3.1.1一元一次方程

1.了解方程和等式的概念；理解方程的解和解方程的意義，并會檢驗方程的解

2.了解一元一次方程的概念：掌握等式的性質(zhì)，并能利用性質(zhì)探究一元一次方程的解法

3,通過對實際問題中數(shù)量關(guān)系的分析，體會方程是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的有效模型，逐步

形成數(shù)學的應(yīng)用意識

硼.如世棒<8

知識點一方程的概念

含有未知數(shù)的等式叫做方程.

方程必須同時具備兩個條件：(1)是等式；(2)含有未知數(shù).

里卜劃重點

(1)方程中的未知數(shù)可以卻，也可以更互享母，還可以含有多個未知數(shù)：例加7

2

3/+-=5,3(2/w+l)=2(/??-1),x-y=0都是方程

3

(2)如果等式(。-1)工一2=4。中x是未知數(shù)，〃是已知數(shù)，那么我們把這個方程叫做關(guān)

于x的方程，例如：若y是未知數(shù)，〃7是已知數(shù)，則士3一1=：+1就是關(guān)于y的方程

23

即學即練判斷下列各式是不是方程，不是方程的說明理由.

(1)4x5=3x7-1；

⑵2x+5y=3；

(3)9-4x>0：

(4)x+5；

(5)x-10=3；

(6)5+6=11.

知識點二一元一次方程的概念

1.次方程的概念

方程中只含有一個未知數(shù)（元），未知數(shù)的次數(shù)都是1,等號兩邊都是整式，這樣的

方程叫做一元一次方程，如2x+l=5,3工一5=7等.

2.一元一次方程具有如下特點：

（1）只含有一個未知數(shù)

（2）所含未知數(shù)的項的最高次數(shù)為1

⑶含未知數(shù)的項的系數(shù)不為0

（4）一元一次方程是由整式組成的，即一元一次方程中分母不含未知數(shù)

3.一元一次方程的標準形式

任何一個一元一次方程變形后總可以化為ar+b=O的形式其中工是未知數(shù)，a,b

是已知數(shù)，且awO.我仃把奴+〃=0叫做一元一次方程的標準形式

注意

判斷一個方程是否為一元一次方程，要先將整式方程化簡整理，再按一元一次方程的概

念去判斷.如2/+9-2卜2+工+1）=。，雖然x的次數(shù)出現(xiàn)了2,但化簡之后為

—2x+7=0或2x—7=0,可知它是一元一次方程__________________________________

即學即練1下列各式中，①一2+5=5：②力一1=7③相=0：@x+l>3；⑤

2

x+y=8；⑥2寸—5工+1=0⑦2a+Z;⑧——=3x哪些是方程,哪些是一元

一次方程.（將序號寫到橫線上）

即學即練2（2025春?重慶九龍坡?七年級重慶市育才7學?？茧A段練習）已知關(guān)于％的方

程On?-l）x2-2mx-2x+l=0是一元一次方程，則譏的值為（）

A.1B.-1C.1或一1D.以上結(jié)果均不是

知識點三解方程與方程的解

1.解方程

解方程就是求出使方程中等號左右兩邊相等的未如數(shù)的值的過程

2.解

方程的解就是使方程中等號左右兩邊相等的未知數(shù)的值.（注意：只含一個未知數(shù)

的方程的解也可以叫做方程的根.）

3.判斷一個數(shù)是不是方程解的方法

把這個數(shù)分別代入方程中等號的兩邊，若等號兩邊的值相等，則該數(shù)是方程的解；

反之，則不是方程的解

4.方程的解和解方程的區(qū)別與聯(lián)系

區(qū)別：方程的解是解方程的結(jié)果，是具體的數(shù)值，而解方程是一個變形的過程

聯(lián)系：解方程的目的是求出方程的解

即學即練檢驗下列方程后面括號內(nèi)所列各數(shù)是否為相應(yīng)方程的解：

⑴手(-力)

(2)2(y-2)-9(1-y)=3(Ay-1).(-10,10)

