2024年人教版七7年級下冊數(shù)學期末解答題復習及答案

一、解答題

1.如圖，用兩個面積為200°〃2的小正方形拼成一個大的正方形.

(1)則大正方形的邊長是一：

(2)若沿著大正方形邊的方向裁出一個長方形，能否使裁出的長方形紙片的長寬之比為

4:3,且面積為360c7"?

2.如圖，在9x9網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1,正方形ABCO的頂點都在網(wǎng)格的格

點上.

(1)求正方形ABC。的面積和邊長；

(2)建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担瑢懗稣叫嗡膫€頂點的坐標.

3.如圖，用兩個面積為8cm2的小正方形紙片剪拼成一個大的正方形.

(1)大正方形的邊長是cm；

(2)請你探究是否能將此大正方形紙片沿著邊的方向裁出一個面積為14cm2的長方形紙

片，使它的長寬之比為2:1,若能，求出這個長方形紙片的長和寬，若不能，請說明理

由.

4.(1)小麗計劃在母親節(jié)那天送份禮物媽媽，特設計一個表面積為12dm2的正方體紙

盒，則這個正方體的棱長是.

(2)為了增加小區(qū)的綠化面積，幸福公園準備修建一個面積125m2的草坪，草坪周圍用

籬笆圍繞.現(xiàn)從對稱美的角度考慮有甲，乙兩種方案，甲方案：建成正方形；乙方案：建

成圓形的.如果從節(jié)省籬笆費用的角度考慮，你會選擇哪種方案？請說明理由；

(3)在(2)的方案中，審批時發(fā)現(xiàn)修如此大的草坪，目的是親近自然，若按上方案就沒

達到目的，因此建議用如圖的設計方案：正方形里修三條小路，三條小路的寬度是一樣，

這樣草坪的實際面積就減少了21m請你根據(jù)此方案求出各小路的寬度取整數(shù)).

5.張華想用一塊面積為400cm2的正方形紙片，沿著邊的方向剪出一塊面積為300cm2的長

方形紙片，使它的長寬之比為3：2.他不知能否裁得出來，正在發(fā)愁.李明見了說：“別

發(fā)愁，一定能用一塊面積大的紙片裁出一塊面積小的紙片."你同意李明的說法嗎？張華能

用這塊紙片裁出符合要求的紙片嗎？

二、解答題

6.如圖1,已知直線mil",48是一個平面鏡，光線從直線m上的點。射出，在平面鏡

AB上經(jīng)點P反射后，到達直線〃上的點Q.我們稱OP為入射光線，PQ為反射光線，鏡面

反射有如下性質：入射光線與平面鏡的夾角等于反射光線與平面鏡的夾角，即

NOPA=/QPB.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,若NOPQ=82。，求N。%的度數(shù)；

(2)如圖2,若/AOP=43。，N8QP=49。，求NO%的度數(shù)；

(3)如圖3,再放置3塊平面鏡，其中兩塊平面鏡在直線m和〃上，另一塊在兩直線之

間，四塊平面鏡構成四邊形A8CD,光線從點O以適當?shù)慕嵌壬涑龊?，其傳播路徑?/p>

O^P玲Q3R~>0玲P^...試判斷NOPQ和NORQ的數(shù)量關系，并說明理由.

7.如圖1,已A8IICD,NC=N4.

(1)求證：ADW8C；

(2)如圖2,若點E是在平行線A8,CD內，4。右側的任意一點，探究NZCDE,

NE之間的數(shù)量關系，并證明.

(3)如圖3,若NC=90。，且點E在線段8c上，DF平分NEDC,射線DF在NEDC的內

部，且交8c于點M,交AE延長線于點F,Z4ED+ZAEC=180°f

①直接寫出/人￡。與/「。。的數(shù)量關系：

②點P在射線。八上，且滿足NO￡P=2NF,NDEA-NPEA=*NDEB,補全圖形后，求

NEPD的度數(shù)

BB

圖1圖2

8.如圖1,點E在直線相、之間，且NOEB+NA8E-NCOE=I80。.

