2024?2025學年廣東省廣州中學九年級（上）期中數(shù)學試卷

一、選擇題（共10小題，每小題3分，每小題只有一個選項符合題目要求，共計30

分.）

1.拋物線〉'二f+1的頂點坐標是（）

A.（―1,0）B.（0,-1）C.(0,1)D.(1,0)

2.圍棋起源于中國，古代稱之為“弈”，至今已有4000多年的歷史.一棋譜中四部分的截圖由黑

白棋子擺成的圖案是中心對稱的是（）

3.。。的半徑為5,圓心O到直線I的距離為3,則直線1與0O的位置關(guān)系是（）

A.相交B.相切C.相離D.無法確定

4.用配方法解一元二次方程f一6.1+8=0,配方后得到的方程是（）

A.（X+6）2=28B.（X-61=28C.（x+3）2=lD.（x-3）2=l

5.若將拋物線產(chǎn)x2向右平移2個單位，再向上平移3個單位，則所得拋物線的表達式為（）

A.y=（x+2）2+3B.y=（x-2）2+3C.y=（x+2『-3D.

y=(x-2)2-3

6.如圖，A、。是。。上的兩個點，8c是直徑，若ND=32。,則NQ4c等于（）

B.58°C.68。D.55°

7.如圖，在VA3c中，ZABC=48°,將VA8C繞點4按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到,若8點

的對應(yīng)點夕恰好落在邊上，則NC4C的度數(shù)是（）

c

A.24°B.54°C.72°D.84°

8.如圖,有一張長12cm,寬9cm的矩形紙片，在它的四個角各剪去一個同樣大小的小正方形，然

后折疊成一個無蓋的長方體紙盒.若紙盒的底面（圖中陰影部分）面積是70cm2,求剪去的小正方

形的邊長.設(shè)剪去的小正方形的邊長是xcm,根據(jù)題意，可列方程為（）

B.12x9-4/=70

C.(12-x)(9-x)=70D.(12-2x)(9-2x)=70

9.若二次函數(shù)y=a^+云+c（a＜0）的圖象經(jīng)過A（—10,y）,6（2,%），C（T為），。（一5,必）四

點，則y,%，力的大小關(guān)系正確的是（）

A.氏為＜）’3＜/C.必＜必＜yD.為＜）'|＜必

10.如圖，在VA8C中，Z^AC=120°,A3+AC=6,將BC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)120。得到CO,

則線段AO長的最小值是（）

A.4GB.3GC.2&D.6

二、填空題（共6小題，每小題3分，共計18分.）

11.點4（Y,5）關(guān)于原點成中心對稱的點的坐標為.

12.已知一元二次方程5x—7=0的兩根為王，々，則玉+/=.

13.如圖，在AABC中，為0。直徑，ZB=50°,NC=60。，則/BQD=

D___A

中

14.二次函數(shù)y=x2-3x+k的圖象與x軸有兩個交點,則實數(shù)k的取值范圍是_____.

15.在RtZXABC中，ZABC=90%AB=BC=20，將VA3C繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60。，得到

△MNC,連接BM,則BM的長是__________.

M

三

BA

16.如圖，已知二次函數(shù)丁=-父+4%+5的圖象與x軸交于/4,8兩點，與丁軸交于點C0點為

該圖象在第一象限內(nèi)的一點，過點P作直線的平行線，交x軸于點M.若點尸從點C出發(fā)，沿

著拋物線運動到點B,則點M經(jīng)過的路程為___________________.

A/O\

二、解音題(共9小題，共計72分，解答要求寫出文字說明,證明過程或計算步驟.)

2

17.解一元二次方程：X-8X-9=0.

18.如圖，點。為N84C的隹平分線上一點，OgAB于D,以。為圓心.0。為半徑傳0。,

求證：4c與。。相切.

（2）若/B4C=a.試用含。的代數(shù)式表示N/，并說明理由.

