2025年統(tǒng)計學專業(yè)期末考試題庫——統(tǒng)計與決策理論測試模擬試題型考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題1.設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)，則下列說法正確的是（）。A.P(X≤a)=F(a)B.P(X=a)=F(a)-F(a-0)C.P(X>a)=1-F(a)D.以上都對2.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，其中μ未知，σ2已知，從總體中抽取樣本X?,X?,...,Xn，則μ的矩估計量為（）。A.1/n*Σ?<0xE2><0x82><0x99>X?B.(X?+X?+...+Xn)/nC.max(X?,X?,...,Xn)D.min(X?,X?,...,Xn)3.在假設(shè)檢驗中，犯第一類錯誤的概率記為α，犯第二類錯誤的概率記為β，則（）。A.α+β=1B.α+β>1C.α+β<1D.α+β取決于具體的檢驗方法4.設(shè)線性回歸模型為Y=β?+β?X+ε，其中ε~N(0,σ2)，則β?的估計量b?可以表示為（）。A.cov(X,Y)/var(X)B.cov(X,Y)/σ2C.cov(X,Y)*σ2/var(X)D.var(X)/cov(X,Y)5.在單因素方差分析中，假設(shè)有k個總體，每個總體服從正態(tài)分布N(μ?,σ2)，其中i=1,2,...,k。檢驗假設(shè)H?:μ?=μ?=...=μ?，常用的檢驗統(tǒng)計量是（）。A.t檢驗統(tǒng)計量B.F檢驗統(tǒng)計量C.χ2檢驗統(tǒng)計量D.Z檢驗統(tǒng)計量二、填空題1.若事件A和事件B互斥，則P(A∪B)=________。2.設(shè)隨機變量X的期望E(X)=2，方差Var(X)=4，則E(3X-2)=________。3.設(shè)總體X的密度函數(shù)為f(x)=1/(β),0<x<β，則θ的矩估計量為________。4.在假設(shè)檢驗中，如果接受了原假設(shè)，則可能犯________錯誤。5.設(shè)X?,X?,...,Xn是來自正態(tài)分布N(μ,σ2)的樣本，則(Σ?<0xE2><0x82><0x99>(X?-μ)2)/σ2服從________分布。三、簡答題1.簡述條件概率的定義及其與無條件概率的區(qū)別。2.解釋什么是估計量的無偏性，并舉例說明。3.簡述假設(shè)檢驗的基本步驟。4.解釋線性回歸模型中，回歸系數(shù)β?的含義。四、計算題1.設(shè)隨機變量X和Y的聯(lián)合分布律如下表所示：||Y=0|Y=1||---|-----|-----||X=0|0.1|0.2||X=1|0.3|0.4|求E(X)，E(Y)，Var(X)，Var(Y)，以及協(xié)方差cov(X,Y)。2.從正態(tài)總體N(μ,4)中抽取容量為16的樣本，樣本均值為10，檢驗假設(shè)H?:μ=8，H?:μ>8，采用顯著性水平α=0.05，求拒絕域。3.某公司想要比較三種不同的廣告策略對銷售量的影響，隨機選取了5個地區(qū)，每個地區(qū)采用一種廣告策略，一個月后的銷售量如下表所示：|地區(qū)|廣告策略A|廣告策略B|廣告策略C||---|---------|---------|---------||1|100|120|110||2|110|130|120||3|120|140|130||4|130|150|140||5|140|160|150|試檢驗三種廣告策略對銷售量是否有顯著影響(α=0.05)。五、論述題試述貝葉斯決策理論的基本思想，并說明其在決策分析中的作用。試卷答案一、選擇題1.D解析：根據(jù)分布函數(shù)的定義，F(xiàn)(x)=P(X≤x)，所以P(X≤a)=F(a)；P(X=a)=F(a)-F(a-0)是概率的跳躍點；P(X>a)=1-P(X≤a)=1-F(a)。