(1)求證：AB//DC；

(2)若點/是直線8A上的一點，且/BEF=/BFE,EG平分NDE8交直線A3于點G,

若ND=20。，求NFEG的度數(shù);

⑶如圖3,點N是直線”、。。外一點，且滿足〃。加［“。?

NABN=?NABE,ND與BE交于點、M.已知NCDW=磯0。vav12。)，旦BN//DE,則

NNMB的度數(shù)為(請直接寫出答案，用含〃的式子表示).

9.汛期即將來臨，防汛指揮部在某水域一危險地帶兩岸各安置了一探照燈，便于夜間查看

河水及兩岸河堤的情況.如圖1，燈A射出的光束自AM順時針旋轉至AN便立即回轉，燈

8射出的光束自3P順時針旋轉至BQ便立即回轉，兩燈不停交叉照射巡視.若燈A射出的

光束轉動的速度是a。/秒，燈8射出的光束轉動的速度是秒，且。、從滿足

,-明+(〃+〃-4)2=0.假定這一帶水域兩岸河堤是平行的，即PQ//MN,且

ZBAJV=45°.

(1)求“、的值；

(2)如圖2,兩燈同時轉動，在燈A射出的光束到達AV之前，若兩燈射出的光束交于點

C,過C作CO_LAC交PQ于點O,若/BCD=2G,求N7MC的度數(shù)；

(3)若燈8射線先轉動30秒，燈A射出的光束才開始轉動，在燈B射出的光束到達8Q

之前，A燈轉動幾秒，兩燈的光束互相平行？

10.點A,C,E在直線/上，點8不在直線/上，把線段A8沿直線/向右平移得到線段

B

(1)下列結論：正確的是.

①如果=60°,則有3C//AZ)；

@ZBAE+ZCAD=\S00；

③如果8C7/AO,則AB平分/E4O.

(2)如果NC4O=150。，判斷NBH)與NC是否相等，請說明理由.

(3)將三角板A8C繞點A順時針轉動，直到邊AC與4。重合即停止，轉動的過程中當兩

塊三角板恰有兩邊平行時，請直接寫出NE4B所有可能的度數(shù).

13.已知：三角形ABC和三角形。EF位于直線MN的兩側中，直線MN經(jīng)過點C,且

BC1MN,其中N48C=Z4C8,/DEF=/DFE,ZA2C+ND莊=90。，點、E、F均落

在直線MN上.

(1)如圖1，當點C與點￡重合時，求證：DF//AB；聰明的小麗過點(：作CG//ZW,并

利用這條輔助線解決了問題.請你根據(jù)小麗的思考，寫出解決這一問題的過程.

(2)將三角形DEF沿著NM的方向平移，如圖2,求證：DE//AC；

(3)將三角形DEF沿著的方向平移，使得點E移動到點E，，畫出平移后的三角形

DEF,并回答問題，若“FE=a,則NCA8=.(用含。的代數(shù)式表示)

14.已知，如圖①，NB八。=50。，點C為射線4。上一點(不與4重合)，連接8c.

(1)［問題提出］如圖②，AB//CE,N88=73°,則：N8=—.

(2)［類比探究］在圖①中，探究NMD、N8和N88之間有怎樣的數(shù)量關系？牙用干勺

線?的?性?質?說明理由.

(3)［拓展延伸］如圖③，在射線8c上取一點。，過。點作直線MN使MN〃八。，8E平分

NABC交AD于E點、,OF平分NBON交AD于F點,OGHBE交AD于G點,當C點沿著射

線AD方向運動時，NFOG的度數(shù)是否會變化？若變化，請說明理由；若不變，請求出這

個不變的值.

5

B

15.如圖1,在平面直角坐標系中，A（aO）,C（/%2）,且滿足（a+〃y+|a-Z7+4|=0,過C

（1）求三角形AAC的面積.

（2）發(fā)過6作8D//AC交>軸于。，且分別平分NCA及20。8,如圖2,若

NC48=a,48=/（“+夕=90。），求NAED的度數(shù).

（3）在丁軸上是否存在點兒使得三角形A8C和三角形4CP的面積相等？若存在，求出

尸點坐標；若不存在；請說明理由.

四、解答題

16.如圖①，將一副直隹三角板放在同一條直線AB上，其中NONM=30。，ZOCD=

45°.