24.已知直線丁="+2經(jīng)過點（1,3）,與拋物線＞=/+反的對稱軸交于點卜

（1）求3人的值；

（2）拋物線》=丁+以+（:與x軸交于（4。）,優(yōu),0）且3工巧一玉＜11,若〃=x；-4工；，求p取

值范圍；

（3）當一2令vl時，拋物線）=/+法+。與直線丁=依+2有且只有一個公共點，直接寫出c的

取值范圍.

25.如圖，在矩形ABC力中，點石、/分別是邊BC、CO上的點，連接AE、A尸、EF,AAEF

是等邊三角形，記△ABE的面積為ACEF的面積為S2,z^ADF的面積為S,.

圖1圖2備用圖

(1)如圖1,已知AE=1,當A3=8C時,

①求B+53的值;

S.

②求，值；

（2）如圖2,已知號=126，S2+53=23X/3,且DF=5試求AB和3c的長.拿到題目

后，小彬、姚聽聯(lián).同學和數(shù)學老師展開了討論，他們的對話如下：

小彬：這道題目肯定要用到旋轉(zhuǎn)，得到全等，再設(shè)參、推導、計算化簡等；

昕聰：這道題目的條件有些多余，比如。尸二行就可以不要

老師：你們兩位同學說的都正確.

請你按照昕聰?shù)恼f法進行分析、解答，試求A8和3c的長.

2024?2025學年廣東省廣州中學九年級（上）期中數(shù)學試卷

一、選擇題（共10小題，每小題3分，每小題只有一個選項符合題目要求，共計30

分.）

I.拋物線/+1的頂點坐標是（）

A.（-1,0）B.（0,-1）C.（0,1）D.（1,0）

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握形如），=0?+攵的頂點坐標為（0次）是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：拋物線），=/+|的頂點坐標是（0」），

故選C.

2.圍棋起源于中國，古代稱之為“弈”，至今已有4000多年的歷史.?棋譜中四部分的我圖由黑

白棋子擺成的圖案是中心對稱的是（）

【答案】A

【解析】

【分析】此題主要考查了中心對稱圖形定義，關(guān)鍵是找出對稱中心.把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180

度，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，根據(jù)中心對稱

圖形的概念求解.

【詳解】解：選項A能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180度后與原來的圖形重合，所以

是中心對稱圖形；

選項B、C、D不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180度后與原來的圖形單合，所以小是

中心對稱圖形；

故選：A.

3.。。的半徑為5,圓心O到直線1的距離為3,則直線1與0O的位置關(guān)系是（）

A.相交B.相切C.相離D.無法確定

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系可知，圓的半徑大于直線到圓距離，則直線/與。的位置關(guān)系是

相交.

【詳解】???。。的半徑為5,圓心。到直線的距離為3,???直線/與00的位置關(guān)系是相交.

故選A.

【點睛】本題考查了直線和圓的位置關(guān)系，直接根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系解答即可.

4.用配方法解一元二次方程上一6工十8=0,配方后得到的方程是()

A.(x+6『=28B.(X-6)2=28C.(X+3)2=1D.(X-3)2=1

【答案】D

【解析】

【分析】方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方即(9)計算即可.

【詳解】???12一6尢+8=0，

??x2—6x+8+1(±

12)

???f-6x+(-3『=9-8,

.\(X-3)2=1,

故選D.

【點睛】本題考查了配方法，熟練掌握配方法的基本步驟是解題的關(guān)鍵.

5.若將拋物線尸N向右平移2個單位，再向上平移3個單位，則所得拋物線的表達式為()

A.y=(x+2『+3B.)1=(式-2)"+3C.y=(x+2『-3D.

y=(x-2)2-3

【答案】B

【解析】

【分析】先確定拋物線產(chǎn)N的頂點坐標為(0,0),把點(0,0)向右平移2個單位，再向上平移3個

單位后得到的點的坐標為(2,3),然后根據(jù)頂點式寫出平移后拋物線的解析式.

【詳解】???函數(shù)產(chǎn)/的圖象的頂點坐標為(0,0),將函數(shù)產(chǎn)/的圖象向右平移2個單位，再向上平

移3個單位,

二平移后，新圖象的頂點坐標是(0+2,0+3)n(2,3).

???所得拋物線的表達式為y=(x—2)2+3.