知識點四根據(jù)實際問題列一元一次方程

分析實際問題中的數(shù)量關(guān)系，利用其中的相等關(guān)系列出方程，是用數(shù)學的知識解

決實際問題的一種方法列方程一般有三個環(huán)節(jié)：

(1)寇提取問題中的數(shù)量信息，正確理解問題中表示數(shù)量關(guān)系的關(guān)鍵性詞語，

如多、少、倍、分、增加、減少等，這些詞語體現(xiàn)了其中的數(shù)量關(guān)系

(2)畫:理清問題中的關(guān)系,分析時可借用表格、圖形等

(3)陋:設(shè)出未知數(shù)并用含有未知數(shù)的代數(shù)式表示出其他未知量將問題轉(zhuǎn)化為

方程，可直接或間接設(shè)未知數(shù)

即學即練在一次植樹活動中，甲班植樹的棵數(shù)比乙班多20%,乙班植樹的棵數(shù)比甲班的

一半多10棵.設(shè)乙班植樹x棵.

⑴列兩個不同的含工的式子來表示甲班植樹的棵數(shù)；

⑵根據(jù)題意列出含未知數(shù)高勺方程；

⑶檢驗乙班、甲班植樹的棵數(shù)是不是分別為25棵和35棵.

噩曲的分析

題型-----元一次方程

例4（2025春?河南洛陽?七年級統(tǒng)考期末）《兒童算術(shù)》中記載了一個問題，大意是：有幾

個人一起去買一件物品，每人出8錢，多3錢；每人出7錢，少4錢，問人數(shù)是多少？若

設(shè)人數(shù)為X，則下列方程正確的是（）

A.8%4-3=7%—4B.8%—3=7%+4

C.8（%-3）=7（%4-4）D.8x+4=7x-3

舉一反三1（2025秋?浙江溫州?七年級統(tǒng)考期末）學校體育組有學生41人參加了籃球隊或

足球隊，其中只參加籃球隊的學生人數(shù)是只參加足球隊的學生人數(shù)的1.5倍，兩隊都參加的

有8人，設(shè)參加足球隊的學生人數(shù)有x人，則下列方程中正確的是（）

A.1.5x+x=43B.1.5x+x+8=43

C.1.5（x—8）+x+8=43D.1.5（x-8）+x=43

舉一反三2（2025春?江蘇泰州?七年級泰州市海軍中學?？计谥校┤鐖D，將邊長為a+3的

正方形紙片前去一個功長為。的正方形后,剩余部分可翦拼成一個長方形（不重疊無縫隙）.

若拼成的長方形一邊長為3,請解答下列問題:

⑴分別計算剪拼后所得的長方形的周長和面積（用含。的代數(shù)式表示）；

（2）若將剪拼后的長方形的長減少4,寬增加4,所得的新長方形的面積恰好等于原長方形的

面積，求。的值.

題型五方程的解

例5（2025春?福建泉州?二年級?？计谥校┤魓=5是關(guān)于"勺方程2%-a=-5的解，則a的

值等于（）

A.20B.15C.4D.3

舉一反三1（2025春?湖南衡陽?七年級?？计谥校┓匠?m+%=l和3%-1=2工-2有相

同的解，則m的值為.

舉一反三2（2025春?河南新鄉(xiāng)?七年級?？计谥校┤絷P(guān)于/的一元一次方程ax+b=。的解

為％=1,則正確的是（）

A.。與b相等B.。與力互為相反數(shù)C.。與?；榈箶?shù)D.。與力均為0

.題而⑤

一、單選題

1.（2025春?福建泉州?七年級校考期中）給出下列式子①3x+8>2；②5x+2y=8；③/+

1=5；@a+b=b+a；（5）|x-4=1；⑥￡=8-3x中，屬于一元一次方程的有（）

個

A.2B.3C.4D.5

2.（2025春?河南開封?七年級統(tǒng)考期中）關(guān)于％的方程2（%-1）一。=0的解是％=3,則a的

值為（），

A.4B.-4C.5D.-5

3.（2025春?河南周口?七年級統(tǒng)考期中）若％=—1是關(guān)于x的方程等=2m—x的解，則

in的值為（）

a3卜3_1cl

A.-B.--C.-D.--

4444

二、填空題

1.（2025春?福建泉州?七年級統(tǒng)考期中）若（a-1）%⑷=0是關(guān)于％的一元一次方程，則。

的值為.

