第二章含糊控制數(shù)學(xué)基礎(chǔ)張勇第1頁2.1概述含糊數(shù)學(xué)(含糊集）是含糊控制數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，它是由美國加利福尼亞大學(xué)Zadeh教授最先提出。他將含糊性和集合論統(tǒng)一起來，在不放棄集合數(shù)學(xué)嚴(yán)格性同時，使其吸收人腦思維中對于含糊現(xiàn)象認(rèn)識和推理優(yōu)點(diǎn)?！昂保侵缚陀^事物彼此間差異在中間過渡時，界限不顯著，展現(xiàn)出“亦此亦彼”性?！昂笔窍鄬τ凇皽?zhǔn)確”而言。

“準(zhǔn)確”：“老師”、“學(xué)生”、“工人”“含糊”：“高個子”、“熱天氣”、“年輕人”含糊數(shù)學(xué)并不是讓數(shù)學(xué)變成模含糊糊東西，而是用數(shù)學(xué)工具對含糊現(xiàn)象進(jìn)行描述和分析。含糊數(shù)學(xué)是對經(jīng)典數(shù)學(xué)擴(kuò)展，它在經(jīng)典集合理論基礎(chǔ)上引入了“隸屬函數(shù)”概念，來描述事物對含糊概念隸屬程度。第2頁2.2普通集合*集合含有特定屬性對象全體，稱為集合。比如：“內(nèi)蒙古科技大學(xué)學(xué)生”能夠作為一個集合。集合通慣用大寫字母A，B，……，Z來表示。*元素組成集合各個對象，稱為元素，也稱為個體。通慣用小寫字母a，b，……，z來表示。*論域所研究全部對象總和，叫做論域，也叫全集合。*空集不包含任何元素集合，稱為空集，記做Φ。*子集集合中一部分元素組成集合，稱為集合子集。1）集合概念若元素a

是集合A元素，則稱元素a

屬于集合A，記為a∈A；反之，稱a不屬于集合A，記做。*屬于*包含若集合A是集合B子集，則稱集合A包含于集合B，記為；或者集合B包含集合A，記為。對于兩個集合A和B，假如和同時成立，則稱A和B相等，記做A=B。此時A和B有相同元素，互為子集。*相等*有限集假如一個集合包含元素為有限個，就叫做有限集；不然，叫做無限集。第3頁2）集合表示法將集合中全部元素都列在大括號中表示出來，該方法只能用于有限集表示。比如10-20之間偶數(shù)組成集合A，則A可表示為

A={10，12，14，16，18，20}*表征法

表征法將集合中全部元素共同特征列在大括號中表征出來。上例中集合A也可用表征法表示為A={a|a為偶數(shù)，10≤a≤20}2.2普通集合*列舉法第4頁*集合交設(shè)X，Y為兩個集合，由既屬于X又屬于Y元素組成集合P稱為X，Y交集，記作P=X∩Y

*集合并設(shè)X，Y為兩個集合，由屬于X或者屬于Y元素組成集合Q稱為X，Y并集，記作Q=X∪Y*集合補(bǔ)在論域Y上有集合X，則X補(bǔ)集為3）集合運(yùn)算

2.2普通集合第5頁詳細(xì)算法是：在X，Y中各取一個元素組成序偶（x，y），全部序偶組成集合，就是X，Y直積。*集合直積設(shè)X，Y為兩集合，定義X，Y直積為4）集合特征函數(shù)設(shè)x為論域X中元素，A為論域X中定義一個集合，則x和A關(guān)系能夠用集合A特征函數(shù)來表示。它值域是{0，1}，它表示元素x是否屬于集合A。假如x屬于集合A，那么值為1；假如x不屬于集合A，那么值為0。即2.2普通集合第6頁(1)含糊集合定義：

2.3含糊集合

例2.3.1論域?yàn)?5到35歲之間人，含糊集表示“年輕人”，則含糊集隸屬函數(shù)可定義為則年紀(jì)為30歲人屬于“年輕人”程度為：給定論域E中一個含糊集A，是指任意元素x∈E，都不一樣程度地屬于這個集合，元素屬于這個集合程度能夠用隸屬函數(shù)∈[0，1]來表示。第7頁例，令X=R

