|(%-?)-；]=口皿(齊-胡，

令賢一部二,+/nr,keZ,解得：x==+2kmkeZ,

2824

故答案為：x=V+2/CTT,kez

4

16.【答案】解：⑴由選手4B第一關(guān)達(dá)標(biāo)的概率分別為:,；第二關(guān)達(dá)標(biāo)的概率分別是弓，I

記'/、B進(jìn)入第二輪比賽”分別為事件如和事件同2，

則P(M1)=?X,=［,P(M)=|X1=1.

3OOO2O

所以48進(jìn)入第二輪比賽的概率分別為W和之

(2)記“兩人中至少有一人進(jìn)入第二輪比賽”為事件M3,

所以兩人中至少有一人進(jìn)入第二輪比賽的概率為關(guān).

【解析】(1)根據(jù)相互獨(dú)立事件的乘法公式可求出結(jié)果；

(2)根據(jù)對立事件的概率公式可求出結(jié)果.

17.［答案】解：(1)/(%)=2V-3sinxcosx+2cos2x=V_3sin2x+cos2x+1=2(苧sin2x+|cos2x^+1

=2sin(2x+§+1.

所以T=TT,

令2x+3=kTT(k￡Z),XkEZ).

O4A乙=等—覆

所以對稱中心為(號—工,1)(k6Z)；

(2)由(1)知,/(x)=2sin(2%+^)+1,

由題意，g(%)=；［f(x—已)-1］=