2.（2025春?吉林長春?七年級氏春市第八十七中學?？计谥校┊敗?—時，方程Q+1=

x+2a的解是％=3.

3.（2025春?河南駐馬店?七年級統(tǒng)考期中）已知方程（m-2）%lm|T+3=0是關(guān)于x的一元

一次方程，則小的值是.

三、解答題

1.（2025春?上海寶山?六年級?？计谥校╆P(guān)于x的方程（％+3）（x+a）=0有一個解是％=-1,

求l-a的值.

2.（2025秋?安徽蕪湖?七年級?？计谀┤簦╝--3=0是關(guān)于'的一元一次方程.

⑴求a的值；

(2)先化簡,再求4(Q2+3a)-2(2M—Q+2)的值.

3.(2025春?廣東廣州?七年級統(tǒng)考期末)已知代數(shù)式M=3(a-2b)-(b+2a).

⑴化簡M：

(2)如果(a+l)x2+4xb-2-3=0是關(guān)于x的一元一次方程，求M的值.

3.1.1一元一次方程

4.了解方程和等式的概念；理解方程的解和解方程的意義，并會檢驗方程的解

5.了解一元一次方程的概念：掌握等式的性質(zhì)，并能利用性質(zhì)探究一元一次方程的解法

6.通過對實際問題中數(shù)量關(guān)系的分析，體會方程是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的有效模型，逐步

形成數(shù)學的應(yīng)用意識

第卜如鈍棒<8

知識點一方程的概念

含有未知數(shù)的等式叫做方程.

方程必須同時具備兩個條件：(1)是等式；(2)含有未知數(shù).

聿卜劃重點

「⑶方曲"而未知數(shù)可以卻，也可以更菽享母，還可以含有多個未知數(shù)：例而7

2

3/+-=5,3(2/w+l)=2(/??-1),x-y=0都是方程

3

(4)如果等式(。-1)工一2=4。中x是未知數(shù)，〃是已知數(shù)，那么我們把這個方程叫做關(guān)

于x的方程，例如：若y是未知數(shù)，〃7是已知數(shù)，則士3一1=：+1就是關(guān)于y的方程

23

即學即練判斷下列各式是不是方程，不是方程的說明理由.

(1)4x5=3x7-1；

⑵2x+5y=3；

(3)9-4x>0：

(4)x+5；

(5)x-10=3；

(6)5+6=11.

【答案】(1)不是方程，見解析

⑵是方程

⑶不是方程，見解析

⑷不是方程，見解析

⑸是方程

⑹不是方程，見解析

【分析】(1)根據(jù)方程的定義(含有未知數(shù)的等式叫做方程)即可得;

(2)根據(jù)方程的定義(含有未知數(shù)的等式叫做方程)即可得;

(3)根據(jù)方程的定義(含有未知數(shù)的等式叫做方程)即可得;

(4)根據(jù)方程的定義(含有未知數(shù)的等式叫做方程)即可得;

(5)根據(jù)方程的定義(含有未知數(shù)的等式叫做方程)即可得:

(6)根據(jù)方程的定義(含有未知數(shù)的等式叫做方程)即可得.

【詳解】(1)解：不是方程，理由是：不含未知數(shù).

(2)解：是方程.

(3)解：不是方程，理由是：不是等式.

(4)解：不是方程，理由是：不是等式.

(5)解：是方程.

(6)解：不是方程，理由是：不含未知數(shù).

【點睛】本題考查了方程，熟記方程的程念是解題關(guān)鍵.

知識點二一元一次方程的概念

1.一元一次方程的概念

方程中只含有一個未知數(shù)(元)，未知數(shù)的次數(shù)都是1,等號兩邊都是整式，這樣的

方程叫做一元一次方程,如2x+l=5,3x-5=7等.

