初中數(shù)學(xué)函數(shù)專題復(fù)習(xí)講義合集同學(xué)們，函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)更高層次數(shù)學(xué)知識的基石。它不僅僅是一堆公式和圖像，更是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，幫助我們描述變化、分析規(guī)律、解決問題。這份復(fù)習(xí)講義合集，旨在帶領(lǐng)大家系統(tǒng)回顧初中階段所學(xué)的函數(shù)知識，梳理脈絡(luò)，鞏固重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，希望能為大家的復(fù)習(xí)之路提供有力的支持。請大家務(wù)必結(jié)合例題和練習(xí)，動手實(shí)踐，才能真正將知識內(nèi)化。專題一：函數(shù)的基本概念與平面直角坐標(biāo)系在進(jìn)入具體函數(shù)的學(xué)習(xí)之前，我們首先要明確什么是函數(shù)，以及函數(shù)是在怎樣的“舞臺”上展現(xiàn)其魅力的——這個舞臺就是平面直角坐標(biāo)系。1.1平面直角坐標(biāo)系回想一下，我們是如何確定平面上一個點(diǎn)的位置的？平面直角坐標(biāo)系就像是給整個平面鋪上了一張無形的網(wǎng)格。*構(gòu)成要素：原點(diǎn)、橫軸（x軸，通常向右為正方向）、縱軸（y軸，通常向上為正方向）。*點(diǎn)的坐標(biāo)：平面上任意一點(diǎn)P，過P分別向x軸、y軸作垂線，垂足在x軸、y軸上對應(yīng)的數(shù)a、b分別叫做點(diǎn)P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，記作P(a,b)。這個有序數(shù)對(a,b)就是點(diǎn)P的坐標(biāo)。*象限：x軸和y軸將平面分成四個部分，稱為象限。記住每個象限內(nèi)點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的符號特征，對于我們分析函數(shù)圖像至關(guān)重要。*特殊點(diǎn)的坐標(biāo)特征：比如x軸上的點(diǎn)，縱坐標(biāo)為0；y軸上的點(diǎn)，橫坐標(biāo)為0；關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)，橫縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)。這些都是解決幾何與函數(shù)綜合題的基礎(chǔ)。1.2函數(shù)的概念函數(shù)的概念，簡單來說，就是描述兩個變量之間的一種特殊對應(yīng)關(guān)系。*定義：在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應(yīng)，那么我們就說x是自變量，y是x的函數(shù)。*對定義的理解：這個“唯一確定”是核心。也就是說，給定一個x，不能有兩個或多個不同的y與之對應(yīng)。例如，y=±√x就不是一個函數(shù)關(guān)系，因?yàn)楫?dāng)x=4時，y有2和-2兩個值。*函數(shù)的表示方法：最常見的有三種：解析法（用數(shù)學(xué)式子表示，如y=2x+1）、列表法（用表格列出x與y的對應(yīng)值）、圖像法（用坐標(biāo)系中的曲線表示）。這三種方法各有優(yōu)缺點(diǎn)，在不同的問題情境中會靈活選用。*自變量的取值范圍（定義域）：在實(shí)際問題中，自變量的取值不僅要使函數(shù)表達(dá)式有意義（如分式分母不為0，二次根式被開方數(shù)非負(fù)等），還要考慮其實(shí)際意義。例如，若x表示人數(shù)，則x只能取非負(fù)整數(shù)。*函數(shù)值：對于自變量x的一個確定的值，與之對應(yīng)的y的值叫做函數(shù)值。理解了這些基本概念，我們就可以開始深入學(xué)習(xí)具體的函數(shù)類型了。專題二：一次函數(shù)與正比例函數(shù)一次函數(shù)是我們接觸到的第一種基本初等函數(shù)，它的圖像和性質(zhì)都相對直觀，是后續(xù)學(xué)習(xí)其他函數(shù)的基礎(chǔ)。2.1正比例函數(shù)*定義：一般地，形如y=kx（k是常數(shù)，k≠0）的函數(shù)，叫做正比例函數(shù)，其中k叫做比例系數(shù)。