以上都對。2.B解析：正態(tài)分布N(μ,σ2)的樣本均值X?=(X?+X?+...+Xn)/n是μ的無偏估計量，且其期望E(X?)=E((1/n*Σ?<0xE2><0x82><0x99>X?))=(1/n*Σ?<0xE2><0x82><0x99>E(X?))=(1/n*nμ)=μ。3.D解析：犯第一類錯誤的概率α是在H?為真時拒絕H?的概率；犯第二類錯誤的概率β是在H?為真時接受H?的概率。它們的大小取決于具體的檢驗方法、樣本量、參數(shù)值以及檢驗的拒絕域設(shè)定，并非簡單的互補關(guān)系。4.A解析：根據(jù)線性回歸系數(shù)的最小二乘估計公式，b?=cov(X,Y)/var(X)。其中，cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=E[XY]-E[X]E[Y]；var(X)=E[(X-E(X))2]=E[X2]-(E[X])2。由于Y=β?+β?X+ε，且E(ε)=0，有E(Y)=β?+β?E(X)。最小二乘法的目標是使殘差平方和最小，推導過程可得b?=cov(X,Y)/var(X)。5.B解析：單因素方差分析用于檢驗多個正態(tài)總體的均值是否相等，其基本假設(shè)包括各總體方差相等。檢驗假設(shè)H?:μ?=μ?=...=μ?，構(gòu)造的檢驗統(tǒng)計量是F=MS_between/MS_within，即組間平方和均值與組內(nèi)平方和均值的比值，服從F分布（k-1,n-k）。二、填空題1.P(A)+P(B)解析：根據(jù)概率的加法公式，對于互斥事件A和B，P(A∪B)=P(A)+P(B)。2.6解析：根據(jù)期望的線性性質(zhì)，E(aX+b)=aE(X)+b。此處a=3,b=-2，E(3X-2)=3E(X)-2=3*2-2=6。3.1/X?解析：總體X的密度函數(shù)f(x)=1/β,0<x<β，則E(X)=∫?<0xE1><0xB5><0xA2>x*(1/β)dx=[x2/2β]?<0xE1><0xB5><0xA2>=β2/2β=β/2。令樣本均值X?=E(X)，則θ=β=2X?。θ的矩估計量為θ?=1/X?。4.第二類解析：假設(shè)檢驗中，如果原假設(shè)H?為真，但拒絕了H?，則犯了第一類錯誤（棄真錯誤）。如果原假設(shè)H?為假，但接受了H?，則犯了第二類錯誤（取偽錯誤）。5.χ2(n-1)解析：根據(jù)χ2分布的性質(zhì)，若X?,X?,...,Xn是來自正態(tài)分布N(μ,σ2)的樣本，且μ已知，則(Σ?<0xE2><0x82><0x99>(X?-μ)2/σ2)服從自由度為n的χ2分布。若μ未知，用樣本均值X?替代μ，則(Σ?<0xE2><0x82><0x99>(X?-X?)2/σ2)服從自由度為n-1的χ2分布。三、簡答題1.解析：條件概率P(A|B)是在事件B已經(jīng)發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率。定義式為P(A|B)=P(A∩B)/P(B)(P(B)>0)。無條件概率P(A)是在沒有任何其他事件發(fā)生的信息下，事件A發(fā)生的概率。兩者的區(qū)別在于事件B是否提供了新的信息，影響了事件A發(fā)生的可能性。2.解析：估計量的無偏性是指估計量的期望值等于被估計的參數(shù)。即若θ?是參數(shù)θ的估計量，若E(θ?)=θ，則稱θ?是θ的無偏估計量。例如，樣本均值X?是總體均值μ的無偏估計量，因為E(X?)=μ。3.解析：假設(shè)檢驗的基本步驟如下：(1)提出原假設(shè)H?和備擇假設(shè)H?；(2)選擇顯著性水平α；(3)確定檢驗統(tǒng)計量及其分布；(4)根據(jù)α和檢驗統(tǒng)計量的分布確定拒絕域；(5)計算檢驗統(tǒng)計量的觀測值；(6)判斷觀測值是否落入拒絕域，從而決定是否拒絕H?。4.解析：在線性回歸模型Y=β?+β?X+ε中，β?表示在其他因素不變的情況下，自變量X每增加一個單位，因變量Y平均變化的量。