2.一元一次方程具有如下特點：

(1)只含有一個未知數(shù)

⑵所含未知數(shù)的項的最高次數(shù)為1

⑶含未知數(shù)的項的系數(shù)不為0

(4)一元一次方程是由整式組成的，即一元一次方程中分母不含未知數(shù)

3.一元一次方程的標準形式

任何一個一元一次方程變形后總可以化為方+〃=0的形式其中x是未知數(shù)，a,b

是已知數(shù)，且。工0.我們把心+人=0叫做一元一次方程的標準形式

注意

判斷一個方程是否為一元一次方程，要先將整式方程化簡整理，再按一元一次方程的概

念去判斷.如2/+9-2（X2+X+1）=0，雖然X的次數(shù)出現(xiàn)了2,但化簡之后為

—2匯+7=0或2柒-7=0,可知它是一元一次方程______________________________

即學即練1下列各式中，①一2+5=5：②3x7=7③〃=2（）：④X+1N3；⑤

2

x+3，=8：⑥2工2-5工+1=0⑦2。+〃⑧——=3x哪些是方程_________,哪些是一元

x+1

一次方程.（將序號寫到橫線上）

【答案】②③⑤⑥⑧；②③.

【詳解】試題解析：①-2+5=5不是方程，

②3x7=7是一元一次方程，

③m=0是一元一次方程，

④X+1O3不是方程；是分式方在，

⑤x+y=8是二元一次方程，

⑥2/一5,E+1=0是一元二次方程，

⑦2a+b是代數(shù)式不是方程，

2

⑧——=3x是分式方程.

x+1

故方程是：②③⑤⑥⑧：一元一次方程是：②③.

考點：一元一次方程的定義；方程的定義.

即學即練2（2025春?重慶九龍坡?七年級重慶市育才口學?？茧A段練習）己知關(guān)于％的方

程（機？一i）x2-2mx-2x+l=0是一元一次方程，則m的值為（）

A.1B.-1C.1或一1D.以上結(jié)果均不是

【答案】A

【分析】根據(jù)一元一次方程?的定義即可求解.只含有一人未知數(shù)（元），并且未知數(shù)的指數(shù)

是1（次）的方程叫做一元一次方程.它的一般形式是ax+b=0（a,b是常數(shù)且aH0）

【詳解】解：,關(guān)于x的方程（m?-l）x?-2mx—2x+1=0是一元一次方程，

Am2—1=0,-2m-2Ho

.*.m=1,

故選：A.

【點睛】本題考查了一元一次方杼的定義，掌握一元一次方程的定義是解題的關(guān)鍵.

知識點三解方程與方程的解

1.解方程

解方程就是求出使方程中等號左右兩邊相等的未知數(shù)的值的過程

2.解

方程的解就是使方程中等號左右兩邊相等的未知數(shù)的值.(注意：只含一個未知數(shù)

的方程的解也可以叫做方程的根.)

3.判斷一個數(shù)是不是方程解的方法

把這個數(shù)分別代入方程中等號的兩邊，若等號兩邊的值相等，則該數(shù)是方程的解;

反之，則不是方程的解

4.方程的解和解方程的區(qū)別與聯(lián)系

區(qū)別：方程的解是解方程的結(jié)果，是具體的數(shù)值，而解方程是一個變形的過程

聯(lián)系：解方程的目的是求出方程的解

即學即練檢驗下列方程后面括號內(nèi)所列各數(shù)是否為相應(yīng)方程的解：

⑴k=%T；(一；，3)

(2)2(y-2)-9(1-y)=3(4y-l).(-10,10)

【答案】(1)x=—日不是方程的解,x=3是方程的解；

(2)y=-10是方程的解；y=10不是方程的解.

【分析】(1)根據(jù)方程解的定義，把數(shù)分別代入方程左、右兩邊的代數(shù)式，能使得左右兩

邊相等的即為方程的解;

(2)根據(jù)方程解的定義，把數(shù)分別代入方程左、右兩邊的代數(shù)式，能使得左右兩邊相等的

即為方程的解;

【詳解】(1)把x=—|代入原方程;

左邊二中二一卷

右邊=一|一1二一|

???左邊學右邊,

:不是該方程的解.

把x=3代入方程，得

右邊=3—1=2.

???左邊=右邊,

???x=3是該方程的解；

(2)把y=-10代入原方程.

左邊=2(-10-2)-9(1+10)=-123,右邊=3x[4x(-10)-1]=-123,

???左邊=右邊，

???y=-10是原方程的解；

把y=10代入原方程.