*圖像：正比例函數(shù)y=kx的圖像是一條經(jīng)過原點(diǎn)(0,0)的直線。*性質(zhì)：*當(dāng)k>0時，直線經(jīng)過第一、三象限，y隨x的增大而增大（圖像從左到右上升）。*當(dāng)k<0時，直線經(jīng)過第二、四象限，y隨x的增大而減?。▓D像從左到右下降）。*|k|的值越大，直線與x軸正方向所成的角越大，即圖像越“陡”；|k|的值越小，直線越“平緩”。*確定正比例函數(shù)的解析式：因?yàn)檎壤瘮?shù)只有一個待定系數(shù)k，所以只要知道一組非原點(diǎn)的對應(yīng)值（除了(0,0)，因?yàn)榇藭r無論k取何值都成立），就可以用待定系數(shù)法求出k的值，從而確定解析式。2.2一次函數(shù)*定義：一般地，形如y=kx+b（k，b是常數(shù)，k≠0）的函數(shù)，叫做一次函數(shù)。當(dāng)b=0時，y=kx+b就變成了y=kx，所以說正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù)。*圖像：一次函數(shù)y=kx+b的圖像是一條直線，我們稱它為直線y=kx+b。由于兩點(diǎn)確定一條直線，所以畫一次函數(shù)圖像時，通常選取兩點(diǎn)（比如與x軸的交點(diǎn)和與y軸的交點(diǎn)），然后連線即可。*與y軸的交點(diǎn)：令x=0，得y=b，所以交點(diǎn)坐標(biāo)是(0,b)。*與x軸的交點(diǎn)：令y=0，得x=-b/k，所以交點(diǎn)坐標(biāo)是(-b/k,0)。*性質(zhì)：*k的作用：k決定了直線的傾斜方向和傾斜程度。*當(dāng)k>0時，y隨x的增大而增大（圖像從左到右上升）。*當(dāng)k<0時，y隨x的增大而減?。▓D像從左到右下降）。*|k|越大，直線越“陡”；|k|越小，直線越“平緩”。（與正比例函數(shù)類似）*b的作用：b是直線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，叫做直線在y軸上的截距。*當(dāng)b>0時，直線與y軸交于正半軸。*當(dāng)b=0時，直線過原點(diǎn)（即為正比例函數(shù)）。*當(dāng)b<0時，直線與y軸交于負(fù)半軸。*直線y=kx+b的位置與k、b符號的關(guān)系：可以結(jié)合k的正負(fù)（決定直線上升或下降）和b的正負(fù)（決定直線與y軸交點(diǎn)在正半軸、原點(diǎn)或負(fù)半軸）來綜合判斷直線經(jīng)過的象限。例如，k>0,b>0時，直線經(jīng)過第一、二、三象限。*確定一次函數(shù)的解析式：需要兩個獨(dú)立的條件，通常是已知直線上的兩個點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法列出關(guān)于k、b的二元一次方程組，求解即可。*一次函數(shù)與一元一次方程、一元一次不等式的關(guān)系：*從“數(shù)”的角度看，解一元一次方程kx+b=0，就是求當(dāng)一次函數(shù)y=kx+b的值為0時，自變量x的值。*從“形”的角度看，就是求直線y=kx+b與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。*類似地，解不等式kx+b>0（或kx+b<0），就是求當(dāng)一次函數(shù)y=kx+b的值大于0（或小于0）時，自變量x的取值范圍，反映在圖像上，就是找出直線在x軸上方（或下方）部分對應(yīng)的x的取值。2.3一次函數(shù)的應(yīng)用一次函數(shù)在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用，如行程問題、工程問題、利潤問題、計(jì)費(fèi)問題等。解決這類問題的關(guān)鍵步驟通常是：1.審題：理解題意，找出問題中的變量和常量，明確它們之間的關(guān)系。2.設(shè)元：設(shè)出合適的自變量x和函數(shù)y。3.列函數(shù)關(guān)系式：根據(jù)題目中的等量關(guān)系，列出一次函數(shù)的解析式y(tǒng)=kx+b。4.確定解析式：根據(jù)已知條件求出k和b的值。5.利用函數(shù)解決問題：根據(jù)求出的函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合自變量的取值范圍，解決提出的實(shí)際問題（如求值、預(yù)測、決策等）。在解決應(yīng)用問題時，一定要注意自變量的實(shí)際意義，確保解的合理性。