高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）（慕課版）本章導(dǎo)學(xué)第3章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用2導(dǎo)數(shù)刻畫了函數(shù)的一種局部特性，為了利用導(dǎo)數(shù)來(lái)討論函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的整體性態(tài)，研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、凹凸性及拐點(diǎn)等，需要建立導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的理論基礎(chǔ)—微分中值定理，它是聯(lián)系函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的橋梁.本章主要內(nèi)容包括：微分中值定理；泰勒中值定理；洛必達(dá)法則；函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值；曲線的凹凸性與拐點(diǎn)；弧微分與曲率.第3章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用01導(dǎo)數(shù)02導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用03解決實(shí)際問(wèn)題本講內(nèi)容一般特殊4特殊n=0微分中值定理是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的理論基礎(chǔ)微分中值定理羅爾定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒中值定理函數(shù)與各階導(dǎo)數(shù)的橋梁01

導(dǎo)數(shù)01導(dǎo)數(shù)02導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用03解決實(shí)際問(wèn)題本講內(nèi)容6局部與整體轉(zhuǎn)化理論基礎(chǔ)應(yīng)用拉格朗日中值定理函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性極值最值柯西中值定理洛必達(dá)法則其它未定式“”與“”未定式02

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用7研究函數(shù)工具函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)漸近線正增負(fù)減正凹負(fù)凸水平漸近線垂直漸近線斜漸近線描繪函數(shù)圖形02

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用01導(dǎo)數(shù)02導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用03解決實(shí)際問(wèn)題本講內(nèi)容9實(shí)際問(wèn)題生產(chǎn)實(shí)踐工程技術(shù)最值最低成本最大利潤(rùn)最近距離等公路鐵路設(shè)計(jì)橋梁、廠房的鋼梁等曲率曲率半徑03解決實(shí)際問(wèn)題學(xué)海無(wú)涯，祝你成功！高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）（慕課版）高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）（慕課版）第1講微分中值定理第3章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用01羅爾定理02拉格朗日中值定理03柯西中值定理本講內(nèi)容注意:(1)條件并非缺一不可;ab。13定理3.1若函數(shù)滿足(1)在閉區(qū)間上連續(xù);(2)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo);(3)則至少有一點(diǎn).,使得(3)??不唯一.(2)羅爾定理的條件充分而非必要.證明的關(guān)鍵是：??是區(qū)間的內(nèi)點(diǎn).01羅爾定理

證14因?yàn)楹瘮?shù)在閉區(qū)間則上必有最上連續(xù)，大值和最小值.于是于端點(diǎn)的函數(shù)值.（1）若，上恒為常數(shù)，在故在內(nèi)處處則.有（2）若則因，，與中至少有一個(gè)不等01羅爾定理15的切線，羅爾定理的幾何意義是：在兩端高度相同的一段連續(xù)曲線上，若除兩端點(diǎn)外，處處都存在不垂直于軸則其中至少存在一條水平切線．01羅爾定理16注(1)定理中的ξ不唯一，定理只表明ξ的存在性；(2)定理的條件是結(jié)論成立的充分條件而非結(jié)論必要條件．成立也可能不成立.例如，函數(shù)在閉區(qū)間即條件滿足時(shí)結(jié)論一定成立，若條件不滿足，可能顯然存在．，使雖然它在端點(diǎn)處不相等，即不滿足羅爾定理的第三的值，個(gè)條件，但結(jié)論仍然成立．上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)．又01羅爾定理兩個(gè)等值點(diǎn)之間至少存在方程

的一個(gè)根．羅爾定理的代數(shù)意義是：當(dāng)x可導(dǎo)時(shí)，在函數(shù)

的Oxfy（=）1O（）-x1（y）O下面的三個(gè)例子，它們也不滿足羅爾定理的全部閉區(qū)間上不連續(xù)；函數(shù)，在開區(qū)間函數(shù)，在閉區(qū)間條件，但都不存在一個(gè)內(nèi)點(diǎn)ξ，使．函數(shù)，它在內(nèi)點(diǎn)處不可導(dǎo)；上端點(diǎn)處函數(shù)值不相等．y=fx）y=fxxx1y11y1（a（）b（）c...17(1)如圖(a)所示，(2)如圖(b)所示，(3)如圖(c)所示，01羅爾定理1718

1例

解01羅爾定理18驗(yàn)證羅爾定理對(duì)于函數(shù)三個(gè)條件均滿足結(jié)論成立119設(shè)，

不求導(dǎo)數(shù)證明方程有三個(gè)實(shí)根．顯見(jiàn)有四個(gè)零點(diǎn)：,

即．考察區(qū)間，

在這三個(gè)區(qū)間上顯然滿足羅爾定理的三個(gè)條件，于是得在三個(gè)區(qū)間內(nèi)各至少有一個(gè)實(shí)根，所以方程至少有三個(gè)實(shí)根；另一方面，

是一個(gè)三次多項(xiàng)式，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)至多有三個(gè)實(shí)根．

綜上可知，

有且僅有三個(gè)實(shí)根．

2例

解01羅爾定理19

解證明：方程有且僅有一個(gè)小于的正實(shí)根.

設(shè),則在區(qū)間上連續(xù)，

且，

.

由零點(diǎn)定理知，

存在，

使，

即為方程的小于1的正實(shí)根.唯一性.下面用反證法證明根的

設(shè)另有，

，

.使因?yàn)樵谥g滿足羅爾定理的條件，所以至少

存在一點(diǎn)(介于之間)，使得.

但是對(duì)，

，

矛盾，為唯一實(shí)根.故

01羅爾定理20

3例21內(nèi)至少存在一點(diǎn)，，因?yàn)樵谑巧系淖畲笙伦C.所以在點(diǎn)即處可導(dǎo)，存在，而值，.所以即最大值不在兩個(gè)端點(diǎn)處取得，則在不妨設(shè)，.使得.因?yàn)閮?nèi)可導(dǎo)，在則01羅爾定理22已知函數(shù)在上連續(xù)，

在內(nèi)可導(dǎo)，

且，

證明至少存在一點(diǎn)，

使得．設(shè)輔助函數(shù)，則在上連續(xù)，

在內(nèi)可導(dǎo)，

且滿足.

