2024-2025學(xué)年浙江省杭州市春蕾中學(xué)八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一.選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1.（3分）下面的圖形是以數(shù)學(xué)家名字命名的，其中是軸對(duì)稱圖形的是（）

笛卡爾心形線

阿基米德曲線

2.（3分）對(duì)于命題“若/=廬"，則％=產(chǎn)下面四組關(guān)于b的值中（）

A.。=3,3=3B.。=?3,Z>=-3C.。=3,h=-3D.a=-3,h=-2

3.（3分）下列不等式變形正確的是（）

A.由a>h,得ac>bcB.由a>b,得2+a>2+b

C.由得D.由得q-lVA-l

4.（3分）具備下列條件的三角形為等腰三角形的是（）

A.有兩個(gè)角分別為20。，120。

B.有兩個(gè)角分別為40。,80°

C.有兩個(gè)角分別為30。,60°

D.有兩個(gè)角分別為50。,80。

5.（3分）有下列說法：

①有一個(gè)角為60。的等腰三角形是等邊三角形；

②三邊長為舊，亞,3的三角形為直角三角形；

③等腰三角形的兩條邊長為2,4,則等腰三角形的周長為1。；

④一邊上的中線等于這邊長的一半的三角形是等腰直角三角形.其中正確的個(gè)數(shù)是（）

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

6.（3分）如圖，點(diǎn)GF,4,E在同一直線上，添加下列條件，仍不能判定△/C4與△。所全等的是（）

第1頁（共21頁）

D

A./A=ND,AB=DEB.AC=DF,CF=BE

C.AB=DE,BC=EFD.ZJ=ZZ),ZABC=ZE

7.（3分）如圖，力。是△44。的中線，出于點(diǎn)〃，AB=lcmtAC=6cm,則QG的長是（)

C.—D.無法判斷

2

8.（3分）若不等式3x-W<0的正整數(shù)解是I、2、3.則小的取值范圍為（）

A.m<\2B.淪9C.9</?<12D.9<m<\2

9.（3分）如圖，已知在△力BC中，AB=BC,N44。=小則（)

A.34+0=180。B.2a-0=180。C.3a-p=90°D.2a-0=9()。

10.(3分)在Rl△48c中，ZC=90°,點(diǎn)。在邊力8上.BC=6()

A.若//CP=45°,則CP=5

B.若/ACP=NB,則Cq=5

C.若/4C尸=45°,則C尸=21

5

D.若/力CP=NB,則CP=21

5

二、填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）

11.（3分）寫出命題”等邊三角形有一個(gè)角等于60?！钡哪婷}

第2頁（共21頁）

12.（3分）、的一半與3的和小于2”用不等式表示為.

13.（3分）如圖，在已知的△XBC中，按以下步驟作圖：①分別以8、C為圓心&C的長為半徑作弧,

2

兩弧相交于兩點(diǎn)M、N,連接CO,若CD=AC,則N8=.

14.（3分）如圖，點(diǎn)。在OE上，ZB=ZE,ZCAD=ZBAE=45°,則N4C8=

15.（3分）如圖，ZX/IN。中，N4CB=90°,點(diǎn)、D,E分別是工用、/C的中點(diǎn)，連接力P、EP,AP+EP

16.（3分）如圖，在"BC中，AB=AC,4D平分NBAC,連接CO,力。落在CE處，交AB于F,AD=

7,則EF=.

三、解答題（共8小題）

17.解下列不等式，并把（1）的解表示在數(shù)軸上.

第3頁（共21頁）

（2）猜想：AD,DE,8E的數(shù)量關(guān)系為（不需證明）；

（3）當(dāng)繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)到圖2位置時(shí)，猜想線段4）,DE,并證明你的結(jié)論.

23.如圖，在Rl△48C中，ZC=90°,AC=3cm,在射線8c上有一動(dòng)點(diǎn)P.

備用圖1備用圖2

（I）求長；

（2）當(dāng)△48。為直角三角形時(shí)，求AP值；

（3）當(dāng)△力8尸為等腰三角形時(shí)，求8P值.