為人類年紀(jì)論域,含糊集合B=“年紀(jì)在50歲左右”則表示為:x150第8頁(2)含糊集合表示法：1）Zadeh表示法 當(dāng)論域上元素為有限個時，定義在該論域上含糊集可表示為：注意：式中“＋”和“/”，僅僅是分隔符號，并不代表“加”和“除”。例2.3.2假設(shè)論域?yàn)?個人身高，分別為172cm、165cm、175cm、180cm、178cm，他們身高對于“高個子”含糊概念隸屬度分別為0.8、0.78、0.85、0.90、0.88。則含糊集“高個子”能夠表示為高個子

2.3含糊集合

第9頁2）序偶表示法當(dāng)論域上元素為有限個時，定義在該論域上含糊集還可用序偶形式表示為：或簡化為：

對于上例含糊集“高個子”能夠用序偶法表示為

高個子或高個子2.3含糊集合

第10頁3）隸屬函數(shù)描述法論域U上含糊子集能夠完全由其隸屬函數(shù)表示。假設(shè)年紀(jì)論域?yàn)閁=[15，35]，則含糊集“年輕”可用隸屬函數(shù)表征為：

該隸屬函數(shù)形狀如圖

2.3含糊集合

第11頁（3)含糊集合運(yùn)算含糊集合與普通集合一樣也有交、并、補(bǔ)運(yùn)算。假設(shè)和為論域U上兩個含糊集，它們隸屬函數(shù)分別為和含糊集交含糊集并含糊集補(bǔ)相等若，總有成立，則稱和相等，記作。

包含若，總有成立，則稱包含，記作。

2.3含糊集合

第12頁例2.3.3：設(shè)論域U={a,b,c,d,e}上有兩個含糊集分別為：

求2.3含糊集合

第13頁（4）含糊運(yùn)算性質(zhì)：交換率，結(jié)合率，分配率傳遞率，，則，冪等率摩根率，復(fù)原率2.3含糊集合

第14頁2.3含糊集合第15頁2.4λ水平截集水平截集定義

在論域U中，給定一個含糊集合A，由對于A隸屬度大于某一水平值λ（閾值）元素組成集合，叫做該含糊集合λ水平截集。用公式能夠描述以下：

其中x∈U，λ∈[0,1]。顯然，Aλ是一個普通集合。

例2.4.1已知，求A0.1、A0.2、A0.7

第16頁2.4λ水平截集水平截集性質(zhì)

1）A∪Bλ水平截集是Aλ和Bλ并集：2）A∩Bλ水平截集是Aλ和Bλ交集：3）假如λ∈[0,1],α∈[0,1] 且λ≤α，則第17頁2.5含糊關(guān)系

(1)普通關(guān)系“關(guān)系”是集合論中一個主要概念，它反應(yīng)了不一樣集合元素之間關(guān)聯(lián)。普通關(guān)系是用數(shù)學(xué)方法描述不一樣普通集合中元素之間有沒有關(guān)聯(lián)。例2.5.1舉行一次東西亞足球反抗賽，分兩個小組A={中國，日本，韓國}，B={伊朗，沙特，阿聯(lián)酋}。抽簽決定對陣形勢為：中國-伊朗，日本-阿聯(lián)酋，韓國-沙特。用R表示兩組對陣關(guān)系，則R可用序偶形式表示為：

R={（中國，伊朗），（日本，阿聯(lián)酋），（韓國，沙特）}

第18頁可見關(guān)系R是A，B直積A×B子集。也可將R表示為矩陣形式，假設(shè)R中元素r(i,j)表示A組第i個球隊(duì)與B組第j個球隊(duì)對應(yīng)關(guān)系，如有對陣關(guān)系，則r(i,j)為1，不然為0，則R可表示為：該矩陣稱為A和B關(guān)系矩陣。

由普通關(guān)系定義能夠看出：在定義了某種關(guān)系之后，兩個集合元素對于這種關(guān)系要么相關(guān)聯(lián)，r(i,j)＝1；要么沒相關(guān)聯(lián)，r(i,j)＝0。這種關(guān)系是很明確。

