專題01拋物線的平移、對稱變換目錄解題知識必備 1壓軸題型講練 4類型一、拋物線上下平移 4類型二、拋物線左右平移 8類型三、拋物線沿傾斜方向平移 11類型四、沿x軸翻折 13類型五、沿y軸翻折 17類型六、旋轉(zhuǎn) 19壓軸題能力測評 221、y=a的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)a向上0y軸x>0時，y隨x的增大而增大；x<0時，y隨x的增大而減??；x=0時，ya向下0y軸x>0時，y隨x的增大而減小；x<0時，y隨x的增大而增大；x=0時，y2、y=a的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)a向上0y軸x>0時，y隨x的增大而增大；x<0時，y隨x的增大而減小；x=0時，ya向下0y軸x>0時，y隨x的增大而減?。粁<0時，y隨x的增大而增大；x=0時，y3y=aa的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)a向上h?，??X=hx>h時，y隨x的增大而增大；x<h時，y隨x的增大而減小；x=a向下h?，??X=hx>h時，y隨x的增大而減?。粁<h時，y隨x的增大而增大；x=a的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)a向上h?，??X=hx>h時，y隨x的增大而增大；x<h時，y隨x的增大而減??；x=a向下h?，??X=hx>h時，y隨x的增大而減小；x<h時，y隨x的增大而增大；x=4ya的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)a向上h?，??X=hx>h時，y隨x的增大而增大；x<h時，y隨x的增大而減??；x=a向下h?，??X=hx>h時，y隨x的增大而減小；x<h時，y隨x的增大而增大；x=5二次函數(shù)y=a用配方法可化成：y=ax二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）:頂點坐標是（﹣，），對稱軸直線x＝﹣，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象具有如下性質(zhì)：①當a＞0時，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向上，x＜﹣時，y隨x的增大而減??；x＞﹣時，y隨x的增大而增大；x＝﹣時，y取得最小值，即頂點是拋物線的最低點．②當a＜0時，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向下，x＜﹣時，y隨x的增大而增大；x＞﹣時，y隨x的增大而減?。粁＝﹣時，y取得最大值，即頂點是拋物線的最高點．③拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象可由拋物線y＝ax2的圖象向右或向左平移|﹣|個單位，再向上或向下平移||個單位得到的．類型一、拋物線上下平移例．如圖，已知拋物線（是常數(shù)且）和線段，點和點的坐標分別為．

（1）拋物線的對稱軸為直線；（2）當時，將拋物線向上平移個單位長度后與線段僅有一個交點，則的取值范圍是．【答案】2或【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)及圖象的平移，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想作出圖形，根據(jù)圖形進行求解是解決問題的關(guān)鍵．（1）由題意可知拋物線的對稱軸為直線，即可求解；（2）由題意可知，當時，將拋物線向上平移個單位長度后拋物線為，結(jié)合圖形，找到臨界點：當拋物線頂點恰好平移到線段上，當拋物線經(jīng)過點時，求出對應的值，結(jié)合圖形即可求解．【詳解】解：（1）∵，∴拋物線的對稱軸為直線，故答案為：2；（2）當時，，將拋物線向上平移個單位長度后拋物線為，

當拋物線頂點恰好平移到線段上，此時，，可得；當拋物線經(jīng)過點時，此時，可得，此時關(guān)于對稱軸對稱的點，在線段上，不符合題意；當拋物線經(jīng)過點時，此時，可得，此時關(guān)于對稱軸對稱的點，不在線段上，符合題意；結(jié)合圖形可知，平移后的拋物線與線段僅有一個交點時，或；故答案為：或．【變式訓練1】．對某一個函數(shù)給出如下定義：若存在實數(shù)，對于任意的函數(shù)值，都滿足，則稱這個函數(shù)是有界函數(shù)，在所有滿足條件的中，其最小值稱為這個函數(shù)的邊界值．例如，如圖中的函數(shù)是有界函數(shù)，其邊界值是1．將函數(shù)的圖象向上平移個單位，得到的函數(shù)的邊界值滿足是時，則的取值范圍是．

