2024年廣東省廣州市各區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試題匯編：24?25壓軸題（原卷版）

一、二次函數(shù)類

1.（2024年廣東省廣州市番禺區(qū)）過點的物物線.+。與），軸交于點A.

（I）求。，c的值；

（2）直線交），軸于點。，點七是拋物線丁=彳/+bx+c上位于直線下方的一動點，過點七作直

線的垂線，垂足為F.

①求EF的最大值；

②當(dāng)NA8C=1N必EH寸，求點E的坐標(biāo).

2

2.（2024年廣東省廣州巾越秀區(qū)）已知拋物線曠=一k+2〃a+〃經(jīng)過點（2,2m—3）.

（I）用含機的式子表示〃；

（2）當(dāng)〃2＜0時，設(shè)該拋物線與x軸交于點A,B（點A在點B的左側(cè)），與丁軸交于點C,以8。的外

接圓與y軸交于另一點。（點。與點C不重合），求點。的坐標(biāo)；

⑶若點石（一3,乂），*[,%），G（w-1,%）在該拋物線上，且當(dāng)3＜區(qū)4時，總有,＜為＜為，求

片的取值范圍.

3.（2024年廣東省廣州市荔灣區(qū)）拋物線y=ax?+bx+4與x軸交于A,B兩點（點A在點B的左側(cè)），與

y軸交于點C,點B（3,0）,對?稱軸為直線x=l,對稱軸與x軸交于點D.

（I）求該拋物線的解析式；

（2）作直線BC,點P是拋物線上一動點，作直線PC,當(dāng)NPCB=NABC時，求點P的坐標(biāo);

DE+|<E有最小值

（3）點E為線段OC上一動點，當(dāng)點E坐標(biāo)為何值時,,并求出最小值.

4.（2024年廣東省廣州市天河區(qū)）已知拋物線C:y=Q（X-姨-1,直線/：%二々（工一〃）一1，其中

0<tz<2,k>0.

（1）求證：直線/與拋物線。至少有一個交點；

⑵若拋物線C與x軸交于A（%,0）,3（8，°）兩點，其中％</，且0<%+：毛<3,求當(dāng)。=1時,

拋物線C存在兩個橫坐標(biāo)為整數(shù)的頂點；

（3）若在直線/下方的拋物線C上至少存在兩個橫坐標(biāo)為整數(shù)的點，求A的取值范圍.

5.（2024年廣東省廣州市南沙區(qū)）已知拋物線y=f一廢+匕一。的圖象過點A?！唬?

（I）求b與。的關(guān)系式；

（2）當(dāng)?！担ǎr?，若該拋物線的頂點到大軸的距離是1,求〃的值；

（3）將拋物線進行平移，若平移后的拋物線仍過點人（1,1）,點A的對應(yīng)點為點4（1一成-2〃+1）,當(dāng)

3

"72-［時，求平移后的拋物線頂點縱坐標(biāo)的最大值.

2

6.（2024年廣東省廣州市海珠區(qū)）

已知一次函數(shù)y=kx+l的圖像經(jīng)過點B（1,3）,與x軸相交于點D,與y軸相交于點E,點C（2,0）,記

ZDEO=a

（1）求k的值；

（2）點A在直線y=k%+l上，且在點B的下方，以AB為直徑的。尸與線段CD有交點，求。尸的面積的

取值范圍.

（3）在（2）的條件下，將線段AB繞點A按逆時針旋轉(zhuǎn)2a得到線段AB’,再將線段AB.繞點B按順時針

旋轉(zhuǎn)2a得到線段BA,，再將線段B'A.繞點K按逆時針旋轉(zhuǎn)2a得到線段AB\若拋物線y=ax2+bx+c

經(jīng)過A、B、A、B」四點，求該拋物線頂點的縱坐標(biāo)的最大值與最小值的差.

第25題圖

7.（2024年廣東省廣州市黃埔區(qū)）已知二次函數(shù)y=+2ar+c圖象與x軸交于點4和點8（—3,0）,

與），軸交于點C（0,3）.

（1）求點A的坐標(biāo)；

（2）若點。是直線8c上方的拋物線上的一點，過點。作。石〃y軸交射線4c于點E,過點D作

DF±BC于點F,求3及Ob-OE的最大值及此時點。坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，若點P,。為x軸下方的拋物線上的兩個動點，并且這兩個點滿足NPBQ=90。，

試求點D到直線PQ的最大距離.

①當(dāng)機>—1時，點“到邊AZ?所在直線的距離等于點"到x軸的距離，求”的值；

②當(dāng)〃2<—1時，拋物線的一部分經(jīng)過矩形A8C。的內(nèi)部，這部分拋物線上的點的縱坐標(biāo))，隨著x的增大

而減小，求〃？的取值范圍.