專題三：反比例函數(shù)反比例函數(shù)與一次函數(shù)在形式和性質(zhì)上有較大差異，它的圖像是曲線，這為我們認(rèn)識函數(shù)圖像的多樣性打開了新的視角。3.1反比例函數(shù)的定義*定義：一般地，形如y=k/x（k是常數(shù)，k≠0）的函數(shù)，叫做反比例函數(shù)。*反比例函數(shù)的表達(dá)式也可以寫成y=kx?1（k≠0）或xy=k（k≠0）的形式。*自變量的取值范圍：x≠0。因?yàn)榉帜覆荒転榱恪?.2反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)*圖像：反比例函數(shù)y=k/x（k≠0）的圖像是由兩條曲線組成的，叫做雙曲線。*性質(zhì)：*對稱性：雙曲線既是中心對稱圖形（對稱中心是原點(diǎn)），也是軸對稱圖形（對稱軸是直線y=x和y=-x）。*位置與增減性：*當(dāng)k>0時，雙曲線的兩支分別位于第一、三象限。在每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小。（注意：不能籠統(tǒng)地說“y隨x的增大而減小”，因?yàn)閤不能取0，圖像被y軸分成了兩支，要強(qiáng)調(diào)“在每一個象限內(nèi)”。）*當(dāng)k<0時，雙曲線的兩支分別位于第二、四象限。在每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大。（同樣要強(qiáng)調(diào)“在每一個象限內(nèi)”。）*與坐標(biāo)軸的關(guān)系：由于x≠0，y≠0，所以雙曲線的兩支都無限接近坐標(biāo)軸，但永遠(yuǎn)不會與坐標(biāo)軸相交。*|k|的幾何意義：過反比例函數(shù)y=k/x（k≠0）圖像上任意一點(diǎn)P(x,y)作x軸、y軸的垂線，垂足分別為A、B，則矩形OAPB的面積S=OA×OB=|x|×|y|=|xy|=|k|。這是一個非常重要的性質(zhì)，在解決與面積相關(guān)的問題時經(jīng)常用到。3.3確定反比例函數(shù)的解析式由于反比例函數(shù)y=k/x（k≠0）中只有一個待定系數(shù)k，所以只要知道函數(shù)圖像上任意一個點(diǎn)的坐標(biāo)（除原點(diǎn)外，因?yàn)閤y=0時k=0，不符合反比例函數(shù)定義），就可以將該點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式求出k的值，從而確定反比例函數(shù)的解析式。通常也是采用待定系數(shù)法。3.4反比例函數(shù)的應(yīng)用反比例函數(shù)同樣在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用，例如：當(dāng)路程一定時，速度與時間成反比例；當(dāng)矩形面積一定時，長與寬成反比例；當(dāng)壓力一定時，壓強(qiáng)與受力面積成反比例等等。解決反比例函數(shù)的應(yīng)用問題，步驟與一次函數(shù)類似：審題、設(shè)元、列關(guān)系式（注意是反比例關(guān)系）、求k、解決問題。關(guān)鍵在于識別題目中的反比例關(guān)系。專題四：二次函數(shù)二次函數(shù)是初中階段學(xué)習(xí)的最后一種，也是難度最大的一種基本函數(shù)。它的圖像是拋物線，性質(zhì)較為豐富，應(yīng)用也非常廣泛。4.1二次函數(shù)的定義*定義：一般地，形如y=ax2+bx+c（a,b,c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。其中，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)，b叫做一次項(xiàng)系數(shù)，c叫做常數(shù)項(xiàng)。*強(qiáng)調(diào)a≠0，這是二次函數(shù)定義的“底線”，如果a=0，那么函數(shù)就變成了一次函數(shù)或常數(shù)函數(shù)。*二次函數(shù)的表達(dá)式還有其他幾種常見形式，如頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k（a≠0）和交點(diǎn)式（兩根式）y=a(x-x?)(x-x?)（a≠0，其中x?,x?是拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）。