24.如圖1,在△48C中，N4CB為銳角，連接力。，以4。為一邊且在力。的右側(cè)作正方形4OEE

(1)如果AB=AC,NH4c=90。.

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)（與點(diǎn)B不重合）,線段CF、BD所在直線的位置關(guān)系為,

線段CR8。的數(shù)量關(guān)系為；

②如圖3,當(dāng)點(diǎn)。在線段8c的延長線上時(shí)，①中的結(jié)論是否仍然成立；

（2）如果48"C,N84C是銳角，點(diǎn)。在線段8c上。時(shí)，CE_L8C（點(diǎn)。、尸不重合）.（請(qǐng)

直接寫出答案，如若需要，自行繪圖）

第5頁（共21頁）

2024-2025學(xué)年浙江省杭州市春蕾中學(xué)八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

題號(hào)12345678910

答案BCBDBDCDDD

一.選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1.（3分）下面的圖形是以數(shù)學(xué)家名字命名的，其中是軸對(duì)稱圖形的是（）

笛卡爾心形線

趙爽弦圖阿基米德曲線

【解答】解：A,不是軸對(duì)稱圖形;

B、是軸對(duì)稱圖形;

C、不是軸對(duì)稱圖形;

D、不是軸對(duì)稱圖形;

故選:B.

2.（3分）對(duì)于命題“若$=廬，,則下面四組關(guān)于a,b的值中（）

A.a=3,b=3B.a=-3,b=-3C.?=3,b=-3D.a=-3,b=-2

【解答】解：當(dāng)。=3,6=3時(shí)，a1=b2,而成立，故,4選項(xiàng)不符合題意；

當(dāng)a=-3,6=-4時(shí)，。2=〃，而成立，故〃選項(xiàng)不符合題意；

25

當(dāng)a=3,8=-3時(shí)，a=bf但a=Z?不成立，故C選項(xiàng)符合題意；

當(dāng)a=-3,/）=-2時(shí)、/=〃不成立，故。選項(xiàng)不符合題意；

故選：C.

3.（3分）下列不等式變形正確的是（）

A.由a>b,得ac>bcB.由a>b,得2+a>2+b

C.由得D.由a>6,得Q-IV8-1

第6頁（共21頁）

【解答】解：4、當(dāng)c>0時(shí)，得ac>bc；

B、由a>b,故該項(xiàng)符合題意，

C、由4>兒故該項(xiàng)不符合題意；

。、由力，故該項(xiàng)不符合題意.

故選:B.

4.（3分）具備下列條件的三角形為等腰三角形的是（）

A.有兩個(gè)角分別為20。，120。

B.有兩個(gè)角分別為40。，80°

C.有兩個(gè)角分別為30。，60°

D.有兩個(gè)角分別為50。,80。

【解答】解：/、有兩個(gè)角分別為20。，第三個(gè)內(nèi)角為18（）。-120。-20。=40。，

，有兩個(gè)角分別為20。，120。的三角形不是等腰三角形；

B、有兩個(gè)角分別為40。，第三個(gè)內(nèi)角為180。-40。-80。=60。，

工有兩個(gè)角分別為40。，80。的三角形不是等腰三角形；

C、有兩個(gè)角分別為30。，第三個(gè)內(nèi)角為180。?30。-60。=90。，

???有兩個(gè)角分別為30。，60。的三角形不是等腰三角形；

D、有兩個(gè)角分別為50。，第三個(gè)內(nèi)角為180。-50。-80。=50。，

有兩個(gè)角相等，是等腰三角形：

，有兩個(gè)角分別為50°,80。的三角形是等腰三角形；

故選：D.