左邊=2(10-2)-9(1-10)=97,右邊=3x(4x10-1)=117,

???左邊豐右邊,

，y=10不是原方程的解-.

【點暗】本題考查方程解的定義，理解方程解的定義是解題的關(guān)鍵.

知識點四根據(jù)實際問題列一元一次方程

分析實際問題中的數(shù)量關(guān)系，利用其中的相等關(guān)系列出方程，是用數(shù)學的知識解

決實際問題的一種方法列方程一般有三個環(huán)節(jié)：

(4)畫:提取問題中的數(shù)量信息，正確理解問題中表示數(shù)量關(guān)系的關(guān)鍵性詞語,

如多、少、倍、分、增加、減少等，這些詞語體現(xiàn)了其中的數(shù)量關(guān)系

(5)函:理清問題中的關(guān)系，分析時可借用表格、圖形等

(6)速:設(shè)出未知數(shù)并用含有未知數(shù)的代數(shù)式表示出其他未知量將問題轉(zhuǎn)化為

方程，可直接或間接設(shè)未知數(shù)

即學即練在一次植樹活動中，甲班植樹的棵數(shù)比乙班多20%,乙班植樹的棵數(shù)比甲班的

一半多10棵.設(shè)乙班植樹3棵.

⑴列兩個不同的含匯的式子來表示甲班植樹的棵數(shù)；

⑵根據(jù)題意列出含未知數(shù)x的方程；

⑶檢驗乙班、甲班植樹的棵數(shù)是不是分別為25棵和35棵.

【答案】(1)甲班植樹的根數(shù)為(l+20%)x棵、2(x-10)棵

(2)(l+20%)x=2(x-10)

⑶見解析

【分析】(1)根據(jù)多20%、一半的含義列出式子即可；

(2)直接列出等式即可;

(3)利用代入法進行檢驗即可.

【詳解】(1)根據(jù)甲班植樹的棵數(shù)比乙班多20%,

得甲班植樹的棵數(shù)為(l+20%)x棵：根據(jù)乙班植樹的棵數(shù)比甲班的一半多10棵，

得甲班植樹的棵數(shù)為2(x-10)棵.

(2)(l+20%)x=2(x-10).

(3)把x=25分別代入(2)中方程的左邊和右邊.

得左邊=(1+20%)x25=30,

右邊=2x(25-10)=30.

因為左邊=右邊，

所以x=25是方程(1+20%)x=2(x-10)的解，

即乙班植樹的棵數(shù)是25棵.

由上面的檢驗過程可得甲班植樹的裸數(shù)是30裸，而不是35棵

【點睛】本題考查了列方程解實際問題的能力，考查了學生應(yīng)用數(shù)學解決實除問題的能力.

題型-----元一次方程

例1(2025春?河南鶴壁?七年級統(tǒng)考期中)在方程3無-y=2,x+1=0,)=/一2%-

3=0,2=2中，一元一次方程的個數(shù)為()

X

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【分析】根據(jù)一元一次方程的定義，對各個選項逐個分析，即可得到答案.

【詳解】解：方程3x-y=2含有兩個未知數(shù).故不是一元一次方程：

方程x+1=0是一元一次方程;

方程gx=g是一元一次方程；

方程x2-2x-3=。未知數(shù)的次數(shù)是2次，故不是一元一次方程；

方程工=2分母中含有未知數(shù)，不是整式方程，故不是一元一次方程：

X

所以一元一次方程的個數(shù)是2個，

故選：B.

【點睛】本題考查了一元一次方程的知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元一次方程的定義，從

而完成求解.

舉一反三1（2025春?福建泉州?七年級福建省泉州市培元中學?？计谥校┎妨懈魇绞且辉?/p>

一次方程的是（）

A.x-3=2B.2%—3y=5C.2x—3<0D.2x4-6

【答案】A

【分析】根據(jù)一元一次方程的定義逐個判斷即可.

【詳解】解：A.x-3=2是一元一次方程，故本選項符合題意：

B.2x-3y=5是二元一次方程，故本選項不符合題意；

C.2x-3V0是一元一次不等式，故本選項不符合題意；

D.2x+6是代數(shù)式，故本選項不符合題意.

