2025年大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)期末考試題庫(kù)——與決策理論試題解析考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡(jiǎn)述參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想及其在決策分析中的作用。二、某公司考慮是否推出一種新產(chǎn)品。市場(chǎng)分析提供了兩種可能的銷售狀態(tài)：狀態(tài)A（高需求）和狀態(tài)B（低需求），以及兩種可能的行動(dòng)方案：方案I（大規(guī)模生產(chǎn)）和方案II（小規(guī)模生產(chǎn)）。預(yù)計(jì)的收益（單位：萬(wàn)元）如下：*若選擇方案I，狀態(tài)A時(shí)收益為100，狀態(tài)B時(shí)虧損為20。*若選擇方案II，狀態(tài)A時(shí)收益為40，狀態(tài)B時(shí)虧損為10。公司無(wú)法確定未來(lái)是狀態(tài)A還是狀態(tài)B，但根據(jù)經(jīng)驗(yàn)估計(jì)，狀態(tài)A出現(xiàn)的概率為0.6，狀態(tài)B出現(xiàn)的概率為0.4。請(qǐng)分別使用期望值法，為該公司選擇最優(yōu)行動(dòng)方案。三、假設(shè)某醫(yī)生需要診斷一位患者可能患有A病或B病。如果患者患有A病，進(jìn)行某種檢測(cè)的概率為0.9；如果患者患有B病，進(jìn)行同一檢測(cè)的概率為0.2。已知該地區(qū)A病發(fā)病率為0.01，B病發(fā)病率為0.03。如果檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性，請(qǐng)使用貝葉斯定理計(jì)算該患者患有A病的后驗(yàn)概率。四、某投資者面臨一個(gè)投資決策。有兩種投資方案：方案X和方案Y。市場(chǎng)可能發(fā)生三種狀態(tài)：狀態(tài)1（經(jīng)濟(jì)繁榮）、狀態(tài)2（經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定）、狀態(tài)3（經(jīng)濟(jì)衰退）。預(yù)計(jì)的收益（單位：萬(wàn)元）如下：*方案X：狀態(tài)1時(shí)收益200，狀態(tài)2時(shí)收益100，狀態(tài)3時(shí)虧損50。*方案Y：狀態(tài)1時(shí)收益150，狀態(tài)2時(shí)收益120，狀態(tài)3時(shí)虧損30。該投資者對(duì)三種狀態(tài)的發(fā)生概率估計(jì)如下：P(狀態(tài)1)=0.3，P(狀態(tài)2)=0.5，P(狀態(tài)3)=0.2。請(qǐng)計(jì)算方案X和方案Y的期望收益，并根據(jù)期望值法做出決策。五、假設(shè)你需要決定是否購(gòu)買(mǎi)一份保險(xiǎn)。保險(xiǎn)費(fèi)用為500元。如果發(fā)生保險(xiǎn)事故（如房屋失火），將造成10000元的損失。根據(jù)歷史數(shù)據(jù)，該保險(xiǎn)事故每年發(fā)生的概率為0.001。如果不購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)，發(fā)生事故時(shí)你需要自己承擔(dān)損失；如果購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)，發(fā)生事故時(shí)保險(xiǎn)公司會(huì)賠償全部損失（扣除保費(fèi)）。請(qǐng)計(jì)算購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)的期望凈收益，并根據(jù)期望值法分析你是否應(yīng)該購(gòu)買(mǎi)這份保險(xiǎn)。六、某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，需要進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)。檢驗(yàn)結(jié)果可能是“合格”或“不合格”。