【答案】或【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移和二次函數(shù)的最值問題，根據(jù)條件分類討論函數(shù)值絕對值最大的情況是解決問題的關(guān)鍵點．仔細閱讀材料理解題意，可知n的值就是函數(shù)值絕對值最大的值，所以根據(jù)函數(shù)表達式找出函數(shù)值的最大值和最小值，進行分類討論求解即可．【詳解】解：向上平移t個單位后，得到的函數(shù)解析式為∴拋物線的開口向下，對稱軸為直線，∴拋物線上的點離對稱軸越遠，函數(shù)值越大，當時，y最大值為，且和的函數(shù)值相同，∵，∴當時，時，y有最小值，當時，時，y有最小值，由題意可知：n是函數(shù)值絕對值最大時的值，（I）當時，①且，解得，②當且，解得（II）當時，①且無解；②且，無解，故答案為：或．【變式訓練2】．如圖，拋物線與軸交于點，與軸正半軸交于點，將拋物線向上平移2個單位長度，點的對應點為，點的對應點為，則拋物線上段掃過的區(qū)域（陰影部分）的面積為．

【答案】2【分析】連接，，如圖，先解方程得，再利用拋物線的平移得到，所以拋物線上段掃過的區(qū)域（陰影部分）的面積．【詳解】連接，，如圖，

當時，，解得，，，拋物線向上平移2個單位長度，點的對應點為，點的對應點為，，拋物線上段掃過的區(qū)域（陰影部分）的面積．故答案為：2．【點睛】本題考查了拋物線與軸的交點：把求二次函數(shù)，，是常數(shù)，與軸的交點坐標問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于的一元二次方程．也考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換．【變式訓練3】．設(shè)拋物線，其中a為實數(shù)．（1）不論a為何值，該拋物線必經(jīng)過一定點；（2）將拋物線向上平移2個單位，所得拋物線頂點的縱坐標的最大值是．【答案】（-1，0）2【分析】（1）將拋物線解析式變形為，當x+1=0時，無論a為何值，拋物線恒過某一定點；（2）根據(jù)“上加下減”可得出平移后的拋物線解析式，再利用配方法配方，可表達頂點的縱坐標，再求最大值．【詳解】解：（1）將拋物線解析式變形為，當x+1=0即x=-1時，拋物線恒過定點（-1，0）．故答案是：（-1，0）；（2）向上平移2個單位可得，，∴，∴拋物線頂點的縱坐標，∵-＜0，∴m的最大值為2．故答案為：2．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)圖象的平移，二次函數(shù)圖象頂點坐標等內(nèi)容，題目比較簡單．類型二、拋物線左右平移例．如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點，把拋物線在x軸及其上方的部分記作，將向左平移得到，與x軸交于B，D兩點，若直線與，共有3個不同的交點，則m的取值范圍是．【答案】【分析】首先求出點A和點B的坐標，然后求出解析式，分別求出直線與拋物線相切時m的值以及直線過點B時m的值，結(jié)合圖形即可得到答案．【詳解】解：把代入得，解得或，則點，，拋物線：，，由于拋物線向左平移2個長度單位得拋物線，則拋物線解析式為，，令，即，解得或，則點，如圖，當與拋物線：相切時，令，即，根據(jù)相切可知方程有兩個相等的解，即，解得，當過點時，即：，解得：，結(jié)合圖象可知：直線與，共有3個不同的交點時，．故答案為：．【點睛】本題主要考查拋物線與x軸交點以及二次函數(shù)圖象與幾何交換的知識，解答本題的關(guān)鍵是正確畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合進行解題，此題有一定的難度．【變式訓練1】．如果拋物線沿軸向左平移個單位長度后經(jīng)過原點，那么．【答案】1或2/2或1【分析】本題考查了拋物線的平移，拋物線的性質(zhì)，先把拋物線寫成頂點式，再求平移后拋物線的解析式，把代入可得：，再解方程即可．【詳解】解：，∴拋物線沿軸向左平移個單位長度，平移后拋物線解析式為：，把代入可得：，解得：，；故答案為：1或2．【變式訓練2】．若把拋物線向左平移6個單位長度后得到拋物線，且知拋物線的頂點為，且與軸交于點，拋物線的頂點為，則．【答案】144【分析】根據(jù)拋物線的平移規(guī)則，求出的值，進而求出兩條拋物線的頂點坐標和點的坐標，再利用面積公式進行求解即可．