故選B.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故。不變，所以求

平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方法：?是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標，利用待

定系數(shù)法求出解析式：二是只考慮平移后的頂點坐標，即可求出解析式.

6.如圖，A、。是0O上的兩個點，是直徑，若ND=32。，則NOAC等于()

A

【答案】B

【解析】

【分析】先根據(jù)圓周角定理求出及NB4C的度數(shù)，再由等腰三角形的性質(zhì)求出/OAB的度

數(shù)，進而可得出結(jié)論.

【詳解】解：???NO=32。，

???4=ND=32。，

???AC是直徑，

???/胡。=90。，

,：OA=OB,

???ZBAO=ZB=32°,

???ZOAC=ABAC-NBAO=90°-32°=58°.

故選：B.

【點睛】本題主要考查了圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

7.如圖，在VA8C中，ZABC=48°,將V4BC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到,若8點

的對應(yīng)點夕恰好落在8c邊上，則NC4C的度數(shù)是()

c

A.24°B.54°C.72°D.84°

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)；根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：Z.BAB'=ZCAC,

AB=AB^從而利用等腰三角形的性質(zhì)可得NA4C=N/WB=48。，然后利用三角形內(nèi)角和定理可

得？BA麻84?,即可解答.

【詳解】由旋轉(zhuǎn)得：NBAB，=NCAC',AB=AB^

???ZABC=ZABZB=48°,

???ZBABZ=180°-ZB-=84°,

/.NC4C'=N8A8'=84。，

故選：D.

8.如圖，有一張氏12cm,寬9cm的矩形紙片，在它的四個角各剪去一個同樣大小的小正方形，然

后折疊成一個無蓋的長方體紙盒.若紙盒的底面（圖中陰影部分）面積是70cm2,求剪去的小正方

形的邊長.設(shè)剪去的小正方形為邊長是xcm,根據(jù)題意，可列方程為（）

A.12x9-4x9x=70B.12x9—4/=70

C.（12-x）（9-x）=70D.（12—2處（9-2幻=70

【答案】D

【解析】

【分析1設(shè)剪去的小正方形的邊長是xcm,則紙盒底面的長為（12-2x）cm,寬為（9-2x）cm,根

據(jù)紙盒的底面（圖中陰影部分）面積是70cmL得出關(guān)于x的一元二次方程，從而得到答案.

【詳解】解：設(shè)剪去的小正方形的邊長是』cm,則紙盒底面的長為(12—2x)cm,寬為(9—2x)cm,

?.?紙盒的底面(圖中陰影部分)面積是70cm工

(12-2x)(9-2x)=70,

故選：D.

【點睛】本題考查一元二次方程解實際問題，讀懂題意，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是

解題的關(guān)鍵.

9.若二次函數(shù)>=加+瓜+c(a<0)的圖象經(jīng)過A(-10，x),B(2,%)，C(-l,y3),。(-5,為)四

點,則必，%，％的大小關(guān)系正確的是()

A.))<%<%B.丁2<)’3<)’1C.為<%<)'|D.為<)1<%

【答案】A

【解析】

【分析】先根據(jù)二次函數(shù))，=依2+法+或。<0)的圖象經(jīng)過C(T,為)，。(一5,為)求出對稱軸，再

根據(jù)函數(shù)圖象判斷即可.

【詳解】解：???二次函數(shù))，=/+云+c(a<0)的圖象經(jīng)過GT%),。(一5,%),

???二次函數(shù)對稱軸為直線x--=-3,

2

。<0,

拋物線開口向下，

v|-3-(-10)|>|2-(-3)|>|-3-(-1)|,

二%，乃，%的大小關(guān)系為可〈當〈X，

故選：A.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像和性質(zhì).能夠找出對稱地是解題的關(guān)鍵.

10.如圖，在V4AC中，ZfiAC=120°,AB+AC=6,將8c繞點。順時針旋轉(zhuǎn)120。得到CQ,

則線段4。的長的最小值是()

C.2x/3D.75

【答案】R

【解析】

【分析】在AC的上方作NACW=120。，且使CW=C4,連接AM,。例.設(shè)=則

A。=6—x=CM,根SAS證明△8AC空△OMC得出。M=3A=x,ZCMD=ABAC=120°,

得出/AMD=90。，即可推出結(jié)論.

