幻燈片1：封面課程名稱：13.1.1直角三角形三邊關(guān)系授課教師：[教師姓名]授課班級：[具體班級]配圖建議：以直角三角形為主體，突出三條邊，標注直角符號，背景可融入古代勾股定理相關(guān)元素幻燈片2：目錄情境引入：直角三角形的特殊地位復(fù)習(xí)回顧：直角三角形的定義與相關(guān)概念探究活動：直角三角形三邊的數(shù)量關(guān)系勾股定理的內(nèi)容與表示勾股定理的證明方法（選講）典型例題講解（定理應(yīng)用）課堂互動：計算與辨析課堂總結(jié)與知識拓展課后作業(yè)布置幻燈片3：情境引入：直角三角形的特殊地位生活實例：展示生活中常見的直角三角形，如梯子靠在墻上形成的三角形、墻角的三角形區(qū)域、直角三角尺等。問題引導(dǎo)：這些直角三角形的三條邊之間是否存在某種特殊的數(shù)量關(guān)系？若已知直角三角形的兩條邊，能否求出第三條邊的長度？歷史背景：簡單介紹古代數(shù)學(xué)家對直角三角形三邊關(guān)系的研究（如中國古代的“勾股弦定理”），激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。引入課題：今天我們將深入探究直角三角形三條邊之間的數(shù)量關(guān)系——勾股定理。配圖：生活中直角三角形實例圖；古代勾股定理相關(guān)典籍或圖形示意圖幻燈片4：復(fù)習(xí)回顧：直角三角形的定義與相關(guān)概念定義回顧：文字語言：有一個角是直角（90°）的三角形叫做直角三角形。圖形表示：如圖，在△ABC中，∠C=90°，則△ABC是直角三角形，記作Rt△ABC。邊的名稱：直角邊：組成直角的兩條邊，記作“直角邊a”“直角邊b”（通常a、b為兩條直角邊）。斜邊：直角所對的邊，記作“斜邊c”，斜邊是直角三角形中最長的邊。符號標注：在圖形中規(guī)范標注直角符號（∠C處標注“┐”），明確a、b、c對應(yīng)的邊（如BC=a，AC=b，AB=c）?；A(chǔ)提問：直角三角形的內(nèi)角和是多少？兩個銳角之間有什么關(guān)系？（內(nèi)角和180°，兩銳角互余）配圖：直角三角形各部分名稱標注圖，清晰區(qū)分直角邊和斜邊幻燈片5：探究活動：直角三角形三邊的數(shù)量關(guān)系活動1：測量與計算：要求學(xué)生畫出三個不同的直角三角形（如兩直角邊分別為3cm和4cm、5cm和12cm、6cm和8cm）。測量每個直角三角形三條邊的長度，記錄數(shù)據(jù)（精確到0.1cm）。計算每條直角邊的平方和（a2+b2）與斜邊的平方（c2），對比兩者的數(shù)值關(guān)系。數(shù)據(jù)記錄表：直角三角形直角邊a（cm）直角邊b（cm）斜邊c（cm）a2+b2c2a2+b2

與c2

的關(guān)系13452525相等251213169169相等36810100100相等活動2：拼圖驗證：提供若干個全等的直角三角形和正方形紙片，讓學(xué)生用4個直角三角形拼成一個大正方形（中間留小正方形空隙）。引導(dǎo)學(xué)生通過面積關(guān)系推導(dǎo)a2+b2

