第二十一章一元二次方程（高效培優(yōu)單元測試·強化卷）（考試時間：120分鐘試卷滿分：120分）一、選擇題（本題共12小題，每小題3分，共36分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1．下列方程是一元二次方程的是（）A．x2﹣2y+1＝0 B．3y2﹣2＝3（y2﹣2y） C．a(chǎn)x2+bx+c＝0（a≠0） D．x【答案】C【解答】解：根據(jù)一元二次方程的定義逐項分析判斷如下：A．含有2個未知數(shù)，不是一元二次方程，故原說法不正確，不符合題意；B．方程整理后是一元一次方程，故原說法不正確，不符合題意；C．是一元二次方程，故原說法正確，符合題意；D．不是整式方程，故原說法不正確，不符合題意；故選：C．2．若關(guān)于x的一元二次方程（m﹣2）x2+4x+m2﹣4＝0的常數(shù)項為0，則m的值為（）A．﹣2 B．2 C．±2 D．0【答案】A【解答】解：由條件可知m2﹣4＝0且m≠2，∴m＝﹣2．故選：A．3．若關(guān)于x的方程（x﹣2）2＝m+1有實數(shù)根，則m的取值范圍是（）A．m＞1 B．m＞﹣1 C．m≥1 D．m≥﹣1【答案】D【解答】解：∵關(guān)于x的方程（x﹣2）2＝m+1有實數(shù)根，∴m+1≥0，解得：m≥﹣1，故選：D．4．若x=2±4-4×3×(-1)2×3是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，則a+A．﹣2 B．4 C．2 D．0【答案】D【解答】解：由題意，a＝3，b＝﹣2，c＝﹣1，∴a+c+c＝3﹣2﹣1＝0，故選：D．5．若關(guān)于x的一元二次方程ax2﹣bx＝c（ac≠0）的一個實數(shù)根為2025，則方程cx2+bx＝a（ac≠0）一定有實數(shù)根（）A．1 B．-12025 C．﹣2025 D【答案】D【解答】解：由條件可知20252a﹣2025b＝c，∴a-b2025∴x=12025是方程cx2+bx＝a（ac故選：D．6．若關(guān)于x的一元二次方程x2+2x﹣k﹣1＝0沒有實數(shù)根，則直線y＝kx+3不經(jīng)過的象限為（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解答】解：根據(jù)題意得Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×（﹣k﹣1）＜0，解得k＜﹣2，∴一次函數(shù)y＝﹣2x+3的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，不經(jīng)過第三象限．故選：C．7．初中畢業(yè)前夕，某數(shù)學學習興趣小組的成員互贈紀念卡片作為畢業(yè)禮物．小組里每兩名成員之間互相贈送一張卡片（即A送給B一張，B也送給A一張）．已知全組共贈送了306張卡片，如果該興趣小組的人數(shù)為x人，根據(jù)題意，下列方程正確的是（）A．12x(x-1)=306 B．x（C．12x(x+1)=306 D．x【答案】B【解答】解：設(shè)該興趣小組的人數(shù)為x人，則每個同學需送出（x﹣1）張卡片，由題意得：x（x﹣1）＝306，故選：B．8．關(guān)于x的方程x2﹣2mx+m2＝4的兩個根x1，x2滿足x1＝2x2+3，且x1＞x2，則m的值為（）A．﹣3 B．1 C．3 D．9【答案】C【解答】解：∵x2﹣2mx+m2＝4，∴（x﹣m+2）（x﹣m﹣2）＝0，∴x﹣m+2＝0或x﹣m﹣2＝0，∵x1＞x2，∴x1＝m+2，x2＝m﹣2，∵x1＝2x2+3，∴m+2＝2（m﹣2）+3，解得m＝3．故選：C．9．換元法是一種重要的轉(zhuǎn)化方法，如：解方程x4﹣5x2+6＝0，設(shè)x2＝a，原方程轉(zhuǎn)化為a2﹣5a+6＝0．已知m，n是實數(shù)，滿足（m2﹣2m）2+4m2﹣8m+6﹣n＝0，則n的取值范圍是（）A．n≤0 B．n≥4 C．n≥2 D．n≥3【答案】D【解答】解：∵（m2﹣2m）2+4m2﹣8m+6﹣n＝0，∴（m2﹣2m）2+4（m2﹣2m）+6﹣n＝0，設(shè)m2﹣2m＝b，∴b+1＝（m﹣1）2，∵（m﹣1）2≥0，∴b+1≥0，原方程可化為b2+4b+6﹣n＝0，∴n﹣2＝（b+2）2，∵（b+2）2≥1，∴n﹣2≥1，∴n≥3，故選D．