它是衡量X和Y之間線性關(guān)系的強度和方向的關(guān)鍵參數(shù)。如果β?>0，表示Y隨X增加而增加；如果β?<0，表示Y隨X增加而減少。四、計算題1.解析：E(X)=Σ?<0xE2><0x82><0x99>Σ<0xE1><0xB5><0xA3>P(X?,Y<0xE1><0xB5><0xA3>)*X?=P(X=0,Y=0)*0+P(X=0,Y=1)*0+P(X=1,Y=0)*1+P(X=1,Y=1)*1=0*0.1+0*0.2+1*0.3+1*0.4=0+0+0.3+0.4=0.7E(Y)=Σ?<0xE2><0x82><0x99>Σ<0xE1><0xB5><0xA3>P(X?,Y<0xE1><0xB5><0xA3>)*Y<0xE1><0xB5><0xA3>=P(X=0,Y=0)*0+P(X=0,Y=1)*1+P(X=1,Y=0)*0+P(X=1,Y=1)*1=0*0.1+0*0.2+0*0.3+1*0.4=0+0+0+0.4=0.4Var(X)=E(X2)-[E(X)]2=(02*0.1+02*0.2+12*0.3+12*0.4)-(0.7)2=(0+0+0.3+0.4)-0.49=0.7-0.49=0.21Var(Y)=E(Y2)-[E(Y)]2=(02*0.1+12*0.2+02*0.3+12*0.4)-(0.4)2=(0+0.2+0+0.4)-0.16=0.6-0.16=0.44cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=(0*0*0.1+0*1*0.2+1*0*0.3+1*1*0.4)-0.7*0.4=(0+0+0+0.4)-0.28=0.4-0.28=0.12(答案：E(X)=0.7,E(Y)=0.4,Var(X)=0.21,Var(Y)=0.44,cov(X,Y)=0.12)2.解析：檢驗統(tǒng)計量：t=(X?-μ?)/(s/√n)，其中μ?=8,X?=10,n=16,σ=2。由于σ已知，應(yīng)使用Z檢驗。Z=(X?-μ?)/(σ/√n)=(10-8)/(2/√16)=2/(2/4)=2/0.5=4。顯著性水平α=0.05，單尾檢驗，查標準正態(tài)分布表得臨界值Z?.05=1.645。拒絕域：Z>1.645。觀測值Z=4，落入拒絕域。(答案：檢驗統(tǒng)計量Z=4，拒絕域為Z>1.645，觀測值落入拒絕域，拒絕H?)3.解析：假設(shè)：H?:μ_A=μ_B=μ_C(三種廣告策略效果相同)，H?:至少有兩種廣告策略效果不同。計算各列均值：X?_A=120,X?_B=140,X?_C=130。計算總均值：X?=(120+140+130+130+140)/15=700/15≈46.67。計算組間平方和：SS_between=5*(120-46.67)2+5*(140-46.67)2+5*(130-46.67)2≈5*(73.33)2+5*(93.33)2+5*(83.33)2≈5*5377.78+5*8711.11+5*6944.44≈26888.89+43555.55+34722.22=105166.66計算組內(nèi)平方和：Σ?<0xE2><0x82><0x99>5*(X?-X?<0xE1><0xB5><0xA3>)2對廣告A：Σ?<0xE2><0x82><0x99>(X?-120)2=(100-120)2+(110-120)2+...+(140-120)2=400+100+0+100+400=1000對廣告B：Σ?<0xE2><0x82><0x99>(X?-140)2=(120-140)2+(130-140)2+...+(160-140)2=400+100+0+100+400=1000對廣告C：Σ?<0xE2><0x82><0x99>(X?-130)2=(110-130)2+(120-130)2+...+(150-130)2=400+100+0+100+400=1000SS_within=5*1000+5*1000+5*1000=15000計算統(tǒng)計量：F=MS_between/MS