由羅爾定理可知，

至少存在一點(diǎn)，

使得

，

所以．

4例

解01羅爾定理23在內(nèi)可導(dǎo)，

證明：存在，

使

做輔助函數(shù)，

則在上連續(xù)，

在內(nèi)可導(dǎo)，

且滿足

由羅爾定理可知，

存在一點(diǎn)，

5例

解.

即．使.

設(shè)和上連續(xù)，

在01羅爾定理至少

解24證明方程，令必有一個(gè)小于所以方程的正根.有一個(gè)正根若方程，，且在區(qū)間上滿足羅爾定理的條件，顯然，，使得，01羅爾定理

6例必有一個(gè)小于的正根.由，故存在即

解2501羅爾定理

7例2設(shè)在實(shí)數(shù)集上是可導(dǎo)函數(shù)，若方程至多只有一個(gè)實(shí)根.則方程沒(méi)有實(shí)根，有兩個(gè)實(shí)根

假設(shè)方程和，且，在，使則函數(shù)在上滿足羅爾定理的三個(gè)條件，從而存這與方程

沒(méi)有實(shí)根相矛矛盾，故假設(shè)不成立.顯然方程也不可能有三個(gè)或三個(gè)以上至多只有一個(gè)實(shí)根.的實(shí)根，所以方程01羅爾定理02拉格朗日中值定理03柯西中值定理本講內(nèi)容27定理3.2若函數(shù)滿足：（1）在閉區(qū)間上連續(xù)；（2）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；則至少有一點(diǎn)，使得.或.02拉格朗日中值定理證法一28顯然，構(gòu)造函數(shù)：，即.滿足羅爾定理的條件，則至少，使得02拉格朗日中值定理證法二29則至少，使得.即.設(shè)，則，且有，滿足羅爾定理的條件，02拉格朗日中值定理2930

設(shè)，

求在上滿足拉格朗日中值定理的值．

為多項(xiàng)式函數(shù)，在上滿足拉格朗日中值定理的條件，

，

即.

8例

證解得,即此時(shí)為區(qū)的中點(diǎn)．故有02拉格朗日中值定理31

9例

證

設(shè)，

使得

02拉格朗日中值定理3設(shè)證明：，根據(jù)拉格朗日中值定理，得即因?yàn)楣?2

10例

證

設(shè)，

使得

02拉格朗日中值定理4設(shè)證明：，根據(jù)拉格朗日中值定理，得即因?yàn)楣?3

11例

證

設(shè)，

02拉格朗日中值定理5證明：根據(jù)拉格朗日中值定理，得，即有其中，介于a與b之間因?yàn)椋?4

12例

證對(duì)任意的，

證明.

設(shè)，

則對(duì)有

，

由推論1知，在內(nèi)有；

再取一個(gè)特殊的值確定，取，有，

因此，

在內(nèi)有

．

02拉格朗日中值定理

證35

設(shè)，根據(jù)拉格朗日中值定理，使

，

，

整理得，因?yàn)椋裕?

同理可證時(shí)，結(jié)論仍然成立.

所以當(dāng)時(shí)，.

證明：

當(dāng)時(shí)，02拉格朗日中值定理

13例即故

當(dāng)時(shí)，

證36滿足拉格朗日中值定理，使得，故存在，，即.證明當(dāng)時(shí)，.設(shè)，顯然，函數(shù)在上，時(shí)，有當(dāng)且02拉格朗日中值定理

14例因此

證37根據(jù)拉格朗日中值定理，，使存在設(shè)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，證明：02拉格朗日中值定理

15例6設(shè)，則函數(shù)在(a,b)內(nèi)存在一點(diǎn)，使在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，即01羅爾定理02拉格朗日中值定理03柯西中值定理本講內(nèi)容定理3.339若函數(shù)、滿足：（1）在閉區(qū)間上連續(xù)；（2）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且；則至少有一點(diǎn)使得.，03柯西中值定理證法錯(cuò)誤40的條件.兩式相除得到定理的結(jié)論.錯(cuò)誤原因：不能保證兩個(gè)函數(shù)由拉格朗日定理得到的是同一個(gè)點(diǎn).

證由定理的條件可知都滿足拉格朗日定理、使得故03柯西中值定理方程過(guò)點(diǎn)下面考察柯西中值定理的幾何意義，設(shè)曲線由參數(shù)41表示，與在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，的弦AB的斜率為又，，且有則參數(shù)方程所，.確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為03柯西中值定理42如圖所示.處的C點(diǎn)的切線與割線AB平行.使曲線上對(duì)應(yīng)，因此，定理的結(jié)論是說(shuō)在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)xyOF(ξ)F(b)F(a)A(F(a),f(a))B(F(b),f(b))C(F(ξ),f(ξ))03柯西中值定理

證43要證明只需令，從而結(jié)論得證.即則有，，即故至少存在一點(diǎn)使得，，則有構(gòu)造輔助函數(shù)：令，，即所以函數(shù)在區(qū)間上滿足羅爾定理03柯西中值定理44

對(duì)函數(shù)及在區(qū)間上驗(yàn)證柯西中值定理的正確性．因?yàn)樵谏线B續(xù)，內(nèi)可導(dǎo)，在內(nèi)可導(dǎo)，在內(nèi)不等于零，故至少存在一點(diǎn)使．

即，解得．

16例

解連續(xù)，上，所以滿足柯西定理的所有條件，

03柯西中值定理45因此柯西定理對(duì)函數(shù)及在區(qū)間上是正確的．03柯西中值定理46

設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，證明：至少存在一點(diǎn)，

使得.

分析要證明的結(jié)論可變形為

，

考慮使用柯西定理.

令，

則函數(shù)和在區(qū)間上滿足柯西中值定理的條件，故至少存在一點(diǎn)，

使得，

整理得.