【詳解】解：如圖，在AC的上方作NACW=120。，且使CM=C4,連接AM，DM.過點C

作4M的垂線，〃為垂足.

QZACM=120°,AC=CM,CF_LAM,

...ZAMC=(180°-120°)4-2=30°,AM=2MF,

設(shè)=則AC=6—x=CM,

:.CF=-CM,

2

MF=yJCM2-CF2=^CM2=^CM，

AM=2MF=6cM=73(6-x),

V將BC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)120。得到CD,

/.ZBC4+ZACD=120°,BC=CD,

又???ZACD+3cM=ZACM=120。,

ZAC8=NDCM,

在^胡。和△DWC中，

BC=CD

?NAC8=NDCM,

CM=CA

；,ABAC%DMC（SAS）,

ADM=BA=x,ZCMD=ZBAC=120°.

???ZAMD=90°,

???AD2=AM2+DM2=3（6-x）2+x2=4（x—?+27227,

???0<x<6,

???A。的最小值為3百.

故選：B.

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，二次函數(shù)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三

角形的性質(zhì)等知識點，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

二、填空題（共6小題，每小題3分，共計18分.）

11.點A（T,5）關(guān)于原點成中心對稱的點的坐標為.

【答案】（4,一5）

【解析】

【分析】本題考查了關(guān)于原點對稱的點的坐標.根據(jù)“關(guān)于原點對稱的點，橫坐標與縱坐標都互為

相反數(shù)”解答.

【詳解】解：點A（-4,5）關(guān)于原點成中心對稱的點的坐標為（4,—5）.

故答案為：（4,-5）.

12.已知一元二次方程/一53一7=0的兩根為凡,々，則用+々=.

【答案】5

【解析】

【分析】本題考查了根與系數(shù)關(guān)系：若用,々是一元二次方程加+匕4+。=0（。工0）的兩根，則

bc

N+Z=--，x/,二一?直接根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解即可.

a-a

【詳解】解：???一元二次方程d—5x—7=0的兩根為不為

:.xA+x2=5t

故答案為：5.

13.如圖，在△ABC中，A8為。。直徑，ZB=50°,ZC=60°,則N8QD=

D___A

◎

【答案】140

【解析】

【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理以及圓周角定理的應(yīng)用；先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得

乙4=70。，進而根據(jù)圓周角定理即可求解.

【詳解】解：???/3=50。，ZC=60°,

/.ZA=180°-ZABC-ZC=70°,

/.ZBOD=2ZA=140°.

故答案為：140.

14.二次函數(shù)y=x2-3x+k的圖象與x軸有兩個交點，則實數(shù)k的取值范圍是___.

9

【答案】k<-

4

【解析】

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義和判別式的意義得到△=（-3）MxlxkX）,然后求出不等式的解集即

可.

【詳解】根據(jù)題意得△:（-3）2-4xlxk>0,

9

所以k<一.

4

9

故答案為kV-.

4

【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點：對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a,b,c是常數(shù)，

a#0）,△=b?-4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù)：△=b2-4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點；

△=b2-4ac=0^,拋物線與x軸有I個交點；△=b2-4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點.

15.在RtZ\43C中，ZABC=90%AB=BC=2五,將VA3c繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60。，得到

&MNC,連接3M,則8W的長是.

M

【答案】2+26

【解析】

【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、垂直平分線的判定與性質(zhì)、勾股

定理等知識，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵.設(shè)3M與AC交于點/),連接40,首先利用勾股定理

解得AC的值，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AACM為等邊三角形，易得4W=CM=4,ZAMC=60°,

進而可知為AC的垂宜平分線，然后求得8。，0M的值，即可獲得答案.

