2021-2025年高考數(shù)學(xué)真題知識(shí)點(diǎn)分類匯編之立體幾何初步（二）

一.選擇題（共9小題）

1.（2023?乙卷）已知圓錐PO的底面半徑為V5,O為底面圓心，PA,PB為圓錐的母線，408=120°,

若的面積等于些，則該圓錐的體積為（）

4

A.TTB.V6TTC.3nD.3>/6n

2.（2023?上海）如圖所示，在正方體43。。-4|用。。|中，點(diǎn)/5為邊4。上的動(dòng)點(diǎn)，則下列直線中，始

終與直線異面的是（）

3.（2023?甲卷）在三棱錐P-ABC中，△/WC是邊長為2的等邊三角形，PA=PB=2,PC=V6,則該棱

錐的體積為（）

A.1B.V3C.2D.3

4.（2023?甲卷）在四棱錐尸中，底面ABCO為正方形，AB=4,PC=PD=3,ZPCA=45°,則

△P8c的面枳為（）

A.2V2B.3&C.4V2D.5V2

5.（2023?乙卷）如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個(gè)零件的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1,則該零件的表面

1?

6.（2023?天津）在三棱錐P-A8C中，點(diǎn)M,N分別在棱PC和PA上，且PM=4PC,PN=』PB,則三

棱錐P?AMN和三棱錐P?ABC的體積之比為（)

124

A.-B.-cD.-

99-i9

7.（2023?全國）長方體的對(duì)角線長為1,表面積為1,有一面為正方形，則其體積為（）

V2V2C.遮V2

A.----B.一D.—

1082796

8.（2022?甲卷）甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為2m側(cè)面積分別為S甲和S乙,

S甲V甲

體積分別為V甲和V乙.若丁=2,則［―=（)

S乙7乙

5>/10

A.V5B.2V2C.gD.------

4

9.（2022?北京）已知正三棱錐P-/WC的六條楂長均為6,S是△A4C及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合.設(shè)集合

7={QE51PQW5},則7表示的區(qū)域的面積為（）

37r

A.一B.TTC.2nD.37T

4

多選題（共1小題）

（多選）10.（2023?新高考I）下列物體中，能夠被整體放入棱長為I（單位：加）的正方體容器（容器

壁厚度忽略不計(jì)）內(nèi)的有（）

A.直徑為0.99機(jī)的球體

B.所有棱長均為1.4”?的四面體

C.底面直徑為0.01m,高為1.8/n的圓柱體

D.底面直徑為1.26,高為0.01〃?的圓柱體

三.填空題（共7小題）

11.（2024?北京）漢代劉歆設(shè)計(jì)的“銅嘉量”是畬、合、升、斗、斛五量合一的標(biāo)準(zhǔn)量器，其中升量器、

斗量器、斛量器的形狀均可視為圓柱.若升、斗、斛量器的容積成公比為10的等比數(shù)列，底面直徑依

次為65〃〃〃，325mm,325/w〃，且斛量器的高為230皿n,則斗量器的高為mm,升量器的高

為mm.（不計(jì)量器的厚度）

12.（2024?上海）已知四棱柱A8CO-AiBCiOi底面A8CO為平行四邊形，AAi=3,80=4且力坊?8C—

AD.-DC=5,求異面直線A4與8。的夾角

13.（2023?新高考I）在正四棱臺(tái)ABCD-A\B\C\D\中，AB=2,Ai8i=1,A4尸企，則該棱臺(tái)的體積

為

14.（2023?新高考H）底面邊長為4的正四棱誰被平行于其底面的平面所截，截去一個(gè)底面邊長為2,高

為3的正四棱錐，所得棱臺(tái)的體積為.

15.（2023?甲卷）在正方體ABCD-4用CQ中，AB=4,。為4。的中點(diǎn)，若該正方體的棱與球。的球

面有公共點(diǎn)，則球。的半徑的取值范圍是.

16.（2023?甲卷）在正方體中，E,尸分別為CD,Ai陰的中點(diǎn)，則以EF為直徑的球面

與正方體每條棱的交點(diǎn)總數(shù)為.

17.（2023?上海）空間中有三個(gè)點(diǎn)A、B、C,且AB=8C=C4=1,在空間中任取2個(gè)不同的點(diǎn)。，E（不

考慮這兩個(gè)點(diǎn)的順序），使得它們與A、8、C恰好成為一個(gè)正四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)，則不同的取法有

種.

四.解答題（共3小題）

18.（2024?上海）如圖為正四棱海ABC。,。為底面A3。的中心.

（1）若AP=5,AD=3五,求△POA繞尸。旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積;

（2）若石為的中點(diǎn)，求直線與平面AEC所成角的大小.

19.（2023?乙卷）如圖，在三棱錐P-ABC中，A8_L8C,48=2,BC=2五,PB=PC=瓜'BP,AP,

AC的中點(diǎn)分別為Q,E,O,點(diǎn)尸在人。上，BFLAO.