證03柯西中值定理

17例

證47利用這個(gè)方法證明拉格朗日中值定理也非常簡(jiǎn)單要證明即成立，從而結(jié)論得證.，令，則，構(gòu)造輔助函數(shù)，則有故至少存在一點(diǎn)，使得即，所以函數(shù)在區(qū)間上滿足羅爾定理，03柯西中值定理學(xué)海無(wú)涯，祝你成功！高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）（慕課版）高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）（慕課版）第2講洛必達(dá)法則第3章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用0102其他類型的未定式“”型未定式和“”型未定式本講內(nèi)容01“”型未定式和“”型未定式定理3.4洛必達(dá)法則??設(shè)、在x0的某去心鄰域內(nèi)有定義，若（1）；，（2）；、在x0的某去心領(lǐng)域內(nèi)可導(dǎo)，且（3）存在（或無(wú)窮大），.則51定理3.5洛必達(dá)法則????設(shè)、在x0的某去心鄰域內(nèi)有定義，若（1）；，（2）；、在x0的某去心領(lǐng)域內(nèi)可導(dǎo)，且（3）存在（或無(wú)窮大），.則01“”型未定式和“”型未定式52(1)洛必達(dá)法則僅適用于“”和“”；(2)若條件具備，洛必達(dá)法則可以連續(xù)多次使用，即(3)洛必達(dá)法則和其它方法結(jié)合使用，簡(jiǎn)便為原則；(4)洛必達(dá)法則條件是充分而非必要，可能失效.注.如：(第三個(gè)條件不滿足)；極限不存在（循環(huán)）01“”型未定式和“”型未定式53

1例54

該極限為“”型不定式，

由洛必達(dá)法則，得

解5401“”型未定式和“”型未定式1求極限（a,b為常數(shù)，且

）.

2例55

該極限為“”型不定式，

由洛必達(dá)法則，得

解5501“”型未定式和“”型未定式2求極限

3例56

計(jì)算極限．

該極限為“”型不定式，

由洛必達(dá)法則，得不是上式中的已“”型未定式，

不能對(duì)其使用洛必達(dá)法則，

否則會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤結(jié)果.

求解時(shí)尤其需注意使用洛必達(dá)法則的條件，如果不是未定式，

能使用洛必達(dá)法則.

注意就不

解.5601“”型未定式和“”型未定式57

計(jì)算極限．

該極限屬于“”型未定式，

由洛必達(dá)法則，

得

本例中使用了兩次洛必達(dá)法則.

4例57

解.01“”型未定式和“”型未定式58

求極限

5例

解01“”型未定式和“”型未定式359

計(jì)算極限

6例

解01“”型未定式和“”型未定式460

計(jì)算極限

7例

解01“”型未定式和“”型未定式561計(jì)算極限．這是“”型未定式，

先對(duì)分母中的乘積因子利用等價(jià)無(wú)窮小()進(jìn)行代換，

再由洛必達(dá)法則，

得

8例61

解.01“”型未定式和“”型未定式62從例題中可以看出，與求極限的其它方法（比如等價(jià)無(wú)窮小代換）結(jié)合求未定式極限時(shí)，洛必達(dá)法則使用更方便快捷.6201“”型未定式和“”型未定式63求．

9例

解．6301“”型未定式和“”型未定式64求極限．該極限屬于“”型未定式，

若運(yùn)用洛必達(dá)法則．由于不存在，

所以上述極限不存在，因此不滿足洛必達(dá)法則的條件，所以此題不能使用洛必達(dá)法．原極限可用下面的方法求出：

10例

解．6401“”型未定式和“”型未定式65由該例可以看出，不存在，洛必達(dá)法則雖然是求未定式極限的一種有效的方法，但它不是萬(wàn)能的，有時(shí)也會(huì)失效，使用洛必達(dá)法則求不出極限并不意味著原極限一定可以改用其它方法求解.6501“”型未定式和“”型未定式

11例求極限設(shè)在點(diǎn)附近連續(xù)，該極限為“”型未定式，因?yàn)榇嬖?，則利用洛必達(dá)法則，有

解存在，66.01“”型未定式和“”型未定式66

12例設(shè)

存在，求極限.

該極限為“”型未定式，因?yàn)榇嬖?，則利用洛必達(dá)法則和導(dǎo)數(shù)的定義有.

解存在，6701“”型未定式和“”型未定式67試確定常數(shù)a，b，使得.

13例因?yàn)?，故a=1，且有，故.

解為使左邊極限存在，須，6801“”型未定式和“”型未定式68錯(cuò)解

14例求極限

解.6901“”型未定式和“”型未定式69

15例求極限故原式.

解7001“”型未定式和“”型未定式70

16例討論函數(shù)，，，，則令，在點(diǎn)x=0處的連續(xù)性.

解7101“”型未定式和“”型未定式71而故，所以函數(shù)在x=0連續(xù).72，01“”型未定式和“”型未定式72比較與討論函數(shù)在點(diǎn)x=0處的連續(xù)性.，，，，7301“”型未定式和“”型未定式730102其他類型的未定式“”型未定式和“”型未定式本講內(nèi)容則“，，，，”型未定式需轉(zhuǎn)化為“”和“”；1.設(shè)，，或，7502其他類型的未定式752.“”通分簡(jiǎn)化后轉(zhuǎn)化為“”或“”3.“，，”通過(guò)取對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化無(wú)論是上述三種類型中的哪一種，均為“”型未定式.7602其他類型的未定式76計(jì)算極限．

該極限屬于“”型的未定式,先化為“”型未定式，

再使用洛必達(dá)法則，

17例

解．7702其他類型的未定式7778計(jì)算極限．該極限屬于“”型未定式，

先通分化為“”型未定式，

再使用洛必達(dá)法則，

18例

解．7802其他類型的未定式79

計(jì)算極限．先取對(duì)數(shù)后再使用洛必達(dá)法則，

該極限屬于“”型未定式，

19例

解．7902其他類型的未定式80計(jì)算極限．該極限屬于“”型未定式，

取對(duì)數(shù)后再使用洛必達(dá)法則，

20例

解．8002其他類型的未定式81計(jì)算極限該極限屬于“”型未定式，

取對(duì)數(shù)后再使用洛必達(dá)法則，

21例

解8102其他類型的未定式6

22例求極限.“”則

解記，所以.8202其他類型的未定式82所以.