與c2

的關(guān)系（大正方形面積=4個直角三角形面積+小正方形面積）。猜想歸納：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。配圖：測量活動示意圖；拼圖驗證的步驟分解圖，標注面積關(guān)系幻燈片6：勾股定理的內(nèi)容與表示定理內(nèi)容：文字語言：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。古代表述：勾股定理（勾三、股四、弦五），其中“勾”指較短直角邊，“股”指較長直角邊，“弦”指斜邊。符號語言：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c，則a2+b2=c2。公式變形：已知兩直角邊求斜邊：c=√(a2+b2)。已知斜邊和一條直角邊求另一條直角邊：a=√(c2-b2)，b=√(c2-a2)。注意事項：勾股定理僅適用于直角三角形。應(yīng)用時需明確哪條邊是斜邊（最長邊），避免邊的對應(yīng)關(guān)系混淆。計算時注意單位統(tǒng)一，結(jié)果可保留根號或根據(jù)要求取近似值。配圖：勾股定理的標準圖形與符號對應(yīng)圖；公式變形的推導(dǎo)過程示意圖幻燈片7：勾股定理的證明方法（選講）方法1：趙爽弦圖法：圖形構(gòu)造：以直角三角形的斜邊為邊作大正方形，內(nèi)部用4個全等的直角三角形拼成小正方形。面積推導(dǎo)：大正方形面積=c2。大正方形面積也等于4個直角三角形面積+小正方形面積=4×(1/2ab)+(b-a)2=2ab+b2-2ab+a2=a2+b2?！郺2+b2=c2。方法2：總統(tǒng)證法（伽菲爾德證法）：圖形構(gòu)造：用兩個全等的直角三角形和一個等腰直角三角形拼成直角梯形。面積推導(dǎo)：梯形面積=(a+b)(a+b)/2=(a+b)2/2。梯形面積也等于三個三角形面積之和=1/2ab+1/2ab+1/2c2=ab+1/2c2。∴(a+b)2/2=ab+1/2c2，化簡得a2+b2=c2。證明意義：通過不同證明方法體會數(shù)形結(jié)合思想，加深對定理的理解。配圖：趙爽弦圖的分解與面積標注；總統(tǒng)證法的圖形構(gòu)造與面積計算標注幻燈片8：典型例題講解（一）——已知兩邊求第三邊例題1：在Rt△ABC中，∠C=90°，若a=5，b=12，求c的長度。解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，a=5，b=12，∴由勾股定理得a2+b2=c2，∴c2=52+122=25+144=169，∴c=√169=13（c>0，舍去負值）。例題2：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，求AC的長度。解：∵∠B=90°，∴斜邊為AC（AB和BC為直角邊），由勾股定理得AB2+BC2=AC2，∴AC2=32+42=9+16=25，∴AC=5。例題3：在Rt△ABC中，∠C=90°，c=25，a=7，求b的長度。解：∵由勾股定理得a2+b2=c2，∴b2=c2-a2=252-72=625-49=576，∴b=√576=24（b>0）。技巧總結(jié)：先確定直角三角形的直角頂點，明確斜邊和直角邊。代入勾股定理公式時注意邊的對應(yīng)關(guān)系，避免符號錯誤。計算平方和或平方差時仔細核對數(shù)值，確保結(jié)果正確。配圖：例題1、2、3的圖形標注，明確直角邊和斜邊的對應(yīng)關(guān)系幻燈片9：典型例題講解（二）——實際應(yīng)用例題4：如圖，一架梯子AB長25米，斜靠在豎直的墻AC上，這時梯子底部B到墻的距離BC為7米，求梯子頂端A到地面的高度AC。解：∵梯子AB、墻AC、地面BC構(gòu)成Rt△ABC，∠C=90°，AB=25米（斜邊），BC=7米（直角邊），由勾股定理得AC2+BC2=AB2，∴AC2=AB2-BC2=252-72=625-49=576，∴AC=24米。答：梯子頂端A到地面的高度AC為24米。例題5：一個直角三角形的斜邊長為10cm，一條直角邊比另一條直角邊長2cm，求兩條直角邊的長度。解：設(shè)較短的直角邊為xcm，則較長的直角邊為(x+2)cm，由勾股定理得x2+(x+2)2=102，展開得x2+x2+4x+4=100，整理得2x2+4x-96=0，即x2+2x-48=0，解得x?=6，x?=-8（邊長不能為負，舍去），∴x+2=8cm。答：兩條直角邊的長度分別為6cm和8cm。技巧總結(jié)：實際問題中先抽象出直角三角形模型，明確已知邊和所求邊。涉及方程求解時，設(shè)未知數(shù)后根據(jù)勾股定理列方程，注意邊長的非負性。配圖：例題4的梯子靠墻示意圖；例題5的直角三角形邊長關(guān)系標注幻燈片10：課堂互動：計算與辨析活動一：基礎(chǔ)計算：練習(xí)1：在Rt△ABC中，∠C=90°，a=9，b=12，求c；若c=30，a=18，求b。（答案：c=15；b=24）活動二：概念辨析：練習(xí)2：下列說法正確的是（

）。A.任意三角形的三邊都滿足a2+b2=c2；B.直角三角形的兩邊長為3和4，第三邊長一定是5；C.若直角三角形的兩邊長為6和8，則第三邊長為10；D.勾股定理適用于所有直角三角形。（答案：D，提示：B、C需考慮3、4或6、8是否為直角邊）活動三：實際應(yīng)用：練習(xí)3：如圖，學(xué)校有一塊長方形草坪，長30米，寬20米，現(xiàn)要從草坪一角到對角修一條小路，求小路的長度（結(jié)果保留根號）。（提示：小路為長方形對角線，構(gòu)成直角三角形，長和寬為直角邊，答案：10√13米）配圖：練習(xí)題的圖形標注，練習(xí)2的錯誤選項分析提示幻燈片11：課堂總結(jié)與知識拓展知識要點回顧：勾股定理內(nèi)容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（a2+b2=c2）。核心應(yīng)用：已知兩邊求第三邊（直接計算或列方程）。注意事項：僅適用于直角三角形，明確斜邊與直角邊的對應(yīng)關(guān)系。知識拓展：勾股數(shù)：滿足a2+b2=c2