（1）求證：EF〃平面AOO；

（2）若/尸。尸=120°,求三棱錐尸-ABC的體積.

20.（2023?全國）在直三棱柱ABC-A山中，AB=AC=1,.44=&,NC48=120°.

（1）求直三棱柱48C-A山Ci的體積；

（2）求直三棱柱43C-Ai〃iCi的表面積.

故該圓錐的體積仁%TX（V3）2h=V6n.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓錐的體積計(jì)算，注意圓錐的體積計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題.

2.（2023?上海）如圖所示，在正方體ABCO-4用。。1中，點(diǎn)P為邊4cl上的動(dòng)點(diǎn)，則下列直線中，始

終與直線3P異面的是（）

【考點(diǎn)】異面直線的判定：空間中直線與直線之間的位置關(guān)系.

【專題】整體思想；綜合法；立體幾何；邏輯思維；運(yùn)算求解.

【答案】B

【分析】根據(jù)空間中的兩條直線的位置關(guān)系，判斷是否為異面直線即可.

【解答】解：對(duì)于4,當(dāng)P是ACi的中點(diǎn)時(shí)，B尸與。。是相交直線；

對(duì)于從根據(jù)異面直線的定義知，3P與AC是異面直線；

對(duì)于C,當(dāng)點(diǎn)尸與。重合時(shí)，。尸與AD是平行直線；

對(duì)于。，當(dāng)點(diǎn)P與。重合時(shí)，8P與81c是相交直線.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了兩條直線間的位置關(guān)系應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

3.（2023?甲卷）在三棱錐P-48c中，ZVIBC是邊長為2的等邊三角形，PA=PB=2,尸。=n，則該棱

錐的體積為（）

A.1B.V3C.2D.3

【考點(diǎn)】棱錐的體積.

【專題】數(shù)形結(jié)合：轉(zhuǎn)化法；空間位置關(guān)系與距離；運(yùn)算求解.

【答案】A

【分析】取A8的中點(diǎn)。，連接PD、CD,可得平面PC。，再求出△PCO面積，然后利用棱錐體

積公式求解.

【解答】解：如圖，

M=PB=2,AB=BC=2,取A4的中點(diǎn)〃，連接〃"，CD,

可得人ABLCD,

XPDQCD=DtPD、COu平面PC7),平面PC。，

在△%B與△ABC中，求得PD=CD=V22-M=6,

在△PC。中，由尸Q=CQ=J5，PC=爬,得尸J+cJnpc?,pillPD1CD,

113

-XpDXcD=--

222

**,^P-ABC=3^APCDXA8=wX2=1.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查多面體體積的求法，訓(xùn)練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題.

4.（2023?甲卷）在四棱錐P-A8CO中，底面ABCO為正方形.AB=4,PC=PD=3,ZPCA=45°,則

△P3C的面枳為（）

A.2x[2B.3虎C.4聲D.55/2

【考點(diǎn)】棱錐的結(jié)構(gòu)特征.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；運(yùn)算求解.

【答案】C

【分析】解法一：先根據(jù)對(duì)稱性易知NPD8=NPC4=45°,再根據(jù)余弦定理求出PB,然后用余弦定

理求△P3C的一個(gè)角的余弦值，從而得該角的正弦值，最后代入三角形面枳公式，即可得解.

解法二：設(shè)?在底面的射影為H,連接“C,設(shè)NPC”=e,/AC，=a，且a￡(0,1),則/，CO=45°

-a,或N"CO=45°+a,易知cosNPCO=5,又NPCA=45°,再根據(jù)最小角定理及三角形面積公式,

即可求解.

【解答】解：解法一：???四棱錐P-A8CD中，底面ABCQ為正方形,

又PC=PD=3,ZPCA=45°,

，根據(jù)對(duì)稱性易知NPO8=NPCA=45°,

又底面正方形A8CO得邊長為4,???8。=4企，

??.在△PB。中，根據(jù)余弦定理可得：

PB=J(4V5)2+32-2X4V2X3X^=V17,

又BC=4,PC=3,???在△尸BC中，由余弦定理可得：

/r>cr?16+9—171.2J2

cosZ-LCD—2X4X3-W'??sinFCb—3,

112\[2r

:.IXPBC的面積為一xBCxPCxsinz.PCB=-x4x3x-----=4V2.

223

解法二：如圖，設(shè)。在底面的射影為H,連接〃C,

設(shè)NPC〃=6,NACH=a,且a￡(0,-),

2

則N〃CO=45°-a,或N”CO=450+a,

9

易知cosN尸8=東又NPCA=45°,

J

則根據(jù)最小角定理(三余弦定理)可得:

cos^PCA=cosOcosa

cosZ-PCD=cosGcosZ-HCD

72°(42a

-2=cosOcosa或，\干2=cosOcosa

i=cos0cos(45°—a)Q=cos0cos(450+a)

'J

.cos(45°-a)2魚5cos(45。+。)2x/2

丁或

cosacosa3

cosa+sina4cosa-sina—4—

cosa3"cosa3

]1TC

，tana=3或tana=-5，乂a€(0,一),

352

Atana=i,.3^1

..cosa=7=,^?=7=,

\[2375

：,T=7=COS0./.COS0=T，

再根據(jù)最小角定理可得:

cosZPCB=cosOcos(450+a)=x(-^==—-7=)=i,

，$inNPC8=孥，又BC=4,PC=3,

112J2

:APBC的面積為一xBCxPCxsin乙PCB=-x4x3x—=4夜.