【詳解】解：∵把拋物線向左平移6個單位長度后得到拋物線，∴，∴，∴平移以前的拋物線為，平移后的拋物線為，∴，，∴，∵，當時，，∴，∴；故答案為：．【點睛】本題考查拋物線的平移，與軸的交點，求頂點坐標．熟練掌握拋物線的平移規(guī)則：左加右減，上加下減，是解題的關(guān)鍵．【變式訓練3】．已知二次函數(shù)的圖象與軸的交點為，點在函數(shù)的圖象上．若點向左平移個單位得，點向右平移個單位得，當點都落在二次函數(shù)的圖象上時，則點的坐標為．【答案】【分析】本題考查了中點坐標公式，二次函數(shù)的性質(zhì)；先求得拋物線的對稱軸為直線，進而設(shè)的坐標為，得出的中點坐標橫坐標，依題意可得，即可求解．【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖象與軸的交點為，∴拋物線的對稱軸為直線，設(shè)的坐標為，依題意，的中點坐標橫坐標為∴解得：∴，故答案為：．類型三、拋物線沿傾斜方向平移例．將二次函數(shù)的圖象向右平移1個單位長度，再向上平移2個單位長度，平移后的二次函數(shù)的圖象的頂點坐標是．【答案】【分析】按照“左加右減，上加下減”的規(guī)律解答．【詳解】解：，∴二次函數(shù)的圖象的頂點坐標是，圖象向右平移1個單位，再向上平移2個單位，得到函數(shù)圖象的頂點坐標是．故答案為：．【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，關(guān)鍵是掌握平移的規(guī)律．【變式訓練1】．把拋物線的圖象向右平移個單位，再向下平移個單位，所得圖象的解析式為，則．【答案】【分析】先求出函數(shù)的頂點坐標，再根據(jù)平移的特點得出原函數(shù)的頂點坐標，再寫出原函數(shù)的頂點式，化為一般式，即可得，的值，再計算的值即可．【詳解】解：∵，∴所得圖象的頂點坐標是，∴移動前的拋物線的頂點坐標是，即，∴根據(jù)頂點式拋物線解析式可得移動前的拋物線為，∴，，∴，故答案是：．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的頂點式及二次函數(shù)圖象的平移，正確找出平移后函數(shù)的頂點坐標，再根據(jù)平移得出平以前函數(shù)的頂點坐標是解答本題的關(guān)鍵．【變式訓練2】．將二次函數(shù)y＝﹣（x﹣k）2+k+1的圖象向右平移1個單位，再向上平移2個單位后，頂點恰好在直線y＝2x+1上，則k的值為．【答案】0【分析】先求出二次函數(shù)y＝﹣（x﹣k）2+k+1的圖象平移后的頂點坐標，再將它代入y＝2x+1，即可求出k的值．【詳解】解：∵二次函數(shù)y＝﹣（x﹣k）2+k+1的頂點坐標為（k，k+1），∴將y＝﹣（x﹣k）2+k+1的圖象向右平移1個單位，向上平移2個單位后頂點坐標為（k+1，k+3）．根據(jù)題意，得k+3＝2（k+1）+1，解得k＝0．故答案是：0．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，難度適中．根據(jù)點的平移規(guī)律：右加左減，上加下減正確求出二次函數(shù)y＝?（x?k）2＋k＋1的圖象平移后的頂點坐標是解題的關(guān)鍵．【變式訓練3】．已知將二次函數(shù)的圖象向右平移2個單位，再向下平移3個單位，所得圖象的解析式為，則，．【答案】0-6【詳解】將，化為頂點式，再逆向得出的解析式，通過系數(shù)對應法即可求出答案.解：＝由題可知，將可得到的函數(shù)圖象，∴＝＝，∴0，－6.故答案為0；－6.類型四、沿x軸翻折二次函數(shù)的翻轉(zhuǎn)問題的解題思路：①根據(jù)二次函數(shù)上特殊點的坐標值求得二次函數(shù)的表達式；②根據(jù)翻轉(zhuǎn)后拋物線與原拋物線的圖像關(guān)系，確定新拋物線的表達式；③在直角坐標系中畫出原拋物線及翻轉(zhuǎn)后拋物線的簡易圖，根據(jù)圖像來判斷題目中需要求解的量的各種可能性；④根據(jù)圖像及相關(guān)函數(shù)表達式進行計算，求得題目中需要求解的值。例．函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象軸上方部分不變，x軸下方部分沿x軸向上翻折而成，如圖所示，則下列結(jié)論正確的是①；②；③；④；⑤將圖象向上平移1個單位后與直線有3個交點．【答案】①③④⑤【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．