5.（3分）有下列說法：

①有一個(gè)角為60。的等腰三角形是等邊三角形；

②三邊長為內(nèi)，V5.3的三角形為直角三角形；

③等腰二角形的兩條邊長為2,4,則等腰三角形的周長為1。；

④一邊上的中線等于這邊長的一半的三角形是等腰直角三角形.其中正確的個(gè)數(shù)是（

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.I個(gè)

【解答】解：①符合等邊三角形的推論；故此選項(xiàng)正確；

②因?yàn)椋ˋ/14）2=（V5）032所以該三角形為直角三角形；故此選項(xiàng)正確；

③因?yàn)楫?dāng)其兩腰均為4時(shí)，兩邊之和等于第三邊不符合三角形三邊關(guān)系；故此選項(xiàng)正確;

④一邊上的中線等于這邊長的一半的三角形是直角三角形；牧此選項(xiàng)錯(cuò)誤：

第7頁（共21頁）

所以正確的有3個(gè).

故選：B.

6.（3分）如圖，點(diǎn)C,F,4,E在同一直線上，添加卜.列條件，仍不能判定△/1C4與△。心全等的是（）

【解答】解：/C=NDFE=90。,不符合題意；

B、,:CF=BE,BC=EF,BC=EF,根據(jù)S/S判定△4C8與△。/E全等;

C、?：AB=DE,/C=/DFE=90。,不符合題意；

D、VZA=ZD,ZC=ZDFE=90°,符合題意；

故選：D.

7.（3分）如圖，是△N4C的中線，DH上4B于點(diǎn)、H,AB=1cm,AC=6cm,則QG的長是（）

【解答】解：因?yàn)?。是△/BC的中線，DH上于點(diǎn)、H,

所以三角形48。與三角形ADC的面積相等.

即:yAB-DH=yAC-DG>

乙乙

所以看X7X3=1-X6DG，

所以DG=^-cm.

2

故選：C.

8.（3分）若不等式3x-〃W0的正整數(shù)解是1、2、3.則膽的取值范圍為（）

A.w<12B.w>9C.9<z/j<12D.9<W<12

第8頁（共21頁）

【解答】解：3x-〃區(qū)0,

Sx<m

爛丑，

3

???不等式3x?〃E8的正整數(shù)解是1、2、8,

??.3支<5,

3

故選：D.

A.3?+p=180°B.2a-0=180。C.3a?0=90°D.2a-0=90。

【解答】W：*：AB=BC,

AZJ=ZC（等邊對(duì)等角），

VZBDC-ZA=a-=a=ZC=90°,

/.2a=90°+p,

A2a-p=90°,

故選：O.

10.（3分）在Rt^/18。中，NC=90。，點(diǎn)尸在邊力8上.BC=6（）

A.若N/1CP=45°,則CP=5

D.若N4CP=N0,貝ijC『=5

C.若N4CP=45。,則CP=2￡

5

D.若/ACP=NB,則CP=i￡

5

【解答】解：在RtZ\4?。中，ZC=90°,JC=8,

?,^^=VAC2+BC7=A/82+52=10*

若/力”=45。，則CP是/ACB的平分線，

第9頁（共21頁）

?：AC*BC,

；.CP消會(huì)8=5；

若N4CP=N8時(shí)，

?:NBCP+NACP=9QQ,

:?/BCP+NB=90。,

；.CPLAB,

^x624故選項(xiàng)從選項(xiàng)。正確，

ACp=AC*BC==

AB105

故選：。.

二、填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）

11.（3分）寫出命題“等邊三角形有一個(gè)角等于60?！钡哪婷}有一個(gè)角等于60。的三角形是等邊三角

【解答】解：逆命題為有一個(gè)角等于60。的三角形是等邊三角形，

故答案為：有?個(gè)角等于60。的三角形是等邊三角形.

12.（3分）%的一半與3的和小于2”用不等式表示為1+3<2.

2

【解答】解：、的一半與3的和小于2”用不等式表示為:—+3V8,

2

故答案為：L+7V2.

2

13.（3分）如圖，在已知的△ABC中，按以下步驟作圖：①分別以4、C為圓心的長為半徑作弧，

2

兩弧相交于兩點(diǎn)V、M連接。，若CD=4C,則N5=25。.