故選：A.

【點睛】本題考查了一元一次方程的定義，能熟記一元一次方程的定義（只含有一個未知數(shù)，

并且所含未知數(shù)的項的最高次數(shù)是1的整式方程叫一元一次方程）是解此題的關(guān)鍵.

舉一反三2（2025春?河南洛陽?七年級偃師市實驗中學校考期末）請寫出?個解為％的

一元一次方程：.

【答案】3x-1=0（答案不唯一〉

【分析】方程的解就是能使方程成立的未知數(shù)的值，據(jù)此即可求解.

【詳解】解：解為x=2的一元一次方程為：3x-l=0（答案不唯一）.

3

故答案為：3x-l=0（答案不唯一）.

【點睛】本題考查了方程的解的定義，理解定義是關(guān)鍵.

題型二從算式到方程

例2（2025春?河南鶴壁?七年級統(tǒng)考期中）若x=-3是方程［QX+2b=4的解，則代數(shù)式6b-

3a的值為（）

A.4B.7C.9D.12

【答案】D

【分析】把x=-3代入方程2ax+2b=4可得2b-a=4,整體代入即可求出6b-3a的值.

3

【詳解】解：把x=-3代入方程沁+2b=4得：

2b—a=4,

???6b—3a=3（2b—a）=3x4=12.

故選：D.

【點睹】本題考在了方程的解及整體代入末代數(shù)式的值,熟練掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

舉一反三1（2025春?河南開封?七年級統(tǒng)考期中）已知方程（a-4）/1-3+2=0是關(guān)網(wǎng)的

一元一次方程，則a=.

【答案】-4

【分析】根據(jù)一元一次方程的定義，得出冏-3=1,注意a-4工0,進而得出答案.

【詳解】解：由題意得：|a|-3=1,a-4H0,

解得：a=-4.

故答案為：一4.

【點睛】此題主要考查了一元一次方程的定義，正確把握定義得出是解題關(guān)鍵.

舉一反三2（2025春?安數(shù)宿州?七年級?？计谥校┱叫?不一曲的值隨x取值的變化而變

化，下表是當X取不同值時TH2不一即對應(yīng)的值.則關(guān)于x的方程小2%一。九二一4的解為（）

X???-1023.??

?n2x-an???-6-402???

A.x=-1B.x=0C.x=2D.x=3

【答案】B

【分析】觀察表格，即可求解.

【詳解】解：觀察表格，發(fā)現(xiàn)：當x=0時，m2x-an=-4,

m2x—an=-4的角翠為x=0,

故選：B.

【點睛】本題考查方程的解.讀懂表格數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵.

題型三判斷各式是否是方程

例3（2025春?河南周口?七年級校考期中）下列各式是方程的是（）

A.x-3B.1+2=3C.x-2>1D.x-1=2

【答案】D

【分析】根據(jù)方程的定義：含有未知數(shù)的等式是方程，逐一判斷即可.

【詳解】解：x-3不是等式，故A選項不符合題意；

1+2=3不含有未知數(shù)，故B選項不符合題意：

x-2>l不是等式.故C選項不符合題意：

X—1=2是方程，故D選項符合題意，

故選：D.

【點睛】本題考查了方程的定義，熟知該定義是解題的關(guān)鍵.

舉一反三1（2025春?吉林長春?七年級統(tǒng)考期中）下列各式中，屬于方程的是（）

A.6+（-2）=4B.-x-2C.7x>5D.2x-1=5

5

【答案】D

【分析】根據(jù)方程的定義：含有未知數(shù)的等式是方程，即可進行解答.

【詳解】解：A、6+（-2）=4不含未知數(shù)，不是方程，不符合題意；

B、|x—2不是等式，故不是方程，不符合題意；

C、7x>5不是等式，故不是方程，不符合題意；

D、2x-l=5是含有未知數(shù)的等式，是方程，符合題意.

故選：D.

【點睛】本題主要考查了方程的定義，解題的關(guān)鍵是掌握方程的定義：含有未知數(shù)的等式是

方程.