23例求極限.“”記，則

解8302其他類型的未定式8384計(jì)算極限該極限屬于“”型未定式，

取對(duì)數(shù)后再使用洛必達(dá)法則，

24例

解8402其他類型的未定式7學(xué)海無(wú)涯，祝你成功！高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）（慕課版）高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）（慕課版）第3講泰勒中值定理第3章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用01泰勒中值定理02麥克勞林公式03幾個(gè)重要初等函數(shù)的麥克勞林公式04泰勒公式的應(yīng)用本講內(nèi)容則對(duì)任意有定理3.6(泰勒中值定理)設(shè)函數(shù)在含有x0的某個(gè)開區(qū)間內(nèi)具有直到其中,(3.1)其中ξ介于x0與x之間.泰勒展開拉格朗日余項(xiàng)階導(dǎo)數(shù),01

泰勒中值定理88(ξ在x0與x之間)拉格朗日形式的余項(xiàng)佩亞諾形式的余項(xiàng)即及所以01

泰勒中值定理89注1.當(dāng)時(shí).泰勒公式變成拉氏中值公式3.當(dāng)時(shí),(ξ在x與x0之間)ξ在x0與x之間,則余項(xiàng)2.取令取得麥克勞林公式.01

泰勒中值定理9001泰勒中值定理02麥克勞林公式03幾個(gè)重要初等函數(shù)的麥克勞林公式04泰勒公式的應(yīng)用本講內(nèi)容定理3.7稱為帶佩亞諾余項(xiàng)的n階麥克勞林公式.設(shè)函數(shù)在含有的某個(gè)開區(qū)間內(nèi)具有直到稱為函數(shù)的n階帶拉格朗日型余項(xiàng)的麥克勞林公式.(3.6)則對(duì)任意有階導(dǎo)數(shù),(3.5)02

麥克勞林公式92稱為的n階麥克勞林多項(xiàng)式,其系數(shù)為:由(3.5)和(3.6)可得近似公式右端多項(xiàng)式記作:誤差估計(jì)式:02

麥克勞林公式9301泰勒中值定理02麥克勞林公式03幾個(gè)重要初等函數(shù)的麥克勞林公式04泰勒公式的應(yīng)用本講內(nèi)容

1

例

解

求函數(shù)的n階麥克勞林公式.

由,得,

又

,

把這些值代入公式(3.5)即得所求麥克勞林公式.03

幾個(gè)重要初等函數(shù)的麥克勞林公式95

求函數(shù)的n階麥克勞林公式.

易知,,

故,,,,,,

依次循環(huán)地取四個(gè)數(shù),,,.取,得階麥克勞林公式

,其中

2例

解03

幾個(gè)重要初等函數(shù)的麥克勞林公式96

求函數(shù)的n階麥克勞林公式.

易知,,

故,,,,,,

依次循環(huán)地取四個(gè)數(shù),,,.取,得階麥克勞林公式

,

3例

解03

幾個(gè)重要初等函數(shù)的麥克勞林公式971其中

求函數(shù)的n階麥克勞林公式.

易知，故

，

4例

解03

幾個(gè)重要初等函數(shù)的麥克勞林公式982從而介于0與x之間，

，

求函數(shù)的n階麥克勞林公式.

易知，故

，

5例

解03

幾個(gè)重要初等函數(shù)的麥克勞林公式993從而介于0與x之間，

，

求函數(shù)的n階麥克勞林公式.

易知，故

，

6例

解03

幾個(gè)重要初等函數(shù)的麥克勞林公式1004從而介于0與x之間，，03

幾個(gè)重要初等函數(shù)的麥克勞林公式10101泰勒中值定理02麥克勞林公式03幾個(gè)重要初等函數(shù)的麥克勞林公式04泰勒公式的應(yīng)用本講內(nèi)容

7

例

解

求函數(shù)的帶有佩亞諾型余項(xiàng)的階麥克勞林公式.

因?yàn)?

所以,從而的階麥克勞林公式為

.0404

泰勒公式的應(yīng)用103求函數(shù)在處的帶有佩亞諾型余項(xiàng)的階泰勒公式.

解

8

例04

泰勒公式的應(yīng)用104

04

泰勒公式的應(yīng)用105所以

9例

解法一求函數(shù)按的冪展開的n階泰勒公式(佩亞諾余項(xiàng)).因?yàn)?4

泰勒公式的應(yīng)用106利用間接展開由,則

解法二04

泰勒公式的應(yīng)用107

求極限由于分母等價(jià)于x的3次方，所以只需將分子中的和展開為帶有佩亞諾型余項(xiàng)的3階麥克勞林公式，即，

10例

解04

泰勒公式的應(yīng)用108于是5

求極限.由于分母是的4次方,所以只需將分子中的和展開為帶有佩亞諾型余項(xiàng)的4階麥克勞林公式即可,即,.于是

11例

解04

泰勒公式的應(yīng)用109利用泰勒公式求極限因?yàn)?/p>

解所以

12例04

泰勒公式的應(yīng)用110因?yàn)樗郧蠛瘮?shù)在點(diǎn)處的n階導(dǎo)數(shù)

解所以

13例故04

泰勒公式的應(yīng)用111設(shè)在點(diǎn)的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)二階可導(dǎo),且求及的值.

解

14例04

泰勒公式的應(yīng)用112根據(jù)題意可知因而必有故04

泰勒公式的應(yīng)用113設(shè),試求.

由,

得到,

函數(shù)的麥克勞林公式中項(xiàng)的系數(shù)為,根據(jù)麥克勞林公式的唯一性得

,

即.

15

例

解04

泰勒公式的應(yīng)用114學(xué)海無(wú)涯，祝你成功！高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）（慕課版）高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）（慕課版）第4講函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值第3章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用01函數(shù)的單調(diào)性02函數(shù)的極值03函數(shù)的最值本講內(nèi)容更一般性的結(jié)論118定理3.8則函數(shù)（1）在I上單調(diào)增加；（2）則函數(shù)在I上單調(diào)減少.設(shè)函數(shù)在區(qū)間I可導(dǎo)，若或（等號(hào)對(duì)一切有設(shè)函數(shù)在區(qū)間I可導(dǎo)，僅在有限個(gè)點(diǎn)處成立），單調(diào)減少.在I內(nèi)單調(diào)增加或則函數(shù)01函數(shù)的單調(diào)性討論單調(diào)性的步驟：119（1）確定的定義域；（2）求并求出單調(diào)區(qū)間所有可能的分界點(diǎn)（包括導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)、的間段點(diǎn))，并根據(jù)分界點(diǎn)把定義域分成相應(yīng)的區(qū)間;函數(shù)在各區(qū)間中的單調(diào)性.（3）判斷一階導(dǎo)數(shù)

在各區(qū)間內(nèi)的符號(hào)從而判斷01函數(shù)的單調(diào)性120首先確定函數(shù)的定義域：該函數(shù)定義域?yàn)椋?/p>

其次,求導(dǎo)數(shù)并確定函數(shù)的駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)：,

由得駐點(diǎn),該函數(shù)沒(méi)有導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)．

討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

例1

解01函數(shù)的單調(diào)性121最后將找到的點(diǎn)劃分連續(xù)區(qū)間列表討論判定函數(shù)的增減區(qū)間．如下表：

其中符號(hào)“↗”表示單調(diào)增加,“↘”表示單調(diào)減少.由表可知,函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間為、,單調(diào)減少區(qū)間為．01函數(shù)的單調(diào)性122判斷函數(shù)的單調(diào)性.

