高中數(shù)學(xué)必修課教學(xué)設(shè)計(jì)與講義（新版）前言高中數(shù)學(xué)必修課是基礎(chǔ)教育階段數(shù)學(xué)知識(shí)體系的核心組成部分，它不僅為學(xué)生后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)，更在培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維、抽象概括、空間想象、數(shù)學(xué)建模以及數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)方面扮演著至關(guān)重要的角色。新版課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)提出了更高的要求，強(qiáng)調(diào)學(xué)科育人功能，注重學(xué)生能力的培養(yǎng)和學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變。本教學(xué)設(shè)計(jì)與講義（新版）正是基于此背景，旨在為一線教師提供一套既符合課標(biāo)精神，又具有操作性的教學(xué)資源，同時(shí)也為學(xué)生自主學(xué)習(xí)提供清晰的指引。本套資料的編寫(xiě)，力求體現(xiàn)“以學(xué)生發(fā)展為本”的理念，在內(nèi)容選取上，緊密圍繞新版課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，突出數(shù)學(xué)的本質(zhì)和思想方法；在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)上，注重知識(shí)的邏輯連貫性與學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的統(tǒng)一；在呈現(xiàn)方式上，力求深入淺出，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。我們希望通過(guò)這份講義，幫助學(xué)生不僅學(xué)好數(shù)學(xué)知識(shí)，更能學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維分析問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)思想。一、課程總體設(shè)計(jì)理念1.1核心素養(yǎng)導(dǎo)向教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)將數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析六大核心素養(yǎng)的培養(yǎng)貫穿始終。不再僅僅關(guān)注知識(shí)的傳授與技能的訓(xùn)練，更要引導(dǎo)學(xué)生在掌握知識(shí)的過(guò)程中，感悟數(shù)學(xué)思想，提升數(shù)學(xué)能力。例如，在函數(shù)概念的教學(xué)中，通過(guò)具體實(shí)例抽象出函數(shù)的定義，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)；在幾何證明中，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)。1.2學(xué)生主體地位轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)的“教師講，學(xué)生聽(tīng)”的教學(xué)模式，構(gòu)建以學(xué)生為中心的課堂。通過(guò)設(shè)計(jì)問(wèn)題鏈、探究活動(dòng)、小組合作等環(huán)節(jié)，鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)參與、積極思考、大膽質(zhì)疑、勇于表達(dá)。教師的角色更多地是引導(dǎo)者、組織者和合作者，為學(xué)生的學(xué)習(xí)創(chuàng)造良好的環(huán)境和條件，激發(fā)學(xué)生的內(nèi)在學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)。1.3注重知識(shí)的形成過(guò)程數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生與發(fā)展往往蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想和方法。教學(xué)中應(yīng)展現(xiàn)知識(shí)的來(lái)龍去脈，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從具體到抽象、從特殊到一般、從猜想到證明（或證偽）的過(guò)程。例如，在數(shù)列求和公式的推導(dǎo)中，引導(dǎo)學(xué)生從觀察特例入手，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進(jìn)而嘗試證明，讓學(xué)生在“做數(shù)學(xué)”的過(guò)程中理解知識(shí)的本質(zhì)。1.4加強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐數(shù)學(xué)源于生活，應(yīng)用于生活。應(yīng)結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，引入與現(xiàn)實(shí)生活、科技發(fā)展密切相關(guān)的實(shí)例，開(kāi)展數(shù)學(xué)建模活動(dòng)，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。例如，在統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的教學(xué)中，可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)身邊的現(xiàn)象進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，分析數(shù)據(jù)，做出決策。