【詳解】解：設(shè)與AC交于點。，連接AM,如圖，

,AC=VAB2+BC2=4-

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，CM=AC=4,ZACM=60°,

???AACM為等邊三角形，

：,AM=CM=4,NAMC=60°,

??,AB=BC,

???AM為4c的垂直平分線，

：,CD=AD=^AC=2tACA.BM,

???BD平分/ABC,MO平分NAMC,

AZCBD=-ZABC=45°,^CMD=-ZANC=30°,

22

：?BD=CD=2,由勾股定理得DW=JcM2—cr>2=26，

[BM=BD+DM=2+26.

故答案為：2+26.

16.如圖，已知二次函數(shù)），=-/+4工+5的圖象與x軸交于A,B兩點,與），軸交于點C。點為

該圖象在第一象限內(nèi)的一點，過點P作直線4c的平行線，交x釉于點若點夕從點C出發(fā)，沿

著拋物線運動到點從則點例經(jīng)過的路程為.

【答案】—

2

【解析】

【分析】本題考查拋物線與x釉的交點、求一次函數(shù)自變量值，二次函數(shù)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)

解析式，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想解答.根據(jù)題意，可

以先求出點A、B、。的坐標，從而可以得到直線3C的解析式，再根據(jù)點P在拋物

線上，可以寫出點P的坐標和對應(yīng)的直線PM的解析式，再根據(jù)題意，可以得到點M橫坐標的最

大值，從而可以得到點M經(jīng)過的路程.

【詳解】解：???二次函數(shù)解析式為yn—f+dx+Sn-a—SXx+l）,

??.當y=o時，內(nèi)=-1,々=5,當x=0時，y=5,

???點A的坐標為（一1,0）,點8的坐標為（5,0）,點C的坐標為（0,5）,

,,。二5

設(shè)直線3c的函數(shù)解析式為），二區(qū)+b,則J,,八

5k+b=0

k=-\

解得匕U，

b=5

???直線3C的函數(shù)解析式為y=一工+5,

設(shè)點尸的坐標為（利,-m2+47%+5）,

PM〃BC,點/）在拋物線上且在第一象限,

???可設(shè)直線PM的解析式為y=-/+c,

-trr+4〃z+5=-m+c，

解得c=-m2+5m+5，

，直線PM的解析式為y=-x-m2+5m+5,

當直線PM與二次函數(shù))，=一12+4工+5只有一個交點時，

???方程一不一加2+5〃2+5=一/+4(+5有兩個相等的實數(shù)根，

，方程儲—5x—機*+5〃?=0有兩個相等的實數(shù)根，

AA=(-5)2-4(-/n2+5/n)=0,

解得m二*,

2

4545

此時直.線PM的解析式為y=-XH,當y=0時，x=—,

44

45

???點M橫坐標最大值是下，

4

(45、?5

工點M經(jīng)過的路程為：-5x2=—,

95

故答案為：三.

2

二、解音題(共9小題，共計72分，解答要求寫出文字說明，證明過程或計算步驟.)

17.解一元二次方程：X2-8X-9=0.

【答案】陽=9,x2=-l.

【解析】

【分析】本題主要考查解一元二次方程能力,熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開

平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵.利

用分解因式法，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可.

2

【詳解】解：X-8X-9=0?

(x-9)(x+l)=0

；?x-9=0或x+l=O,

玉=9,.v2=-1.

18.如圖，點。為/B4C的隹平分線上一點，OD^AB于D,以。為圓心.。。為半徑作0。，

求證：AC與。。相切.

【答案】見解析

【解析】

【分析】本題考查切線的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，過點。作QE_LAC于E，則有

ZBAO=ZCAO和ZODA=ZOEA,即可證明△84四△?！?，有OD=QE,則點E在0。上，

即可證明.

【詳解】證明：過點。作。石_LAC于￡,如圖，

C

???4。平分/E4C,

??.ZBAO=ZCAO,

又??OD_LAB,OE±AC,

/ODA=/OEA=90°,

在△04。與△QAE1中，

ZBAO=ZCAO

-ZODA=ZOEA,

OA=OA

?.△OZM絳OEA(AAS),

OD=OE,

???點E在。。上，

又「OE_LAC,

「?AC與。O相切.