；

.

解

例201函數(shù)的單調(diào)性1函數(shù)的定義域?yàn)?，?/p>

且則的駐點(diǎn)為，在點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)不存在.當(dāng)和時(shí)，當(dāng)和時(shí)，故函數(shù)在和上單調(diào)增加；在和上單調(diào)減少.123判斷函數(shù)的單調(diào)性.

函數(shù)的定義域?yàn)?

且,

容易得到函數(shù)在點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)不存在.并且點(diǎn)把定義域分成兩部分區(qū)間.當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，.

故函數(shù)在上單調(diào)增加.

解

例301函數(shù)的單調(diào)性；124

設(shè)

確定的單調(diào)區(qū)間.當(dāng)時(shí),,

當(dāng)時(shí),,所以的單調(diào)增加區(qū)間為,

減少區(qū)間為.

解

例401函數(shù)的單調(diào)性125證明：當(dāng)時(shí)，．設(shè)，則．在上連續(xù)，

且當(dāng)時(shí),，

所以函數(shù)

在上單調(diào)增加，

即．

所以當(dāng)時(shí)，

例5

證01函數(shù)的單調(diào)性2．

，即126證明：當(dāng)時(shí)，．

設(shè),則．在上連續(xù),

且當(dāng)時(shí),,

所以函數(shù)

在上是單調(diào)增加的,

即．

所以當(dāng)時(shí),

,

即．

即可）

（下證

例6

證01函數(shù)的單調(diào)性127

例7

證01函數(shù)的單調(diào)性3證明：當(dāng)

時(shí)，設(shè)

，而的符號(hào)不易確定.

g(x)

>g(0)=0，故

g(x)在

上單調(diào)增.所以當(dāng)

時(shí)，有

f′(x)>0，這表明

f(x)在

上也單調(diào)增.故當(dāng)

時(shí)，有令

g(x)=f′(x)，因即

f(x)

>f(0)=0，從而128

例8

證設(shè)函數(shù)在上二階可導(dǎo)，且在上單調(diào)增加.試證明：函數(shù)令在上單調(diào)增加.故函數(shù)則由題意可知，當(dāng)時(shí)故所以01函數(shù)的單調(diào)性129

例9

證由零點(diǎn)定理，得至少有一個(gè)實(shí)根.01函數(shù)的單調(diào)性4設(shè)函數(shù)若

f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且

f′(x)>0和

f(a)?f(b)<0

，證明：方程

f(x)=0在(a,b)內(nèi)有唯一實(shí)根.方程

f(x)=0在(a,b)內(nèi)存在性：唯一性：假設(shè)方程

f(x)=0在(a,b)內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根

和

，且在

上滿足羅爾定理的條件，故

則

f(x)這與

f′(x)>0矛盾.從而假設(shè)不成立.

故得證.

01函數(shù)的單調(diào)性02函數(shù)的極值03函數(shù)的最值本講內(nèi)容定義3.1131極大值和極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值,設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)有定義內(nèi)異于的點(diǎn)x都滿足：（1）則稱

為函數(shù)的極大值，稱作極大值點(diǎn)；（2）則稱

為函數(shù)的極小值，稱作極小值點(diǎn)；極值點(diǎn).，若對(duì)于取得極值的點(diǎn)稱作02函數(shù)的極值132注（1）函數(shù)極值的概念是局部性的；（2）極值只能在區(qū)間內(nèi)部取得﹐不能在區(qū)間端點(diǎn)取得.02函數(shù)的極值由定義可見(jiàn)，極大值和極小值都是局部概念，某個(gè)區(qū)間上的極大值不一定大于極小值.點(diǎn)x1，x2，x4，x5，x6為函數(shù)的極值點(diǎn)，x1，x4，x6為極小值點(diǎn)，x2，x5為極大值點(diǎn)．由圖3.7還可以發(fā)現(xiàn)：(如x1，x2，x4，x6）的導(dǎo)數(shù)為零或者導(dǎo)數(shù)不存在(如x5).圖3.7yOxbax1x2x3x4x5x6y=f(x)但函數(shù)在觀察圖3.7可以看到：在極值點(diǎn)處或者函02函數(shù)的極值133134因此，關(guān)于函數(shù)極值應(yīng)注意如下幾點(diǎn)：（1）函數(shù)極值的概念是局部性的，函數(shù)可能存在許多個(gè)極值，小值之間并無(wú)確定大小關(guān)系；（2）由極值的定義知，取得，在一個(gè)區(qū)間內(nèi)，函數(shù)的極大值和極函數(shù)的極值只能在區(qū)間內(nèi)部不能在區(qū)間端點(diǎn)上取得.02函數(shù)的極值若可導(dǎo)函數(shù)

在點(diǎn)

取得極值,135定理3.9極值存在的必要條件（1）函數(shù)的駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)；（2）函數(shù)在不可導(dǎo)點(diǎn)處也可以能取得極值；（3）駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)都有可能是極值點(diǎn)﹒即則點(diǎn)

必是駐點(diǎn)，02函數(shù)的極值定理3.10極值存在的第一充分條件設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)處連續(xù),在

的某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，若滿足：（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，（2）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則f(x)在點(diǎn)處取得極大值；則f(x)在點(diǎn)處取得極小值；（3）當(dāng)x在點(diǎn)左右臨近取值時(shí)﹐的符號(hào)不發(fā)生改變;則f(x)在點(diǎn)處不取得極值.13602函數(shù)的極值137求極值的步驟:（1）確定函數(shù)的連續(xù)區(qū)間;（2）求

，并求出函數(shù)的駐點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn);（3）利用極值存在的第一充分條件依次判斷這些點(diǎn)是否為函數(shù)的極值點(diǎn);（4）求出各極值點(diǎn)處的函數(shù)值﹐即得函數(shù)的全部極值.02函數(shù)的極值定理3.10極值存在得第二充分條件設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處二階可導(dǎo)，且，則（1）若，則是得極大值；（2）若，則是得極小值；（3）若，則可能是極值也可能不是極值.

