第2講二重積分在直角坐標(biāo)系下的應(yīng)用第10章重積分及其應(yīng)用主講教師|高等數(shù)學(xué)（下冊）（慕課版）本講內(nèi)容直角坐標(biāo)系下的面積元素積分區(qū)域的分類02化二重積分為二次積分0301交換二次積分次序04301直角坐標(biāo)系下的面積元素D

在直角坐標(biāo)系中，

本講內(nèi)容直角坐標(biāo)系下的面積元素積分區(qū)域的分類02化二重積分為二次積分0301交換二次積分次序04502積分區(qū)域的分類X型區(qū)域??型區(qū)域特點：在??內(nèi),任一條平行于??軸的直線與??的邊界至多有兩個交點,且上下邊界曲線的方程是??的函數(shù).OxyDax0by=y2(x)y=y1(x)Oxyax0by=y2(x)y=y1(x)D

6Y型區(qū)域??型區(qū)域特點：在??內(nèi),任一條平行于??軸的直線與??的邊界至多有兩個交點,且左右邊界曲線的方程是??的函數(shù).dycyOxx=x2(y)x=x1(y)dycyOxx=x1(y)x=x2(y)

02積分區(qū)域的分類7混合型區(qū)域簡單區(qū)域既是??型區(qū)域,又是??型區(qū)域.簡單區(qū)域：混合型區(qū)域：若有界閉區(qū)域,既不是??型區(qū)域，又補是??型區(qū)域.混合型區(qū)域特點：在??內(nèi),存在平行于??軸和??軸的直線與??的邊界交點多于兩個.DabcdOxyOxyD1D2D302積分區(qū)域的分類本講內(nèi)容直角坐標(biāo)系下的面積元素積分區(qū)域的分類02化二重積分為二次積分0301交換二次積分次序04903化二重積分為二次積分型區(qū)域設(shè)??=??(??,??)≥0(非負(fù)連續(xù)函數(shù)),底面閉區(qū)域??由連續(xù)曲線??=??1(??),??=??2(??)及直線??=??,??=??圍成.的幾何意義是以??為底,以曲面??=??(??,??)為頂?shù)那斨w體積??.

二重積分10型區(qū)域截面??(??)是一個曲邊梯形.

曲頂柱體體積

03化二重積分為二次積分11型區(qū)域

03化二重積分為二次積分12Y型區(qū)域

03化二重積分為二次積分13若??是混合型區(qū)域,則??=??1+??2+??3

D1D2D3yOx03化二重積分為二次積分14例10.10現(xiàn)有一沙堆，其底在??????平面內(nèi)由拋物線??2+??=6與直線??=??所圍成的區(qū)域上.?沙堆在點(??,??)的高度為??2,求沙堆的體積.解??例1交點(?3,?3),(2,2).

03化二重積分為二次積分15若先對??積分,則

03化二重積分為二次積分16計算其中D是由直線y=1,x=

2.y=x圍成的閉區(qū)域.

解法一首先畫出積分區(qū)域D,如圖10.

12所示,解??例2D是X-型區(qū)域D

上點的橫坐標(biāo)的變化范圍為[1,2],任取x∈[.2],過點x作平行于y軸的直線,y=x圖10.1203化二重積分為二次積分17這條直線與D的下邊界和上邊界分別交于兩點,其縱坐標(biāo)分別為y=1,y=x,于是D

:

.1≤x≤2,1≤y≤x.03化二重積分為二次積分18由公式（10.1）得2

1

x1

dx03化二重積分為二次積分19解法二畫出區(qū)域D,如圖10.

13所示.

2ydy2

1

y=x圖10.1303化二重積分為二次積分D是Y-型區(qū)域.D

上點的縱坐標(biāo)變化范園是[1,2],過點y作平行于x軸的直線,該直線與D的邊界交點橫坐標(biāo)分別是x=y,x=2.則由公式(10.2),得.20畫出積分域如圖10.14所示,將二重積分化為累次積分即可.解??例3圖10.14計算二重積分其中D是由直線y=x,y=1,x=0所圍成的平面區(qū)域.

yxO11y=x03化二重積分為二次積分21因為根號下的函數(shù)為關(guān)于x的一次函數(shù),"先x后y"積分較容易,所以.03化二重積分為二次積分

??例4其中????是以?(0,0)、(1,1)、??(0,1)?為頂點的三角形.

求22無法用初等函數(shù)表示,積分須考慮次序.

例10.6解

03化二重積分為二次積分23解??例5其中D是直線y=x,y=2和雙曲線xy=1所圍成的閉區(qū)域.求

先畫出的圖形,如圖10.16(1)所示.顯然D是Y

-型區(qū)域,

D可表示成應(yīng)用公式(10.2),得

圖10.16(1)

03化二重積分為二次積分24

y

另外,也可把D分成兩部分D1和D2,如圖10.16(2)所示,則D1和D2都是X-型區(qū)域,并粗它們可表示成

圖10.16(2)03化二重積分為二次積分25于是，由二重積分性質(zhì)3及公式（10.1）,得

03化二重積分為二次積分26解??例6

若區(qū)域計算

即時提問10.2

03化二重積分為二次積分本講內(nèi)容直角坐標(biāo)系下的面積元素積分區(qū)域的分類02化二重積分為二次積分0301交換二次積分次序042804交換二次積分次序解??例7交換二次積分的積分次序,即化成先對x后對y的二次積分.

該類型題一般步驟:第一步由已知二次積分式,寫出積分區(qū)域D的不等式表示.本題中第一個積分的積分區(qū)域x

-型區(qū)域,可表示為

29第二個積分的積分區(qū)域x-型區(qū)域,可表示為

第二步畫出積分區(qū)域的圖形.D的圖形如圖10.17所示.圖10.17xyOD1D2)1,1(y=xy=2-x04交換二次積分次序30第三步把積分區(qū)域D按Y-型區(qū)域不等式方式表示出來.則

第四步寫出要求的結(jié)果.

04交換二次積分次序31同步習(xí)題10.2，提高2原式

改變積分次序：

解??例8

04交換二次積分次序32例10.9

計算??例904交換二次積分次序33解