19.如圖，在Rt^ABC中，NB4C=90。，ZACB=30°,將VA3c繞點人逆時針旋轉(zhuǎn)，得到

△AB'C,點B的對應(yīng)點夕恰好落在線段BC上，求證：AB〃B'C.

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，內(nèi)錯角相等，兩直線平行，等邊三角形的性質(zhì)與判定，根據(jù)題意,

證明ZABfC=ZBAR=60°即可.

【詳解】證明：在RtZ^48C1中，???NB4C=90。，ZACB=30°,

???28=600.

??,VA3c繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到△AB'C

,ZAB'C=ZB=60°,AB=AB,

.?.△A6"是等邊三角形，

.?.NE4B'=60。，

：.ZAB,C=ZBAB,=60°.

20.拋物線y=4+如+。與4軸的公共點是(-1,0),(3,0).

(1)求這條拋物線的解析式；

(2)當yKO時，自變量x的取值范圍為.

【答案】(I)拋物線的解析式為y二一一型―3；

(2)-l<x<3.

【解析】

【分析】本題考杳了二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，熟練掌握待定系數(shù)法

求函數(shù)解析式，學會根據(jù)圖象法解不等式是解題的關(guān)鍵.

（1）代入（一1,0）,（3,0）到），=/+爾+〃，解出〃？、〃的值即可;

（2）先說明拋物線的圖象開口向上，結(jié)合與x軸的兩個交點坐標，根據(jù)圖象即可解答.

【小問1詳解】

1一6+〃=0

解：代入（一1,0）,（3,0）,得<

9+3m+7?=0

m=-2

解得：

n=-3

拋物線的解析式為-2r-3.

【小問2詳解】

vl>0,

???拋物線一級一3的圖象開口向上，

又（-1,0）,（3,0）是尸/一1￥_3與1軸的公共點,

「?由圖象得，當）T0時，x的取值范圍為一lKx?3.

故答案為：一1?工43.

21.如圖，CO是。0的直徑，是。。的弦，ABLCD,垂足為M,E為弧A力上一點，且

弧AE=MAC,連接EC交AB于點/，連接AC.

（1）求證：ZBAC=ZECAx

（2）若QM=3,。。=5,求A8的長.

【答案】（1）見解析；

（2）8.

【解析】

【分析】（1）由垂徑定理可得AC=8C，由此可得8C=AE，根據(jù)同孤或等弧對的圓周角相等可

得NBAC=NEC4；

(2)連接04,由勾股定理可得AM=4,再利用垂徑定理即可得解.

本題主要考杳了圓的相關(guān)性質(zhì)，垂徑定理，同弧或等弧對的圓周角相等以及勾股定理，熟練掌握圓

的相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【小問1詳解】

證明：???CO是00的直徑，A3是00的弦，AB1CD,

:.AC=BC^

又?.?4E=AC，

BC=AC

BC=AE>

???NBAC=NECA.

【小問2詳解】

解：連接。4,

/.OA=OC=5，

又?.?A8JLCD,OM=3,

/.AM=y/o^-OM2=4，

???CO是。。的直徑，AB是。。的弦，AB1CD,

???AB=2AM=S.

22.己知關(guān)于x的一元二次方程/一41一5加2=0.

(1)求證：方程總有兩個不相等的實數(shù)根；

(2)若方程的兩個實數(shù)根分別為小1且。+4/=一2,求〃?的值.

【答案】(1)見解析；

(2)±-715.

5

【解析】

【分析】本題考查了根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握根的判別式以及根與系數(shù)

的關(guān)系.

(I)根據(jù)根的判別式△=_4〃c,即可判斷：

(2)利用根與系數(shù)關(guān)系求出。+尸=4,由。+44二-2即可解出。，夕，再根據(jù)夕二一5〃/，

即可得到加的值.

【小問1詳解】

解：:關(guān)于x的一元二次方程4x—562=0.

???A=6-44=(-4)2-4x1?(-5/n2)=16+20”,

???20冷0，

A16+20W2>16>0,

該方程總有兩個不相等的實數(shù)根；

【小問2詳解】

,??方程的兩個實數(shù)根。，0，

由根與系數(shù)關(guān)系可知，a+4=4,a-。=-5后,

?Ja+4/?=—2,

：.a=-2-4/3,

???一2—4/+/=4,

解得：fl=-2,a=6,

2

A-5/n=-2x6=-12,即加=±彳嫗.