2.5含糊關(guān)系第19頁（2）含糊關(guān)系人和人之間關(guān)系“親密”是否？兒子和父親之間長相“相像”是否？家庭是否“和睦”？這些關(guān)系就無法簡單用“是”或“否”來描述，而只能描述為“在多大程度上是”或“在多大程度上否“。這些關(guān)系就是含糊關(guān)系。我們能夠?qū)⑵胀P(guān)系概念進(jìn)行擴(kuò)展，從而得出含糊關(guān)系定義。2.5含糊關(guān)系第20頁①含糊關(guān)系定義假設(shè)x是論域U中元素，y是論域V中元素，則U到V一個含糊關(guān)系是指定義在上一個含糊子集，其隸屬度代表x和y對于該含糊關(guān)系關(guān)聯(lián)程度。

例2.5.2我們用含糊關(guān)系來描述兒女與父母長相“相像”關(guān)系，假設(shè)兒子與父親相像程度為0.8，與母親相像程度為0.3；女兒與與父親相像程度為0.3，與母親相像程度為0.6。則可描述為：

2.5含糊關(guān)系第21頁含糊關(guān)系常慣用矩陣形式來描述。假設(shè)x∈U，y∈V，則U到V含糊關(guān)系能夠用矩陣描述為則上例中含糊關(guān)系又能夠用矩陣描述為：

2.5含糊關(guān)系第22頁②含糊關(guān)系運(yùn)算

假設(shè)R和S是論域上U×V兩個含糊關(guān)系，分別描述為：

那么，含糊關(guān)系運(yùn)算規(guī)則可描述以下：含糊關(guān)系相等：

含糊關(guān)系包含：

含糊關(guān)系并：

2.5含糊關(guān)系第23頁含糊關(guān)系交：

含糊關(guān)系補(bǔ)：

2.5含糊關(guān)系第24頁例2.5.3已知

求：

解：依據(jù)含糊關(guān)系運(yùn)算規(guī)則得：

2.5含糊關(guān)系第25頁③含糊關(guān)系合成設(shè)R是論域U×V上含糊關(guān)系，S是論域V×W上含糊關(guān)系，R和S分別描述為：則R和S能夠合成為論域U×W上一個新含糊關(guān)系C，記做合成運(yùn)算法則為：2.5含糊關(guān)系第26頁例2.5.4:假設(shè)含糊關(guān)系R描述了兒女與父親、叔叔長相“相象”關(guān)系，含糊關(guān)系S描述了父親、叔叔與祖父、祖母長相“相象”關(guān)系，R和S分別描述為：求兒女與祖父、祖母長相“相像”關(guān)系C.

2.5含糊關(guān)系第27頁解：由合成運(yùn)算法則得：

所以，

2.5含糊關(guān)系第28頁（3）含糊變換

2.5含糊關(guān)系設(shè)有二有限集X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn}，R是X×Y上含糊關(guān)系：設(shè)A和B分別為X和Y上含糊集：隸屬函數(shù)運(yùn)算規(guī)則為：則稱B是A象，A是B原象，R是X到Y(jié)上一個含糊變換。且滿足第29頁2.5含糊關(guān)系例2.5.5：已知論域X={x1,x2,x3}和Y={y1,y2}，A是論域X上含糊集：R是X到Y(jié)上一個含糊變換，試經(jīng)過含糊變換R求A象B解：第30頁例2.5.6藝術(shù)學(xué)院招生，對考生所需考查素質(zhì)有：{歌舞，演出，外在}。對各種素質(zhì)評語分為四個等級{好，很好，普通，差}。

