【16：9】第6章 第3講 可降階的高階微分方程_第1頁(yè)
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高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）（慕課版）第3講可降階的高階微分方程第6章常微分方程本講內(nèi)容01型的微分方程02二階、三階行列式03型的微分方程301

型的微分方程形如的微分方程,其特點(diǎn)是方程右端僅含自由則原來(lái)的n階方程就只需將作為新的未知函數(shù),化為新的未知函數(shù)的一階微分方程.兩端積分得上式兩端再積分得依次繼續(xù)進(jìn)行下去,接連積分n次,就得到原來(lái)的n階微分方程的含有n個(gè)獨(dú)立任意常數(shù)的通解.量x,4求微分方程的通解.對(duì)所給微分方程接連積分2次,得故方程的通解為1例

解01

型的微分方程5求微分方程的通解.

對(duì)所給微分方程接連積分3次得

這就是所求微分方程的通解.2例

解01

型的微分方程本講內(nèi)容01型的微分方程02二階、三階行列式03型的微分方程702

型的微分方程方程

的特點(diǎn)是其方程右邊不顯含未知函數(shù)y.令則代入方程得的一階微分設(shè)其通解為即得可分離變量的一階微分方程兩邊積分就能得到原方程的通解為方程8求微分方程的通解.

設(shè),則有,即.這是一階齊次線性微分方程,它的通解為,即,故原方程的通解為,其中,為任意常數(shù).

3例

解02

型的微分方程9的特解.求微分方程滿足設(shè)則有即這是一階線性齊次微分方程,根據(jù)公式得其通解為由條件當(dāng)時(shí),,故,

即兩邊積分得由條件當(dāng)時(shí),,故.

綜上可得,原方程滿足初始條件的特解為4例

解02

型的微分方程10求微分方程的通解.令,則,

代入原方程有,這是一階線性微分方程,其通解為

即再次積分得到方程得通解為5例

解02

型的微分方程本講內(nèi)容01型的微分方程02二階、三階行列式03型的微分方程1203

型的微分方程方程的特點(diǎn)是其方程右端不顯含自變量x.令利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則把化為對(duì)y的導(dǎo)數(shù),則有:于是方程可化為這是關(guān)于y和p的一階微分方程,設(shè)其通解為即解這個(gè)可分離變量的微分方程,可求出原方程的通解為:13求微分方程的通解.原方程可化為這是關(guān)于y和p的一階微分方程,根據(jù)公式得其通解為解這個(gè)可分離變量的微分方程得原方程的通解為設(shè)則有6例

解設(shè)其通解為03

型的微分方程14求微分方程滿足初始條件,的特解.

令,則,代入原方程,將方程化為,

于是有

或

,

有初始條件知,.

7例

解03

型的微分方程15所以,這是一階線性微分方程,將,代入到通解公式(6.5)中得從而,即.

03

型的微分方程16得,所以,即,兩邊積分,得,將初始條

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