23.如圖，VA3c中，AB=AC,是由VA3c繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到的，連接的、

。產(chǎn)相交于點。.

F

A.

BC

(1)求證：BE=CF；

(2)若N8AC=。.試用含。的代數(shù)式表示N3。/，并說明理由.

【答案】(1)證明見解析

(2)ZBDF=180°-a,理由見解析

【解析】

【分析1本題主要考查了旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握

三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得/8A￡=NC4b,再證明和AAb全等即可得證；

(2)由VABE■絲VAb得NA8E=NAb,另由N1=N2，N8AC=a即可求得N3OC的度

數(shù)，從而利用鄰補角即可得解.

【小問1詳解】

證明：［ZXAEF是由VA3C繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到的，

AZBAC=ZEAF,AB=AE^AC=AF,

???NBAC+ZCAE=ZEAF+ZC4E,即/BAE=ZCAF,

'：AB=AE.AC=AF,

??.△ABE%ACF(SAS),

:?BE=CF.

【小問2詳解】

解：ZBDF=\SO0-a.理由：如圖，

???由（1）知：VABE^VACF,

???ZABE=ZACF,

VZ1=Z2.ZBAC=a,ZABE+ZBAC=ZACF+Z2+ZBDC=180°,

???4BDC=/BAC=a,

???NBDF=180°-NBDC=180°-?.

24.已知直線》=辰+2經(jīng)過點（1,3）,與拋物線），+法+。的對稱軸交于點

（I）求左,〃的值：

（2）拋物線y=『+/〃+c與*軸交?。ㄖ?。）,（占,0）且<11,若〃一入；一4月，求〃的

取值范圍；

（3）當—2<xvl時，拋物線）=1+辰+C與直線）="+2有且只有一個公共點，直接寫出C的

取值范圍.

【答案】（1）k=l,匕=1：

192

⑵--—</?<0；

（3）-2<c〈l或c=2，

【解析】

【分析】（1）將（1,3）和分別代入直線表達式中可求得攵和〃值，再根據(jù)拋物線的對稱軸公式

求解/2值即可；

（2）拋物線的對稱軸為直線/=-；和3一%v11得出W=-1一%及一6<%（一2,則

）（4丫4

22

p=x1-4x^=x1-4（-l-x1）-=-3X.+-+-，根據(jù)二次函數(shù)的最值方法求解即可；

\3）3

（3）聯(lián)立方程組可得f=2-c，對。討論，結(jié)合方程根取直范圍進行求解即可.

【小問1詳解】

解：把（1,3）代入），二履+2得：A:4-2=3,則&=1,

Ay=x+2

:點小白］在直線>=x+2上,

\乙）

??,拋物線的對稱軸X-..—...

22

.*./?=1；

【小問2詳解】

解：由（1）知/?=1,則），=.d+x+c,

???拋物線），=f+x+c?與X軸交點的橫坐標為4，%且々一%23，

I

,?工2>―/>玉

二“卜（HT"

即%=—1.

/.x2=-l-x,.

,（4丫4

???。=#-4七=#-4（-1-室）=-3x]+-+-

\'）J

V3<Xj-Xj<11,

?，?3<（—1—%）—不<11

，—6<玉W—2

4

V-3<0且對稱軸為直線x=--

.?.當一6〈芭V-2時，〃隨為的增大而增大，

（4V4（4A2419?

???當王=-2時，p=_3x—2+=+:=0,當凡=-6時，/?=-3x-6+-?

【小問3詳解】

解：由（1）知，直線的表達式為y=x+2,拋物線表達式為），=Y+x+c,

聯(lián)立方程組,，一，：2得：￡=2一。，

y=x+x+c

當c〉2時，該方程無解，不滿足題意；-2<rvl

當c=2時，方程的解為x=0滿足題意;

當c<2時，方程的解為x=±j2—c,

當1<>j2-c<2即一2<cK1時，滿足當-2<v<l時，拋物線y=x2+bx+c與直線y=Ax+2有

且只有一個公共點，

綜上，滿足題意的c的取值范闈為—2vcWl或c=2.