圖①圖②圖③

（1）將圖①中的三角板OMN沿BA的方向平移至圖②的位置，MN與CD相交于點E,

求NCEN的度數(shù)；

（2）將圖①中的三角板OMN繞點O按逆時針方向旋轉，使NBON=30。，如圖③，MN

與CD相交于點E,求NCEN的度數(shù)；

（3）將圖①中的三角板OMN繞點0按每秒30。的速度按逆時針方向旋轉一周，在旋轉的

過程中，在第秒時，直線MN恰好與直線CD垂直.（直接寫出結果）

17.在.A8C中，射線4G平分㈤C交8c于點G,點D在邊上運動（不與點G重

合），過點。作。石〃AC交A8于點E.

（1）如圖1,點。在線段CG上運動時，DF平分NEDB.

AA

①若N8AC=10(V,ZC=30\則；若N6=40°,則；

②試探究N/IFD與DB之間的數(shù)量關系？請說明理由；

(2)點。在線段8G上運動時，N8Z)E的角平分線所在直線與射線AG交于點F.試探究

NA77)與D8之間的數(shù)量關系，并說明理由.

18.如圖，ZiABC和△ADE有公共頂點4,ZACB=Z.AED=90\/8AC=45。，ZDAE=30°.

(1)若DE//AB,則NEAC=：

(2)如圖1,過AC上一點。作OG_LAC,分別交AB、AD、AE于點G、H、F.

①若A0=2,SAAG”=4,5'HF=1,求線段OF的長；

②如圖2,NAFO的平分線和NAOF的平分線交于點M.NFHD的平分線和NOG8的平分

線交于點N,NN+NA4的度數(shù)是否發(fā)生變化？若不變，求出其度數(shù)；若改變，請說明理

由.

(1)若點E的位置如圖1所示.

①若/ABE=60°,ZCDE=80°,則NF=。；

②探究NF與/BED的數(shù)量關系并證明你的結論；

(2)若點E的位置如圖2所示，/F與/8ED滿足的數(shù)量關系式是一.

(3)若點E的位置如圖3所示，NCDE為銳角，且NE2；NF+45。，設NF=a,則凌的取

值范圍為.

20.問題情境；如圖1,ABHCD,ZPAB=130°,ZPCD=120°.求NAPC度數(shù).

小明的思路是:如圖2,過P作PEIIAB,通過平行線性質,可得NAPC=5（T+6（r=110。.

問題遷移：

（1）如圖3,ADIIBC,點P在射線0M上運動，當點P在A、B兩點之間運動時，

ZADP=Za,ZBCP=Z0.ZCPD、Na、N。之間有何數(shù)量關系？請說明理由；

⑵在⑴的條件下，如果點P在A、B兩點外側運動時（點P與點A、B、。三點不重合），請

你直接寫出/CPD、/a、間的數(shù)量關系.

【參考答案】

一、解答題

1.（1）;（2）無法裁出這樣的長方形.

【分析】

（1）先計算兩個小正方形的面積之和，在根據(jù)算術平方根的定義，即可求解；

（2）設長方形長為cm,寬為cm,根據(jù)題意列出方程，解方程比較4x與20的大小

解析：（1）20;（2）無法裁出這樣的長方形.

【分析】

（1）先計算兩個小正方形的面積之和，在根據(jù)算術平方根的定義，即可求解；

（2）設長方形長為4xcm,寬為3xcm,根據(jù)題意列出方程，解方程比較4x與20的大小即

可.

【詳解】

解：（1）由題意得，大正方形的面積為200+200=400cm2,

邊長為：J400=20C7〃;

（2）根據(jù)題意設長方形長為4xcm,寬為3xcm,

由題:4x-3x=360

則f=3（）

x>0

：.X=y/30

,長為4國

4月>20

???無法裁出這樣的長方形.

【點睛】

本題考查了算術平方根，根據(jù)題意列出算式(方程)是解決此題的關鍵.

2.(1)面積為29,邊長為；(2),,,,圖見解析.