二、兒何圖形類

1.(2024年廣東省廣州市白云區(qū))如圖，在四邊形ABCD中，點N,M分別在邊BC,CQ上.連接AM，

AN,MN,ZA^W=45°.

(I)【實踐探究】如圖①，四邊形A8CD是正方形.

(i)若CN=6,MN=10,求NCMN的余弦值;

(ii)若tan/8AN='，求證：M是CO的中點；

3

(2)【拓展】如圖②，四邊形A8CD是直角梯形，AD//BC,NC=90。，CD=12,AD=16,CN=12,

求DW的長.

2.（2024年廣東省廣州市花都區(qū)）讀一讀】

一般地，學(xué)習(xí)幾何要從作圖開始，再觀察圖形，根據(jù)圖形的某一類共同特征對圖形進行分類（即給一類圖

形下.定義——定義概念便于歸類、交流與表達），然后繼續(xù)研究圖形的其它特征、判定方法以及圖形的組

合、圖形之間的關(guān)系、圖形的計算等問題.課本里對三角形、四邊形的研究即遵循著上面的思路.

【算一算】

當(dāng)然，在學(xué)習(xí)幾何的不同階段,可能研究的是幾何的部分問題.比如有下面的問題，請你研究.如圖，在

乂3。中，AB=AC,點M、N分別為邊48、8c的中點，連接MN.

圖1圖2備用圖

⑴如圖I,若ABAC=90°，8C=2JL先將LBMN繞點B順時針旋轉(zhuǎn)。（。為銳角），得到ABEF,

當(dāng)點A、E、尸在同一直線上時，AE與8C相交于點。，連接C/7、ME.

①填空：4BMN=（填度數(shù)），ABME曷_______三角形（填類別）；

②求CO的長.

（2）如圖2,若NBACV90。,將繞點8順時針旋轉(zhuǎn)。，得到石廣，連接A石、CF.當(dāng)旋

轉(zhuǎn)角？滿足0。<a<360°,點CE、產(chǎn)在同一直線上時，利用所提供的圖2和備用圖探究—R4E與ZABF

的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

3.（2024年廣東省廣州市黃埔區(qū)）如圖，在矩形A3co和矩形47隹中，A力=4,A￡=2,AB=%AD，

AG=yf3AE.矩形AGFE繞著點A旋轉(zhuǎn),連接8G,CF,AC,AF.

（I）求證：^ABG^^ACF；

（2）當(dāng)CE的長度最大時，

①求8G的長度；

②在△ACF內(nèi)是否存在一點P,使得CP+AP+公尸產(chǎn)值最小?若存在，求CP+AP+&PE的最小

值；若不存在，請說明理由.

4.（2024年廣東省廣州市南沙區(qū)）如圖，在邊長為6的正方形4BCQ中，點E是3。的中點，連接8D,DE.

（I）求OE的線段長;

（2）若點P是射線DZ?上的動點，過點"作夕垂足為Q.

①當(dāng)〃在線段。七'上運動時，求2PQ+BQ的取值范圍;

②連接4E，若點B,尸到直線AE的距離相等，求2尸Q+BQ的值.

5.（2024年廣東省廣州市天河區(qū)）矩形A8c。中，A3=4,BC=S.

（I）如圖1,矩形的對角線AC,相交于點O.

①求證：A,B,C,D四個點在以O(shè)為圓心同一個圓上；

②在。O的劣弧4￡）卜取一點E,使得AE=AS.連接DE.求△AED的面積.

（2）如圖2,點P是該矩形的邊4。上一-動點，若四邊形ABCP與四邊形G/7CP關(guān)于直線PC對稱，連

接GO，HO,求一GOH面枳的最小值.

6.（2024年廣東省廣州市增城區(qū)）如圖，在等腰直角三角形A8C中，AC=6,點D在邊6c的延長線

上，將線段CO繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段OE，連接班，，為8萬的中點.

（I）求BC長：

（2）連接AP,PD,請猜想AP與PD的數(shù)量和位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（3）在（2）的條件下，若點M為AC中點，連接MP,PC,求MP+PC的最小值.

7.(2024年廣東省廣州市越秀區(qū))如圖，矩形48co中，A8=4,BC=4&，點七，尸分別為邊A8，

BC上的點，將線段E/繞點/順時針旋轉(zhuǎn)60。，得到線段FG.射線EG與對角線AC交于點M,連接

(I)求/FGE的度數(shù)；

(2)若FC=2BF,求4W+ME—E8的值；

(3)連接CG,DG,若BF=gAE，設(shè)-COG和aEFG的面積分別為，，S〉當(dāng)點E在邊上

S.

運動時，求V■的最大值?

8.(2024年廣東省廣州市荔灣區(qū))如圖，在RtAABC中，NABC=90°,點P是斜邊AC上一個動點,

以BP為直徑作OO,交BC于點D,與AC的另一個交點為E,連接DE,BE.

