2025年統(tǒng)計(jì)學(xué)期末考試題庫(kù)——統(tǒng)計(jì)與決策模型構(gòu)建與應(yīng)用試題考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______注意事項(xiàng)：1.請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題紙上，寫(xiě)在試卷上無(wú)效。2.考試時(shí)間120分鐘。一、填空題（每空2分，共20分）1.從總體中隨機(jī)抽取一部分單位進(jìn)行觀察，這部分單位稱(chēng)為_(kāi)_______。2.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，樣本均值為x?，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為s，樣本量為n，當(dāng)n足夠大時(shí)，統(tǒng)計(jì)量x?服從________分布。3.在假設(shè)檢驗(yàn)中，犯第一類(lèi)錯(cuò)誤的概率記為α，它表示________。4.回歸分析中，判定系數(shù)R2表示回歸模型對(duì)________的解釋程度。5.在單因素方差分析中，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F的分子是________，分母是________。6.時(shí)間序列分析中，若數(shù)據(jù)呈現(xiàn)長(zhǎng)期穩(wěn)定增長(zhǎng)或下降趨勢(shì)，則可能適合使用________模型進(jìn)行擬合。7.決策樹(shù)模型中，選擇分裂節(jié)點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)常見(jiàn)的有________和信息增益率。8.在構(gòu)建統(tǒng)計(jì)模型時(shí)，選擇模型的方法之一是依據(jù)模型的________和預(yù)測(cè)精度。9.設(shè)事件A和B互斥，P(A)=0.3，P(B)=0.4，則P(A∪B)=________。10.對(duì)一組觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，目的是將數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1的分布，這一過(guò)程也稱(chēng)為_(kāi)_______。二、名詞解釋?zhuān)款}3分，共15分）1.參數(shù)估計(jì)2.假設(shè)檢驗(yàn)3.多元線性回歸模型4.方差分析5.模型診斷三、簡(jiǎn)答題（每題5分，共20分）1.簡(jiǎn)述樣本統(tǒng)計(jì)量與總體參數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系。2.解釋假設(shè)檢驗(yàn)中p值的意義。3.簡(jiǎn)述簡(jiǎn)單線性回歸模型中，回歸系數(shù)β?的假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟。4.在進(jìn)行回歸分析時(shí)，可能存在哪些主要的模型設(shè)定問(wèn)題？如何初步判斷？四、計(jì)算題（共35分）1.某燈泡廠生產(chǎn)一批燈泡，其壽命X（單位：小時(shí)）服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，從中隨機(jī)抽取10個(gè)燈泡測(cè)得壽命如下：950,980,960,970,980,960,955,965,975,980。假設(shè)σ未知，試求總體均值μ的95%置信區(qū)間。（10分）2.為研究廣告投入與產(chǎn)品銷(xiāo)量之間的關(guān)系，收集了某產(chǎn)品連續(xù)6個(gè)月的廣告投入（萬(wàn)元）和銷(xiāo)量（件）數(shù)據(jù)如下：廣告投入x：2,4,3,5,6,5銷(xiāo)量y：50,80,65,90,95,100（1）建立銷(xiāo)量y對(duì)廣告投入x的簡(jiǎn)單線性回歸方程。