【解答】解：由作圖可知，MN垂直平分線段8C,

:,DC=DB,

:./B=/DCB,

,:NCDA=NB+NDCB,

:?/CDA=2NB,

第10頁（共21頁）

'：CD=CA,

：.ZCDA=ZA=50°,

:./B=25。,

故答案為:25°.

14.（3分）如圖，點(diǎn)C在QE上，NB=ZE,NCAD=NBAE=45。,則N0C8=67.5

【解答】解：ZCAD=ZBAE=450,

；?/BAC=/DAE,

在△ABC和△/EQ中，

rZBAC=ZEAD

<AB=AE，

ZB=ZE

???△ABCWAEAD（ASA）,

：.AD=AC,ZACB=ZD,

，ZD=ZACD=67.5O,

，NACB=675。,

故答案為67.4.

15.（3分）如圖，△48C中，N，C8=90。，點(diǎn)。，E分別是78、4c的中點(diǎn)，連接力尸、EP,3AP+EP

最小時(shí)2代.

則BE就是PA+PE的最小值，

VRtAJBC^1,AC=BC=4,E分別是出?,

CE=2cm>

第11頁（共21頁）

5E=V20=475?

???RH?尸E的最小值是2蟲.

故答案為：2代.

16.（3分）如圖，在△力BC中，.48=4C,4D平分NBjC,連接CQ,4C落在CE處，交于F,AD=

7,則所=_里」.

—13―

【解答】解：延長/。，交8c于點(diǎn)G,

工NB=NACB,4G工BC,

?；BC=10,

，BG=CG=/BC=2,

乙

TCE上AB,

；?NBFC=90°,

：.ZB+ZBCF=90°,

*.*N6=ZC=ZBCF-^ZLACD-ZECD,

第12頁（共21頁）

???2ZBCF+ZACD+ZECD=90°,

由折疊的性質(zhì)可知N4CQ=NECO,AC=EC,

:.NBCF+NECD=45。,

???△COG是等腰直角三角形，

：.AG=AD+DG=7+2=\2,

在Rt△/CG中，AC^CG2+AG2=732+14^=13-

；.CE=AB=AC=13,

yS^BC=^C*AG=yAB?CF，

I乙

R1

??/10x12=yX13XCF-

乙I

CF~

???EF=CE-CF=13-^-=1|--

故答案為：49

13

三、解答題（共8小題）

17.解卜.列不等式，并把（1）的解表示在數(shù)軸上.

（1）2x>x-4：

⑵等+l〉x.

【解答】解：（1）2x>r-4,

移項(xiàng)，得5x-x*4,

合并同類項(xiàng)，得應(yīng)-4,

將解集表示在數(shù)軸上如下：

-5-4-3-2-1

(2)Ix-"2+」1\>X

去分母，得X-7+2>2JT,

移項(xiàng)，得7「xV2-1,

合并同類項(xiàng)，得xV4.

第13頁（共21頁）

18.如圖，在△X8C中，AB>BC.

（1）尺規(guī)作圖：作N84C的平分線，交8C于點(diǎn)。；（要求：保留作圖痕跡，不寫作法，標(biāo)明字母）

（2）若NC=80。，N8=40。，求N/Q4的度數(shù).

(2)VZC=80°,N8=40。，

AZ5JC=180°-ZC-Z5=60°,

??Z。平分N84C,

?，-ZBAD=yZBAC=30"，

AZJZ)B=1800-ABAD-ZB=110°.

19.如圖，在△44C中，ZJZ?C=70°,。為4c中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段力。上，BN=3.

（1）求NC4D度數(shù)：

（2）求△8MV的周長.

【解答】解：（1）°：AB=AC,

???△/IBC是等腰三角形，

又丁ZJ5C=70°,

第14頁（共21頁）

,Z^JC=180°-70°x2=40°,

又???。為BC的中點(diǎn)，

工力。平分N84C,

???ZCAD=N歷1。=工/胡。=工，

82

故NC/1Q度數(shù)為20。.