舉一反三2（2025春?福建泉州?七年級統(tǒng)考期中）下列各式中，不是方程的是（）

A.a=0B.2x+3C.2無+1=5D.2（x+1）=2%+2

【答案】B

【分析】根據(jù)方程的定義(含有未知數(shù)的等式稱為方程)依次進行判斷即可.

【詳解】解：根據(jù)方程的定義可知，A、C、D都是方程，B不是方程，

故選B.

【點暗】本題主要考查方程的定義，深刻理解方程的定義是解題關(guān)鍵.

題型四列方程

例4(2025春?河南洛陽?七年級統(tǒng)考期末)《兒童算術(shù)》中記載了一個問題，大意是：有幾

個人一起去買一件物品，每人出8錢，多3錢；每人出7錢，少4錢，問人數(shù)是多少？若

設(shè)人數(shù)為X,則下列方程正確的是()

A.8x+3=7%—4B.8x—3=7%+4

C.80-3)=70+4)D.8x+4=7x-3

【答案】B

【分析】設(shè)人數(shù)為x,然后根據(jù)等量關(guān)系“每人出8錢，多3錢；每人出7錢，少4錢”即

可列出方程.

【詳解】解：設(shè)人數(shù)為X,

根據(jù)題意可得：8x-3=7x+4.

故選B.

【點睛】本題主要考查了列一元一次方程，審清題意、找準等量關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵.

舉一反三1(2025秋?浙江溫州?七年級統(tǒng)考期末)學校體育組有學生41人參加了籃球隊或

足球隊，其中只參加籃球隊的學牛.人數(shù)是只參加足球隊的學生人數(shù)的1.5倍，兩隊都參加的

有8人，設(shè)參加足球隊的學生人數(shù)有x人，則下列方程中正確的是()

A.1.5x+x=43B.1.5x+x+8=43

C.1.5(%-8)+x+8=43D.1.5(%-8)+x=43

【答案】0

【分析】設(shè)參加足球隊的學生人數(shù)有x人，則只參加足球隊的人數(shù)有(x-8)人，只參加籃

球隊的人數(shù)有1.5(x-8)人，再根據(jù)體育組有學生41人參加了籃球隊或足球隊即可解答.

【詳解】解：設(shè)參加足球隊的學生人數(shù)有x人，則只參加足球隊的人數(shù)有(X-8)人，只參

加籃球隊的人數(shù)有1.5(x-8)人

根據(jù)體育組有學生41人參加了籃球隊或足球隊可得：1.5(x—8)+x+8=41.

故選C.

【點晴】本題主要考查了列一元一次方程，審清題意、確定只參加籃球的人數(shù)和“參加籃球

隊人數(shù)二只參加籃球人數(shù)+兩隊都參加的人數(shù)”是解答本題的關(guān)鍵.

舉一反三2(2025春?江蘇泰州?七年級泰州市海軍中學?？计谥?如圖，將邊長為Q+3的

正方形紙片剪去一個邊長為。的正方形后，剩余部分可剪拼成一個長方形(不重疊無縫隙)，

若拼成的長方形一邊長為3,請解答下列問題：

3|/I

,L

3

pa+3-

⑴分別計算剪拼后所得的長方形的周氏和面積(用含。的代數(shù)式表示)：

⑵若將剪拼后的長方形的長減少4,寬增加4,所得的新長方形的面枳恰好等十原長方形的

面積，求。的值.

【答案】(1)4a+l2;6a+9

(2)2

【分析】(1)根據(jù)拼圖，用代數(shù)式表示出拼成的長方形的長，即可求得答案.

(2)用代數(shù)式表示變化后長方形的長與寬，再根據(jù)面積間的關(guān)系列方程即可求解.

【詳解】(1)解：由題意得，

剪拼后所得的長方形的長為：a+a+3=2a+3,寬為：3,

因此周長為：(2a+3+3)x2=4a+12,

面積為：(2a+3)x3=6a+9.

(2)由題意得，

(2a+3-4)x(3+4)=6a+9,

解得a=2,

???a的值為2.

【點暗】本題考查了列代數(shù)式、根據(jù)等量關(guān)系列一元一次方程，用代數(shù)式正確表示圖形的邊

長、周長和面積是解題的關(guān)鍵.