223

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形面枳的求解，余弦定理的應(yīng)用，三角形面積公式的應(yīng)用，最小角定理的應(yīng)用,

化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題.

5.（2023?乙卷）如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個(gè)零件的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1,則該零件的表面

積為（）

蠹蠹

A.24B.26C.28D.30

【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積.

【專題】計(jì)算題：轉(zhuǎn)化思想；綜合法：空間位置關(guān)系與距離；邏輯思維；運(yùn)算求解.

【答案】D

【分析】首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體的直觀圖，進(jìn)一步求出幾何體的表面積.

【解答】解：根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為直觀圖為：該幾何體是由兩個(gè)直四棱柱組成的兒柯體.

如圖所示：

故該兒何體的表面積為：4+6+5+5+2+2+2+4=30.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三視圖和幾何體的直觀圖之間的轉(zhuǎn)換，幾何體的表面積，主要考查學(xué)生

的理解能力和計(jì)算能力及空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.

17

6.（2023?天津）在三棱錐P-ABC中，點(diǎn)M,N分別在棱PC和PB上，且PM=*PC,全犯則三

棱錐P-AMN和三棱錐尸-ABC的體積之比為（）

1214

A.—B.-C.-D.一

9939

【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積.

【專題】整體思想：綜合法；空間位置關(guān)系與距離：直觀想象；運(yùn)算求解.

【答案】B

【分析】設(shè)N到平面%C的距離力，8到平面布C的距離也則由「d2,然后結(jié)

合三棱錐的體枳公式即可求解.

［解答］解:在三棱錐P-ABC中，線段PC上的點(diǎn)M滿足PM=線段P8上的點(diǎn)N滿足PN=,PB,

所以S"MA=|SAP4C?

設(shè)N到平面必C的距離由，B到平面外C的距離小，則由=梟2,

,1112?

則三棱錐P-的體積為VP-AMN=VAPM=^S^PAM*d\=可與超=^B-PAC.

AMNHftiltN-X^SAPACX

2

故三棱錐P-AMN和三棱錐P-ABC的體積之比為j

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主:要考查了三棱錐體積的求解，換頂點(diǎn)的應(yīng)用是求解問題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

7.（2023?全國）長方體的對(duì)角線長為1,表面積為1,有一面為正方形，則其體積為（）

V2V2c.返V2

A.一B.—D.—

1082796

【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積.

【專題】轉(zhuǎn)化思想：轉(zhuǎn)化法；空間位置關(guān)系與距離；運(yùn)算求解.

【答案】B

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合長方體表面積、體積公式，即可求解.

【解答】解：不妨設(shè)長方體底面為正方形，邊長為小高為從

則底面的對(duì)角線為=72a,

???長方體的對(duì)角線長為1,表面積為1,

7

.（4ab+2a2=1，解得益

**l（V2a）2+b2=1

ih=-

???長方體體積為a2b42

-27,

故選:B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查長力體表面積、體枳公式，屬于基礎(chǔ)迤.

8.（2022?甲卷）甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為2n,側(cè)面積分別為S甲和S乙,

口甲v甲

體積分別為V甲和V乙.若丁=2,則廠=（）

S乙N乙

LL>—5V10

A.V5B.2x/2C.D.------

4

【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)）的體積.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；運(yùn)算求解.

【答案】C

【分析】設(shè)圓的半徑（即圓錐母線）為3,甲、乙兩個(gè)圓錐的底面半徑分別為川，門，高分別為加，亞,

則可求得門=2,n=1,h[=瓜h2=2V2,進(jìn)而求得體積之比.

【解答】解:如圖，

甲，乙兩個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖剛好拼成一個(gè)圓，設(shè)圓的半徑（即圓錐母線）為3,甲、乙兩個(gè)圓儺的底

面半徑分別為門，r2?高分別為/“，力2,

則2nn=4n,2m=2n,解得川=2,r2=l,

由勾股定理可得々=瓜h2=2V2,

V甲步r/g廣

???一=I——=<10.

V乙3^2n2

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓錐的側(cè)面積和體積求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

9.（2022?北京）已知正三棱錐尸-ABC的六條棱長均為6,S是△ABC及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合.設(shè)集合

T={QES\PQ^5},則7表示的區(qū)域的面積為（）

37r

A.—B.C.2nD.3

4TTIT

【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積.

【專題】方程思想：綜合法；立體幾何；運(yùn)算求解.