【點睛】本題考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)表達式、二次函數(shù)的圖象與

性質(zhì)、求二次函數(shù)的最值問題、兩個函數(shù)圖象的交點問題、解一元二次方程、解一元一次不等式組

等知識，解答的關(guān)鍵是認真分析題意，找尋知識之間的關(guān)聯(lián)點，利用待定系數(shù)法、分類討論和數(shù)形

結(jié)合思想進行推理、探究和計算.

25.如圖，在矩形4BCD中，點E、尸分別是邊BC、C。上的點，連接AE、AF,EF，AAEF

是等邊三角形，記△ABE的面積為的面積為S?，△4。〃的面積為邑.

圖1圖2備用圖

（1）如圖1,已知A￡=l,當A3=8。時，

①求W+Ss的值；

S.

②求U的值；

（2）如圖2,已知S=12百，S2+S3=23>/3,且DF=5試求A4和3c的長.拿到題目

后，小彬、姚昕聯(lián).同學和數(shù)學老師展開了討論，他們的對話如下：

小彬：這道題目肯定要用到旋轉(zhuǎn)，得到全等，冉設(shè)參、推導、計算化局等；

昕聰：這道題目的條件有些多余，比如。/二也就可以不要

老師：你們兩位同學說的都正確.

請你按照昕聰?shù)恼f法進行分析、解答，試求A3和的長.

【答案】（1）①!；②;.

42

<2）43=6百，BC=\\

【解析】

【分析】（1）①延長到點歷，使得BM=BE，連接AW，過點E作硒J.AM于N,證四

邊形A5CO是正方形，得AB=AO=C￡>=8C,2A3C=NO=NC=—BA3=90。，由

△A斯是等邊三角形，得4石=4b=所=1,iiE^ABE^ADF（HL）,得BE=DF,

ZDAF=ABAE，進而得，利用30度直角三角形的性質(zhì)得EN=^AE=；,從而求得S；E=1，

又證AABMgAADF，得S”.=SHDF，即可得解；②由勾股定理得CE=C尸二變，進而S,=」，

2'4

證,得SJBM=SJBE=$,進而得$=：,即可得解；

O

（2）作EN1AE交AF的延長線于點N,過點N作NMLCD于點M，M/J.BC的延長線于

點〃，根據(jù)矩形的判定和性質(zhì)，則MN=HC,MC=NH,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形

EHNHEN

的判定和性質(zhì)，則AABES^EHN,——=——=——，根據(jù)30度直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，

ABBEAE

求出硒=GAE，得到相似比；設(shè)A8=a,BE=b,根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)，得

△AOb畛△NMr（AAS）,根據(jù)邊的數(shù)量關(guān)系，得BH=b+?,AD=BC=^a+b，

MC=NH=?，CD=AB=a,DM=a-?,DF=FM="?,CF="同,

22

BC=Ca+b,EC=扃一b,根據(jù)題意，則

22

1\[3a-b

—x------------x嚕?4普空=23艮梟…）

22

S=-BExAB=-ah=\2yl3,根據(jù)因式分解,構(gòu)造（2〃一3四）（9〃+2島）=（）,根據(jù)〃〉0,

l22

b>0,則2。一3&=0，9。+26>0，求出。，b,即可求出AB和8C.

【小問1詳解】

解：①延長到點M，使得BM=3E，連接AM,過點E作EN_LAW于N,

???四邊形43co是矩形，AB=BC，

???四邊形48co是正方形，

??.AB=AD=CD=BC,NABC=ND=ZC=/胡。=90。，

???跖是等邊三角形，

：,AE=AF=EF=\f

隹Rt^ABE和RtdADF中，

AB=AD

AE=AF'

:?AABE&ADF(HL),

:?BE=DF,ZDAF=ZBAE，

??,ZABC=90°

???AB-LME^

???BM=BE，

AE=AM=AF=1,

???NBAM=NBAE=NDAF，

VZBAD=