實(shí)際生產(chǎn)結(jié)果也可能是“正品”或“次品”。已知：*檢驗(yàn)結(jié)果為“合格”的概率：P(合格|正品)=0.95，P(合格|次品)=0.05。*生產(chǎn)次品的概率：P(次品)=0.1。如果檢驗(yàn)結(jié)果為“合格”，請(qǐng)計(jì)算該產(chǎn)品確實(shí)是“正品”的概率。七、比較最大最小收益法（悲觀主義原則）和最大最大收益法（樂(lè)觀主義原則）在不確定型決策中的應(yīng)用特點(diǎn)。請(qǐng)各舉一個(gè)簡(jiǎn)單例子說(shuō)明如何使用這兩種方法進(jìn)行決策。八、假設(shè)你需要選擇一條從A地到B地的路。有兩條可選路線：路線1和路線2。天氣可能狀況有：晴天、雨天、雪天。三條路線在不同天氣狀況下的行駛時(shí)間（單位：分鐘）如下：*晴天：路線130，路線240。*雨天：路線150，路線235。*雪天：路線170，路線280。如果你認(rèn)為這三種天氣狀況發(fā)生的可能性分別是：晴天50%，雨天30%，雪天20%。請(qǐng)使用期望值法選擇最優(yōu)路線。如果你是極度規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)的人，可能會(huì)選擇哪條路線？請(qǐng)說(shuō)明理由（無(wú)需計(jì)算）。九、解釋什么是后悔值（RegretValue或OpportunityLoss）。假設(shè)在第三題的貝葉斯決策問(wèn)題中，除了收益值和先驗(yàn)概率，你還知道后悔值矩陣如下（單位：萬(wàn)元）：*若選擇檢測(cè)，狀態(tài)A時(shí)后悔值為0，狀態(tài)B時(shí)后悔值為18。*若不選擇檢測(cè)，狀態(tài)A時(shí)后悔值為90，狀態(tài)B時(shí)后悔值為0。請(qǐng)使用期望后悔值法，計(jì)算選擇檢測(cè)和不選擇檢測(cè)的期望后悔值，并做出決策。十、請(qǐng)闡述風(fēng)險(xiǎn)型決策中，如何利用補(bǔ)充信息（如樣本信息、后驗(yàn)概率）來(lái)改進(jìn)決策。以一個(gè)簡(jiǎn)單的例子說(shuō)明貝葉斯決策如何幫助決策者根據(jù)新的信息調(diào)整初始判斷，從而可能做出更優(yōu)的決策。試卷答案一、參數(shù)估計(jì)旨在通過(guò)樣本信息推斷總體的未知參數(shù)（如均值、方差），提供參數(shù)的估計(jì)值或置信區(qū)間。假設(shè)檢驗(yàn)則是在一定顯著性水平下，根據(jù)樣本信息判斷關(guān)于總體參數(shù)的某個(gè)假設(shè)是否成立。兩者都為決策提供統(tǒng)計(jì)依據(jù)：參數(shù)估計(jì)為決策提供量化預(yù)測(cè)或范圍；假設(shè)檢驗(yàn)通過(guò)檢驗(yàn)與決策相關(guān)的假設(shè)（如某項(xiàng)措施是否有效）來(lái)支持或否定特定的決策選項(xiàng)。它們幫助決策者在信息不完全的情況下，基于數(shù)據(jù)和概率做出更理性的判斷。二、期望值法：計(jì)算各方案的期望收益。方案I期望收益=0.6*100+0.4*(-20)=60-8=52(萬(wàn)元)方案II期望收益=0.6*40+0.4*(-10)=24-4=20(萬(wàn)元)比較兩個(gè)期望收益，方案I的期望收益（52萬(wàn)元）大于方案II的期望收益（20萬(wàn)元）。決策：選擇方案I（大規(guī)模生產(chǎn)）。三、設(shè)事件A為患者患有A病，事件B為患者患有B病，事件T為檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性。已知P(A)=0.01,P(B)=0.03,P(T|A)=0.9,P(T|B)=0.2。根據(jù)全概率公式，計(jì)算檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性的總概率P(T)：P(T)=P(T|A)P(A)+P(T|B)P(B)=0.9*0.01+0.2*0.03=0.009+0.006=0.015。根據(jù)貝葉斯定理，計(jì)算在結(jié)果為陽(yáng)性的情況下患有A病的概率P(A|T)：P(A|T)=[P(T|A)P(A)]/P(T)=(0.9*0.01)/0.015=0.009/0.015=0.6。