(I)當(dāng)邪=而時，求證：AB=AP；

(2)當(dāng)AB—3,BC-4時，

①是否存在點P，使得4BDE是等腰三角形，若存在，求出所有符合條件的CP的長；若不存在，請說明

理由；

②連接DP,點H在DP的延長線上，若點O關(guān)于DE的對稱點Q恰好落在/CPH內(nèi)，求CP的取值范圍.

H

臺用圖

9.（2024年廣東省廣州市番禺區(qū)）如圖，正方形A68中，點E在邊4）上（不與端點A,。重合），點A

關(guān)于直線的的對稱點為點尸，連接設(shè)NA4￡=a.

（I）求4CF的大?。ㄓ煤琣的式子表示）；

（2）過點。作CG_LA尸，垂足為G,連接。G.試判斷OG與CF的位置關(guān)系，并證明所得的結(jié)論：

⑶將AABE繞點8順時針旋轉(zhuǎn)90°得到ACBH,點E的對應(yīng)點為點H,連接BF,HF.當(dāng)sina=匪時,

5

判斷丑的形狀，并說明理由.

10.（2024年廣東省廣州市海珠區(qū)）我們定義：過三角形的一個頂點的線段將三角形分成兩個三角形，其

中一個三角形與原三角形相似，且相似比為1：2,則原三角形叫做“友好三角形”；

（1）如圖1,己知在AABC中，AB=2BD=-4BC=1,求證：AABC是“友好三角形”；

（2）如圖2,在的網(wǎng)格圖中，點A、B在格點上，請在圖中畫出一個符合條件的“友好三角形"AABC,

要求點C在格點上：

（3）如圖3,在（1）的條件中，作AACD的外接圓00,點E是。。上的一點，CE=CA,連接DE：

①設(shè)40=%,AE=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

②當(dāng)CE〃AB時,求00的半徑。

圖2圖3

2024年廣東省廣州市各區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試題匯編：24?25壓軸題（解析版）

二、二次函數(shù)類

1.（2024年廣東省廣州市番禺區(qū)）過點8（4,&）、C（-l,點）的弛物線），=#/+辰+。與），軸交于點A.

（I）求力，c的值;

（2）直線交），軸于點。，點七是拋物線+c上位于直線4?下方的一動點，過點E作直

線/W的垂線，垂足為“.

①求“'的最大值;

②當(dāng)時，求點E的坐標(biāo).

2

應(yīng)=x16+4。+c

【解答】解：（1）由題意得：

T-b+c

解得：

故拋物線的表達式為：），=旦“也x_五.

22

即屋一當(dāng)，c=-后

（2）①由拋物線的表達式知，點A（0,-應(yīng)）,

由點A、8的坐標(biāo)得，直線的表達式為：y=x-V2

由直線AB的表達式知，其和x軸坐標(biāo)軸的夾角為45。,

故點石作￡H//y軸交4?于點〃，則NE〃?=45。,

設(shè)點/），則點E*,正/一兔1%一夜），

22

則E"=x一血一（立/一紀一夜）=一巫丁+迪x+x,

2222

?.』o,

2

故E”有最大值，

當(dāng)人=生也時，EH的最大值為：48+59拒,

416

則所的最大值為：也￡7/的最大值為：的+24夜;

216

②由（2）知，ZABC=45°,

丁ZABC=-ZE4E,

2

則AE_LA產(chǎn)，即AE_LAB,

而直線的表達式為：），=x-、5,

則AE的表達式為：y=-x->j2t

聯(lián)立直線AE的表達式和拋物線的表達式得：-工-血=也/一逑1一④，

22

解得：x=0（舍去）或3-0，

則點E的坐標(biāo)為：（3-V2,-3）.

2.（2024年廣東省廣州市越秀區(qū)）已知拋物線丁=一元2+2"a+〃經(jīng)過點（2,2〃?-3）.

（I）用含用的式子表示〃；

（2）當(dāng)〃z<0時，設(shè)該拋物線與x軸交于點A,B（點A在點8的左側(cè)），與〉軸交于點C,.工5C的外

接圓與了軸交于另一點。（點。與點C不重合），求點。的坐標(biāo)；

⑶若點E（—3,yJ,/6（加一1,%）在該拋物線上，且當(dāng)3v/K4時，總有求

為的取值范圍.

【答案】（1）n=-2m+\

（2）D（O,-1）

（3）%>15或一1<<0

【解析】

【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)，三角形的外接圓，同弧所對的圓周角相等；

（I）把點（2,2機一3）代入拋物線丁=一/+2〃a+〃，即可求解；

（2）先求得AB,C的坐標(biāo)，進而得出./OC是等腰直角三角形，根據(jù)同弧所對的圓周角相等得出

NA3O=NACO=45。得出aOBD是等腰直角三角形，即可求解；

（3）根據(jù)G（〃L1,%）在該拋物線上，則為=>-2m=（，〃一1『一1,由當(dāng)3v/W4時，總有y<%<為，

分點尸在E,G之間，和對稱軸右側(cè)兩種情況，分類討論，即可求解.

