線性代數(shù)（慕課版）第6講極大線性無(wú)關(guān)組和秩(2)第3章向量與向量空間本講內(nèi)容01極大線性無(wú)關(guān)組和向量組的秩(1)02向量組的秩和矩陣的秩的關(guān)系3

01極大線性無(wú)關(guān)組和向量組的秩(1)??例1若向量組(I)與(II)等價(jià)，求??的值.

解

401極大線性無(wú)關(guān)組和向量組的秩(1)??=?1時(shí)，??=1時(shí)，

5判斷向量組是否等價(jià)：01極大線性無(wú)關(guān)組和向量組的秩(1)??例2

解

1

601極大線性無(wú)關(guān)組和向量組的秩(1)

2

7

01極大線性無(wú)關(guān)組和向量組的秩(1)??例3

解

3

801極大線性無(wú)關(guān)組和向量組的秩(1)4

于是即

故兩向量組等價(jià).901極大線性無(wú)關(guān)組和向量組的秩(1)??例4

解

線性表示；

線性表示；

本講內(nèi)容01極大線性無(wú)關(guān)組和向量組的秩(1)02向量組的秩和矩陣的秩的關(guān)系1102向量組的秩和矩陣的秩的關(guān)系??定理3.7設(shè)??是一個(gè)??×??矩陣，則??的秩等于??的行秩，也等于??的列秩.

則

12列擺行變換法02向量組的秩和矩陣的秩的關(guān)系

求向量組的秩與一個(gè)極大無(wú)關(guān)組：

??例5

解1302向量組的秩和矩陣的秩的關(guān)系??例6

(3)將其余向量用該極大無(wú)關(guān)組線性表示.

解(1)(2)1402向量組的秩和矩陣的秩的關(guān)系化為梯形陣后每個(gè)階梯選一個(gè)向量得一個(gè)極大無(wú)關(guān)組：

(3)把矩陣??繼續(xù)作初等行變換：15則

02向量組的秩和矩陣的秩的關(guān)系1602向量組的秩和矩陣的秩的關(guān)系??例7

(1)求其一個(gè)極大無(wú)關(guān)組;(2)將其余向量用該極大無(wú)關(guān)組線性表示.解(1)517

02向量組的秩和矩陣的秩的關(guān)系6

18

02向量組的秩和矩陣的秩的關(guān)系??例8令證明則

則19由極大無(wú)關(guān)組的定義，

從而矩陣A+B的列向量組可由向量組線性表示，所以02向量組的秩和矩陣的秩的關(guān)系2002向量組的秩和矩陣的秩的關(guān)系??例9設(shè)??為??×??矩陣，??為??×??矩陣，則??(????)≤證明

令即????的列向量組可由??的列向量組線性表示，從而??(????)≤??(??).

所以

即??(????)≤??(??).min{??(??),??(??)}.21??定理2.9（3）若??為??×??矩陣，??為??×??矩陣，則

02向量組的秩和矩陣的秩的關(guān)系2202向量組的秩和矩陣的秩的關(guān)系??例10

證明

表示，所以

7

設(shè)向量組

證明：

故

23又由題意可得：02向量組的秩和矩陣的秩的關(guān)系8

2402向量組的秩和矩陣的秩的關(guān)系??例11

已知向量組

證明

2502向量組的秩和