壓軸題10圓的五種考法目錄解題知識(shí)必備 1壓軸題型講練 1類型一、四點(diǎn)共圓 1類型二、圓中最值問(wèn)題 14類型三、定點(diǎn)定長(zhǎng)構(gòu)造輔助圓 22類型四、定弦定角構(gòu)造輔助圓 26類型五、對(duì)角互補(bǔ)構(gòu)造輔助圓 33壓軸能力測(cè)評(píng)（10題） 40類型一、四點(diǎn)共圓一．填空題1．（2022秋?大豐區(qū)期中）如圖，中，，，．以為弦的圓分別交、于、兩點(diǎn)．點(diǎn)在邊上，且滿足．若，則的面積的最小值是．二．解答題2．（2022秋?建湖縣期中）如圖，在的內(nèi)接四邊形中，，是四邊形的一個(gè)外角．（1）若，則；（2）過(guò)點(diǎn)作于，判斷、、之間的數(shù)量關(guān)系并證明；（3）若、，求的值．3．（2023秋?鄞州區(qū)期中）如圖，在△中，點(diǎn)，為，上的點(diǎn)，，，交于，△與△的外接圓相交于點(diǎn)（異于，，分別為△和△的垂心．證明：（1）平分；（2），，三點(diǎn)共線．（注：利用坐標(biāo)系、復(fù)數(shù)解題者不給分）4．（2022秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)期中）在中，已知，作，是上一點(diǎn)，，連接、，在上截取，連接．（1）如圖1所示，若，，求的周長(zhǎng)；（2）如圖2所示，若分別取、的中點(diǎn)、，連接、，求證：；（3）如圖3所示，，，將沿著直線翻折得到，連接，直線交于點(diǎn)，為中點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的面積．5．（2022秋?鼓樓區(qū)期中）以下是“四點(diǎn)共圓”的幾個(gè)結(jié)論，你能證明并運(yùn)用它們嗎？Ⅰ．若兩個(gè)直角三角形有公共斜邊，則這兩個(gè)三角形的4個(gè)頂點(diǎn)共圓（圖1、；Ⅱ．若四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ)，則這個(gè)四邊形的4個(gè)頂點(diǎn)共圓（圖；Ⅲ．若線段同側(cè)兩點(diǎn)與線段兩端點(diǎn)連線的夾角相等，則這兩點(diǎn)和線段兩端點(diǎn)共圓（圖．（1）在圖1、2中，取的中點(diǎn)，根據(jù)得，即，，，共圓；（2）在圖3中，畫(huà)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，（圖．假設(shè)點(diǎn)落在外，交于點(diǎn)，連接，可得，所以，得出矛盾；同理點(diǎn)也不會(huì)落在內(nèi)，即，，，共圓．結(jié)論Ⅲ同理可證．（3）利用四點(diǎn)共圓證明銳角三角形的三條高交于一點(diǎn)．已知：如圖6，銳角三角形的高，相交于點(diǎn)，射線交于點(diǎn)．求證：是的高．（補(bǔ)全以下證明框圖，并在圖上作必要標(biāo)注）（4）如圖7，點(diǎn)是外部一點(diǎn)，過(guò)作直線，，的垂線，垂足分別為，，，且點(diǎn)，，在同一條直線上．求證：點(diǎn)在的外接圓上．類型二、圓中最值問(wèn)題一．填空題1．（2022秋?長(zhǎng)沙期中）如圖，的半徑為1，，為的切線，切點(diǎn)為，，，點(diǎn)為劣弧上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的切線，分別交，于點(diǎn)，，的最小值是．二．解答題2．（2022秋?東城區(qū)校級(jí)期中）對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的圖形和點(diǎn)給出如下定義；為圖形上任意一點(diǎn)，若，兩點(diǎn)間距離的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的倍，則稱點(diǎn)為圖形的“分點(diǎn)”．已知點(diǎn)，，，．（1）①在點(diǎn)，，中，線段的“分點(diǎn)”是；②點(diǎn)，若點(diǎn)為線段的“二分點(diǎn)”，求的值；（2）以點(diǎn)為圓心，為半徑畫(huà)圖，若線段上存在的“二分點(diǎn)”，直接寫(xiě)出的取值范圍．3．（2022秋?江陰市期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，點(diǎn)在軸的正半軸上，且，以點(diǎn)為圓心，1為半徑畫(huà)，與軸交于點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的下方），點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，從點(diǎn)開(kāi)始以5度秒的速度沿圓周逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)一周，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．（1）如圖1，連接，當(dāng)時(shí)，求的值；（2）如圖2，點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，連接，以為邊在左側(cè)作等邊，①當(dāng)秒時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；②連接，當(dāng)最大時(shí)，求此時(shí)的值和這個(gè)最大值．類型三、定點(diǎn)定長(zhǎng)構(gòu)造輔助圓一．填空題1．（2023秋?常州期中）如圖，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，連接，的最大值為．