1.5促進(jìn)學(xué)生個(gè)性化發(fā)展關(guān)注學(xué)生的個(gè)體差異，設(shè)計(jì)不同層次的學(xué)習(xí)任務(wù)和評(píng)價(jià)方式，滿足不同認(rèn)知水平學(xué)生的學(xué)習(xí)需求。鼓勵(lì)學(xué)生采用適合自己的學(xué)習(xí)方法，發(fā)展自己的數(shù)學(xué)特長(zhǎng)和興趣。二、教學(xué)實(shí)施建議2.1教學(xué)方法的選擇與融合根據(jù)不同的教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生特點(diǎn)，靈活選用講授法、討論法、探究法、發(fā)現(xiàn)法等多種教學(xué)方法，并注重多種方法的有機(jī)融合。例如，對(duì)于概念性較強(qiáng)的內(nèi)容，可采用“問(wèn)題情境—引導(dǎo)探究—抽象概括—辨析深化”的模式；對(duì)于技能性較強(qiáng)的內(nèi)容，可采用“示范講解—模仿練習(xí)—變式鞏固—總結(jié)提升”的模式。2.2教學(xué)資源的有效利用充分利用教材、教輔資料、信息技術(shù)（如幾何畫(huà)板、數(shù)學(xué)軟件、在線學(xué)習(xí)平臺(tái)等）、數(shù)學(xué)史材料等多種教學(xué)資源。信息技術(shù)的應(yīng)用應(yīng)服務(wù)于教學(xué)目標(biāo)，有助于突破教學(xué)難點(diǎn)、直觀呈現(xiàn)抽象概念、拓展學(xué)習(xí)空間。同時(shí)，鼓勵(lì)教師開(kāi)發(fā)校本資源，豐富教學(xué)內(nèi)容。2.3學(xué)習(xí)活動(dòng)的設(shè)計(jì)與組織精心設(shè)計(jì)學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)是提升課堂效率的關(guān)鍵?；顒?dòng)設(shè)計(jì)應(yīng)具有明確的目標(biāo)性、適度的挑戰(zhàn)性和可操作性。例如，可以設(shè)計(jì)“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”讓學(xué)生動(dòng)手操作，設(shè)計(jì)“數(shù)學(xué)辯論”讓學(xué)生明晰概念，設(shè)計(jì)“項(xiàng)目式學(xué)習(xí)”讓學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決復(fù)雜問(wèn)題。活動(dòng)過(guò)程中要加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的指導(dǎo)和過(guò)程性評(píng)價(jià)。2.4教學(xué)評(píng)價(jià)的多元化實(shí)施多元化的教學(xué)評(píng)價(jià)，不僅關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果，更要關(guān)注學(xué)習(xí)過(guò)程；不僅關(guān)注知識(shí)技能的掌握，更要關(guān)注核心素養(yǎng)的達(dá)成。評(píng)價(jià)方式應(yīng)包括形成性評(píng)價(jià)（如課堂觀察、作業(yè)反饋、小組表現(xiàn)）與終結(jié)性評(píng)價(jià)（如單元測(cè)驗(yàn)、期中期末考試）相結(jié)合，定量評(píng)價(jià)與定性評(píng)價(jià)相結(jié)合。評(píng)價(jià)結(jié)果應(yīng)及時(shí)反饋給學(xué)生，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到自己的進(jìn)步與不足，明確努力方向。2.5關(guān)注數(shù)學(xué)文化滲透在教學(xué)中適時(shí)融入數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)家的故事、數(shù)學(xué)名題等數(shù)學(xué)文化內(nèi)容，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性與趣味性，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)精神和人文素養(yǎng)。例如，在解析幾何初步的教學(xué)中，可以介紹笛卡爾與坐標(biāo)系的創(chuàng)立。三、核心章節(jié)教學(xué)設(shè)計(jì)與講義示例：函數(shù)的概念與基本性質(zhì)3.1章節(jié)概述“函數(shù)的概念與基本性質(zhì)”是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。本章節(jié)主要包括函數(shù)的概念、函數(shù)的表示方法、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的最值等內(nèi)容。通過(guò)本章節(jié)的學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)能理解函數(shù)的本質(zhì)是兩個(gè)非空數(shù)集間的一種特殊對(duì)應(yīng)關(guān)系，掌握函數(shù)的三種基本表示方法，能運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性分析解決問(wèn)題，并初步形成利用函數(shù)觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)世界的意識(shí)。3.2學(xué)習(xí)目標(biāo)*知識(shí)與技能：*理解函數(shù)的概念，能準(zhǔn)確使用函數(shù)符號(hào)，會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域。