證對(duì)情形（1），由于，根據(jù)二階導(dǎo)數(shù)定義有根據(jù)函數(shù)極限的局部保號(hào)性，當(dāng)x在

的足夠138小的去心鄰域內(nèi)時(shí)02函數(shù)的極值139但，所以上式即.對(duì)于去心鄰域內(nèi)的x，與符號(hào)相反，因此當(dāng)即時(shí)，；當(dāng)即時(shí)，；于是根據(jù)極值存在的第一充分條件可知，在點(diǎn)處取得極大值.同理可證（2）.02函數(shù)的極值140函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

令得，駐點(diǎn)

例10

解02函數(shù)的極值5求函數(shù)的極值.x

f′(x)

f(x)?++↑↓極小值↓00極大值極大值：極小值：f(?1)=3，

f(3)=?61.141求函數(shù)的極值.

函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

.

令得駐點(diǎn)；

時(shí),

導(dǎo)數(shù)不存在．

當(dāng)

例11

解02函數(shù)的極值142列表討論如下：

所以函數(shù)在處取得極大值,在處取得極小值．

02函數(shù)的極值143求函數(shù)的極值．

函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

因?yàn)?/p>

,,

令,得駐點(diǎn),

又,,

所以都是極小值點(diǎn),

,都是函數(shù)的極小值．

解

例1202函數(shù)的極值144

解

例13設(shè)，則在點(diǎn)x=a處

.A.的導(dǎo)數(shù)存在，且B.取得極大值C.取得極小值D.的導(dǎo)數(shù)不存在因?yàn)?，所以，即又在a的某一去心鄰域內(nèi)有，即所以在處取得極大值.故應(yīng)選B.02函數(shù)的極值145

例14

解取得極值？它是極大值還是極小值？并求此極值.試問(wèn)a為何值時(shí)，函數(shù)

在處由條件可知，由于函數(shù)在處取得極值，故，即，所以又因此為極大值.02函數(shù)的極值01函數(shù)的單調(diào)性02函數(shù)的極值03函數(shù)的最值本講內(nèi)容步驟：1471.閉區(qū)間上函數(shù)的最值若函數(shù)

在閉區(qū)間上連續(xù)（1）求出函數(shù)所有可能極值點(diǎn)：駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；（2）求出函數(shù)在駐點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)的函（3）比較這些函數(shù)值的大小，最大者即最大值,最小者即2.實(shí)際應(yīng)用中的最值內(nèi)有唯一駐點(diǎn)x0，則唯駐點(diǎn)即為最值點(diǎn).數(shù)值；最小值.若函數(shù)

的定義域是開區(qū)間,且在開區(qū)間實(shí)際問(wèn)題中,根據(jù)實(shí)際問(wèn)題可知最值必定存在，則03函數(shù)的最值148求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值．

,

,令

,在內(nèi)解得

駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn).

.因?yàn)?/p>

比較后即知,函數(shù)的最大值點(diǎn)是,,

最大值為；,

最小值為．

函數(shù)的最小值點(diǎn)是左端點(diǎn)

例15

解03函數(shù)的最值149

例16

解03函數(shù)的最值求函數(shù)在[0,3]上的最大值與最小值.由

得

f(x)的駐點(diǎn)為

x1

=1，不可導(dǎo)點(diǎn)為

x2

=2.f(1)=e，f(2)=0，

f(3)=e3可得在[0,3]上，f(x)在x=3處取得最大值e3，在

x=2處取得最小值0.比較函數(shù)值f(0)=2，6150

例17有一塊寬為2a的長(zhǎng)方形鐵皮如圖3.8所示，緣向上折起，做成一個(gè)開口水槽，其橫截面為矩形，問(wèn)橫截面的高取何值時(shí)水槽的流量最大（流量與橫截面積成正比）.圖3.8水槽設(shè)計(jì)問(wèn)題2a將寬所在的兩個(gè)邊03函數(shù)的最值151

解設(shè)橫截面的高為x，根據(jù)題意得該水槽的橫截面積為由于，所以令，得的唯一駐點(diǎn)，又因?yàn)殍F皮的兩邊折得過(guò)大或過(guò)小，都會(huì)使橫截面積變小，所以，唯一駐點(diǎn)即使最大值點(diǎn)，就是要求得的使流量最大的高．這說(shuō)明該問(wèn)題一定存在著最大值．03函數(shù)的最值152

例18圖3.9要做一圓柱形無(wú)蓋鐵桶，要求鐵桶的容積V是一定值，問(wèn)怎樣設(shè)計(jì)才能使制造鐵桶的用料最??？

解如圖3.9所示，則由，得，除去頂面得圓柱表面積為因?yàn)橛昧献钍?wèn)題xh設(shè)鐵桶底面半徑為x(x>0)，高為h，03函數(shù)的最值153令，得唯一駐點(diǎn).由于在容積一定的情況下，鐵桶用料一定存在最小值，所以求得的唯一的駐點(diǎn)也是S的最小值點(diǎn)，此時(shí).因此只要鐵桶底面半徑和高都為，就會(huì)使制造鐵桶的用料最省．03函數(shù)的最值154

例19面積最大問(wèn)題將一長(zhǎng)為2L得鐵絲折成一個(gè)長(zhǎng)方形，問(wèn)如何折才能使長(zhǎng)方形得面積最大.