題型五方程的解

例5（2025春?福建泉州?一二年級?？计谥校┤魓=5是關(guān)于％的方程2x-a=-5的解.，則a的

值等于（）

A.20B.15C.4D.3

【答案】B

［分析】把x=5代入解關(guān)于a的方程解題即可.

【詳解】解:把x=5代入方程得：10—a=-5,

解得:a=15,

故選B.

【點睛】本題考查解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法是解題的關(guān)鍵.

舉一反三1C8S春?湖南衡陽?七年級?？计谥校┓匠?m+丫=1和-1=2r-2有相

同的解，則m的值為.

【答案】1

【分析】先求出3x-l=2x-2的解，然后把x的值代入2m+x=1,求出m的值即可.

【詳解】解：解方程3x-l=2x-2得，x=-l,

把x=-1代入2m+x=1得：2m—1=1,

解得m-1.

故答案為：1.

【點睛】本題考查了同解方程，解答本題的關(guān)鍵是能夠求解關(guān)于x的方程，要正確理解方程

解的含義.

舉一反三2（2025春?河南新鄉(xiāng)?七年級校考期中）若關(guān)于x的一元一次方程ax+b=0的解

為x=l,則正確的是（）

A.“與力相等B.a與?；橄喾磾?shù)C.a與〃互為倒數(shù)D.a與力均為0

【答案】B

【分析】把x=1代入ax+b=。即可求解.

【詳解】把x=1代入ax+b=0,得

a4-b=0,

；.a與b互為相反數(shù).

故選B.

【點睛】本題考查了一元一次方程的解，相反教的定義，熟練掌握解的定義是解答本題的關(guān)

鍵，能使一元一次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元一次方程的解.

IgI

償Iq題肝I⑤

二、單選題

1.（2025春?福建泉州?七年級校考期中）給出下列式子①次+8>2；（2）5x+2y=8；③/+

1=5：@a+b=b+a；（§）1x-4=1：=8-3%中，屬于一元一次方程的有（）

個

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【分析】只會有一個未知數(shù)（元）,并且未知數(shù)的指數(shù)是1（次）的方程叫做一元一次方程.

【詳解】解：①3x+8>2是不等式，不是方程；

②5x+2y=8有兩個未知數(shù)，不是一元一次方程；

③x?+l=5未知數(shù)的次數(shù)為2,不是一元一次方程；

④a+b=b+a有兩個未知數(shù)，不是一元一次方程；

⑤|x-4=1是一元一次方程：

=8-3x是一元一次方程；

???一元一次方程共有2個，

故選A.

【點睛】本題考查了一元一次方程的定義，僅僅抓住未知數(shù)x的次數(shù)是1這個條件，此類題

目可嚴格按照定義解題.

2.（2025春?河南開封?七年級統(tǒng)考期中）關(guān)于“的方程2（無一1）一Q=0的解是3=3,則a的

值為（），

A.4B.-4C.5D.-5

【答案】A

【分析】將x=3代入2（x-l）-a=0求解即可.

【詳解】解：將*=3代入26-1）-2=0得2（3-1）-2=0:,

解得：a=4

故選：A.

【點睛】本題考查了方程的解，熟知方程的解即為能使方程成立的未知數(shù)的值是解本題的關(guān)

鍵.

3.（2025春?河南周口?七年級統(tǒng)考期中）若％=-1是關(guān)于x的方程符2=2m-%的解，則

m的值為（）

A.-B.--C.D.--

4444

【答案】B

【分析】把x=-1代入方程等=2m—x中得關(guān)于m的方程計算即可.

【詳解】解：由題意可得：把x=-l代入方程等=2m-x中得，

?2+1《

-^―=2om+1,

解得：

m=--4.

故選：B.

【點晴】本題考查了方程的解，熟練掌握方程的解的定義是解題關(guān)鍵.

二、填空題

1.（2025春?福建泉州?七年級統(tǒng)考期中）若（。-1萬同=0是關(guān)于x的一元一次方程,則〃

的值為.

【答案】-1

【分析】根據(jù)一元一次方程的定義列出關(guān)于a的式子，求出結(jié)果即可.

【詳解】解:,??1一1腎間=0是關(guān)于x的一元一次方程,

/.a-160且|a|=1,

解得a