10．已知m，n是一元二次方程x2+4x+c＝0的兩個根，且m+5nmnA．﹣8 B．﹣2 C．2 D．8【答案】B【解答】解：由條件可知m+n＝﹣4，mn＝c，∴m+5解得c＝﹣2，經(jīng)檢驗：c＝﹣2是原方程的解，故選：B．11．已知A＝x2+6x+n2，B＝2x2+4x+n2，下列結(jié)論正確的是（）A．B﹣A的最大值是0 B．B﹣A的最小值是﹣1 C．當B＝2A時，x為正數(shù) D．當B＝2A時，x為負數(shù)【答案】B【解答】解：∵B﹣A＝（2x2+4x+n2）﹣（x2+6x+n2）＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，∴B﹣A的最小值為：﹣1，當B＝2A時，2x2+4x+n2＝2（x2+6x+n2），解得：x=-n∵n2≥0，∴x≤0，故選：B．12．如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，動點P從點A開始沿邊AB向點B以2mm/s的速度移動，動點Q從點B開始沿邊BC向點C以4mm/s的速度移動，如果P，Q兩點分別從A，B兩點同時出發(fā)，設(shè)出發(fā)時間為ts．有下列結(jié)論：①當t＝2s時，PQ=82mm；②△PBQ的面積可以為35mm2；③t＝1s時的四邊形APQC的面積大于t＝5sA．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】C【解答】解：①當t＝2s時，AP＝2×2＝4（mm），BQ＝4×2＝8（mm），BP＝AB﹣AP＝12﹣4＝8（mm），∴PQ=BP2+BQ2②假設(shè)△PBQ的面積可以為35mm2，當運動時間為ts時，AP＝2tmm，BQ＝4tmm，BP＝AB﹣AP＝（12﹣2t）（mm），根據(jù)題意得：12BP?BQ＝35即12（12﹣2t）?4t＝35整理得：4t2﹣24t+35＝0，解得：t1=52，t2∴假設(shè)成立，∴△PBQ的面積可以為35mm2，結(jié)論②正確；③當t＝1s時，AP＝2×1＝2（mm），BQ＝4×1＝4（mm），BP＝AB﹣AP＝12﹣2＝10（mm），∴S四邊形APQC＝S△ABC﹣S△PBQ=12×12×24-12×10×4當t＝5s時，AP＝2×5＝10（mm），BQ＝4×5＝20（mm），BP＝AB﹣AP＝12﹣10＝2（mm），∴S四邊形APQC＝S△ABC﹣S△PBQ=12×12×24-12×2×20∵124＝124，∴t＝1s時的四邊形APQC的面積等于t＝5s時的四邊形APQC的面積，結(jié)論③不正確．綜上所述，正確的結(jié)論是2個．故選：C．二、填空題（本題共6小題，每小題2分，共12分．）13．把方程x2﹣2x﹣3＝0化成（x﹣m）2＝n的形式，則m+n的值是5．【答案】5．【解答】解：x2﹣2x﹣3＝0，x2﹣2x＝3，x2﹣2x+1＝4，（x﹣1）2＝4，∴m＝1，n＝4，∴m+n＝5．故答案為：5．14．已知x＝1是關(guān)于x的一元二次方程(m+2)xm2-2-3x-2a【答案】1．【解答】解：由題意得：m+2≠0解得m＝2，故關(guān)于x的一元二次方程為4x2﹣3x﹣2a＝0，因為x＝1是關(guān)于x的一元二次方程(m所以4﹣3﹣2a＝0，解得a=1所以m﹣1+a=2-故答案為：1．15．若x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣6＝0的兩根，則x12x2+x【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣6＝0的兩根，∴x1+x2＝1，x1x2＝﹣6，∴x12x2+x1x22=x1x2（x1+x2）＝﹣6故答案為：﹣6．16．公安部提醒市民，騎車必須嚴格遵守“一盔一帶”的規(guī)定，某頭盔經(jīng)銷商統(tǒng)計了某品牌頭盔4月份到6月份的銷量，該品牌頭盔4月份銷售500個，6月份銷售720個，且從4月份到6月份銷售量的月增長率相同．則該品牌頭盔銷售量的月增長率為20%．【答案】20%．【解答】解：設(shè)該品牌頭盔銷售量的月增長率為x，根據(jù)題意得：500（1+x）2＝720，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合題意，舍去），即該品牌頭盔銷售量的月增長率為20%．