*掌握函數(shù)的三種表示方法（解析法、列表法、圖象法），并能根據(jù)實(shí)際情況選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù)。*理解函數(shù)單調(diào)性的定義，能判斷和證明簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性，并能利用單調(diào)性解決簡(jiǎn)單問(wèn)題。*理解函數(shù)奇偶性的定義，能判斷函數(shù)的奇偶性，并能利用奇偶性解決簡(jiǎn)單問(wèn)題。*會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的最大值和最小值。*過(guò)程與方法：*通過(guò)實(shí)例抽象概括函數(shù)概念的過(guò)程，體會(huì)數(shù)學(xué)抽象的思想。*在探究函數(shù)性質(zhì)的過(guò)程中，經(jīng)歷觀察、分析、歸納、抽象、概括的思維過(guò)程，提升邏輯推理能力。*通過(guò)函數(shù)圖象的繪制與觀察，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法。*情感態(tài)度與價(jià)值觀：*通過(guò)對(duì)函數(shù)概念的深入理解，感受數(shù)學(xué)概念的嚴(yán)謹(jǐn)性和抽象性。*在解決問(wèn)題的過(guò)程中，體驗(yàn)成功的喜悅，培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和信心。*體會(huì)函數(shù)在描述客觀世界變化規(guī)律中的作用，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)。3.3教學(xué)重難點(diǎn)*教學(xué)重點(diǎn)：*函數(shù)的概念及其符號(hào)表示。*函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的概念及應(yīng)用。*教學(xué)難點(diǎn)：*從具體實(shí)例中抽象出函數(shù)概念的本質(zhì)（兩個(gè)非空數(shù)集間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，且對(duì)于定義域內(nèi)每一個(gè)自變量值，都有唯一確定的函數(shù)值與之對(duì)應(yīng)）。*函數(shù)單調(diào)性定義的理解與證明。*函數(shù)奇偶性概念的理解及判斷。3.4課時(shí)安排建議（總計(jì)約12課時(shí)）*函數(shù)的概念與定義域、值域：約3課時(shí)*函數(shù)的表示方法：約2課時(shí)*函數(shù)的單調(diào)性：約3課時(shí)*函數(shù)的奇偶性：約2課時(shí)*函數(shù)的最值：約1課時(shí)*單元復(fù)習(xí)與小結(jié)：約1課時(shí)3.5教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)與講義內(nèi)容（節(jié)選）3.5.1函數(shù)的概念（第一課時(shí)）一、創(chuàng)設(shè)情境，引入課題（教師活動(dòng)）展示生活中的一些變化現(xiàn)象：1.汽車行駛過(guò)程中，路程隨時(shí)間的變化而變化。2.一天中，氣溫隨時(shí)間的變化而變化。3.某商店某種商品，銷售額隨銷售量的變化而變化。提問(wèn)：這些變化過(guò)程有什么共同的特點(diǎn)？我們?nèi)绾蚊枋鲞@種兩個(gè)量之間的依賴關(guān)系？（學(xué)生活動(dòng)）思考、討論，初步感知兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。二、探索新知，形成概念（教師活動(dòng)）引導(dǎo)學(xué)生分析具體實(shí)例中的兩個(gè)變量及其關(guān)系：實(shí)例1：下表是某城市某天24小時(shí)的氣溫變化數(shù)據(jù)：時(shí)間t(時(shí))03691215182124:---------:---:---:---:---:---:---:---:---:---氣溫T(℃)1089141820171311這里，時(shí)間t的取值范圍是{0,3,6,9,12,15,18,21,24}，對(duì)于每一個(gè)t值，都有唯一確定的T值與之對(duì)應(yīng)。實(shí)例2：正方形的邊長(zhǎng)為a，面積為S。則S與a的關(guān)系為S=a2。這里，a的取值范圍是正實(shí)數(shù)集，對(duì)于每一個(gè)正實(shí)數(shù)a，都有唯一確定的S值與之對(duì)應(yīng)。（教師活動(dòng)）引導(dǎo)學(xué)生觀察上述實(shí)例，找出它們的共同特征：1.都有兩個(gè)變量。2.一個(gè)變量的變化會(huì)引起另一個(gè)變量的變化。3.對(duì)于其中一個(gè)變量的每一個(gè)確定的值，另一個(gè)變量都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)。（學(xué)生活動(dòng)）概括、提煉共同特征。二、抽象概括，形成定義（教師活動(dòng)）在數(shù)學(xué)中，我們把這種兩個(gè)變量之間的確定性對(duì)應(yīng)關(guān)系稱為函數(shù)關(guān)系。函數(shù)的定義（傳統(tǒng)定義）：在一個(gè)變化過(guò)程中，如果有兩個(gè)變量x與y，并且對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么我們就說(shuō)x是自變量，y是x的函數(shù)。（教師活動(dòng)）但是，隨著我們對(duì)數(shù)學(xué)研究的深入，這個(gè)定義有時(shí)會(huì)不夠精確。例如，當(dāng)兩個(gè)變量之間的關(guān)系非常復(fù)雜，或者自變量不是數(shù)時(shí)，這個(gè)定義就會(huì)遇到困難。因此，我們需要一個(gè)更具一般性的定義。函數(shù)的定義（近代定義）：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)（function）。