【答案】B

【分析】設(shè)點(diǎn)。在面48c內(nèi)的投影為點(diǎn)O,連接。4,根據(jù)正三角形的性質(zhì)求得OA的長，并由勾股定

理求得OP的長，進(jìn)而知7表示的區(qū)域是以O(shè)為圓心，I為半徑的圓.

【解答】解：設(shè)點(diǎn)P在面相C內(nèi)的投影為點(diǎn)O,連接則0A/X36=2后

所以O(shè)P=yJPA2-0A2=V36-12=2\/6,

由［PQ2—OP2=V25-24=1,知丁表示的區(qū)域是以0為圓心，1為半徑的圓，

所以其面積S=TT.

故選:B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，點(diǎn)的軌跡問題，考查空間立體感和運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

二.多選題（共1小題）

（多選）10.（2023?新高考I）下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：加）的正方體容器（容器

壁厚度忽略不計(jì)）內(nèi)的有（）

A.直徑為0.99〃?的球體

B.所有棱長均為1.4機(jī)的四面體

C.底面直徑為0.01m,高為1.8〃?的圓柱體

D.底面直徑為1.2/〃，高為0.01m的圓柱體

【考點(diǎn)】棱柱的結(jié)構(gòu)特征.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；運(yùn)算求解.

【答案】ABD

【分析［對(duì)于A,由正方體的內(nèi)切球直徑大于0.99可判斷；對(duì)于8,由正方體內(nèi)部最大的正四面體的棱

長大于1.4可判斷；對(duì)于C,由正方體的體對(duì)角線小于1.8可判斷；對(duì)于。，取及F,G,H,I,?/都

為棱中點(diǎn),則六邊形石尸為正六邊形，由正六邊形的內(nèi)刃圓直徑大于1.2可判斷.

【解答】解：對(duì)于4棱長為1的正方體內(nèi)切球的直徑為I>0.99,選項(xiàng)A正確；

對(duì)于B,如圖,

正方體內(nèi)部最大的正四面體。-AiECi的棱長為>/12+I?=72>1.4,選項(xiàng)B正確；

對(duì)于C，棱長為1的正方體的體對(duì)角線為HV1.8,選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,（法一）如圖，六邊形為正六邊形，E,F,G,H,I,J為棱的中點(diǎn),

六邊形MG”〃棱長為三米'NGFH=NGHF=3。。,

所以FH=瓜FG=gGH=整米，故六邊形EFG〃〃內(nèi)切圓直徑為半米,

而（坐＞=|＞（1.2）2=1.44,選項(xiàng)D正確.

（法二）因?yàn)榭芍酌嬲叫尾荒馨瑘A柱的底面圓，

如圖，

過的中點(diǎn)。作。E_LA。，設(shè)。EAAC=E,

可知AC—y12,CCy—1,ACi—OA-亨，

則tan44Ci=差=器,即套=篝,解得OE=華,

漁

吟399

且

22即

=-->_=6>

8O.4.6

2425

故以AG為軸可能對(duì)稱放置底面直徑為12〃的圓柱，

若底面直徑為1.2m的圓柱與正方體的上下底面均相切，

設(shè)圓柱的底面圓心為Oi,與正方體的下底面的切點(diǎn)為M,

可知，ACi_LOiM,OiM=0.6,

贓加切G=^=虢，

即方=解得力。1=0.6立，

根據(jù)對(duì)稱性可知圓柱的高為b-2x0.6V2?1.732-1.2x1.414=0.0352＞0.01,

所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故選項(xiàng)。正確.

故選：ABD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查簡單幾何體的體積，考查空間想象能力與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

三.填空題（共7小題）

11.（2024?北京）漢代劉歆設(shè)計(jì)的“銅嘉量”是畬、合、升、斗、斛五量合一的標(biāo)準(zhǔn)量器，其中升量器、

斗量器、斛量器的形狀均可視為圓柱.若升、斗-、斛量器的容積成公比為10的等比數(shù)列，底面直徑依

次為65mm,325mm,325mm,且斛量器的高為230/ww,則斗量器的高為23mm,升量器的高為

575mm.（不計(jì)量器的厚度）

【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)）的體枳.

【專題】方程思想；定義法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；立體幾何；運(yùn)算求解.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)題意求出斛量器的體積和斗量器、升量器的體積，再求對(duì)應(yīng)圓柱的高.

【解答】解：斛量器的體積為V3=TT?（學(xué)）2?230,

則斗量器的體積為V2=東/3=”?（爭產(chǎn)23,

所以斗量器的高為23mm；

設(shè)升量器的高為h,由升量器的體積為VI=劫2=11?（竽產(chǎn)2.3=11?（學(xué)）2”，

解得力=57.5,所以升量器的高為57.5〃"〃；

所以升量器、斗量器的高度分別57.5〃〃〃，23mm.

故答案為：23,57.5.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓柱的體積計(jì)算問題，也考查了等比數(shù)列的定義應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

12.（2024?上海）已知四棱柱ABCO-AiBiODi底面ABCD為平行四邊形，AAi=3,BD=4且AR?族一

-?—>5

AD.-DC=5,求異面直線AA\與BD的夾角arccos—.