【小問1詳解】

解：把點（2,2m-3）代入拋物線），=-x2+2mx+n,

得，T+4〃7+〃=2〃2-3,

解得：n=-2m+1；

【小問2詳解】

解：*.*n=-2m+1,

y=—x2+2tnx-2m+1,

當(dāng)y=o時，則一f+2以一2〃?+1=0，

解得：x=l或x=2機一1；

又???點A在點3的左側(cè)，

???A（2機一1,0）,3（1,0）,

當(dāng)x=0時，則>=1-2〃?，即C（0,l—2〃。，

當(dāng)〃2<0時，OA=OC=1—2m，

???/OC是等腰直角三角形，

???448=45。，

???..A6C的外接圓與)'軸交于另一點￡>,

/.ZABD=ZACD=45°,即二03。是等腰直角三角形,

?：OB=1,則00=1,

根據(jù)圓的對稱性可得：￡>(0,-1)；

解：6(〃?一1,%)在該拋物線上，則為=,7?2-2n?=(m-l)~-1,

*.*y=-x+2mx-2m+1=—(x—〃?)\+m~-2m+1,

???也物線對稱軸為直線x=〃J

???點G的橫坐標(biāo)77?-1<m,即點G在對稱軸的左側(cè)，

???當(dāng)3<，W4時，總有y<%<為，

???羽①不成立，

①②③

當(dāng)尸的位置滿足圖②時，4</n-l,

解得：m>5,

，y3=nr-2〃z=(〃?一1『一1,則y3>15,

77Z+1<3

當(dāng)尸的位置滿足圖③時，則〈

2m+3>4'

解得：此時一1《為工0,

綜上所述，%>15或一”必<0?

3.(2024年廣東省廣州市荔灣區(qū))拋物線y=ax?+bx+4與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左側(cè))，與

y軸交于點C,點B(3,0),對?稱軸為直線x=l,對稱軸與x軸交于點D.

(I)求該拋物線的解析式;

(2)作直線BC,點P是拋物線上一動點，作直線PC,當(dāng)NPCB=NABC時,求點P的坐標(biāo);

(3)點E為線段OC上一動點，當(dāng)點E坐標(biāo)為何值時，DE0CE有最小值，并求出最小值.

(I)解：將點8(3,0)代入y=a/+Zu+4中，得9〃+%+4=0①,

又對稱軸為直線工二-3=1,則》=-2〃②，

2a

4Q

由①②解得：?=--，〃=g，------------------2分

=3+匕+4

33

(2)解：①當(dāng)工=0時，y=4,.?.。(0,4),

???8(3,0),對稱軸為直線工=1,???4-1。)，

根據(jù)題意，可分兩種情況：

1)當(dāng)PC〃x軸時，/PCB=ZABC,如圖，此時點P與點C關(guān)于直線x=l對稱,

VC(O,4),

???點P坐標(biāo)為(2,4)；----------------_4分

2)當(dāng)點P在第二象限時，有NPCB=ZABC,如圖,

設(shè)直線PC與x軸交于點M,則MC=M8,

設(shè)點M(x,0),則A/C=5M=3—x,

CM2=OM2+OC2,

/.(3-x)2=x2+16,解得x=-[,

.??M1/0）,又C（0,4）,

故設(shè)直線CM的解析式為），="+4,

將M,刈代入，得上手，

?,?直線CM的解析式為y=yX+4,

4c8244

由一§1_+§x+4=亍x+4得A：=_亍，±=0（舍去），

24（4、100

???點P的縱坐標(biāo)為y=^x--+4=—,

7I7J49

???點P坐標(biāo)為一J，曙］，..........7分

綜上，滿足條件的點P坐標(biāo)為（2,4）或1*詈｝

⑶：對稱軸x=l與x軸交于?點DM（-1,0）

???D（l,0）,A,D關(guān)于y軸對稱，AE=DE.....................8分

??,8（3,0）,C（0,4）,A（-l,0）

.\OB=3,OC=4,BC=5

如圖，過E作EF_LBC交BC于F,過A作AH_LBC交BC于H,

丁40CB=NOCB，Rt△CEF^Rt△COB

3

：.EF=-CE........................9分

5

.\DE+|CE=AE+EF,

由垂線段最短可知，AHJ_BC時，AE+EF有最小值A(chǔ)H--------------------10分

416

R3AHB中，AB=4,AH=-AI3=—.......................-11分

3

此時E（0,-）--------------------12分

4

4.（2024年廣東省廣州市天河區(qū)）已知拋物線C:y=。（不一/;）2-1,直線/：%=攵（無一〃）一1，其中

0<tz<2,k>0.