某學(xué)生演出完成后，評委對其評價為：好很好普通差歌舞30％30％20％20％演出10％20％50％20％外在40％40％10％10％假如考查學(xué)生培養(yǎng)為電影演員潛質(zhì)，則對演出要求較高，其它較低。定義加權(quán)含糊集為：A＝{0.250.50.25}試依據(jù)含糊變換來得到評委對該學(xué)生培養(yǎng)為電影演員最終止論。2.5含糊關(guān)系第31頁解：依據(jù)含糊變換能夠得到評委對該學(xué)生培養(yǎng)為電影演員決議集：綜合評判：選取隸屬度最大元素作為最終評語，評委評語為“普通”2.5含糊關(guān)系第32頁2.6語言規(guī)則中蘊(yùn)涵含糊關(guān)系

“天氣很冷，快要下雪了”

氣溫----

下雪概率(1)語言變量

語言變量是自然語言中詞或句，它取值不是通常數(shù)，而是用含糊語言表示含糊集合。比如“年紀(jì)”就能夠是一個含糊語言變量，其取值為“年幼”，“年輕”，“年老”等含糊集合。第33頁定義一個語言變量需要定義以下4個方面內(nèi)容：

定義變量名稱定義變量論域定義變量語言值（每個語言值是定義在變量論域上一個含糊集合）定義每個含糊集合隸屬函數(shù)。例2.6.1：試依據(jù)定義語言變量4要素來定義語言變量“速度”。

首先，定義變量名稱為“速度”，記做x；其次，定義變量“速度”論域?yàn)閇0，200]km/h；再次，在論域[0，200]上定義變量語言值為{慢，中，快}；最終，在論域上分別定義各語言值隸屬函數(shù)為

2.6語言規(guī)則中蘊(yùn)涵含糊關(guān)系第34頁定義隸屬函數(shù)形狀如圖(2)含糊蘊(yùn)含關(guān)系

人類在生產(chǎn)實(shí)踐和生活中操作經(jīng)驗(yàn)和控制規(guī)則往往能夠用自然語言來描述。譬如，在汽車駕駛速度控制過程中，控制規(guī)則能夠描述為“假如速度快了，那么減小油門；假如速度慢了，那么加大油門。”下面就來介紹怎樣利用含糊數(shù)學(xué)從語言規(guī)則中提取其蘊(yùn)涵含糊關(guān)系。2.6語言規(guī)則中蘊(yùn)涵含糊關(guān)系第35頁1）簡單條件語句蘊(yùn)涵關(guān)系

2.6語言規(guī)則中蘊(yùn)涵含糊關(guān)系“假如……那么……”或“假如……那么……，不然……”假設(shè)u，v

是已定義在論域U和V兩個語言變量，人類語言控制規(guī)則為“假如u是A，則v是B”，其蘊(yùn)涵含糊關(guān)系R為：式中，A×B稱作A和B笛卡兒乘積，其隸屬度運(yùn)算法則為：所以，R運(yùn)算法則為：第36頁2.6語言規(guī)則中蘊(yùn)涵含糊關(guān)系假設(shè)u，v是已定義兩個語言變量，人類語言控制規(guī)則為“假如u是A，則v是B；不然，v是C”則該規(guī)則蘊(yùn)涵含糊關(guān)系R為：第37頁2.6語言規(guī)則中蘊(yùn)涵含糊關(guān)系例2.6.2：

定義兩語言變量“誤差u”和“控制量v”；二者論域：U=V={1,2,3,4,5}；定義在論域上語言值為：{小，大，很大，不很大}={A，B，G，C}；定義各語言值隸屬函數(shù)為：分別求出控制規(guī)則“假如u

是小，那么v是大”蘊(yùn)涵含糊關(guān)系R1和規(guī)則“假如u

是小，那么v是大；不然，v

是不很大”蘊(yùn)涵含糊關(guān)系R2。第38頁2.6語言規(guī)則中蘊(yùn)涵含糊關(guān)系解：（1）求解R1

（2）求解R2

第39頁2）多重條件語句蘊(yùn)涵關(guān)系由多個簡單條件語句并列組成語句叫做多重條件語句，其句型為：假如u是A1，則v是B1；不然，假如u是A2，則v是B2