T2-

【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；向量法；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】arccos-^.

【分析】由題將力6?BC-ADX-DC=5轉(zhuǎn)化為A4.BD=5即可求解.

【解答】解:如圖,

因?yàn)锳Bi=AB+ADt=AD+AAt,又好?8C—佃?DC=5,

A(AB+AA^-AD-(AD+AAr)-DC=5,

化簡得4%?而=5,

TT

.*.AA1-BD=3x4xcosO=5?

?n_5

??cosu—Y2?

5

異面直線AA\與BD的夾角為arccosR.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量法求立體幾何中的線線角，屬于中檔迤.

13.(2023?新高考I)在正四棱臺(tái)A8CO-48iCiQi中，AB=2,481=1,AAi=或，則該棱臺(tái)的體積為

7%后

-5

【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；直觀想象；運(yùn)算求解.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】先根據(jù)題意求出四棱臺(tái)的高，再代入臺(tái)體的體積公式即可求解.

【解答】解：如圖，設(shè)正四棱臺(tái)的上下底面中心分別為M,N,

過Ai作Ai"_L4C,垂足點(diǎn)為仇由題意易知A1M="N=辛，XAN=V2,

:?AH=AN-HN=冬又AA\二五,:.A\H=MN=號(hào),

，該四棱臺(tái)的體積為卜(I+4+71V4)、苧=竽.

故答案為：

6

【點(diǎn)評(píng)】本題考查臺(tái)體的體積公式的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.

14.(2023?新高考II)底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個(gè)底面邊長為2,高

為3的正四棱錐，所得棱臺(tái)的體積為28

【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積：棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征.

【專題】轉(zhuǎn)化思想：綜合法；立體幾何；運(yùn)算求解.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)題意易知as。川S/XSOA,從而可求出臺(tái)體的高，再根據(jù)臺(tái)體的體積公式，計(jì)算即可得

解.

【解答】解：如圖所示，根據(jù)題意易知△SOIAIS^SQA,

SO1。通1V21?

/.=----=--p=一，又501=3,

SOOA2V22

???SO=6,JOOi=3,又上下底面正方形邊長分別為2,4,

，所得棱臺(tái)的體積為:x(4+16+<4x16)x3=28.

故答案為：28.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查臺(tái)體的體積的求解，化歸轉(zhuǎn)化思想，方程思想，屬基礎(chǔ)題.

15.（2023?甲卷）在正方體AACD-AIBCIQI中，A4=4,。為ACi的中點(diǎn)，若該正方體的棱與球。的球

面有公共點(diǎn)，則球0的半徑的取值范圍是[2V2,2V31.

【考點(diǎn)】棱柱的結(jié)構(gòu)特征.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；邏輯思維；運(yùn)算求解.

【答案】[22，2V3].

【分析】當(dāng)球是正方體的外接球時(shí)半徑最大，當(dāng)邊長為4的正方形是球的大圓的內(nèi)接正方形時(shí)半徑達(dá)到

最小.

【解答】解：設(shè)球的半徑為凡

當(dāng)球是正方體的外接球時(shí)，恰好經(jīng)過正方體的每個(gè)頂點(diǎn)，所求的球的半徑最大,

若半徑變得更大，球會(huì)包含正方體，導(dǎo)致球面和棱沒有交點(diǎn)，

正方體的外接球直徑2p為體對(duì)角線長AC1=V42+42+42=4V3,

即2R'=46，R'=2百，故凡皿=26，

分別取側(cè)枝AAi,BBi,CC\,的中點(diǎn)枝,H,G,N,

則四邊形MNGH是邊長為4的正方形，且0為正方形MNGH的對(duì)角線交點(diǎn)，

連接MG,則MG=4或,

當(dāng)球的?個(gè)大圓恰好是四邊形MNG”的外接圓，球的半徑最小，

即R的最小值為2VL

綜上，球0的半徑的取值范圍是[2企，2V3].

故答案為：[2后，2k].

【點(diǎn)評(píng)】本題考查正方體的結(jié)構(gòu)特征、四邊形的外接圓、球的結(jié)構(gòu)特征等基礎(chǔ)知識(shí)，考杳運(yùn)算求解能力，

是中檔題.

16.（2023?甲卷）在正方體A8CQ-AIBICIOI中，E,尸分別為CO,4用的中點(diǎn)，則以所為直徑的球面

與正方體每條棱的交點(diǎn)總數(shù)為12.

【考點(diǎn)】棱柱的結(jié)構(gòu)特征.

【專題】數(shù)形結(jié)合；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；邏輯思維；運(yùn)算求解.

【答案】12.

【分析】根據(jù)正方體的對(duì)稱性，可知球心到各棱距離相等，由此能求出結(jié)果.

