高等數學（上冊）（慕課版）第3講極限的運算法則第1章函數、極限與連續(xù)01極限的四則運算法則02極限存在準則03重要極限Ⅰ04重要極限Ⅱ本講內容01極限的四則運算法則1.極限的四則運算法則定理1.123(2)存在，且有(1)存在，且有.與都存在，且如果，，則1.極限的四則運算法則4(3)，則若存在，且有.01極限的四則運算法則5推論設存在，且..(1)若存在，且有是常數，則(2)為正整數，則若存在，且有01極限的四則運算法則6

解求

.

1例.01極限的四則運算法則7

解求

..

2例01極限的四則運算法則8

解求

.

3例01極限的四則運算法則19

解求

4例01極限的四則運算法則2因為所以10

解

5例01極限的四則運算法則3求

將分子、分母同除以得注意11

解

6例01極限的四則運算法則4求

將分子、分母同除以得12

解

7例01極限的四則運算法則5求

結合例6可得13若，且和均為正整數，，則有01極限的四則運算法則結論：14

解將分子、分母同除以得

8例求..01極限的四則運算法則15，因為極限存在且為0，所以必有的值，使試求常數與.

解由題意可知，必有，進行分子有理化得即.，

9例01極限的四則運算法則（復合函數的極限運算法則）定理1.1316.，且在點，的某去心領域內和，則由復合而成的函數的極限存在，且01極限的四則運算法則17求極限.

所以.

時，則，

作代換，

解

10例01極限的四則運算法則01極限的四則運算法則02極限存在準則03重要極限Ⅰ04重要極限Ⅱ本講內容（數列極限的夾逼準則）定理1.1419,(1)，如果數列滿足條件，，，(2)則數列的極限存在,且.02極限存在準則20定理1.15（函數極限的夾逼準則）成立，設函數在，的某去心領域，內有定義，且滿足條件(或)(1)當(或)時,有(2)，，存在，且.則02極限存在準則

解21

11例求.記，將放縮得02極限存在準則22而，，根據夾逼準則得，，即.02極限存在準則23單調遞增數列和單調遞減數列統稱為單調數列.定理1.16（單調有界原理）單調有界數列必有極限.定義1.12若數列滿足，則稱數列為單調遞增數列；為單調遞減數列.滿足，則稱數列若數列02極限存在準則24設

(1)證明

存在；(2)求

(1)

因為

則，

且

即數列是單調遞減且有下界，

由單調有界原理可知存在.

12例

解又因為02極限存在準則25

(2)

設因為

對遞推公式

兩端同時取極限，得到

解得

02極限存在準則所以由極限的保號性知01極限的四則運算法則02極限存在準則03重要極限Ⅰ04重要極限Ⅱ本講內容27重要極限Ⅰ上式可以用下面的結構式表示：.03重要極限Ⅰ28

解求..

13例03重要極限Ⅰ29求

解

14例03重要極限Ⅰ

15例

解30求極限..由于極限式中有與故應分別考慮左、，右極限，記由于03重要極限Ⅰ31.故.03重要極限Ⅰ01極限的四則運算法則02極限存在準則03重要極限Ⅰ04重要極限Ⅱ本講內容重要極限Ⅱ的變形形式為33重要極