根據(jù)圖象判斷出對稱軸的位置，再利用二次函數(shù)的對稱軸公式，即可得到，故①正確；由圖象可判斷二次函數(shù)與y軸的交點為，即，故②錯誤；根據(jù)圖象判斷，，結(jié)合，可知，故③正確；當時，，結(jié)合可判斷④正確；求出原二次函數(shù)的表達式，即可判斷函數(shù)頂點的坐標，可以得到將圖象向上平移1個單位后，函數(shù)頂點的坐標為，繼而得出直線與平移后的函數(shù)圖象有3個交點，故⑤正確．【詳解】解：圖象經(jīng)過，，拋物線的對稱軸為直線，，，即，故①正確；，拋物線與軸交點在軸下方，，故②錯誤；，，，故③正確；∵，∴，∵，∴，即，故④正確；∵將點和代入，∴，解得，∴二次函數(shù)的表達式為：，∵當時，，∴圖象上當時，函數(shù)頂點的坐標為，∴將圖象向上平移1個單位后，函數(shù)頂點的坐標為，如圖所示：

故⑤正確；綜上：正確的有①③④⑤，故答案為：①③④⑤．【變式訓練1】．將拋物線y＝2（x＋2）2﹣5向左平移3個單位長度后，再沿x軸翻折，則變換后所得拋物線的頂點坐標為．【答案】（-5，5）【分析】利用頂點式解析式寫出平移后拋物線的解析式，最后寫出關(guān)于x軸對稱的拋物線的解析式即可得出答案．【詳解】解：∵拋物線y＝2（x＋2）2?5向左平移3個單位的頂點坐標為（?5，?5），∴得到新的圖象的解析式y(tǒng)＝2（x＋5）2?5，∴將圖象沿著x軸翻折，則翻折后的圖象對應的函數(shù)解析式為y＝?2（x＋5）2＋5．∴變換后頂點的坐標為（?5，5）．故答案為：（?5，5）．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，拋物線平移問題，實際上就是兩條拋物線頂點之間的問題，找到了頂點的變化就知道了拋物線的變化．【變式訓練2】．如圖，將二次函數(shù)y=-（x-2）2+4（x≤4）的圖象沿直線x=4翻折，翻折前后的圖象組成一個新圖象M，若直線y=b和圖象M有四個交點，結(jié)合圖象可知，b的取值范圍是．【答案】0＜b＜4．【分析】利用折疊的性質(zhì)確定翻折所得拋物線解析式為y=-（x-6）2+4（x≥4），再求出拋物線y=-（x-2）2+4與x軸的交點坐標為（0，0），（4，0）和拋物線y=-（x-2）2+4與x軸的交點坐標為（8，0），（4，0），從而利用函數(shù)圖象得到當0＜b＜4時，直線y=b和圖象M有四個交點．【詳解】解：二次函數(shù)y=-（x-2）2+4（x≤4）的圖象沿直線x=4翻折所得拋物線解析式為y=-（x-6）2+4（x≥4）當y=0時，y=-（x-2）2+4=0，解得x1=0，x2=4，則拋物線y=-（x-2）2+4與x軸的交點坐標為（0，0），（4，0），拋物線y=-（x-2）2+4與x軸的交點坐標為（8，0），（4，0），所以當0＜b＜4時，直線y=b和圖象M有四個交點．故答案是：0＜b＜4．【點睛】考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標，即可求出解析式．【變式訓練3】．已知拋物線．（1）將向右平移3個單位長度，向下平移2個單位長度得到函數(shù)的解析式為．（2）將沿x軸翻折得到函數(shù)的解析式為．（3）將沿y軸翻折得到函數(shù)的解析式為．【答案】【分析】先將拋物線解析式化為頂點式，再根據(jù)二次函數(shù)圖象平移規(guī)律（左加右減，上加下減）與翻折的規(guī)律（沿x軸翻折，x不變y變?yōu)橄喾磾?shù)，沿y軸翻折，y不變，x變?yōu)橄喾磾?shù)）分別求解（1）（2）（3）即可．【詳解】解，（1）將向右平移3個單位長度，向下平移2個單位長度得到函數(shù)的解析式為，即，故答案為：；（2）將沿x軸翻折得到函數(shù)的解析式為，即，故答案為：；（3）將沿y軸翻折得到函數(shù)的解析式為，即，故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移與翻折規(guī)律，熟練掌握二次函數(shù)圖象的平移與翻折規(guī)律是解題的關(guān)鍵．類型五、沿y軸翻折二次函數(shù)的翻轉(zhuǎn)問題的解題思路：①根據(jù)二次函數(shù)上特殊點的坐標值求得二次函數(shù)的表達式；②根據(jù)翻轉(zhuǎn)后拋物線與原拋物線的圖像關(guān)系，確定新拋物線的表達式；③在直角坐標系中畫出原拋物線及翻轉(zhuǎn)后拋物線的簡易圖，根據(jù)圖像來判斷題目中需要求解的量的各種可能性；④根據(jù)圖像及相關(guān)函數(shù)表達式進行計算，求得題目中需要求解的值。例．將拋物線沿y軸翻折，所得拋物線的函數(shù)表達式是()A． B．C． D．