【解答】解：在正方體/WC。-AIBCIOI中，E,尸分別為C。，AiBi的中點(diǎn)，

設(shè)正方體ABCD-44CiOi中棱長為2,E尸中點(diǎn)為。

取B用中點(diǎn)G,M,側(cè)面BBiCC的中心為N,

連接〃G,EG,OM,ON,MW,如圖,

由題意得。為球心，在正方體A8CQ-486Q1中，EF=yFG2+EG2=VTT4=2y[2,

:?R=V2,

則球心O到BB\的距離為OM='ON?+MN2=VTT1=近，

???球。與棱881相切，球面與棱只有一個(gè)交點(diǎn)，

同理，根據(jù)正方體ABCD-AIBICIOI的對(duì)稱性可知，其余各棱和球面也只有一個(gè)交點(diǎn)，

???以石尸為直徑的球面與正方體每條棱的交點(diǎn)總數(shù)為12.

故答案為：12.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查正方體的對(duì)稱性、球心到各棱距離等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

17.（2023?上海）空間中有三個(gè)點(diǎn)A、B、C,且AB=8C=CA=1,在空間中任取2個(gè)不同的點(diǎn)。，E（不

考慮這兩個(gè)點(diǎn)的順序），使得它們與A、3、。恰好成為一個(gè)正四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)，則不同的取法有_9

種.

【考點(diǎn)】棱錐的結(jié)構(gòu)特征.

【專題】分類討論；綜合法；立體幾何；邏輯思維.

【答案】9.

【分析】根據(jù)正四棱錐的性質(zhì)，分類討論，即可求解.

【解答】解：如圖所示，設(shè)任取2個(gè)不同的點(diǎn)為。、E,

當(dāng)△A4C為正四棱錐的側(cè)面時(shí)，如圖，平面43c的兩側(cè)分別可以做A3OE作為圓錐的底面，有2種情

況,

同理以BCE。、ACEO為底面各有2種情況，所以共有6種情況;

當(dāng)△ABC為正四棱錐的截面時(shí)，如圖，。、E位于48兩側(cè)，4QBE為圓錐的底面，只有一種情況,

同理以BDCE、AOCE為底面各有1種情況，所以共有3種情況；

綜上，共有6+3=9種情況.

故答案為:9.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查正四棱錐的性質(zhì)，分類討論思想，屬中檔題.

四.解答題（共3小題）

18.（2024?上海）如圖為正四棱維P-ABCO,。為底面A8CD的中心.

（1）若4P=5,AD=3V2,求△PQ4繞PO旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積；

（2）若AP=AD,E為P8的中點(diǎn)，求直線8。與平面AEC所成角的大小.

B-----C

【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；直線與平面所成的角.

【專題】轉(zhuǎn)化思想：轉(zhuǎn)化法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】（1）12m

（2）一.

4

【分析】（1）根據(jù)己知條件，先求出尸。，再結(jié)合棱錐的體積公式，即可求解.

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面AEC的法向量，再結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.

【解答】解：（I）因?yàn)镻-ABCD是正四棱錐，

所以底面ABCQ是正方形，且OPJJ氐面4BCD,

因?yàn)?D=3V2,

所以AO=OD=OB=OC=3,

因?yàn)锳P=5,

所以P。=7Ap2-AM=4,

所以繞OP旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是以3為底面半徑，4為高的圓錐，

所以匕紂能=扛八=x32x4=12TT；

（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系,

z

因?yàn)榘耸?八/%由題知是正四棱錐，所以該四棱錐各棱K相等,

設(shè)718=V2a,

則AO=OD=OB=OC=a,P0=>/AP2-AO2=a,

貝ij0(0,0,0),尸(0,0,〃)，A(0,-a,0),B(a,0,0),C(0,a,0),D(-a,0,0),%,0,分

1tna

故8。=(-2Q,0,0),AC=(0,2Q,0),AE=a,分,

設(shè)n=(nZi)為平面AEC的法向量,

則E.絲=()2a?y1=0

即Q,,ac，令xi=l,則yi=0,zi=-1,

-AE=012?無1+。少1+下21=0

所以71=(1,0-1),

mil尸n-BD-2a42

則cos(n,BD)=———=TT--7=7=

\n\\BD\|2QHJ2|/

設(shè)直線BD與面AEC所成角為仇

因?yàn)閟in。=\cos(n,BD)\=旦

oe[0,今，

貝*=1

q

n

故百線BD與平面AEC所成僚的大小為二.

4

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查棱錐體積的求解，以及空間向量的應(yīng)用，屬F中檔題.

19.(2023?乙卷)如圖，在三棱錐P-ABC中，ABLBC,/W=2,BC=2&,PB=PC=瓜、BP,AP,

8c的中點(diǎn)分別為O,E,。，點(diǎn)尸在AC上，BFA.AO.

(1)求證：E廣〃平面AOO；

(2)若NPOr=120°,求三棱錐P-48。的體積.

D

【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；直線與平面平行.

【專題】數(shù)形結(jié)合；方程思想；綜合法；立體幾何；邏輯思維；運(yùn)算求解.