解設(shè)長(zhǎng)方形得長(zhǎng)為x，寬為y，則其面積A=xy.由假設(shè)2x+2y=2L，所以y=L-x.帶入上式，得03函數(shù)的最值155令，解得，這是在內(nèi)唯一的駐點(diǎn)，這時(shí).所以x0為得極大值點(diǎn)，故得最大值為，所以當(dāng)把該鐵絲折成一個(gè)長(zhǎng)寬相等的正方形時(shí)面積最大.03函數(shù)的最值156

例20

解將邊長(zhǎng)為a的一正方形鐵皮,四角各截去一個(gè)大小相同的小正方形，問(wèn)截掉的小正方形邊長(zhǎng)多大時(shí)所得方盒容積最大.設(shè)截掉的小正方形邊長(zhǎng)為x,則方盒底面是邊長(zhǎng)為a-2x的正方形﹐故方盒容積為令得駐點(diǎn)(舍去).由此時(shí)知為極大值點(diǎn)，故極大值點(diǎn)就是最大值點(diǎn)，即截掉的小正方形邊長(zhǎng)為時(shí),所得方盒容積最大.又駐點(diǎn)唯一，然后將四邊折起做一個(gè)無(wú)蓋的方盒.03函數(shù)的最值學(xué)海無(wú)涯，祝你成功！高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）（慕課版）高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）（慕課版）第5講曲線的凹凸性及函數(shù)作圖第3章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用01曲線的凹凸性與拐點(diǎn)02曲線的漸近線本講內(nèi)容設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上連續(xù),對(duì)I上任意兩點(diǎn)x1和x2,定義3.2160總有則稱在區(qū)間I上的圖形是凹的,如下圖;01曲線的凹凸性與拐點(diǎn)161若總有則稱在區(qū)間I上的圖形是凸的,如下圖.01曲線的凹凸性與拐點(diǎn)(1)拐點(diǎn)是曲線上的點(diǎn),應(yīng)以坐標(biāo)點(diǎn)表示.(2)注意與極值點(diǎn)表示形式的不同.162定義3.3連續(xù)曲線上凹凸區(qū)間的分界點(diǎn),稱為曲線的拐點(diǎn).注:01曲線的凹凸性與拐點(diǎn)設(shè)在上連續(xù),在內(nèi)二階可導(dǎo),那么定理3.12(1)若對(duì),則在上的圖形是凹的;(2)若對(duì),則在上的圖形是凸的.求函數(shù)凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)的步驟:(1)確定函數(shù)的連續(xù)區(qū)間;(2)求出函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù),并解出二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)和二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn),劃分連續(xù)區(qū)間;判斷每個(gè)區(qū)間的凹凸性,并進(jìn)一步求出拐點(diǎn)坐標(biāo).(3)依次判斷每個(gè)區(qū)間上的二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào),利用定理3.1216301曲線的凹凸性與拐點(diǎn)164判定曲線的凹凸性.

定義域?yàn)椋?/p>

1例

解01曲線的凹凸性與拐點(diǎn)1所以曲線

在

是凸的.165，

2例

解01曲線的凹凸性與拐點(diǎn)2討論曲線在上的凹凸性.

，該曲線是凸的；在內(nèi)，，該曲線是凹的.在內(nèi)，，因?yàn)樗?66討論曲線的凹凸性并求其拐點(diǎn).

函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

，，

3例

解01曲線的凹凸性與拐點(diǎn)3，該曲線是凸的；由，得，

令，解得不存在的點(diǎn)為在內(nèi)，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)該曲線是凹的.在內(nèi)，，是該曲線的一個(gè)拐點(diǎn).167判定曲線的凹凸性.

定義域?yàn)?,

所以對(duì),,從而曲線是凹的.

4例

解01曲線的凹凸性與拐點(diǎn)168

討論曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn).

定義域?yàn)?,,

令,解得.

即函數(shù)的凹區(qū)間為和;為、.;凸區(qū)間為

5例

解拐點(diǎn)01曲線的凹凸性與拐點(diǎn)169求曲線的拐點(diǎn).

函數(shù)在內(nèi)連續(xù),當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),,均不存在.

把分成兩個(gè)區(qū)間和.

當(dāng)時(shí),,故是曲線的一個(gè)拐點(diǎn).在內(nèi),,曲線為凹曲線是凸的.

的;

解

6例,,內(nèi)在01曲線的凹凸性與拐點(diǎn)170求曲線的拐點(diǎn).

，故是曲線的拐點(diǎn)..

解

7例01曲線的凹凸性與拐點(diǎn)4令，得，，故是曲線的拐點(diǎn)..

171問(wèn)曲線是否有拐點(diǎn)?

,,的根.

當(dāng)或時(shí),都有,因此點(diǎn)不是這曲

線的拐點(diǎn).

它在內(nèi)是凹的.,曲線沒(méi)有拐點(diǎn)

8例

解顯然,只有是方程01曲線的凹凸性與拐點(diǎn)求曲線在其拐點(diǎn)處的切線方程.172

解

9例先求拐點(diǎn):由此得唯一拐點(diǎn),當(dāng)時(shí)于是拐點(diǎn)處,即切線方程為:01曲線的凹凸性與拐點(diǎn)為什么?又是否173

解

10例設(shè)在的某領(lǐng)域內(nèi)具有三階連續(xù)的是否為函數(shù)的極值點(diǎn)?試問(wèn)為曲線的拐點(diǎn)?為什么?由于在的某領(lǐng)域內(nèi)具有三階連續(xù)的導(dǎo)數(shù),,不妨設(shè),即:,而導(dǎo)數(shù),如果,01曲線的凹凸性與拐點(diǎn)174由保號(hào)性定理,,使得當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.因此,是曲線的拐點(diǎn).因此,而,01曲線的凹凸性與拐點(diǎn)175且,

則時(shí)必有.當(dāng)時(shí),單調(diào)增加,,且,

則時(shí)必有.不是函數(shù)的極值點(diǎn).因此又當(dāng)時(shí),單調(diào)減少,,01曲線的凹凸性與拐點(diǎn)01曲線的凹凸性與拐點(diǎn)02曲線的漸近線本講內(nèi)容1.水平漸近線177定義3.4如果曲線上的一點(diǎn)沿著曲線趨于無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí),該點(diǎn)與某條若曲線的定義域是無(wú)限區(qū)間,且有,或,則直線為曲線的漸近線,稱為水平漸近線.直線的距離趨于零,則稱此直線為曲線的漸近線.02曲線的漸近線2.鉛直漸近線3.斜漸近線178則直線鄰域)中有定義,如果或若曲線在點(diǎn)的一個(gè)去心領(lǐng)域(或左鄰域,或右為曲線的鉛直漸近線.若,則直線為曲線的斜漸近線.其中,.02曲線的漸近線179求曲線的水平漸近線.