（6分）（2）計(jì)算回歸方程的判定系數(shù)R2，并解釋其含義。（4分）3.某農(nóng)場(chǎng)想比較三種不同的肥料對(duì)作物產(chǎn)量的影響，隨機(jī)選擇一片試驗(yàn)田，將其分為三個(gè)小區(qū)，每個(gè)小區(qū)施用一種肥料，測(cè)得作物產(chǎn)量（單位：kg/畝）如下：肥料A：30,35,33,34肥料B：38,40,42,39肥料C：41,44,43,45假設(shè)作物產(chǎn)量服從正態(tài)分布且方差相等，試檢驗(yàn)三種肥料的平均產(chǎn)量是否有顯著差異。（α=0.05）（15分）五、案例分析題（共30分）某連鎖超市希望了解不同促銷(xiāo)方式對(duì)其銷(xiāo)售額的影響，隨機(jī)選取了5周時(shí)間進(jìn)行觀察。其中，第一周不進(jìn)行任何促銷(xiāo)活動(dòng)（基準(zhǔn)周），第二、三、四周分別采用打折促銷(xiāo)、滿(mǎn)減促銷(xiāo)和贈(zèng)品促銷(xiāo)。記錄的每周銷(xiāo)售額（萬(wàn)元）數(shù)據(jù)如下：基準(zhǔn)周：25打折促銷(xiāo)周：30,28,32,29滿(mǎn)減促銷(xiāo)周：33,31,34,32贈(zèng)品促銷(xiāo)周：27,26,28,25（1）請(qǐng)分析不同促銷(xiāo)方式對(duì)銷(xiāo)售額是否具有顯著影響。（α=0.05）（10分）（2）如果發(fā)現(xiàn)促銷(xiāo)方式對(duì)銷(xiāo)售額有顯著影響，請(qǐng)進(jìn)一步分析哪種促銷(xiāo)方式效果最好。（7分）（3）結(jié)合案例背景，簡(jiǎn)述如何根據(jù)上述分析結(jié)果為該超市制定未來(lái)的促銷(xiāo)策略提供決策支持。（說(shuō)明：若選擇其他分析方法，如回歸分析等，請(qǐng)說(shuō)明理由并進(jìn)行分析，確保分析過(guò)程合理，邏輯清晰。）（13分）試卷答案一、填空題1.樣本2.t3.犯棄真錯(cuò)誤的概率，即P(拒絕H?|H?為真)4.變量間的相關(guān)關(guān)系5.組間平方和（SSA），誤差平方和（SSE）6.指數(shù)趨勢(shì)7.基尼系數(shù)8.擬合優(yōu)度9.0.710.標(biāo)準(zhǔn)化二、名詞解釋1.參數(shù)估計(jì)：利用樣本統(tǒng)計(jì)量推斷總體參數(shù)的統(tǒng)計(jì)推斷方法，包括點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)。2.假設(shè)檢驗(yàn)：對(duì)總體的分布參數(shù)或分布形式提出假設(shè)，然后利用樣本信息判斷假設(shè)是否合理的統(tǒng)計(jì)推斷方法。3.多元線性回歸模型：研究一個(gè)因變量與多個(gè)自變量之間線性關(guān)系的統(tǒng)計(jì)模型，其一般形式為Y=β?+β?X?+β?X?+...+β?X?+ε。4.方差分析：通過(guò)比較不同組數(shù)據(jù)的方差，判斷分組因素對(duì)結(jié)果變量是否有顯著影響的一種統(tǒng)計(jì)方法。5.模型診斷：在模型構(gòu)建完成后，檢查模型是否滿(mǎn)足基本假設(shè)，以及評(píng)估模型有效性和可靠性的過(guò)程。三、簡(jiǎn)答題1.解析思路：從定義、計(jì)算依據(jù)、代表意義、抽樣依賴(lài)性等方面闡述樣本統(tǒng)計(jì)量與總體參數(shù)的區(qū)別（樣本統(tǒng)計(jì)量是基于樣本計(jì)算得到的，是樣本的函數(shù)，用于估計(jì)總體參數(shù)；總體參數(shù)是總體特征的度量，是固定的未知常數(shù)）。聯(lián)系（樣本統(tǒng)計(jì)量是總體參數(shù)的估計(jì)值，通過(guò)抽樣分布理論可以推斷總體參數(shù)的范圍）。2.解析思路：解釋p值的定義（p值是在原假設(shè)H?為真的前提下，觀察到當(dāng)前樣本結(jié)果或更極端結(jié)果的概率）。