（I）求證：直線/與拋物線。至少有一個交點；

（2）若拋物線C與x軸交于4（%,0）,3（五2,。）兩點，其中％，且0<玉冗2<3,求當(dāng)〃=1時,

J

拋物線C存在兩個橫坐標(biāo)為整數(shù)的頂點；

（3）若在直線/下方的拋物線。上至少存在兩個橫坐標(biāo)為整數(shù)的點，求&的取值范圍.

【答案】（1）見解析（2）（1,-1）,（2,-1）

（3）k>4

【解析】

【分析】（I）聯(lián)立?'=一'解方程，判斷方程的解得個數(shù)即可解答：

y=K（x-h）-\

⑵根據(jù)4=1時，C：x=（xi）2-1,結(jié)合拋物線C與X軸交于A（%,0）,B（w，O）兩點，結(jié)合王<工2,

則內(nèi)二/?-1,々="+1，且。</I+1/<3,求得,</?<］，確定〃的整數(shù)解有1,2兩個，得證.

3-24

（3）根據(jù)題意，得當(dāng)x=/?+2時，月〉,恒成立.建立不等式解答即可.

本題考查了拋物線與一次函數(shù)的綜合，不等式組的解集與整數(shù)解，熟練掌握拋物線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【小問1詳解】

=a(x-h)1-1

聯(lián)立，

y=k^x-h)-\

Gm,,叩,ah+k

解方程，得x=/?,x=-----,

當(dāng)x=〃時,

y=7.

即直線與拋物線恒過點（〃,—1）,

故直線/與拋物線c至少有一個交點.

【小問2詳解】

當(dāng)a=l時，C:y一1,

??,拋物線C與工軸交于A（%,0）,8仇，°）兩點，

X—//=±1?

VX1V工2，

，芭=h-\,x2=h+\,

AO<-/?--<3

33

解得二

24

???力時整數(shù)，

:.h=l,h=2,

故幗物線C存在兩個橫坐標(biāo)為整數(shù)的頂點，且頂點坐標(biāo)為（1,一1）,（2,-1）.

【小問3詳解】

.???如圖所示：由（1）可知：拋物線。與直線/都過點A（力，-1）.

當(dāng)0V“W2,2>0,在直線/下方的拋物線C上至少存在兩個橫坐標(biāo)為整數(shù)點，

即當(dāng)x=/?+2時，%>）'i恒成立.

故k（h+2-h）-l>a（h+2-hf-T,

整理得：k>2a.

又丁k>2a,

???0<2?<4,

???k>4.

5.（2024年廣東省廣州市南沙區(qū)）已知拋物線），=/一以+匕一。的圖象過點A。』）

（1）求b與。的關(guān)系式；

<2）當(dāng)4>0時?，若該拋物線的頂點到X軸的距離是1,求4的值；

（3）將拋物線進行平移，若平移后的拋物線仍過點人（1,1）,點A的對應(yīng)點為點4（1-成-2〃+1）,當(dāng)

3

"7之一不時，求平移后的拋物線頂點縱坐標(biāo)的最大值.

2

【答案】（1）b=2a

（2）〃=2或。=2+2應(yīng)

15

⑶

16

【解析】

【分析】（I）把點A坐標(biāo)代入即可得到答案；

（2）根據(jù)〃=2。和該拋物線的頂點到x軸的距離是1得到=1,解方程后根據(jù)。＞0即可得到答

4

案；

（3）根據(jù)題意可知拋物線向左平移加個單位長度，向上平移-2。個單位長度.則平移后的拋物線解析式

/1\21]（\\11

為），=?把A（l，l）代入解得]-54+=±[3。+1.當(dāng)]_5〃+m=/Q+l時,

1（1

m=a；當(dāng)1一大。+m=-7Q+l時，m=-2（不合題意，舍去）；得到平移后的拋物線解析式為

212）

y—{x+—a—a——a2?即頂點為a,a|p=-a-^-a1,即

[2）4124J4

〃=-Q-_L/=-_Lg+2『+1.根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到答案.

44

【小問1詳解】

解：；拋物線y=/一辦+〃一。的圖象過點A（1』）.

,?1=I2-a+b-a，

:?b=2a；

【小問2詳解】

,:b=2a

1

y=x1-ax-\-b-a=x1-ax-^a=x——a\+a--a2

24

???該拋物線的頂點到x軸的距離是I,

a--a2=1,

4

解得。=2或"2+2應(yīng)或"2-2及，

???〃=2或。=2+2正

【小問3詳解】

由平移前的拋物線y=x2-ax+b-a=x2-ax+a=x—a

I2,

因為平移后A(l,l)的對應(yīng)點為4(1一機，一為+1)

可知，拋物線向左平移川個單位長度，向上平移-2〃個單位長度.

