概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）第4講數(shù)學期望與方差的性質(zhì)第4章數(shù)字特征與極限定理2在前幾講當中,我們已經(jīng)介紹了隨機變量的數(shù)學期望與方差的定義及計算方法,這一講我們總結(jié)歸納一下它們的性質(zhì).數(shù)學期望與方差的性質(zhì)第4講

隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望01數(shù)學期望與方差的性質(zhì)02數(shù)學期望與方差性質(zhì)的應用本講內(nèi)容(1)設(shè)C是常數(shù),則E(C)=C,

D(C)=0;(4)設(shè)X、Y獨立,則E(XY)=E(X)E(Y),(3)E(X+Y)=E(X)+E(Y);(2)若C是常數(shù),則E(CX)=CE(X),

D(CX)=C2

D(X);D(X+Y)=D(X)+D(Y).問題：若X與Y

不獨立,則D(X+Y)=？可推廣數(shù)學期望與方差的性質(zhì)401

數(shù)學期望與方差的性質(zhì)（諸Xi獨立時）5??推廣??推廣01

數(shù)學期望與方差的性質(zhì)剛剛我們總結(jié)歸納了數(shù)學期望與方差的性質(zhì),上述性質(zhì)可以利用定義及計算公式來證明.數(shù)學期望與方差的性質(zhì)非常重要,既可以利用它們簡化計算,又可以得到許多重要結(jié)論.602

數(shù)學期望與方差的性質(zhì)的應用01數(shù)學期望與方差的性質(zhì)02數(shù)學期望與方差性質(zhì)的應用本講內(nèi)容簡化計算本題要求熟悉泊松分布的有關(guān)特征,并會利用數(shù)學期望的性質(zhì)8??例1由知02

數(shù)學期望與方差的性質(zhì)的應用已知隨機變量

X

服從參數(shù)為

的泊松分布,且E[(X?1)(X?2)]=1,則=_____.設(shè)X1,X2,…,Xn是獨立同分布的隨機變量數(shù)學期望的性質(zhì)方差的性質(zhì)重要結(jié)論9??例2i=1,2,…,n.記求02

數(shù)學期望與方差的性質(zhì)的應用設(shè)X~B(n,p),求E(X),

D(X).利用公式求E(X),

D(X).10??例3解法1重要結(jié)論02

數(shù)學期望與方差的性質(zhì)的應用引入隨機變量相互獨立利用性質(zhì)求E(X),

D(X).若X表示n重伯努利試驗中的“成功”次數(shù)設(shè)則X=X1+X2+…+Xni=1,2,…,n重要方法11解法21如第i次試驗成功0如第i次試驗失敗02

數(shù)學期望與方差的性質(zhì)的應用=np所以E(X)=重要方法1202

數(shù)學期望與方差的性質(zhì)的應用相互獨立則X=X1+X2+…+Xn

甲箱中任取3件產(chǎn)品放入乙箱后,求：乙箱中次品件數(shù)的數(shù)學期望.已知甲、乙兩箱中裝有同種產(chǎn)品,其中甲箱中裝有3件合格品和3件次品,乙箱中僅裝有3件合格品.k=0,1,2,3.超幾何X

利用公式求E(X).X0123P

13??例4解法1先求分布律02

數(shù)學期望與方差的性質(zhì)的應用設(shè)i=1,2,3利用性質(zhì)——分解法求E(X)則14解法20,從甲箱中取出的第i件產(chǎn)品是合格品1,從甲箱中取出的第i件產(chǎn)品是次品,02

數(shù)學期望與方差的性質(zhì)的應用設(shè)隨機變量X的數(shù)學期望為E(X),方差為D(X)>0,引入新的隨機變量標準化隨機變量重要概念15??例602

數(shù)學期望與方差的性質(zhì)的應用16??例7解設(shè)隨機變量X和Y相互獨立,且X服從參數(shù)為的指數(shù)分布,Y服從參數(shù)為9的泊松分布,求因為X服從參數(shù)為的指數(shù)分布,Y服從參數(shù)為9的泊松分布,故則根據(jù)方差性質(zhì)02

數(shù)學期望與方差的性質(zhì)的應用17??例8解設(shè)有離散型隨機變量X,其分布律為試求X的數(shù)學期望和方差,并求02

數(shù)學期望與方差的性質(zhì)的應用X

-3-2-1012P

（1）求數(shù)學期望可用定義計算1802

數(shù)學期望與方差的性質(zhì)的應用

(2)求方差有兩種解法解法1：定義法求方差(3)1902

數(shù)學期望與方差的性質(zhì)的應用

解法2：公式法求方差20??例9解射擊直到命中為止，求射擊次數(shù)X的數(shù)學期望及方差.02

數(shù)學期望與方差的性質(zhì)的應用X的分布律為設(shè)對目標進行射擊,命中率為則又2102

數(shù)學期望與方差的性質(zhì)的應用

則22??例10解設(shè)擲骰子100次,求出現(xiàn)的點數(shù)之和的數(shù)學期望及方差.02

數(shù)學期望與方差的性質(zhì)的應用設(shè)Xi

(i=1,2,…,100)表示第i次擲骰子出現(xiàn)的點數(shù)，則于是(i=1,2,…,100)由題意知X1,X2,

…,X100相互獨立.設(shè)X表示擲骰子100次2302

數(shù)學期望與方差的性質(zhì)的應用

所以出現(xiàn)的點數(shù)之和，則24??例11解已知X服從正態(tài)分布N(1,2),服從泊松分布P(3),且X與Y相互獨立.求D(XY).02

數(shù)學期望與方差的性質(zhì)的應用由題設(shè)知故25??例12解設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布,且求E(Y)和D(Y).02

數(shù)學期望與方差的性質(zhì)的應用由題設(shè)知故X的概率密度為所以2602

數(shù)學期望與方差的性質(zhì)的應用

27??例13解設(shè)二維隨機變量(X,Y)的概率密度為求數(shù)學期望E(X),E(