【答案】B【分析】先把y=x2﹣6x+7配成頂點式得到拋物線的頂點坐標為（3，﹣2），再利用關(guān)于y軸對稱的點的坐標特征得到點（3，﹣2）關(guān)于y軸的對稱點的坐標為（﹣3，﹣2），然后利用頂點式寫出變換后的拋物線解析式．【詳解】∵y=x2﹣6x+7=（x﹣3）2﹣2，∴拋物線的頂點坐標為（3，﹣2）．∵點（3，﹣2）關(guān)于y軸的對稱點的坐標為（﹣3，﹣2），∴拋物線y=x2﹣6x+7沿y軸翻折，所得拋物線的函數(shù)表達式是y=（x+3）2﹣2，即y=x2+6x+7．故選B．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線翻折后的形狀不變，故|a|不變，所以求翻折后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意三點翻折后的坐標，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是考慮翻折后的頂點坐標和a的正負，即可求出解析式．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．【變式訓練1】．關(guān)于下列二次函數(shù)圖象之間的變換，敘述錯誤的是（）A．將y＝﹣2x2+1的圖象向下平移3個單位得到y(tǒng)＝﹣2x2﹣2的圖象B．將y＝﹣2（x﹣1）2的圖象向左平移3個單位得到y(tǒng)＝﹣2（x+2）2的圖象C．將y＝﹣2x2的圖象沿x軸翻折得到y(tǒng)＝2x2的圖象D．將y＝﹣2（x﹣1）2+1的圖象沿y軸翻折得到y(tǒng)＝﹣2（x+1）2﹣1的圖象【答案】D【分析】根據(jù)平移變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小對各選項分析判斷后利用排除法求解．【詳解】A選項,將y＝﹣2x2+1的圖象向下平移3個單位得到y(tǒng)＝﹣2x2﹣2的圖象,故A選項不符合題意;B選項,將y＝﹣2（x﹣1）2的圖象向左平移3個單位得到y(tǒng)＝﹣2（x+2）2的圖象,故B選項不符合題意;C選項,將y＝﹣2x2的圖象沿x軸翻折得到y(tǒng)＝2x2的圖象,故C選項不符合題意;D選項,將y＝﹣2（x﹣1）2+1的圖象沿y軸翻折得到y(tǒng)＝﹣2（x+1）2+1的圖象,故D選項符合題意．故選D．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換,熟練掌握平移變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小的關(guān)鍵.【變式訓練2】．已知拋物線的解析式為，則下列說法中錯誤的是(

)A．若將該拋物線沿軸平移，則的值不變 B．若將該拋物線沿軸平移，則的值不變C．若將該拋物線沿軸翻折，則的值不變 D．若將該拋物線沿軸翻折，則的值不變【答案】D【分析】利用拋物線的性質(zhì)和拋物線的平移規(guī)律和翻折變換各選項分析判斷，即可求解．【詳解】A.若將該拋物線沿軸平移，則拋物線的對稱軸不變，開口大小、開口方向不變，則的值不變，故該選項正確，符合題意；B.若將該拋物線沿軸平移，開口大小、開口方向不變，則的值不變，故該選項正確，符合題意；C.若將該拋物線沿軸翻折，開口大小、開口方向不變，與軸的交點不不變，則的值不變，故該選項正確，符合題意；D.若將該拋物線沿軸翻折，由于開口方向變化，對稱軸沒有變化，則的值變?yōu)椋试撨x項不正確，不符合題意；故選D．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故不變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標，即可求出解析式．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．【變式訓練3】．已知拋物線的解析式為，則下列說法中正確的是（

）A．將圖象沿y軸平移，則a，b的值不變 B．將圖象沿x軸平移，則a的值不變C．將圖象沿y軸翻折，則a，c的值不變 D．將圖象沿x軸翻折，則b的值不變【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖像的平移規(guī)律分別判斷A，B，根據(jù)翻折前后的開口方向，對稱軸以及與y軸交點情況判斷C，D．【詳解】解：A、若將圖象沿y軸平移m個單位，則，∴a值不變，b值不變，故正確，不符合題意；B、若將圖象沿x軸平移m個單位，則，∴a值不變，b值變化；故不符合題意；C、若將圖象沿y軸翻折，則開口方向不變，對稱軸變化，與y軸交點不變，∴a值不變，b值變化，c值不變，故正確，不符合題意；D、若將圖象沿x軸翻折，則開口方向變化，對稱軸不變，與y軸交點變化，∴a值變化，b值變化，c值變化，故符合題意；故選D．