【分析】

(1)面積等于一個大正方形的面積減去四個直角三角形的面積，再利用算術平

方根定義求得邊長即可；

(2)建立適當?shù)淖鴺讼岛髮懗鏊膫€頂點的坐標

解析：(1)面積為29,邊長為岳；(2)40,5),仇2,0),C(7.2),0(5,7),圖見解

析.

【分析】

(1)面積等于一個7x7大正方形的面積減去四個直角三角形的面積，再利用算術平方根

定義求得邊長即可；

(2)建立適當?shù)淖鴺讼岛髮懗鏊膫€頂點的坐標即可.

【詳解】

解：(1)正方形的面積S正方座皿=7?-4xgx2x5=29,

正方形邊長為行=回；

(2)建立如圖平面直角坐標系，

則4(0,5),8(2,0),C(7,2),D(5,7).

【點睛】

本題考查/算術平方根及坐標與圖形的性質及割補法求面積，從圖形中整理出直角三角形

是進一步解題的關鍵.

3.(1)4；(2)不能，理由見解析.

【分析】

(1)根據(jù)已知正方形的面積求出大正方形的邊長即可；

(2)先設未知數(shù)根據(jù)面積=14(cm2)列方程，求出長方形的邊長，將長方形

的長與正方形邊長比較大小再

解析：（1）4；（2）不能，理由見解析.

【分析】

（1）根據(jù)已知正方形的面積求出大正方形的邊長即可；

（2）先設未知數(shù)根據(jù)面積=14（cm2）列方程，求出長方形的邊長，將長方形的長與正方

形邊長比較大小再判斷即可.

【詳解】

解：（1）兩個正方形面積之和為：2x8=16（cm?）,

.,?拼成的大正方形的面積=16（cm2）,

大正方形的邊長是4cm；

故答案為：4；

（2）設長方形紙片的長為2xcm,寬為xcm,

則2x?x=14,

解得：x=y/l?

2x=2/7>4,

一.不存在長寬之比為2:1且面積為14cm2的長方形紙片.

【點睛】

本題考查了算術平方根，能夠根據(jù)題意列出算式是解此題的關鍵.

4.（1）dm；（2）從節(jié)省籬笆費用的角度考慮，選擇乙方案建成圓形；（3）

根據(jù)此方案求出小路的寬度為

【分析】

（1）先求得正方體的一個面的面積，然后依據(jù)算術平方根的定義求解即可；

（2）根據(jù)正方形的周

解析：（1）（2）從節(jié)省籬笆費用的角及考慮，選擇乙方案建成圓形；（3）根據(jù)

此方案求出小路的寬度為叢m

【分析】

（1）先求得正方體的一個面的面積，然后依據(jù)算術平方根的定義求解即可；

（2）根據(jù)正方形的周長公式以及圓形的周長公式即可求出答案：

（3）根據(jù)圖形的平移求解.

【詳解】

解：（1）???正方體有6個面且每個面都相等，

正方體的一個面的面積=2dm?.

正方形的棱長dm；

故答案為：y/2dm；

（2）甲方案：設正方形的邊長為xm,則x2=121乃

x=115

「?正方形的周長為：4x=44m

乙方案：設圓的半徑rm為，則乃〃==i2i萬

/.r=ll

「.圓的周長為：2K=22不m

/.446-22冗=226(2-6)

4》冗

2>品

2-6〉0

」.正方形的周長比圓的周長大

故從節(jié)省籬笆費用的角度考慮，選擇乙方案建成圓形；

(3)依題意可進行如圖所示的平移，設小路的寬度為ym,則

(116-y)2=121^-217r

11品-y=10

，產(chǎn)無

;不取整數(shù)

y=x/3

答：根據(jù)此方案求出小路的寬度為6〃?；

【點睛】

本題主要考查的是算術平方根的定義，熟練掌握正方形的性質以及平移的性質是解題的關

鍵；

5.不同意，理由見解析.

【詳解】

試題分析：設面積為300平方厘米的長方形的長寬分為3x厘米，2x厘米，則

3x*2x=300,x2=50,解得x=,而面積為400平方厘米的正方形的邊長為20里

米，由于

解析：不同意，理由見解析.