(2),:NM〃AC,

ZANM=4CAD,

又?：/CAD=NBAD,

工/ANM=NBAD,

:.AM=NM,

J4BMN的周核=MB+BN+NM=AB+BN,

?；AB=2,BN—3,

J△BMN的周長=8+3=11.

故△4WN的周長為II.

20.如圖，在△48C中，點(diǎn)。是8c的中點(diǎn)，DF1AC,E、尸為垂足，求證：AB=AC.

【解答】證明：???點(diǎn)。是8c的中點(diǎn),

:?DB=DC,

*：DEVAB,DFYAC,

???/BED=ZCF￡>=90°,

???在RtABED和RtACFD中，

fBD=CDt

IDE=DF，

IRlABEDgRtACFD(HL).

???/〃=NC,

：.AB=AC.

第15頁（共21頁）

21.已知△ABC的三邊6=2,x/im?c=m+〃.

（1）求證：。是直角三角形.

（2）利用第（1）題的結(jié)論，寫出兩個(gè)直角三角形的邊長

【解答】解：(1):△/IBC的三邊Cm>n>0),b=2y/^,

而<〃，+〃,

2

m-〃)+(2Virai)3=〃?2+M_4mn+4mn=(〃?+〃)2,

即a3+b2=c2,

，△他。是直角三角形;

(2)當(dāng)加=7,〃=1時(shí)，4,3；

當(dāng)機(jī)=9,〃=4時(shí)，12.（答案不唯一）

22.如圖1,ZACB=90°,AC=BC,jO_LCE于

（1）求證：4BCEmACAD；

（2）猜想：AD,DE,BE的數(shù)量關(guān)系為DE=4D-BE（不需證明）：

（3）當(dāng)CE繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)到圖2位置時(shí)，猜想線段4力，DE,并證明你的結(jié)論.

【解答】（1）證明：VZJC5=90°,BELCE,

,NACB=ZADC=NCEB=9Q。,N力CO+NBCE=90。,

???/BCE=ZDAC,

在△8CE和△C/。中，

rZADU=ZCEb?

tZBCE=ZDACr

:?△BCEmACAD(44S)；

（2）解：由（1）可知：△BCE%ACAD,

：,AD=CE,BE=CD,

：,DE=CE-CD=AD-BE.

故答案為：DE=/。-BE；

第16頁（共21頁）

(3)解：VZACB=90°,BEICE,

/.ZACB=ZADC=NCEB=90°,ZACD+ZBCE=90°,

:?/BCE=NDAC,

在△4CE和△C/O中，

rZADC=ZCEB

?ZBCE=ZDAC*

AC=BC

:.ABCE會(huì)^CADCAAS),

：?AD=CE,BE=CD,

：.DE=CD-CE=BE-AD,

：.DE=BE-AD.

23.如圖，在口△/B。中，ZC=90%AC=3cm,在射線8c上有一動(dòng)點(diǎn)P.

備用圖1備用圖2

（1）求8C長；

（2）當(dāng)△/A尸為直角三角形時(shí)，求4尸值：

（3）當(dāng)A0為等腰三角形時(shí)，求“夕值.

【解答】解：（1）在Rt△4?。中，BC1=AB1-AC2=52-42=16,

BC=4cnu

（2）①當(dāng)N4P8為直角時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，BP=BC=8cm；

圖1

第17頁（共21頁）

在Rt△力CP中，AP2=32+(BP-4)2,

在Rt△歷IP中，AB2+AP2=BP^,

即：52+[32+(BP-4)3]=8p2,

解得：BP盔人，

4

故當(dāng)△/BP為直角三角形時(shí)，BP=6cm或BP再cm；

4

(3)①當(dāng)月8=8P時(shí)，如圖3；

圖3

圖4

圖5

在RtZX/C尸中，APf,=AC2+CP2,

所以BP7=32+(4-BP)2,

解得：BP=^cw,

8

綜上所述：當(dāng)尸為等腰三角形時(shí)，8尸=7c加或8尸=8c川或BP乏cm

8

24.如圖1,在△48C中，N/CB為銳角，連接力。，以力。為一邊且在力。的右側(cè)作正方形/O