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖像與幾何變換，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，平移規(guī)律，以及翻折前后各部分的變化情況．類型六、旋轉(zhuǎn)變換前變換方式變換后口訣y=a(x-h)2+k繞頂點旋轉(zhuǎn)180°y=-a(x-h)2+ka變號，h、k均不變繞原點旋轉(zhuǎn)180°y=-a(x+h)2-ka、h、k均變號例．將拋物線繞頂點旋轉(zhuǎn)后的圖象的解析式為．【答案】【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，先將函數(shù)解析式整理成頂點式形式并求出頂點坐標，再根據(jù)繞頂點旋轉(zhuǎn)后的圖象與原圖象開口相反，利用頂點式解析式寫出即可．【詳解】解：，，，拋物線的頂點坐標為，拋物線繞頂點旋轉(zhuǎn)后的圖象的解析式為，即．故答案為：．【變式訓練1】．拋物線的圖象先向左平移3個單位，再向上平移4個單位，再把拋物線繞頂點旋轉(zhuǎn)180°，得到的新圖象的解析式為．【答案】【分析】易得拋物線的頂點坐標，進而可得到平移后的新坐標，也就得到了平移后的拋物線的解析式，繞拋物線頂點旋轉(zhuǎn)180°得到新拋物線的解析式的二次項系數(shù)互為相反數(shù)，頂點坐標不變，即可解答．【詳解】解：所以原拋物線的頂點為，向左平移3個單位，再向上平移4個單位，那么新拋物線的頂點為；可設(shè)新拋物線的解析式為，代入得：，把拋物線繞頂點旋轉(zhuǎn)180°，可得新拋物線的解析式的二次項的系數(shù)為，頂點不變，所以，所求的拋物線解析式為：，故答案為：．【變式訓練2】．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線可以看作是拋物線經(jīng)過若干次圖形的變化（平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)）得到的，寫出一種由拋物線得到拋物線的過程：．【答案】拋物線先向右平移4個單位，再關(guān)于直線軸對稱得到拋物線．【分析】由拋物線向右平移4個單位后得到拋物線后，此時正好與關(guān)于直線對稱，即可得到答案．【詳解】解：∵拋物線向右平移4個單位后得到拋物線后，正好與關(guān)于直線對稱，∴拋物線可以看做是拋物線先向右平移4個單位，再關(guān)于直線軸對稱得到的，故答案為：拋物線先向右平移4個單位，再關(guān)于直線軸對稱得到拋物線．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的平移，軸對稱變化，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進行求解．【變式訓練3】．如圖，一段拋物線：y＝－x(x－3)（0≤x≤3），記為C1，它與x軸交于點O，A1；將C1繞點A1旋轉(zhuǎn)180°得C2，交x軸于點A2；將C2繞點A2旋轉(zhuǎn)180°得C3，交x軸于點A3；……如此進行下去，直至得C2019．若P（m，2）在第2019段拋物線C2019上，則m=．【答案】6055或6056【分析】根據(jù)圖象的旋轉(zhuǎn)變化規(guī)律以及二次函數(shù)的平移規(guī)律得出平移后解析式，進而求出m的值．【詳解】∵（0≤x≤3），∴圖象與x軸交點坐標為：（0，0），（3，0），∴OA1=3，∵將C1繞點A1旋轉(zhuǎn)180°得C2，交x軸于點A2；∴OA2=2×3=6，同理可得OA3=3×3=9，…∴OA2019=2019×3=6057，∴第2019段拋物線C2019可看作第1段拋物線y=-x2+3x（0≤x≤3）向右平移(6057-3)個單位，當y=2時，-x2+3x=2，解得x1=1，x2=2，∴點（1，2）和點（2，2）向右平移6054個單位所得對應點的坐標為（6055，2），（6056，2），∴m的值為6055或6056．故答案為：6055或6056．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的平移規(guī)律，由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標，即可求出解析式．也考查了從特殊到一般解決規(guī)律型問題的方法．1．