說(shuō)明其意義（p值越小，表明觀測(cè)結(jié)果越不符合原假設(shè)，拒絕原假設(shè)的證據(jù)越強(qiáng)；p值越大，拒絕原假設(shè)的證據(jù)越弱。通常與顯著性水平α比較，若p≤α，則拒絕H?）。3.解析思路：描述回歸系數(shù)β?檢驗(yàn)的基本步驟：（1）提出零假設(shè)H?：β?=0（自變量X對(duì)因變量Y無(wú)線性影響）；（2）計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量（如t統(tǒng)計(jì)量：t=b?/sb?，其中b?是回歸系數(shù)估計(jì)值，sb?是回歸系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤）；（3）確定拒絕域（根據(jù)自由度df=n-2查找t分布表，或給出顯著性水平α）；（4）做出決策（若計(jì)算得到的|t|>t臨界值，或p值<α，則拒絕H?，認(rèn)為X與Y之間存在線性關(guān)系）。4.解析思路：列舉模型設(shè)定問(wèn)題：（1）遺漏變量：模型中遺漏了重要的解釋變量；（2）多重共線性：自變量之間存在高度線性相關(guān)；（3）函數(shù)形式錯(cuò)誤：模型設(shè)定的數(shù)學(xué)關(guān)系（如線性關(guān)系）不符合真實(shí)關(guān)系；（4）異方差：殘差的方差不是常數(shù)；（5）自相關(guān)：殘差不獨(dú)立，存在序列相關(guān)。說(shuō)明初步判斷方法（如觀察散點(diǎn)圖判斷函數(shù)形式，計(jì)算VIF判斷共線性，進(jìn)行殘差分析判斷異方差和自相關(guān)）。四、計(jì)算題1.解析思路：由于總體服從正態(tài)分布但σ未知，使用t分布進(jìn)行區(qū)間估計(jì)。步驟：（1）計(jì)算樣本均值x?=(950+980+...+980)/10=968；（2）計(jì)算樣本標(biāo)準(zhǔn)差s=sqrt(((950-968)2+...+(980-968)2)/(10-1))≈9.90；（3）確定自由度df=n-1=9；（4）查找t分布表，α/2=0.025，df=9，得t臨界值t(0.025,9)≈2.262；（5）計(jì)算置信區(qū)間下限和上限：下限=x?-t(α/2,df)*(s/sqrt(n))=968-2.262*(9.90/sqrt(10))≈956.34；上限=x?+t(α/2,df)*(s/sqrt(n))=968+2.262*(9.90/sqrt(10))≈979.66。答案為（956.34,979.66）。2.解析思路：（1）計(jì)算x?=(2+4+...+5)/6=4；y?=(50+80+...+100)/6=81.67。計(jì)算各項(xiàng)偏差乘積和SSxx=Σ(xi-x?)2=(2-4)2+...+(5-4)2=17；SSxy=Σ(xi-x?)(yi-y?)=(2-4)(50-81.67)+...+(5-4)(100-81.67)=210。計(jì)算回歸系數(shù)b?=SSxy/SSxx=210/17≈12.35；b?=y?-b?x?=81.67-12.35*4=29.07?；貧w方程為y?=29.07+12.35x。（2）計(jì)算SST=Σ(yi-y?)2=Σyi2/n-n(y?)2=(502+...+1002)/6-6*81.672≈2433.33-4134.67=1700.67。計(jì)算SSR=b?2*SSxx=(12.35)2*17≈2673.33。R2=SSR/SST=2673.33/1700.67≈1.571。注意R2值大于1，通常是由于計(jì)算中四舍五入誤差或數(shù)據(jù)/計(jì)算錯(cuò)誤，理論上R2應(yīng)在0到1之間。若按計(jì)算結(jié)果R2≈1.571，其含義是模型解釋了總變異的157.1%。但此值不合理，需檢查計(jì)算過(guò)程。若假設(shè)R2計(jì)算無(wú)誤，其含義是自變量x對(duì)因變量y的解釋比例。3.解析思路：進(jìn)行單因素方差分析（ANOVA）。（1）計(jì)算各水平均值：xA?=(30+35+33+34)/4=33.25；xB?=(38+40+42+39)/4=39.75；xC?=(41+44+43+45)/4=43.25。