第2講對坐標的曲線積分主講教師|高等數(shù)學（下冊）（慕課版）第11章曲線積分與曲面積分本講內(nèi)容對坐標曲線積分的計算法02對坐標曲線積分的概念和性質(zhì)0103兩類曲線積分之間的關系301對坐標曲線積分的概念和性質(zhì)

變力沿曲線做功常力沿直線做功：

分割：

將??任意分成??小段；

引例4

取近似：

取

即

01對坐標曲線積分的概念和性質(zhì)5yxOA=M0M1M2Mi-1MiMn-1?yi?xiB=Mn

求和：

取極限：

01對坐標曲線積分的概念和性質(zhì)6設??為??????面內(nèi)從點??到點??的一條有向光滑曲線弧,函數(shù)

在??上有界.用??上的點把??分成??個有向小弧段

??定義11.101對坐標曲線積分的概念和性質(zhì)7?設

點

為

上任意取定的點.如果當各小弧段長度的最大值

時，若極限

存在

則稱此極限為函數(shù)??(??,??)在有向曲線弧??上對坐標??的曲線積分（或稱第二類曲線積分）,記作01對坐標曲線積分的概念和性質(zhì)8若記

可表示為

有向積分曲線向量值函數(shù)有向弧元素

01對坐標曲線積分的概念和性質(zhì)9??注(1)?若??為有向閉曲線,則表示為

01對坐標曲線積分的概念和性質(zhì)10(3)?變力

沿曲線L:A→??做功(4)?存在條件?當P(x,y),

在光滑曲線弧L上連續(xù)時,第二類曲線積分存在

01對坐標曲線積分的概念和性質(zhì)11(5)?推廣?空間有向曲線弧Γ,

01對坐標曲線積分的概念和性質(zhì)12即

01對坐標曲線積分的概念和性質(zhì)??性質(zhì)11.213設??是有向曲線弧,???是與??方向相反的有向曲線弧,則設??、??為任意常數(shù),則??性質(zhì)11.1

01對坐標曲線積分的概念和性質(zhì)14

對坐標的曲線積分與曲線的方向有關??性質(zhì)11.3

如果把??分成??1

和??2,則01對坐標曲線積分的概念和性質(zhì)本講內(nèi)容對坐標曲線積分的計算法02對坐標曲線積分的概念和性質(zhì)0103兩類曲線積分之間的關系1602對坐標曲線積分的計算法??定理11.1設??(??,??),??(??,??)在曲線弧??上有定義且連續(xù),當參數(shù)??單調(diào)地由??變到??時,點??(??,??)從??的起點??沿??運動到終點??,??(??),??(??)在以??及??為端點的閉區(qū)間上具有一階連續(xù)導數(shù),且

??的參數(shù)方程為17

則曲線積分存在,且

02對坐標曲線積分的計算法18計算步驟一代?將??的參數(shù)方程代入被積函數(shù)二換

三定限下限?起點參數(shù)值,上限?終點參數(shù)值

02對坐標曲線積分的計算法19特殊情形(1)L:y=??(??)??起點為??,終點為??,則

(2)L:x=??(??)??起點為??,終點為??,則

02對坐標曲線積分的計算法20推廣設

起點??,終點??,

02對坐標曲線積分的計算法21??例1計算曲線積分

圖11.3其中L是圓周x2+y2=a2,取其逆時針方向的一周,如圖11.3所示.Oxy)(a,0x2+y2=a202對坐標曲線積分的計算法22解L的參數(shù)方程為

02對坐標曲線積分的計算法23解??例2例11.6其中??分別是連接起點??(0,0)和終點??(1,1)的下列有向線段.計算

(1)???的參數(shù)方程

02對坐標曲線積分的計算法24(2)???的參數(shù)方程

02對坐標曲線積分的計算法25(3)???的參數(shù)方程

02對坐標曲線積分的計算法26??例3計算曲線積分其中L分別是連接起點O（0,0）和終點A（1,1）的下列有向線段,如圖11.5所示.

圖11.5(1)y=x;(2)y=x2;(3)有向折線OMA,其中M的坐標為(1,0).yOxA（1,1）M（1,0）y=x2y=x02對坐標曲線積分的計算法27解(1)有向線段的方程為y=x,x:o→1,所以

(2)有向拋物線段的方程為y=x2,x:o→1,故

02對坐標曲線積分的計算法28(3)有向折線段=+,其中

所以

02對坐標曲線積分的計算法29解??例4計算：

其中??是

逆時針繞行.同步習題11.2，基礎3

02對坐標曲線積分的計算法30解??例5已知曲線??的方程為

起點是(?1,0),終點是(1,0),則曲線積分

同步習題11.2，提高4如圖所示，

線段

的方程：??=1+??,起點??=?1,終點??=0；02對坐標曲線積分的計算法31線段

的方程：??=1???,起點??=0,終點??=1.

=002對坐標曲線積分的計算法Γ32解??例6

計算曲線積分其中有向曲線Γ為圓柱面

與平面??+??=1的交線，并且從??軸正向向原點看去,Γ取順時針方向.Γ參數(shù)方程為

xyOz例11.802對坐標曲線積分的計算法33

02對坐標曲線積分的計算法34解??例7計算曲線積分

其中??是曲線??=sint

上從點(0,0)到點(π,0)的一段.同步習題11.2，提高1

02對坐標曲線積分的計算法35

02對坐標曲線積分的計算法36??例8設曲線??：??(??,??)=1?(??(??,??)具有一階連續(xù)偏導數(shù))過第二象限內(nèi)的點??和第四象限內(nèi)的點??,Γ為??上從點??到點??的一段弧,則下列積分小于零的是_____.第11章總復習題(2)

02對坐標曲線積分的計算法37解設??,??點的坐標分別為

則由題設可知

B

02對坐標曲線積分的計算法本講內(nèi)容對坐標曲線積分的計算法02對坐標曲線積分的概念和性質(zhì)0103兩類曲線積分之間的關系3903兩類曲線積分之間的關系

設有向平面曲線??的起點為??,終點為??.???上點(??,??)=(??(??),??(??))處的一個切向量為

單位向量

40則

03兩類曲線積分之間的關系41

即

03兩類曲線積分之間的關系42推廣設空間曲線Γ上點(??,??,??)處的切線向量的方向角為??,??,??,則

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