；……不然，假如u是An，則v是Bn。

該語句蘊(yùn)涵含糊關(guān)系為：

其隸屬函數(shù)為：2.6語言規(guī)則中蘊(yùn)涵含糊關(guān)系第40頁3）多維條件語句蘊(yùn)涵關(guān)系含有多輸入量簡單條件語句，我們稱之為多維條件語句。其句型為：假如u1是A1，且u2是A2，…，且um是Am，則v是B該語句蘊(yùn)涵含糊關(guān)系為：

其隸屬函數(shù)為：2.6語言規(guī)則中蘊(yùn)涵含糊關(guān)系第41頁2.6語言規(guī)則中蘊(yùn)涵含糊關(guān)系例2.6.3已知語言規(guī)則為“假如e是A，而且ec是B，那么u是C?！逼渲?/p>

試求該語句所蘊(yùn)涵含糊關(guān)系R。解：

第一步，先求R1＝A×B：第42頁第二步，將二元關(guān)系矩陣R1排成列向量形式R1

T，先將中第一行元素寫成列向量形式，再將中第二行元素也寫成列向量并放在前者下面，假如是多行，再依次寫下去。于是R1可表示為：第三步，R可計算以下：2.6語言規(guī)則中蘊(yùn)涵含糊關(guān)系第43頁2.6語言規(guī)則中蘊(yùn)涵含糊關(guān)系4）多重多維條件語句蘊(yùn)涵關(guān)系含有多輸入量多重條件語句，我們稱之為多重多維條件語句。其句型為：

假如u1是A11，且u2是A12，…，且um是A1m，則v是B1；不然，假如u1是A21，且u2是A22，…，且um是A2m，則v是B2；……不然，假如u1是An1，且u2是An2，…，且um是Anm，則v是Bn；則該語句蘊(yùn)涵含糊關(guān)系為：

其隸屬函數(shù)為：第44頁2.7含糊推理常規(guī)推理：已知x，y之間函數(shù)關(guān)系y＝f(x)，則對于某個x*，依據(jù)f()能夠推理得到對應(yīng)y*。xyf()x*y*=f(x*)推理含糊推理：知道了語言控制規(guī)則中蘊(yùn)涵含糊關(guān)系后，就能夠依據(jù)含糊關(guān)系和輸入情況，來確定輸出情況，這就叫做“含糊推理”。xyRx*=Ay*=B推理第45頁2.7含糊推理（1）單輸入含糊推理對于單輸入情況，假設(shè)兩個語言變量x，y之間含糊關(guān)系為R

，當(dāng)x含糊取值為A*

時，與之相對應(yīng)y取值B*

，可經(jīng)過含糊推理得出，以下式所表示：上式計算方法有兩種：1）Zadeh法第46頁2.7含糊推理例2.7.1在例2.6.2中，已經(jīng)求出控制規(guī)則“假如u

是小，那么v是大”蘊(yùn)涵含糊關(guān)系為R1，現(xiàn)在，已知輸入量u

含糊取值為“略小”，記做A1，令A(yù)1=(1,0.89,0.55,0.32,0)求控制量v依據(jù)規(guī)則對應(yīng)取值B1。解：同理，可解得：所以第47頁2.7含糊推理2）Mamdani推理方法與Zadeh法不一樣是，Mamdani推理方法用A和B笛卡兒積來表示A

B含糊蘊(yùn)涵關(guān)系。則對于單輸入推理情況，計算方法為：叫做和A適配度，它是A*和A交集高度。依據(jù)Mamdani推理方法，結(jié)論能夠看作用α對B進(jìn)行切割，所以這種方法又能夠形象地稱為削頂法。第48頁2.7含糊推理單輸入Mamdani推理圖形化描述（削頂法）

第49頁（2）多輸入含糊推理對于語言規(guī)則含有多個輸入情況，假設(shè)輸入語言變量x1,x2,…,xm與輸出語言變量y之間含糊關(guān)系為R，當(dāng)輸入變量含糊取值分別為A1*,A2*,,…,Am*時，與之相對應(yīng)y取值B*，可經(jīng)過下式得到：2.7含糊推理第50頁例2.7.2，已知

2.7含糊推理試依據(jù)例2.6.3中語言規(guī)則求“e是A*而且ec是B*”時輸出u含糊值C*。解：