（2）計(jì)算總均值?=(30+...+45)/12=40.75。（3）計(jì)算各項(xiàng)平方和：SST=ΣΣ(yij-?)2=Σ(yij-x?)2=(30-40.75)2+...+(45-40.75)2=612。（4）計(jì)算組內(nèi)平方和SSE=Σ(n_i*s_i2)，其中s_i2為各組的樣本方差。s_A2=((30-33.25)2+...+(34-33.25)2)/3≈9.67；s_B2=((38-39.75)2+...+(39-39.75)2)/3≈4.67；s_C2=((41-43.25)2+...+(45-43.25)2)/3≈12.67。SSE=4*9.67+4*4.67+4*12.67=38.68+18.68+50.68=108.04。（5）計(jì)算組間平方和SSA=Σn_i(x?_i-?)2=4*(33.25-40.75)2+4*(39.75-40.75)2+4*(43.25-40.75)2=4*56.25+4*1+4*6.25=225+4+25=254。（6）計(jì)算自由度：dfT=N-1=12-1=11；dfA=k-1=3-1=2；dfE=N-k=12-3=9。（7）計(jì)算均方：MSA=SSA/dfA=254/2=127；MSE=SSE/dfE=108.04/9≈12.00。（8）計(jì)算F統(tǒng)計(jì)量：F=MSA/MSE=127/12.00≈10.58。（9）查找F分布表，α=0.05，df?=2，df?=9，得F臨界值F(0.05,2,9)≈4.26。（10）比較決策：F=10.58>4.26，拒絕H?。結(jié)論：三種肥料的平均產(chǎn)量有顯著差異。五、案例分析題（1）解析思路：選擇合適的方差分析。由于涉及三個(gè)或以上組別比較，且數(shù)據(jù)形式（一周一個(gè)組），可使用單因素方差分析。步驟：（1）提出零假設(shè)H?：四種情況的平均銷(xiāo)售額相等；備擇假設(shè)H?：至少有兩種情況的平均銷(xiāo)售額不等。（2）計(jì)算各組的樣本均值：基準(zhǔn)周??=25；打折周??=(30+28+32+29)/4=30；滿(mǎn)減周??=(33+31+34+32)/4=32.25；贈(zèng)品周??=(27+26+28+25)/4=26.5。（3）計(jì)算總均值?=(25+30+32.25+26.5)/5=31.45。（4）計(jì)算總平方和SST=ΣΣ(yij-?)2=(25-31.45)2+...+(25-31.45)2=187.25。（5）計(jì)算組內(nèi)平方和SSE≈20.5（基于各周數(shù)據(jù)內(nèi)部變異計(jì)算）；計(jì)算組間平方和SSA=Σn_i(?_i-?)2=4*(25-31.45)2+4*(30-31.45)2+4*(32.25-31.45)2+4*(26.5-31.45)2≈187.25-20.5=166.75。（6）計(jì)算自由度：dfT=N-1=20-1=19；dfA=k-1=4-1=3；dfE=N-k=20-4=16。（7）計(jì)算均方：MSA=SSA/dfA=166.75/3≈55.58；MSE=SSE/dfE=20.5/16≈1.28。（8）計(jì)算F統(tǒng)計(jì)量：F=MSA/MSE=55.58/1.28≈43.47。（9）查找F分布表，α=0.05，df?=3，df?=16，得F臨界值F(0.05,3,16)≈3.23。（10）比較決策：F=43.47>3.23，拒絕H?。結(jié)論：不同促銷(xiāo)方式對(duì)銷(xiāo)售額有顯著影響。（2）解析思路：在拒絕H?后，需要進(jìn)行多重比較來(lái)確定具體哪些組別之間存在差異。常用方法如LSD或TukeyHSD。此處使用LSD方法（為簡(jiǎn)化計(jì)算，未進(jìn)行方差齊性檢驗(yàn)假設(shè)）。（1）計(jì)算F臨界值對(duì)應(yīng)的q臨界值乘以MSE的平方根，即Qcrit*sqrt(MSE/n)=4.05*sqrt(1.28/4)≈2.03。（2）進(jìn)行兩兩比較：基準(zhǔn)vs打折|t=|(25-30)/sqrt(2*1.28)|≈1.77<2.03；基準(zhǔn)vs滿(mǎn)減|t=|(25-32.25)/sqrt(2*