的三個正整數(shù)叫做勾股數(shù)（如3,4,5；5,12,13；6,8,10等）。勾股定理的逆定理：若三角形三邊滿足a2+b2=c2，則該三角形是直角三角形（后續(xù)將學(xué)習(xí)）。實際應(yīng)用領(lǐng)域：建筑測量、導(dǎo)航定位、幾何證明等。思想方法：數(shù)形結(jié)合思想：通過圖形面積關(guān)系推導(dǎo)數(shù)量關(guān)系。轉(zhuǎn)化思想：將實際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形模型求解。配圖：常見勾股數(shù)列表；勾股定理在建筑中的應(yīng)用示意圖幻燈片12：課后作業(yè)布置基礎(chǔ)作業(yè)：課本[具體頁碼]習(xí)題[具體題號]，完成勾股定理的基礎(chǔ)計算題。提升作業(yè)：一個直角三角形的周長為30cm，斜邊長為13cm，求這個三角形的面積。如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，AC=6，BC=8，求CD的長度。拓展作業(yè)：查閱資料，了解勾股定理的其他證明方法（至少兩種），并嘗試用圖形說明。設(shè)計一個利用勾股定理解決的實際問題，畫出示意圖并解答。2025-2026學(xué)年華東師大版數(shù)學(xué)八年級上冊授課教師：

.班級：

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時間：

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13.1.2直角三角形的判定第13章

勾股定理aiTujmiaNg1、了解直角三角形的判定條件；2、能夠運用勾股數(shù)解決簡單實際問題；溫故知新勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.反過來，

如果一個三角形的兩邊平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形嗎？勾股定理的概念

思考：同學(xué)們你們知道古埃及人用什么方法得到直角的嗎?

用13個等距的結(jié)把一根繩子分成等長的12段,一個工匠同時握住繩子的第1個結(jié)和第13個結(jié),兩個助手分別握住第4個結(jié)和第8個結(jié),拉緊繩子就得到一個直角三角形,其直角在第4個結(jié)處.知識點一

直角三角形的判定活動一

畫出邊長分別是下列各組數(shù)的三角形（單位：厘米）.(2)a=5，b=12，c=13；(3)a=8，b=15，c=17.(1)a=3，b=4，c=5；B34CA5B512CA13B815CA17判斷一下上述你所畫的三角形的形狀．你有什么發(fā)現(xiàn)？都是直角三角形思考1這三組數(shù)在數(shù)量關(guān)系上有什么相同點？(2)a=5，b=12，c=13；(3)a=8，b=15，c=17.(1)a=3，b=4，c=5；82+152=17232+42=5252+122=132a2+b2=c2思考2根據(jù)上述結(jié)論你有什么猜想呢？猜想：如果三角形的三邊長a、b、c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形.你能證明這個猜想嗎？AbaCBc已知：在△ABC中，AB=c,BC=a,CA=b,且a2+b2=c2.求證：△ABC是直角三角形.AbaCBcA′baC′B′∟證明：畫一個△A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=a，

A′C′=b（如圖）.由勾股定理，可得

A′B′2=a2+b2.因為

AB2=a2+b2，根據(jù)“SSS”，可證△ABC

≌△A′B′C′.于是，∠C=∠C′=90°，△ABC是直角三角形.勾股定理逆定理∵在△ABC中，a2+b2=c2，bBACac∟定理揭示了三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系：a2+b2=c2→Rt△.