4.2二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)*圖像：二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像是一條拋物線。*拋物線的開口方向：由二次項(xiàng)系數(shù)a決定。*當(dāng)a>0時，拋物線開口向上。*當(dāng)a<0時，拋物線開口向下。*|a|的大小決定了拋物線開口的寬窄：|a|越大，拋物線開口越窄；|a|越小，拋物線開口越寬。*拋物線的頂點(diǎn)：拋物線是軸對稱圖形，它的對稱軸是一條垂直于x軸的直線。拋物線與對稱軸的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn)。頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)（當(dāng)a<0時）或最低點(diǎn)（當(dāng)a>0時）。*頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k（a≠0），其中(h,k)就是拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，對稱軸是直線x=h。這種形式能直接看出拋物線的頂點(diǎn)和對稱軸，非常直觀。*一般式化為頂點(diǎn)式：對于一般式y(tǒng)=ax2+bx+c，可以通過配方的方法將其轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，從而得到頂點(diǎn)坐標(biāo)和對稱軸。配方過程：y=ax2+bx+c=a(x2+(b/a)x)+c=a[x2+(b/a)x+(b/(2a))2-(b/(2a))2]+c=a(x+b/(2a))2+c-b2/(4a)。所以，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-b/(2a),(4ac-b2)/(4a))，對稱軸是直線x=-b/(2a)。這個公式需要牢記。*拋物線的增減性：*當(dāng)a>0時，在對稱軸左側(cè)（即x<-b/(2a)），y隨x的增大而減??；在對稱軸右側(cè)（即x>-b/(2a)），y隨x的增大而增大。*當(dāng)a<0時，在對稱軸左側(cè)（即x<-b/(2a)），y隨x的增大而增大；在對稱軸右側(cè)（即x>-b/(2a)），y隨x的增大而減小。*拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)：*與y軸的交點(diǎn)：令x=0，得y=c。所以交點(diǎn)坐標(biāo)是(0,c)。*與x軸的交點(diǎn)：令y=0，得ax2+bx+c=0。解這個一元二次方程，若方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根x?、x?，則拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)(x?,0)、(x?,0)；若方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，則拋物線與x軸有一個交點(diǎn)（即頂點(diǎn)在x軸上）；若方程沒有實(shí)數(shù)根，則拋物線與x軸沒有交點(diǎn)。*拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，就是對應(yīng)一元二次方程的實(shí)數(shù)根。因此，二次函數(shù)與一元二次方程有著密切的聯(lián)系。*二次函數(shù)的最值：*當(dāng)a>0時，拋物線開口向上，函數(shù)有最小值。當(dāng)x=-b/(2a)時，y最小值=(4ac-b2)/(4a)。*當(dāng)a<0時，拋物線開口向下，函數(shù)有最大值。當(dāng)x=-b/(2a)時，y最大值=(4ac-b2)/(4a)。*如果自變量x有特定的取值范圍（如在某一區(qū)間內(nèi)），則函數(shù)的最值不一定在頂點(diǎn)處取得，需要結(jié)合函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)的增減性來判斷。4.3二次函數(shù)解析式的確定確定二次函數(shù)的解析式，通常也采用待定系數(shù)法。根據(jù)已知條件的不同，可以選擇不同形式的解析式：*一般式y(tǒng)=ax2+bx+c（a≠0）：已知拋物線上三個點(diǎn)的坐標(biāo)時，可設(shè)此形式，列出關(guān)于a、b、