二．解答題2．（2022秋?秀洲區(qū)期中）如圖，中，，，過(guò)點(diǎn)任作一條直線，將線段沿直線翻折得線段，直線交直線于點(diǎn)．（1）小智同學(xué)通過(guò)思考推得當(dāng)點(diǎn)在上方時(shí)，的角度是不變的，請(qǐng)按小智的思路幫助小智完成以下推理過(guò)程：，、、三點(diǎn)在以為圓心以為半徑的圓上．．（2）若，求的長(zhǎng)．（3）線段最大值為；若取的中點(diǎn)，則線段的最小值為．類型四、定弦定角構(gòu)造輔助圓一．填空題1．（2023春?梁子湖區(qū)期中）如圖，矩形的邊，，為的中點(diǎn)，是矩形內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn)，且滿足，為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，，則的最小值為．二．解答題2．（2023秋?濱海縣期中）（1）【學(xué)習(xí)心得】小趙同學(xué)在學(xué)習(xí)完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺(jué)到一些幾何問(wèn)題，如果添加輔助圓，運(yùn)用圓的知識(shí)解決，可以使問(wèn)題變得非常容易．我們把這個(gè)過(guò)程稱為“化隱圓為顯圓”．①已知：如圖1，，若，求的度數(shù)．解：若以點(diǎn)為圓心，為半徑作輔助圓，是的圓心角，而是圓周角，從而可容易得到．②如圖2，點(diǎn)為正方形內(nèi)一點(diǎn)，且，若，求的最小值．解：，，點(diǎn)在以為直徑的圓上，設(shè)圓心為點(diǎn)，則、、三點(diǎn)共線時(shí)最小，最小值為．（2）【問(wèn)題解決】①如圖3，在平行四邊形中，已知，，，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與，重合），連接，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則線段的最小值為．②如圖4，△中，，，，為上一動(dòng)點(diǎn)，以為直徑的交于，求線段的最小值．（3）【問(wèn)題拓展】如圖5，在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)，，軸上有一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)最大時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)．3．（2022秋?泗洪縣期中）已知：和外一點(diǎn)．（1）如圖甲，和是的兩條切線，、分別為切點(diǎn)，求證：．（2）尺規(guī)作圖：在圖乙中，過(guò)點(diǎn)畫(huà)的兩條切線、，、為切點(diǎn)（要求：保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）．類型五、對(duì)角互補(bǔ)構(gòu)造輔助圓1．（2021秋?越秀區(qū)校級(jí)期中）如圖1，在中，，平分，且于點(diǎn)．（1）判斷的形狀；（2）如圖2，在（1）的結(jié)論下，若，，，求的長(zhǎng)；（3）如圖3，在（1）的結(jié)論下，若將繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，作交于點(diǎn)．試探究與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．2．（2021秋?西城區(qū)校級(jí)期中）如圖，為等邊三角形，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與，重合），連接，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線段，垂足為點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，．（1）求證：；（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，求證：為的中點(diǎn)；（3）若的邊長(zhǎng)為1，直接寫(xiě)出的最大值．3．（2023秋?東城區(qū)校級(jí)期中）如圖1，在中，，，直線是過(guò)點(diǎn)的直線于點(diǎn)，連接．（1）觀察猜想張老師在課堂上提出問(wèn)題：線段，，之間有什么數(shù)量關(guān)系．經(jīng)過(guò)觀察思考，小明出一種思路：如圖1，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，進(jìn)而得出：．（2）探究證明將直線繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置寫(xiě)出此時(shí)線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明（3）拓展延伸在直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)面積取得最大值時(shí)，若長(zhǎng)為1，請(qǐng)直接寫(xiě)的長(zhǎng)．1．（2023秋?旌陽(yáng)區(qū)校級(jí)期中）如圖，在中，直徑，于點(diǎn)，．點(diǎn)是弧上動(dòng)點(diǎn)，且與點(diǎn)、不重合，是直徑上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，則的取值范圍是A． B． C． D