將拋物線向左平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度，所得拋物線的表達式為（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】本題考查了拋物線圖像的平移，熟練掌握拋物線圖像的平移方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)拋物線平移的方法：自變量加減左右移，函數(shù)值加減上下移，即可得到平移后的表達式．先確定拋物線的頂點坐標為，再根據(jù)點平移的規(guī)律得到平移后對應點的坐標為，然后根據(jù)頂點式寫出平移后的拋物線解析式．【解答】解：拋物線的頂點坐標為，把點向左平移2個單位，再向上平移3個單位長度所得對應點的坐標為，所以平移后的拋物線解析式為．故選：A．2．將拋物線向右平移2個單位，再向上平移1個單位所得到的拋物線解析式為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查二次函數(shù)圖象的平移與幾何變換，熟練掌握并利用拋物線解析式的變化規(guī)律：左加右減，上加下減進行分析是解題的關(guān)鍵．根據(jù)“上加下減，左加右減”的原則進行解答即可．【詳解】解：由“左加右減”的原則可知，將拋物線向右平移2個單位所得拋物線的解析式為：．由“上加下減”的原則可知，將拋物線向上平移1個單位所得拋物線的解析式為：，即．故選：C．3．函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象軸上方部分不變，下方部分沿軸向上翻折而成，如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）①；②；③；④將圖象向上平移個單位后與直線有個交點A．①② B．①③ C．①③④ D．②③【答案】C【分析】根據(jù)圖象判斷出對稱軸的位置，再利用二次函數(shù)的對稱軸公式，即可得到，故①正確；由圖象可判斷二次函數(shù)與軸的交點為，即，故②錯誤；根據(jù)圖象判斷，，結(jié)合，可知，故③正確；求出原二次函數(shù)的表達式，即可判斷函數(shù)頂點的坐標，可以得到將圖象向上平移個單位后，函數(shù)頂點的坐標為，繼而得出直線與平移后的函數(shù)圖像有個交點，故④正確．【詳解】解：∵由圖象可知二次函數(shù)與軸的交點為和，∴二次函數(shù)的對稱軸為，∴，∴，故①正確；∵由圖象可知二次函數(shù)與軸的交點為，∴二次函數(shù)與軸的交點為，∴，故②錯誤；∵由圖象可知二次函數(shù)的開口向上，對稱軸在軸的右側(cè)，∴，，又∵，∴，故③正確；∵將點和代入，∴，解得，∴二次函數(shù)的表達式為：，∵當時，，∴圖象上當時，函數(shù)頂點的坐標為，∴將圖象向上平移個單位后，函數(shù)頂點的坐標為，如圖所示：∴此時，直線與函數(shù)圖像有個交點，故④正確，綜上：正確的有①③④，故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的對稱軸公式、系數(shù)與圖象的關(guān)系、待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達式等是解答本題的關(guān)鍵．4．函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象軸上方部分不變，下方部分沿軸向上翻折而成，如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）①；②；

③；④將圖象向上平移1個單位后與直線有3個交點．A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標求出對稱軸為，進而可得，故①正確；由函數(shù)圖象與y軸的交點坐標為（0，3），的圖象軸上方部分不變，下方部分沿軸向上翻折而成可知c＝-3，故②錯誤；根據(jù)對稱軸求出b＜0，進而可得，故③正確；求出翻折前的二次函數(shù)的頂點坐標，然后根據(jù)平移的性質(zhì)可得④正確．【詳解】解：由函數(shù)圖象可得：與x軸交點的橫坐標為－1和3，∴對稱軸為，即，∴整理得：，故①正確；∵與y軸的交點坐標為（0，3），可知，開口向上，圖中函數(shù)圖象是由原函數(shù)下方部分沿軸向上翻折而成，∴c＝-3，故②錯誤；∵中a＞0，，∴b＜0，又∵c＝-3＜0，∴，故③正確；設(shè)拋物線的解析式為，代入（0，3）得：，解得：a＝－1，∴，∴頂點坐標為（1，4），∵點（1，4）向上平移1個單位后的坐標為（1，5），∴將圖象向上平移1個單位后與直線有3個交點，故④正確；故選：D．