故答案為：20%．17．定義新運算：xΘy=x-2y(x≥y)x2+y(x＜y)，例如：4Θ3＝4﹣2×3＝﹣2，﹣1Θ2＝（﹣1）2【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵xΘy=x-2y(x∴當x≥1時，xΘ1＝x﹣2×1＝17，∴x＝19，當x＜1時，xΘ1＝x2+1＝17，解得x＝4（舍去）或﹣4．綜上所述，x的值為﹣4或19．故答案為：﹣4或19．18．如圖，點E在正方形ABCD的邊AB上，AB＝4，BE＝1，點F為正方形ABCD所在平面內(nèi)一點，連接FE，F(xiàn)D，F(xiàn)E＝BE，DF的最大值為α，DF的最小值為b，則a2+2ab+b2的值為100．【答案】100．【解答】解：由題意，如圖，當DF所在直線過E時，可得DF的最大值與最小值．∵AB＝AD＝4，BE＝1，∴AE＝AB﹣BE＝3．∴DE=AD∴DF的最小值為4，最大值為6．∴a＝4，b＝6．∴a2+2ab+b2＝（a+b）2＝（4+6）2＝100．故答案為：100．三、解答題（本題共8小題，共72分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）19．（8分）用指定的方法解方程（1）（x+2）2﹣25＝0（直接開平方法）（2）x2+4x﹣5＝0（配方法）（3）（x+2）2﹣10（x+2）+25＝0（因式分解法）（4）2x2﹣7x+3＝0（公式法）【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）（x+2）2﹣25＝0（直接開平方法）x+2＝±5∴x1＝3，x2＝﹣7．（2）x2+4x﹣5＝0（配方法）（x+2）2＝9x+2＝±3∴x1＝﹣5，x2＝1；（3）（x+2）2﹣10（x+2）+25＝0（因式分解法）（x+2﹣5）2＝0∴x1＝x2＝3；（4）2x2﹣7x+3＝0（公式法），Δ＝（﹣7）2﹣4×2×3＝25＞0，x=x1＝3，x2=120．（8分）象棋是一種源自中國的傳統(tǒng)棋類游戲，具有悠久的歷史和深厚的文化底蘊．九年級（1）班利用課余時間開展象棋比賽，班主任要求每個選手都與其他選手恰好比賽一局，信息如下：（1）若該班級共有n個參賽選手，則每個選手都要與（n﹣1）個選手比賽一局，比賽總共有12n（n﹣1）（2）求這次比賽共有多少個選手參加？【答案】（1）（n﹣1），12（2）這次比賽共有45個選手參加．【解答】解：（1）由題意可知，若該班級共有n個參賽選手，則每個選手都要與（n﹣1）個選手比賽一局，比賽總共有12n（n﹣1故答案為：（n﹣1），12（2）設(shè)這次比賽共有n個選手參加，則比賽總共有12n（n﹣1依題意得：12整理得：n2﹣n﹣1980＝0，解得：n1＝45，n2＝﹣44（不符合題意，舍去），答：這次比賽共有45個選手參加．21．（8分）定義：如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有兩個實數(shù)根，且其中一個根比另一個根大1，則稱這樣的方程為“鄰根方程”．（1）若（x+3）（x﹣m）＝0是“鄰根方程”，求m的值．（2）若一元二次方程x2+bx+c＝0（b，c均為常數(shù)）為“鄰根方程”，請寫出b，c滿足的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）m＝﹣2，或m＝﹣4；（2）b2﹣4c＝1．【解答】解：（1）（x+3）（x﹣m）＝0，∴x1＝﹣3，x2＝m，∵方程是鄰根方程，∴|﹣3﹣m|＝1，∴﹣3﹣m＝±1，∴m＝﹣2，或m＝﹣4；（2）在x2+bx+c＝0中，x1+x2＝﹣b，x1?x2＝c，∵|x1﹣x2|＝1，∴(x1-x2)2=(x1+x222．（8分）綜合與實踐主題：將一張長為80cm，寬為40cm的長方形硬紙板制作成一個有蓋長方體收納盒．方案設(shè)計：如圖①，把硬紙板的四角剪去四個相同的小長方形，折成一個如圖②所示的有蓋長方體收納盒，EF和HG兩邊恰好重合且無重疊部分．任務(wù)一：若收納盒的高為xcm，用x的代數(shù)式表示收納盒的底面ABCD的邊BC，AB的長；任務(wù)二：若收納盒的底面積為600cm2，求該收納盒的高．