該患者患有A病的后驗(yàn)概率為0.6。四、期望值法：方案X期望收益=0.3*200+0.5*100+0.2*(-50)=60+50-10=100(萬(wàn)元)方案Y期望收益=0.3*150+0.5*120+0.2*(-30)=45+60-6=99(萬(wàn)元)比較兩個(gè)期望收益，方案X的期望收益（100萬(wàn)元）大于方案Y的期望收益（99萬(wàn)元）。決策：選擇方案X。五、期望值法：購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)的期望凈收益=(發(fā)生事故概率*保險(xiǎn)賠償-事故發(fā)生概率*保費(fèi))+(1-發(fā)生事故概率)*(0-保費(fèi))=P(事故)*(0-保費(fèi))+(1-P(事故))*(-保費(fèi))=-P(事故)*保費(fèi)-(1-P(事故))*保費(fèi)=-保費(fèi)=-500(元)不購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)的期望凈收益=P(事故)*(-損失)+(1-P(事故))*(0)=0.001*(-10000)+0.999*0=-10(元)比較兩個(gè)期望凈收益，不購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)的期望凈收益（-10元）大于購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)的期望凈收益（-500元）。決策：不應(yīng)該購(gòu)買(mǎi)這份保險(xiǎn)。六、設(shè)事件G為檢驗(yàn)結(jié)果為“合格”，事件P為產(chǎn)品是“正品”。已知P(G|P)=0.95,P(G|非P)=0.05(其中非P表示次品),P(非P)=P(次品)=0.1。首先計(jì)算P(P)=1-P(非P)=1-0.1=0.9。然后根據(jù)全概率公式計(jì)算P(G)：P(G)=P(G|P)P(P)+P(G|非P)P(非P)=0.95*0.9+0.05*0.1=0.855+0.005=0.86。再根據(jù)貝葉斯定理計(jì)算P(P|G)：P(P|G)=[P(G|P)P(P)]/P(G)=(0.95*0.9)/0.86=0.855/0.86≈0.9942。該產(chǎn)品確實(shí)是“正品”的概率約為0.9942。七、最大最小收益法（悲觀主義原則）：決策者對(duì)未來(lái)持悲觀態(tài)度，認(rèn)為最可能發(fā)生的是最壞的情況。決策時(shí)先找出每個(gè)方案在所有可能狀態(tài)下的最小收益（或最大損失），然后從中選擇最大值對(duì)應(yīng)的方案。這種策略旨在規(guī)避最大風(fēng)險(xiǎn)，保證在最不利情況下仍有相對(duì)較好的結(jié)果。例子：某農(nóng)場(chǎng)決定是否種植作物A或作物B。市場(chǎng)可能狀況為好、中、差。兩種作物的預(yù)期收益如下（單位：萬(wàn)元）：*作物A：好時(shí)10，中時(shí)5，差時(shí)-2。*作物B：好時(shí)8，中時(shí)6，差時(shí)-5。計(jì)算各方案的最小收益：作物A為-2，作物B為-5。選擇最大最小收益對(duì)應(yīng)的方案，即作物A。最大最大收益法（樂(lè)觀主義原則）：決策者對(duì)未來(lái)持樂(lè)觀態(tài)度，相信最可能發(fā)生的是最好的情況。決策時(shí)先找出每個(gè)方案在所有可能狀態(tài)下的最大收益，然后從中選擇最大值對(duì)應(yīng)的方案。這種策略追求最高可能收益，但承擔(dān)了較大風(fēng)險(xiǎn)。例子：同上。計(jì)算各方案的最大收益：作物A為10，作物B為8。選擇最大最大收益對(duì)應(yīng)的方案，即作物A。八、期望值法：路線1期望時(shí)間=0.5*30+0.3*50+0.2*70=15+15+14=44(分鐘)路線2期望時(shí)間=0.5*40+0.3*35+0.2*80=20+10.5+16=46.5(分鐘)比較兩個(gè)期望時(shí)間，路線1的期望時(shí)間（44分鐘）小于路線2的期望時(shí)間（46.5分鐘）。決策：選擇路線1。