則平移后的拋物線解析式為y=卜―-a--a2

4

把4(1,1)代入，得1=

2

\y1

1---a+rn—X+a+—u2?

2)4

所以l-g〃+〃2=±(；Q+l

2

11)

當(dāng)1-54+機=一1/4+11時，加=一2(不合題意，舍去);

2

33

因為，〃之——，所以〃?=42--.

22

所以平移后的拋物線解析式為y=(x+ga)

即頂點為一

設(shè)〃=一。—a2,B|Jp=—a—a~=—(?+2)~+1.

444

因為—<0,所以當(dāng)。之一，時，〃隨。的增大而減小,

42

所以當(dāng)〃=-彳3時，〃取最大值為〃二一"L-3-+2、+1=1—5，

24(2J16

此時，平移后的拋物線頂點縱坐標(biāo)的最大值為”.

16

【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了二次函數(shù)的圖象和系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的點的坐標(biāo)特征，二

次兩數(shù)的圖象與幾何變換，也考查二次函數(shù)的性質(zhì).

6.(2024年廣東省廣州市海珠區(qū))

己知一次函數(shù)y=kx+1的圖像經(jīng)過點B(1,3),與x軸相交于點I),與y軸相交于點E,點C(2,0),記

ZDEO=a

(I)求k的值；

(2)點A在直線y=kx+l上，且在點B的下方，以AB為直徑的與線段CD有交點，求。尸的面枳的

取值范圍.

(3)在(2)的條件下，將線段AB繞點A按逆時針旋轉(zhuǎn)2a得到線段AB’,再將線段AB'繞點B按順時針

旋轉(zhuǎn)2a得到線段B'A再將線段BA'繞點A'按逆時針旋轉(zhuǎn)2a得到線段AB",若拋物線y=ax2+bx+c

經(jīng)過A、B、A;B”四點，求該拋物線頂點的縱坐標(biāo)的最大值與最小值的差.

答案:

解：(1)???比線y=kx+l經(jīng)過點B(l,3),，k+l=3,；.k=2

(2)方法一：由圖像動態(tài)分析可將，

m當(dāng)。戶經(jīng)過點c時??.?AB為直徑，

/.ZACB=90°.過點48分別作x軸的垂線，垂足為

/.ZBHC=ZCKA=90*?ZHBC=ZACK

.'.△BHC^ZSCKA

.BHHC

班點A(m,2m“)，-=--■■■?解刃m=-l.

Z-m|Zm>i|

??.米?1,-1),48=2遂……1分

當(dāng)。產(chǎn)與線段DC相加于點經(jīng)過點AB九連接用，因48為HJ3所以圓心F必在宜線

了=公+1上，設(shè)/風(fēng)2機+1),則點尸(爸1刈+2卜MR(笠±0),連接/凡用?,

過點//分別作x軸的垂線,垂定為K,H,則點.

同理可嘮吟，

*,?^7?—=\\*得到方程26m—11=0.

zeZm.l

肝得，叫=13-6右叫=13+6瓜舍去).

，產(chǎn)(7-3^,15-66),48=30-12了……I分

■:SPJ=

???(15-6石)1454(府”

即(405-180萬)乃￡545元

A0F的面枳的取值范也是：(405-180J?)”4sM5不……2分

方法二???點/在直線j，=2x+l上，設(shè)點4的橫坐標(biāo)為加,.??彳(m,2/w+l)

以為直徑的例與線段CDTT交點.

設(shè)網(wǎng)心為「，閱的半花為r.過點F作FR_Lx軸于點R,當(dāng)。尸與x軸相切時,半整最小,

此時AB=2FR,F(等，號當(dāng)

AB,=(2FR),

(m-I)2+(2m+l-3)2=(2x如土9)2

解得叫=13-6右,〃4=13+6j§(舍去)，

??/*—

???r215-6R

過點B作BH±x軸于點H.VZBHD=90*

當(dāng)點力與點。市合時，此時0/?經(jīng)過點H,FOFH，點C在圓外

???當(dāng)OF經(jīng)過點C時，共半徑最大.

此時48=2FC，AB、(2FC)‘

(m-l)2+(2m+l-3)2=4x(―-2)24-(--U3)2,解得zn=-l

22

一“"Js一】」，(2”il-3尸q

?.r$rC="='———...........二#5■

22

??r<V5?FR<r^FC

;.15-6V5<r<V5

???30-12石4"42后

???SR=/zr'，???(15-6q)院WSg(@:/r，即(405780好)萬￡S￡S太

.-.OF的而枳的取值苑國是：(405-180石)/r4s45/r……4分

《3》方法一：班8(〃,2〃+l),+15-604尸4石

即30-12返而48二石(”一，〃卜,6石一124〃一〃[42

線段18饒點A按逆時伸方向旋轉(zhuǎn)2a。得到線段48,???8'(2m-〃,2〃+l)

依題意得AB//AB\AB=AB\AB〃AB\AB=AB'

???四邊形/和四邊形ABBA都是平行四邊形.