【答案】（1）BC的長為（40﹣2x）cm，AB的長為（40﹣x）cm；（2）該收納盒的高為10cm．【解答】解：任務(wù)一：∵長方形硬紙板的長為80cm，寬為40cm，收納盒的高為xcm，∴BC＝（40﹣2x）cm，AB=80-2x2=（40﹣答：該收納盒的底面ABCD的邊BC的長為30cm，AB的長為35cm；任務(wù)二：設(shè)該收納盒的高為xcm，則BC＝（40﹣2x）cm，AB＝（40﹣x）cm，根據(jù)題意得：（40﹣x）（40﹣2x）＝600，整理得：x2﹣60x+500＝0，解得：x1＝10，x2＝50（不符合題意，舍去）．答：該收納盒的高為10cm．23．（10分）某建筑公司承包了一項某旅游景點的改造工程，經(jīng)公開招標，最終確定由甲和乙兩個工程隊共同參與改造．已知乙隊的工作效率是甲隊的34，甲隊先單獨做了4天，之后甲隊和乙隊又合作了12（1）求甲隊單獨完成整項工程需要多少天？（2）工程改造結(jié)束后，正逢五一假期，該旅游景點為吸引游客，發(fā)售了代表該景點的特色套裝紀念品，每套紀念品進價30元，為合理定價，發(fā)售前進行了市場調(diào)查，售價40元時，每天可賣800套，而售價每漲3元，日銷售量就減少60套，若想每天獲利12000元，且售價不超過55元，那么該紀念品的售價應(yīng)為多少元？【答案】（1）甲隊單獨完成整項工程需要25天；（2）該紀念品的售價應(yīng)為50元．【解答】解：（1）設(shè)甲隊單獨完成整項工程需要x天，則甲隊的工作效率為1x，乙隊的工作效率為3由題意得：4x+12（1x解得：x＝25，經(jīng)檢驗，x＝25是原方程的解，且符合題意，答：甲隊單獨完成整項工程需要25天；（2）設(shè)該紀念品的售價應(yīng)為m元，則每套利潤為（m﹣30）元，每天銷售[800-m-由題意得：（m﹣30）[800-m-403整理得：m2﹣110m+3000＝0，解得：m＝50，m2＝60（不符合題意，舍去），答：該紀念品的售價應(yīng)為50元．24．（10分）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣2m+1＝0有實數(shù)根．（1）求實數(shù)m的取值范圍．（2）若方程的兩個實數(shù)根分別為x1，x2，設(shè)y=(x1-x2)2+5，求y關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式．點（a，y1），（4﹣a，y2【答案】（1）m≥3（2）a＝1．【解答】解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣2m+1＝0有實數(shù)根，∴Δ＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4×1×（m2﹣2m+1）＝4m﹣3≥0，解得：m≥3∴實數(shù)m的取值范圍為m≥3（2）∵x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣2m+1＝0的兩個實數(shù)根，∴x1+x2＝2m﹣1，x1x2＝m2﹣2m+1，∴y＝（x1﹣x2）2+5＝（x1+x2）2﹣4x1x2+5＝（2m﹣1）2﹣4（m2﹣2m+1）+5＝4m+2，∵4＞0，∴y隨m的增大而增大，∵點（a，y1），（4﹣a，y2）為其圖象上兩點，且y1＜y2，m≥3∴34≤a＜4﹣∴34≤a＜又∵a為整數(shù)，∴a＝1，∴整數(shù)a的值為1．25．（10分）關(guān)于x的一元二次方程（ax﹣1）2＝x有兩個實數(shù)根x1，x2．（1）求實數(shù)a的取值范圍．（2）求代數(shù)式(1【答案】（1）a≥-14，且a（2）y最?。僵?．【解答】解：（1）由條件可得a2x2﹣（2a+1）x+1＝0．∵有兩個實數(shù)根x1，x2，Δ＝（2a+1）2﹣4a2＝4a+1≥0，∴a≥-同時，二次系數(shù)a2≠0，即a≠0，∴a的取值范圍為a≥-14，且a（2）由根系關(guān)系，得x1∴令y=1＝a2﹣2a﹣1+1＝a2﹣2a＝（a﹣1）2﹣1．當a＝1時，y最小＝﹣1．26．（10分）閱讀材料：轉(zhuǎn)化思想是常用的數(shù)學思想之一，在研究新問題或復(fù)雜問題時，常常把問題轉(zhuǎn)化為熟悉的或比較簡單的問題來解決，例如，求解二元一次方程組，把