因?yàn)?所以是曲線的一條

水平漸近線.

解

11例02曲線的漸近線180

求曲線的鉛直漸近線.

因?yàn)?/p>

,所以是曲線的一條鉛直漸近線.

解

12例02曲線的漸近線181

求曲線的漸近線.

對(duì)于正切函數(shù),

由于

故,是正切曲線的兩條鉛直漸近線.

解

13例02曲線的漸近線182

求曲線的漸近線.因?yàn)?/p>

，

所以直線為曲線的一條斜漸近線..

解

14例02曲線的漸近線5，

183

求曲線的漸近線.

定義域?yàn)?無(wú)鉛直漸近線和水平漸近線.因?yàn)?/p>

,,

所以直線為一條斜漸近線.

解

15例02曲線的漸近線184

又因?yàn)?/p>

,,

所以直線也是一條斜漸近線..

02曲線的漸近線185

解

16例曲線漸近線條數(shù)為______.故應(yīng)選D.只有間斷點(diǎn)故由于為垂直漸a近線.又,又時(shí)有斜漸近線故時(shí)有水平漸近線故02曲線的漸近線186

解

17例作出函數(shù)的圖形.是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的連續(xù)曲線，所以只需要畫出它在上的部分.這是一個(gè)在上連續(xù)的奇函數(shù)，它的圖形02曲線的漸近線187令得或,函數(shù)無(wú)不可導(dǎo)點(diǎn),其駐點(diǎn)為在區(qū)間上,函數(shù)單調(diào)增加;函數(shù)單調(diào)減少,故為極大值.,上在02曲線的漸近線188曲線是凹的.故點(diǎn)是曲線的拐點(diǎn).又在區(qū)間上,,曲線是凸的;也是拐點(diǎn).于原點(diǎn)o對(duì)稱,所以點(diǎn)和故直線,即x軸是曲線的水平漸近線;曲線無(wú)鉛直漸近線.,上,在由于曲線關(guān)02曲線的漸近線189x0＋＋0－－－0－－－0＋y0單調(diào)增加、凸的0.43單調(diào)減少、凸的0.27單調(diào)減少、凹的綜上所述,可列出函數(shù)在的性態(tài),如下表所示,02曲線的漸近線190函數(shù)的圖形如圖所示.xyO2122260.402曲線的漸近線191

解

18例作出函數(shù)的圖形.定義域:,該函數(shù)為非奇非偶的函數(shù)令,得駐點(diǎn)為令,得為不存在的點(diǎn).在區(qū)間上函數(shù)單調(diào)減少;在上,函數(shù)單調(diào)增加..02曲線的漸近線192為極在區(qū)間上函數(shù)單調(diào)減少;由于函數(shù)在處間斷,故此處無(wú)極值.在及在區(qū)間,曲線是凸的;上,上,,曲線是凹的.故點(diǎn)是曲線的拐點(diǎn).

因,.所以直線是水平漸近線,直線是鉛直漸進(jìn)線.小a值.02曲線的漸近線x-3-20－－－0＋×－－0＋＋＋×＋y單調(diào)減少、凸的單調(diào)減少、凹的-3單調(diào)增加、凹的無(wú)定義單調(diào)減少、凹的193

綜上所述,可列出函數(shù)在上的性態(tài),如下表所示.02曲線的漸近線194

描出幾個(gè)點(diǎn)作出函數(shù)的圖形,如圖所示.xyO-2-1-1-2-3123-CDAB02曲線的漸近線195

解

19例(2014104)下列曲線中有漸近線的是().A.B.C.D.顯然這幾條曲線均無(wú)鉛直與水平漸近線,就看哪條曲線有斜漸近線.對(duì)于C項(xiàng).有斜漸近線,故應(yīng)選C.,,02曲線的漸近線學(xué)海無(wú)涯，祝你成功！高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）（慕課版）高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）（慕課版）第6講弧微分與曲率第3章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用01弧微分02曲率03曲率半徑與曲率圓本講內(nèi)容定義199曲線y=f(x)上的弧值函數(shù)s=s(x).設(shè)y=f(x)在內(nèi)有連續(xù)函數(shù)，

規(guī)定：x增大的方向?yàn)檎?yOxy=f(x)MM001弧微分200對(duì)曲線上任意一點(diǎn)M(x，y)，規(guī)定有向弧段M0M的值s：①s的絕對(duì)值為弧段的長(zhǎng)度；②當(dāng)方向與曲線的正向一致時(shí)，s>0；③當(dāng)方向與曲線的正向相反時(shí)，s<0，顯然，s是x的函數(shù)s=s(x)，且單調(diào)增加.yOxy=f(x)MM001弧微分201先求s=s(x)的導(dǎo)數(shù)在x處給自變量x一增量，與總是同號(hào)的相應(yīng)的有向弧段的值s有增量

，弧微分公式01弧微分弧微分公式202時(shí)，，，01弧微分01弧微分02曲率03曲率半徑與曲率圓本講內(nèi)容描述：曲線的彎曲程度.

2041.定義02曲率曲線的彎曲程度與下列兩個(gè)量有關(guān)：（1）切線轉(zhuǎn)過(guò)的角度；（2）弧段的長(zhǎng)度.

曲率：?jiǎn)挝换￠L(zhǎng)上切線所轉(zhuǎn)過(guò)的角度.

205

OxyM'M0M02曲率平均曲率的極限平均曲率：206的平均彎曲程度若存在，則OxyM'M0M

02曲率直線的曲率：圓的曲率：207，，，，..MM'ΔSαMM'αα+Δα02曲率Oxy2.曲率計(jì)算公式分析208M'M0M02曲率OxyM'M0M209證明又，02曲率210設(shè)曲線的參數(shù)方程為02曲率211求直線

的曲率.

對(duì)于直線，

其切線與直線本身重合，

當(dāng)點(diǎn)沿直線移動(dòng)時(shí)，

切線轉(zhuǎn)動(dòng)的角度，

故，

從而平均曲率，

曲率.

這說(shuō)明直線上任一點(diǎn)處的曲率都等于零，

1例