?,?點8、"關(guān)于點8對稱

拋物線y=a/+/wc經(jīng)過，、B、A\B?四點，即對稱軸經(jīng)過6、B?的中點8,

；?拋物線的對稱軸為x=2m—〃......2分

設(shè)拋物戰(zhàn)的解析式為y=a(x-?+〃)?+〃

?圖像經(jīng)過/(二,2/?+1)和B(〃,2〃+1)

a(-m+/j)2+p=2/w+1,

，化簡可得3o(/n-〃)，=2(〃一，〃)??*?3a(n-ni)=2

a(2n-2/n)-+p=2〃+1

:2

?.?a(2n—2/n)+p=2/?+11.?.4a(〃-m)+p=2n+l

28

.?.4xy(/i-m)+p=2+1?p=3--(w-m)1分

???6石?124〃-加42,，???一gs,035-16石

2分

??,拋物線的頂點的最大例為35-16石,最小值為-g,最大值與最小值得差為

112-48萬

.............■公

方法二：線段/1〃繞點乂按逆時鐘方向旋轉(zhuǎn)2a得到線以46,???8'(2川-〃,2〃+1)

依避意得AB〃AB\AB=AB\AB〃AB\AB=AB

???四邊形488'/和四邊形力8口/都是平行四邊影.

???點8、8.關(guān)于點B對稱

拋物紋j，=ad+6x+c經(jīng)過/、B、A\8?四點，即對稱軸經(jīng)過8、8?的中點8’，

?,?拋物上的對稱軸為

由圖像分析可追當(dāng)48的越長時，拋物線的開口越大?閃為開口向上，則拋物我

y=加+c中的。越小,由于點8固定，則購物找的頂點的爆唱標(biāo)則加著48G長

時達到最小(ft,48域短時達到最大值.......1分

ill(2)可得當(dāng)=2j^時，點小一I,-1)?‘，"=一1,〃=?，，x=2〃i—〃=-3，設(shè)

拋物線的解析式為y=a(x+3>+p

」

而y="(x+3『+p經(jīng)過點48、，聯(lián)立方程[°。3),’3，解得1°3

Pmw=-J?......2分

同理可得當(dāng)/8=30-12石時,點4（13-6石.27-126）.聯(lián)立方程

卜。2f3解得卜血.

k6必W+p=27T2?]p=35T6石

'Aw=35-16石，...2分

.112-4875

,,最大值與最小值得差為-----3------……1分

7.（2024年廣東省廣州市黃埔區(qū)）已知二次函數(shù)），=at?+2以+。圖象與x軸交于點A和點8（-3,0）,

與y軸交于點。（0,3）.

（I）求點A的坐標(biāo)；

（2）若點。是直線3c上方的拋物線上的--點，過點。作。E〃），軸交射線AC于點E,過點。作

DF1BC于點、F,求3&O尸-的最大值及此時點。坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，若點P,Q為x軸下方的拋物線上的兩個動點，并且這兩個點滿足NPBQ=90。，

試求點。到直線PQ的最大距離.

【答案】（I）A（l,0）

（2）3夜。尸一QE最大值為%此時點。的坐標(biāo)為（一1，4）；

（3）V29

【解析】

【分析】（1）先利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，進而求出點A的坐標(biāo)即可；

（2）先求出直線BC解析式為），=x+3,同理可得直線AC解析式為y=-3x+3,設(shè)

。（6，一機2一2/%+3）,則E（m,—3〃?+3）,H（777,-/774-3）,可得￡）￡1=/一〃z,DH=—m2-3/n；

再證明ADHF是等腰直角三角形，得到DH=叵DF，則3叵DF-DE=3DH-￡）E'=-4（m+l）2+4,

據(jù)比可得答案；

⑶設(shè)川s,---25+3）,2（/,-/2-2/+3）,設(shè)直線依解析式為尸乙+加，可利用待定系數(shù)法求

出/=—s+l,b'=3kr,同理可得直線Q3解析式為），=Nr+b〃=（T+l）x+〃〃，〃〃=3K；如圖所示,

設(shè)直線PB,QB分別與y軸交于r、R,可求出OT=b=3k',OR=-bn=-3k",證明,

y=kx+b

可推出YM〃=T,進而得到s/-s-，+2=0；設(shè)直線PQ解析式為》=4/+4，聯(lián)立，}x

y=-x2-2x+3

得產(chǎn)+（勺+2卜+4-3=0,則s+f=—勺-2,st=b「3,據(jù)此可得4+偽=-1,即直線PQ經(jīng)過定

點H0，-1）：設(shè)點。到直線。。得距離為從由垂線段最短可得〃WOH,則當(dāng)?！盻LPQ時，力最大,

()()回

最大值為DH=JTT2+|_4-T_f=?