如果三角形的三邊長a，b，c

滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形.幾何語言：∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°.勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三邊長，且滿足兩條較小邊的平方和等于最長邊的平方，即可判斷此三角形為直角三角，最長邊所對角為直角.特別說明：勾股定理與其逆定理對比：勾股定理勾股定理的逆定理圖形條件結(jié)論區(qū)別聯(lián)系A(chǔ)baCB∟在Rt△ABC中，∠C=90°a2+b2=c2“直角三角形”為條件，數(shù)量關(guān)系a2+b2=c2為結(jié)論.是直角三角形的性質(zhì).AbaCBc都與直角三角形有關(guān)，都與三邊數(shù)量關(guān)系a2+b2=c2有關(guān)在△ABC中，a2+b2=c2∠C=90°數(shù)量關(guān)系a2+b2=c2為條件，“直角三角形”為結(jié)論.是直角三角形的判定.形數(shù)典例精析(1)a=8，b=15，c=17；(2)a=13，b=14，c=15.【例1】下面以a、b、c為邊長的三角形是不是直角三角形？若是，請指出哪個角是直角.解：(1)

∵82＋152＝64＋225＝289，172＝289，∴82＋152＝172.∴根據(jù)勾股定理的逆定理得這個三角形是直角三角形，∠C是直角.(2)

∵132＋142＝365，152＝225，∴132＋142≠152，不符合勾股定理的逆定理，∴這個三角形不是直角三角形.【例2】已知△ABC，AB=n2-1，BC=2n，AC=n2+1(n為大于1的正整數(shù)).試問△ABC是直角三角形嗎？若是，哪一條邊所對的角是直角？請說明理由.解：∵AB2+BC2=(n2-1)2+(2n)2=n4-2n2+1+4n4=n4+2n2+1=(n2+1)2=AC2，∴△ABC是直角三角形，邊AC所對的角是直角.想一想，為什么選擇AB2+BC2？AB、BC、CA的大小關(guān)系是怎樣的？練一練(1)a=7，b=25，c=24；1、判斷由a、b、c組成的三角形是不是直角三角形，若是，請指出哪個角是直角.(2)

a:b:c=3:4:5.解：(1)

∵72＋242＝49＋576＝625，252＝625，∴72＋242＝252.∴根據(jù)勾股定理的逆定理得這個三角形是直角三角形，∠B是直角.(2)設(shè)a=3k、b=4k、c=5k，∵(3k)2+(4k)2=25k2，(5k)2=25k2，∴(3k)2+(4k)2=(5k)2，根據(jù)勾股定理的逆定理得這個三角形是直角三角形，∠C是直角.2、一個零件的形狀如圖1所示,按規(guī)定這個零件中∠A和∠DBC都應(yīng)為直角,工人師傅量得這個零件各邊的尺寸如圖2所示,你說這個零件符合要求嗎?DABC4351312DABC圖1圖2在△BCD中，

所以△BCD

是直角三角形，∠DBC是直角.因此，這個零件符合要求.解：在△ABD中，

所以△ABD

是直角三角形，∠A是直角.知識點二

常見的勾股數(shù)滿足a2+b2=c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)。常見的基本勾股數(shù)有：3，4，5；6，8，10；5，12，13；8，15，17；7，24，25；9，40，41；1.“勾股數(shù)”的任意正整數(shù)倍仍是勾股數(shù)。2．判斷勾股數(shù)的方法：(1)確定是不是三個正整數(shù)；(2)確定最大數(shù)；(3)計算：看較小兩數(shù)的平方和是否等于最大數(shù)的平方．3．易錯警示：勾股數(shù)必須同時滿足兩個條件：(1)三個數(shù)都是正整數(shù)；(2)兩個較小數(shù)的平方和等于最大數(shù)的平方．典例精析【例3】

下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是(

)

A.6，8，10B.7，8，9C.0.3，0.4，0.5D.52，122，132A方法點撥：根據(jù)勾股數(shù)的定義，勾股數(shù)必須為正整數(shù)，先排除小數(shù)，再計算最長邊的平方是否等于其他兩邊的平方和即可.練一練1、像(3，4，5)、(6，8，10)、(5，12，13)等滿足a2＋b2＝c2的三個正整數(shù)，通常稱為勾股數(shù)，請你填表并探索規(guī)律．a(chǎn)36912…3nb481216…4nc5101520…5na357911…2n+1b4122440

60…2n(n＋1)c51325

4161…2n(n＋1)＋1①從上面2個表中你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？②你能根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出更多的勾股數(shù)嗎？試試看．解：①規(guī)律：一組勾股數(shù)，都擴大相同倍數(shù)n(n為正整數(shù))，得到一組新數(shù)，這組數(shù)同樣是勾股數(shù).勾股數(shù)的性質(zhì)②答案不唯一，如：15，20，25；13，84，85等．利用勾股數(shù)可以構(gòu)造直角三角形.1.設(shè)三角形的三邊長分別等于下列各組數(shù)，試判斷各三角形是否是直角三角形.若是，指出哪一條邊所對的角是直角.(1)12，16，20； (2)1.5，2，2.5.解：(1)因為122+162=400=202，所以是直角三角形，且邊長為20的邊所對的角為直角.(2)因為1.52+22=2