【答案】(1)證明見解析；

2V6

(2)—.

3

【分析】(1)作垂定為"，設(shè)AH=x,利用Rt△八”尸sRt^ABC得出〃凡利用尸s

RtZXOBA列方程求出x=l,判斷”是A8的中點(diǎn)，利用中位線定理得出E9〃PC,DO//PC,證明后產(chǎn)

//DO,得出EF〃平面AD。；

(2)過戶作PM垂直R?的延長線交于點(diǎn)M,求出30,PO,計(jì)算PM,再求△AAC的面積和三棱錐產(chǎn)

■ABC的體積.

【解答】(I)證明：在R3A8C中，作垂足為"，設(shè)則”B=2-x,

AHHFXHF

因?yàn)镕H〃CB,所以RtZ\A〃FsRtA48C,所以一=—,即一=—解得〃F=/工，

ABBC22V2

又因?yàn)?RFH=NFB。,所以NAOR=NFBH,且NAH產(chǎn)=NO94=90°,

HFAByf2.x2

所以RtABHF^Rt/\OBA,所以一=—,即——==，解得x=l,

BHBO2-xV2

即A"=l,所以，是/IB的中點(diǎn)，尸是AC的中點(diǎn)，

又因?yàn)镋是必的中點(diǎn)，所以石口〃/5。，同理，OO〃PC,所以E尸〃。。，

又因?yàn)镋FC平面A。。，OOu平面4D。，

所以EF〃平面A。。；

(2)解：過P作PM垂直產(chǎn)。的延長線交于點(diǎn)M,因?yàn)閼?=PC,。是8C中點(diǎn)，所以PO_LBC,在

RtZ\P80中，PB=顯,B0=\BC=y[2,所以PO='PB?-OB?==2,

因?yàn)锳8_L8C,OF//AB,所以O(shè)b_L8C,又POCOF=O,PO,。尸u平面POR所以8C_L平面POF,

又PMu平面POP,所以6C_LPM,

又BCPFM=O,BC,尸Mu平面ABC,

所以PMJ_平面ABC,即三棱錐P-/WC的高為PM,

因?yàn)?尸。尸=120°,所以NPOM=60°,

所以PM=POsin60°=2x苧=百,

△ABC的面積為SMBC=\xABXBC=1X2X2A/2=272,

x2V2xV3=^.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與平面平行的應(yīng)用問題，也考查了幾何體體積計(jì)算問題，是中檔題.

20.（2023?全國）在直三棱柱AI3ICI中，AB=AC=\,AAi=>/2,ZCAB=\20a.

（1）求直三:棱柱A8C?Ai&Ci的體積;

（2）求直三棱柱48主?灰物。的表面積.

【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間位置關(guān)系與距離；運(yùn)算求解.

V6

【答案】（I）一；

4

（2）2^2+V64-

【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合棱柱的體積公式，即可求求解；

（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合余弦定理，求出8C,再結(jié)合棱柱的表面積，即可求解.

【解答】解：（1）AB=AC=\,AA[=?ZCAB=\20°,

則直三棱柱ABC-A\B\C\的體積為M?S.ABC=AAAX^XABXACXsinZ.CAB=V2x|x1x1x

B、后

-------

24，

(2)AB=AC=\,ZCAB=\20°.

則BC2=AC2+AB2-2A8?4C?cosNC4B=3,解得BC=V3,

故直三棱柱ABC-A\B\C\的表面積為2x|xlxlx^+V2x(l+l+V3)=2V2+V6+^.

乙乙乙

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查棱柱體積、表面積的求解，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

考點(diǎn)卡片

1.棱柱的結(jié)構(gòu)特征

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

1.棱柱：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這

些面所圍成的多面體叫做棱柱.棱柱用表示底面各頂點(diǎn)的字母來表示（例：ABCD-A'B'CD'）.

2.認(rèn)識(shí)棱柱

底面：棱柱中兩個(gè)互相平行的面，叫做棱柱的底面.

側(cè)面：棱柱中除兩個(gè)底面以外的其余各個(gè)面都叫做棱柱的側(cè)面.

側(cè)棱：棱柱中兩個(gè)側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱.

頂點(diǎn)：棱柱的側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn).

高：棱中兩個(gè)底面之間的距離.

3.棱柱的結(jié)構(gòu)特征

（1.兩個(gè)底面互相平行

茂林（2.側(cè)面都是四邊形

（3.側(cè)棱互相平行

根據(jù)棱柱的結(jié)構(gòu)特征，可知棱柱有以卜性質(zhì)：

（I）側(cè)面都是平行四邊形

（2）兩底面是全等多邊形

（3）平行于底面的截面和底面全等；對(duì)角面是平行四邊形

（4）長方體一條對(duì)角線長的平方等于一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱的長的平方和.

4.棱柱的分類

（I）根據(jù)底面形狀的不同，可把底面為三角形、四邊形、五邊形…的棱柱稱為三棱柱、四棱柱、五棱柱….