規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)決策：極度規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)的人可能會(huì)考慮期望后悔值。計(jì)算后悔值矩陣：*晴天：路線10(30-30),路線210(40-30)。*雨天：路線120(50-30),路線215(35-20)。*雪天：路線150(70-20),路線260(80-20)。后悔值矩陣：||晴天|雨天|雪天||:----|:---|:---|:---||路線1|0|20|50||路線2|10|15|60|計(jì)算各方案的期望后悔值：路線1期望后悔值=0.5*0+0.3*20+0.2*50=0+6+10=16(分鐘)路線2期望后悔值=0.5*10+0.3*15+0.2*60=5+4.5+12=21.5(分鐘)選擇期望后悔值較小的方案，即路線1。理由：規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)者在決策時(shí)傾向于最小化最壞情況下的可能損失，期望后悔值越小，表示在最壞情況下的時(shí)間損失（相對(duì)于最優(yōu)選擇）越少，因此選擇路線1。九、期望后悔值法：計(jì)算各方案在不同狀態(tài)下的后悔值：*狀態(tài)A：檢測(cè)后悔值0，不檢測(cè)后悔值90。選擇0，后悔值0。*狀態(tài)B：檢測(cè)后悔值18，不檢測(cè)后悔值0。選擇0，后悔值0。構(gòu)建后悔值矩陣：||狀態(tài)A|狀態(tài)B|期望后悔值||:----|:----|:----|:---------||檢測(cè)|0|0|0||不檢測(cè)|90|0|45|計(jì)算方案的期望后悔值：*檢測(cè)：0.01*0+0.03*0=0*不檢測(cè)：0.01*90+0.03*0=0.9比較期望后悔值，選擇期望后悔值較小的方案。決策：選擇檢測(cè)。十、風(fēng)險(xiǎn)型決策中，僅依據(jù)先驗(yàn)概率可能無(wú)法完全反映決策環(huán)境的信息或變化。補(bǔ)充信息（如樣本數(shù)據(jù)、市場(chǎng)調(diào)研結(jié)果、新的觀測(cè)信息等）可以提供關(guān)于狀態(tài)發(fā)生概率的更新估計(jì)，從而改進(jìn)初始的判斷。貝葉斯決策正是利用補(bǔ)充信息改進(jìn)決策的典型方法。貝葉斯決策過(guò)程如下：1.基于先驗(yàn)知識(shí)確定各狀態(tài)的概率P(狀態(tài))。2.收集補(bǔ)充信息，計(jì)算在給定補(bǔ)充信息條件下各狀態(tài)的條件概率P(補(bǔ)充信息|狀態(tài))。3.使用貝葉斯定理計(jì)算后驗(yàn)概率P(狀態(tài)|補(bǔ)充信息)=[P(補(bǔ)充信息|狀態(tài))P(狀態(tài))]/P(補(bǔ)充信息)。4.根據(jù)后驗(yàn)概率，重新計(jì)算各方案的期望收益或期望后悔值。5.選擇最優(yōu)方案。例子：一個(gè)工廠生產(chǎn)產(chǎn)品，正常概率0.95，次品概率0.05。次品率升高會(huì)導(dǎo)致利潤(rùn)下降。工廠可以購(gòu)買(mǎi)檢測(cè)設(shè)備（成本100元）來(lái)降低不確定性。檢測(cè)設(shè)備有90%的概率正確識(shí)別次品，10%的概率將次品誤判為正品。若不檢測(cè)，按正常概率0.95生產(chǎn)，若檢測(cè)后為次品則返工（成本50元）。假設(shè)產(chǎn)品售價(jià)100元，正常成本20元，次品成本50元。先驗(yàn)：P(正常)=0.95,P(次品)=0.05。補(bǔ)充信息：檢測(cè)結(jié)果。條件概率：P(檢測(cè)為次品|正常)=0.1,P(檢測(cè)為次品|次品)=0.9。計(jì)算后驗(yàn)概率：P(正常|檢測(cè)為次品)=[(0.1*0.95)/(0.1*0.95+0.9*0.05)]=[0.095/(0.095+0.045)]=0.68.P(次品|檢測(cè)為次品)=1-P(正常|檢測(cè)為次品)=1-0.68=0.32.重新計(jì)算期望成本：*不檢測(cè)：期望成本=0.95*20+0.05*50=19+2.5=21.5元。*檢測(cè)后為次品返工：期望成本=P(次品|檢測(cè)為次品)*[50(返工成本)+100(售價(jià))-100(售價(jià))]+P(正常|檢測(cè)為次品)*