【小問1詳解】

解：???拋物線y=o?+2ax+c經(jīng)過研-3,0）,C（0,3）,

9。-6。+c=()

c=3

a=-\

c=3

:.拋物線解析式為y=-x2-2x+3,

在y=-工2-2x+3中，當(dāng)y=-Y-2x+3=0,解得x=l或x=-3,

A>4(1,0)；

【小問2詳解】

解：設(shè)直線解析式為），=履+〃，直線OE交直線BC于從

—3女+8=0

h=3

k=[

??4，

b=3

???直線BC解析式為＞=x+3,

同理可得直線AC解析式為y=-3x+3,

設(shè)D^in.-irr-2m+3),則打小,一3帆+3),H(〃?,一〃?+3),

DE=-3m+3-(一，-2〃z+3)=nr-m,DH=-nr-2m+3一(m+3)=-m2-；

,??義—3,0),C(O,3),

*#?OB-OC，

???NO。=45。，

??,HE//y軸，

???ZDHF=ZOCB=45°,

???△D”/是等腰直角三角形，

???DH=42DF，

???3叵DF-DE=3DH-DE=-3m2-=-4m2-8m=-4(〃z+17+4,

?,?,〃=-1時，36DF-DE有最大值,最大值為4,

,比時點。的坐標(biāo)為(-1,4)；

解：設(shè)尸卜，-s~—2s+3),Q，,—廣—2r+3),

設(shè)直線PB解析式為y=kfx+bf,

r1

*sk+b'--s-25+3

3A'+Z/=O

???/=4一2"3=-(s+3)(s-l)=r+],6=3k,

5+35+3

，直線尸“解析式為y=(-s+l)》+//,

同理可得直線QB解析式為y=A<r+/?*=(-/+l)x+〃"，bn=3k〃

如國所示，設(shè)直線網(wǎng)，Q8分別與），軸交于八R,

/.T（0,b'）,R（0,zr）,

：?OT=H=3k',OR=-bn=-3kn,

???/PBQ=9U0,

：.ZTBR=90°,

???ZOTB+ZOBT=90°=ZOBR+ZOBT,

???NOTB=NOBR,

又NBOT=NROB=90°,

???△BOTS^ROB,

.OBOR3—3k〃

??--=----,即（m—=-----,

OTOB3k'3

.??k'k"=T，

???（-5+1）（-r+l）=-l,

sf-s—r+2=0；

設(shè)直線PQ解析式為y=k、x+b\,

y=k,x+b,/、

聯(lián)立，22+3得廠+（勺+2）x+4—3=0,

.\s+t=-k1-2,st=b、-3,

/.4-3-（-4-2）+2=0,

???直線PQ經(jīng)過定點”（1,一1）；

設(shè)點。到直線PQ得距離為兒

由垂線段最短可得介

???當(dāng)時，最大，最大值為D”="一1一1）2+[4-（一1）7=a.

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，相似三角形的性質(zhì)與判定，一次函數(shù)與幾何綜合，等腰直角三角

形的性質(zhì)與判定，勾股定理等等，解（2）的關(guān)鍵在于證明△麗是等腰直角三角形得到及。/，

解（3）的關(guān)鍵是推出直線PQ經(jīng)過定點

8.（2024年廣東省廣州市花都區(qū)）已知拋物線：y=W+限-3（4。0）的對稱軸是直線x=l,與x軸交

于A、B兩點（A在8左側(cè)），與V軸交于C點.

（I）求拋物線的解析式；

（2）若點。在線段3c上，且求sinNCAO的值；

（3）拋物線向右平移〃?個單位＞1）,平移后A、"的對應(yīng)點分別是4、4，點E在y軸的負半軸

上，且以點。、兒、E為頂點的三角形與工O4C相似.點尸是平移后的拋物線上的一點，若四邊形4片人與

是平行四邊形，求機的值.

【答案】（1）y=x2-Zr-3

⑵正

5

14

（3）=2或/〃=一

3

【解析】

【分析】（I）由------=1,得〃=一2,即可求解；

2x1

（2）先證明△AOC是直角三角形，即可求解:

（3）先利用相似用，〃的代數(shù)式表示出點石的坐標(biāo)，再山平行四邊形的對邊相等，建立方程求解即可.

【小問1詳解】

解：由題意得：一——=1,

2x1

。=—2,

???他物線的解析式為：）=/-2X-3；

【小問2詳解】

解；＞'=0,則/―2工一3=0,解得％=-1,當(dāng)=3,

???4（-1,0）,8（3,0）,

當(dāng)x=（）時，）二-3,，C（0,—3）,

：?OB=OC=3,而NB