（2）根據(jù)側(cè)棱是否垂直底面，可把棱柱分為直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面為正多邊形，則

稱其為正棱柱.

側(cè)棱不垂直底面

直棱柱正桂林

5.棱柱的體積公式

設(shè)棱柱的底面積為5,高為兒

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

1.棱錐：有一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面圍成的幾何體叫做棱錐.用

頂點(diǎn)和底面各頂點(diǎn)的字母表示，例：S-ABCD.

2.認(rèn)識(shí)楂錐

棱錐的側(cè)面：棱錐中除底面外的各個(gè)面都叫做棱錐的側(cè)面.

棱錐的側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱.

棱徒的頂點(diǎn)；棱錐中各個(gè)側(cè)面的公共頂點(diǎn)叫做棱錐的頂點(diǎn).

棱港的高：棱錐的頂點(diǎn)到底面的距離叫做棱錐的高.

棱誰的對(duì)角面；棱錐中過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面叫做對(duì)角面;

3.棱錐的結(jié)構(gòu)特征

底面是多邊形

棱錐、

(2.側(cè)面是三角形

根據(jù)棱錐的結(jié)構(gòu)特征，可知棱錐具有以下性質(zhì):

平行于底面的截面和底面相似，且它們的面積比等于截得的棱錐的高與原棱錐的高的比.

4.棱錐的分類

棱錐的底面可以是三角形、四邊形、五邊形…我們把這樣的棱錐分別叫做三棱錐、四棱錐、五楂錐…

正棱錐：底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面內(nèi)的射影是底面中心，這樣的棱錐叫做正棱錐.正棱錐的各個(gè)

側(cè)面都是全等的等腰三角形.

5.棱錐的體積公式

設(shè)棱錐的底面積為S,高為近

3.棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

1.棱臺(tái)：棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底面間的部分叫做棱臺(tái).

2.認(rèn)識(shí)楂臺(tái)

棱臺(tái)的上底面：原棱錐的截面叫做棱臺(tái)的上底面.

棱臺(tái)的下底面：原棱錐的底面叫做棱臺(tái)的下底面.

棱臺(tái)的側(cè)面：棱臺(tái)中除上、下底面外的所有面叫做棱臺(tái)的側(cè)面.

棱臺(tái)的側(cè)棱：相鄰兩側(cè)面的公共邊叫做棱臺(tái)的側(cè)棱.

棱臺(tái)的高：當(dāng)棱臺(tái)的底面水平放置時(shí)，鉛垂線與兩底面交點(diǎn)間的線段或距離叫做棱臺(tái)的高.

棱臺(tái)的斜高：棱臺(tái)的各個(gè)側(cè)面的高叫做棱臺(tái)的斜高.

3.棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征

底面是多邊形

火/2.側(cè)面是梯形

棱臺(tái)4

3.兩底面互相平行

4平行于底面的截面與底面相似

正棱臺(tái)的性質(zhì)：

（I）側(cè)棱相等，側(cè)面是全等的等腰梯形，斜而相等.

（2）兩底面中心連線、相應(yīng)的邊心距和斜高組成一個(gè)直角梯形；兩底面中心連線、側(cè)棱和兩底面相應(yīng)的

半徑也組成一個(gè)直角梯形.

（3）棱臺(tái)各校的反向延長線交于一點(diǎn).

4.棱臺(tái)的分類

由三棱錐，四棱錐，五棱錐，…等截得的棱臺(tái)，分別叫做三棱臺(tái)，四棱臺(tái)，五棱臺(tái)，…等.

正棱臺(tái)：由正棱錐截得的棱臺(tái)叫做正棱臺(tái).

5.棱臺(tái)的體積公式

設(shè)棱臺(tái)上底面面積為S,下底面面積為S',高為h,

V技臺(tái)=義x（S+S'+VsVs7）xh.

4.棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

側(cè)面積和全面積的定義：

（I）側(cè)面積的定義：把柱、錐、臺(tái)的側(cè)面沿著它們的一條側(cè)棱或母線剪開，所得到的展開圖的面積，就

是空間幾何體的側(cè)面積.

（2）全面積的定義：空間幾何體的側(cè)面積與底面積的和叫做空間幾何體的全面積.

柱體、錐體、臺(tái)體的表面積公式（c為底面周長，力為高，rr為斜高，/為母線）

S世柱表=2TTR（r+Z）?S網(wǎng)批表=冗「（r+/）＞S即臺(tái)表=TT（f^+rl+Rl+R^）

5.棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式：

Vfi；=5/nVm=^Sh.

6.棱錐的體積

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

棱港的體積可以通過底面面積B和窗度力計(jì)算，頂點(diǎn)到底面的垂直距離即為高度.

【解題方法點(diǎn)撥】

?計(jì)算公式：體積計(jì)算公式為V=

■底面面積計(jì)算：底面面積B可以根據(jù)底面多邊形的性質(zhì)計(jì)算.

【命題方向】

-棱錐的體積計(jì)算：考查如何根據(jù)底