記作：y=f(x)，x∈A。其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域（domain）；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域（range）。（教師活動(dòng)）引導(dǎo)學(xué)生理解這個(gè)定義中的關(guān)鍵詞：*A、B是非空的數(shù)集。*對(duì)應(yīng)關(guān)系f：是一種確定的規(guī)則。*任意性：對(duì)于A中的“任意一個(gè)數(shù)x”。*唯一性：在B中都有“唯一確定”的數(shù)f(x)與之對(duì)應(yīng)。（學(xué)生活動(dòng)）對(duì)比兩個(gè)定義，思考近代定義的優(yōu)越性。討論：A、B為什么必須是非空數(shù)集？“唯一確定”為什么很重要？三、概念辨析與理解（教師活動(dòng)）例1：判斷下列對(duì)應(yīng)關(guān)系是否為從集合A到集合B的函數(shù)：1.A={1,2,3}，B={3,6,9,12}，對(duì)應(yīng)關(guān)系f：x→y=3x。2.A={1,2,3}，B={1,4,9,16}，對(duì)應(yīng)關(guān)系f：x→y=x2。3.A={x|x是三角形}，B={x|x>0}，對(duì)應(yīng)關(guān)系f：三角形→三角形的面積。4.A=R，B=R，對(duì)應(yīng)關(guān)系f：x→y=±√x。（學(xué)生活動(dòng)）分組討論，判斷并說(shuō)明理由。重點(diǎn)辨析：是否為數(shù)集？對(duì)應(yīng)是否“唯一確定”？（教師活動(dòng)）總結(jié)：判斷一個(gè)對(duì)應(yīng)是否為函數(shù)，關(guān)鍵看兩點(diǎn)：定義域A是否為數(shù)集；對(duì)于A中的每一個(gè)x，在B中是否有唯一確定的y與之對(duì)應(yīng)。四、函數(shù)的符號(hào)表示（教師活動(dòng)）函數(shù)y=f(x)是一個(gè)整體符號(hào)，f(x)不是f乘以x。f表示對(duì)應(yīng)關(guān)系，f(x)表示當(dāng)自變量為x時(shí)的函數(shù)值。例如，f(x)=2x+1，表示對(duì)應(yīng)關(guān)系f是“自變量乘以2再加1”。當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)值f(1)=2×1+1=3。（學(xué)生活動(dòng)）練習(xí)：已知函數(shù)f(x)=x2-2x+3，求f(0)，f(1)，f(a)，f(a+1)。五、課堂小結(jié)與作業(yè)布置（教師活動(dòng)）引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容：函數(shù)的近代定義、定義域、值域、對(duì)應(yīng)關(guān)系，以及如何判斷一個(gè)對(duì)應(yīng)是否為函數(shù)。提問(wèn)：通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你對(duì)函數(shù)有了哪些新的認(rèn)識(shí)？（作業(yè)布置）1.教材PXX練習(xí)X.X第1、2、3題。2.思考：如何確定一個(gè)函數(shù)的定義域？（預(yù)習(xí)下一節(jié)課內(nèi)容）3.舉出生活中函數(shù)關(guān)系的兩個(gè)例子，并嘗試用集合與對(duì)應(yīng)關(guān)系的語(yǔ)言描述它。3.5.2函數(shù)的單調(diào)性（第一課時(shí)）一、復(fù)習(xí)回顧，引入新課（教師活動(dòng)）展示兩個(gè)函數(shù)的圖象：y=x和y=-x。提問(wèn)：觀察這兩個(gè)函數(shù)的圖象，從左到右看，它們的變化趨勢(shì)有什么不同？（學(xué)生活動(dòng)）觀察圖象，回答：y=x的圖象是上升的，y=-x的圖象是下降的。（教師活動(dòng)）我們說(shuō)，y=x在整個(gè)定義域上是“隨著x的增大而增大”的，y=-x在整個(gè)定義域上是“隨著x的增大而減小”的。這種函數(shù)值隨自變量變化而變化的趨勢(shì)，就是我們今天要研究的函數(shù)的單調(diào)性。二、直觀感知，形成概念（教師活動(dòng)）展示函數(shù)y=x2的圖象。提問(wèn)：這個(gè)函數(shù)的圖象在整個(gè)定義域上都是上升或下降的嗎？在哪些區(qū)間上是上升的？哪些區(qū)間上是下降的？（學(xué)生活動(dòng)）觀察圖象，得出：在y軸左側(cè)（x<0），圖象下降；在y軸右側(cè)（x>0），圖象上升。（教師活動(dòng)）如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言精確地描述這種“上升”和“下降”的特征呢？我們以y=x2在(0,+∞)上的“上升”為例來(lái)研究。在(0,+∞)上任取兩個(gè)點(diǎn)x?和x?，比如x?=1，x?=2，當(dāng)x?<x?時(shí)，f(x?)=1，f(x?)=4，有f(x?)<f(x?)。再取x?=0.5，x?=1.5，當(dāng)x?<x?時(shí)，f(x?)=0.25，f(x?)=2.25，也有f(x?)<f(x?)。（教師活動(dòng)）引導(dǎo)學(xué)生思考：如果在區(qū)間I上，任取兩個(gè)自變量的值x?，x?，當(dāng)x?<x?時(shí)，都有f(x?)<f(x?)，我們就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)遞增的。類似地，可以給出單調(diào)遞減的定義。三、抽象概括，嚴(yán)謹(jǐn)定義函數(shù)的單調(diào)性定義：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x?，x?：*當(dāng)x?<x?時(shí)，都有f(x?)<f(x?)，那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)（increasingfunction）。*當(dāng)x?<x?時(shí)，都有f(x?)>f(x?)，那