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的對稱軸公式，頂點坐標的求法是解題的關(guān)鍵．5．將函數(shù)的圖像先繞原點旋轉(zhuǎn)180°，再向上平移2個單位，向右平移2個單位，則所得函數(shù)表達式是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)圖像的對稱性以及的函數(shù)圖像的特征，確定將函數(shù)的圖像先繞原點旋轉(zhuǎn)180°后所對應的函數(shù)解析式為，然后按照二次函數(shù)圖像平移的規(guī)律“上加下減、左加右減”，即可求得平移后的解析式．【詳解】解：將函數(shù)的圖像先繞原點旋轉(zhuǎn)180°，圖像旋轉(zhuǎn)后所對應的函數(shù)解析式為，再將其向上平移2個單位，向右平移2個單位，平移后的解析式為．故選：C．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)與幾何變換，熟練掌握二次函數(shù)圖像的變換規(guī)律是解題關(guān)鍵．6．在平面直角坐標系中，把一條拋物線先繞它的頂點旋轉(zhuǎn)180°，再向上平移3個單位長度，得到拋物線，則原拋物線的解析式是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求出拋物線y＝x2+5x+6的頂點坐標，再求得向下平移3個單位長度后的頂點，最后求出繞原點旋轉(zhuǎn)180°的拋物線解析式頂點即可．【詳解】解：∵拋物線的解析式為：，∴頂點為∴向下平移3個單位長度頂點為，∵繞原點旋轉(zhuǎn)180°后，二次項系數(shù)變?yōu)樵瓉硐喾磾?shù)，頂點不變，∴得到原拋物線的方程為，故選：C．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知二次函數(shù)的圖象旋轉(zhuǎn)及平移的法則是解答此題的關(guān)鍵．7．如圖，拋物線向右平移1個單位得到的拋物線，回答下列問題：(1)拋物線的解析式是______，頂點坐標為______；(2)陰影部分的面積______；(3)若再將拋物線繞原點O旋轉(zhuǎn)得到拋物線，則拋物線的開口方向______，解析式為______；【答案】(1)，(2)2(3)向上，【分析】（1）根據(jù)拋物線的移動規(guī)律左加右減可直接得出拋物線的解析式，再根據(jù)的解析式求出頂點坐標即可；（2）根據(jù)平移的性質(zhì)知，陰影部分的面積等于底高，列式計算即可；（3）先求出二次函數(shù)旋轉(zhuǎn)后的開口方向和頂點坐標，從而得出拋物線的解析式．【詳解】（1）解：∵拋物線向右平移1個單位得到的拋物線，∴拋物線的解析式是，頂點坐標為．故答案為：，；（2）解：陰影部分的面積是：．故答案為：2；（3）解：∵將拋物線繞原點O旋轉(zhuǎn)后，得到拋物線的頂點坐標為：，∴拋物線的解析式為，開口方向向上．故答案為：向上，．【點睛】此題考查了二次函數(shù)的圖像與幾何變化，用到的知識點是二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)、頂點坐標，關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的移動規(guī)律和幾何變換．8．如圖，已知拋物線與軸交于兩點（點在點的左側(cè)），與軸交于點．(1)若該拋物線過點；①求該拋物線的表達式，并求出此時兩點的坐標；②將該拋物線進行平移，平移后的拋物線對應的函數(shù)為點的對應點為，求平移后頂點坐標和線段的長；(2)點關(guān)于的對稱軸的對稱點的坐標為______（用含的代數(shù)式表示）．【答案】(1)①，；②，2(2)【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，函數(shù)圖象平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）①將代入，求出n的值即可確定函數(shù)解析式；②根據(jù)平移的性質(zhì)可得向上平移2個單位長度后為，即可得出結(jié)果；（2）先求M點坐標，再求拋物線的對稱軸為直線，則M點關(guān)于對稱軸的對稱點為．【詳解】（1）解：①將點坐標代入，則，則，拋物線與軸交于兩點，將代入，即，解得，；；②∵向上平移2個單位長度后為，平移后頂點坐標為，線段的長為2；（2）解：當時，，∴，拋物線與軸交于點