【詳解】

試題分析：設面積為300平方厘米的長方形的長寬分為3x厘米，2x厘米，則3x?2x=300,

x2=50,解得x=5近，而面積為400平方厘米的正方形的邊長為20厘米，由于15a>20,

所以用一塊面積為400平方厘米的正方形紙片，沿著邊的方向裁不出一塊面積為300平方

厘米的長方形紙片，使它的長寬之比為3：2.

試題解析：解：不同意李明的說法.設長方形紙片的長為3x(x>0)cm,則寬為2xcm,

依題意得：3x?2x=300,6公=300,x2=50,<x>0,7.x=、頌=5應，..?長方形紙片的長為

1572cm，50>49,5夜>7,15&>21,即長方形紙片的長大于20cm,由正方形

紙片的面積為400cm2,可知其邊長為20cm,.?.長方形紙片的長大于正方形紙片的邊長.

答：李明不能用這塊紙片裁出符合要求的長方形紙片.

點睛：本題考查了算術平方根的定義：一個正數(shù)的正的平方根叫這個數(shù)的算術平方根；0

的算術平方根為0.也考查了估算無理數(shù)的大小.

二、解答題

6.(1)49°,(2)44°,(3)ZOPQ=ZORQ

【分析】

(1)根據(jù)NOPA二NQPB.可求出NOPA的度數(shù)；

(2)由NAOP=43。，NBQP=49?？汕蟪鯪OPQ的度數(shù)，轉化為(1)來解

解析：(1)49°,(2)44°,(3)ZOPQ=ZORQ

【分析】

(1)根據(jù)NO%=NQPB.可求出NO%的度數(shù)；

(2)由NAOP=43。，N8QP=49?？汕蟪鯪OPQ的度數(shù)，轉化為(1)來解決問題；

(3)由(2)推理可知：ZOPQ=Z.AOP+Z.BQP,NORQ=NOOR+NRQC,從而

ZOPQ=NORQ.

【詳解】

解：(1)/0PA=4QPB,ZOPQ=82°,

/.ZOPA=(180。-/OPQ)x；=(180°-82°)x：=49°,

(2)作PCWm,

miln,

「.milPCIIn,

：.ZAOP=NOPC=43°,

Z8QP=NQPC=49°,

/.ZOPQ=NOPC+ZQPC=43°+49O=92°,

/.ZOPA=(180°-ZOPQ)x；=(180°-92°)x；44。，

圖2

(3)ZOPQ=NORQ.

理由如下：由(2)可知：40PQ=4AOP+乙BQP,ZORQ=ADOR+ARQC,

V入射光線與平面鏡的夾角等于反射光線與平面鏡的夾角，

/.ZAOP=Z.DOR,Z8QP=/RQC,

ZOPQ=NORQ.

【點睛】

本題主要考查了平行線的性質和入射角等于反射角的規(guī)定，解決本題的關鍵是注意問題的

設置環(huán)環(huán)相扣、前為后用的設置目的.

7.（1）見解析；（2）ZBAE+ZCDE=ZAED,證明見解析；（3）①NAED-

ZFDC=45°,理由見解析；@50°

【分析】

（1）根據(jù)平行線的性質及判定可得結論；

（2）過點E作EFIIAB,根

解析：（1）見解析：（2）/BAE+NCDENAED,證明見解析；（3）①N4ED-

NFDC=45。，理由見解析：（2）50°

【分析】

（1）根據(jù)平行線的性質及判定可得結論；

（2）過點￡作EFIIA8,根據(jù)平行線的性質得4811COIIEF,然后由兩直線平行內錯角相等

可得結論；

（3）①根據(jù)/A￡D+N4EC=180。，NAEO+NOEC+N4E8=180°,OF平分NEOC,可得出

2ZAED+（90°-2ZFDC）=180%即可導出角的關系；

②先根據(jù)NAED=NF+/FDE,NAED-NFDC=45°得出/0EP=2/F=90°,再根據(jù)/OEA-

ZPEA=—Z.DEB,求出NAED=50。，即可得出NEPD的度數(shù).

14

【詳解】

解：（1）證明：ABHCD,

：.ZA+ZD=180°,

,/ZC=ZA,

：.ZC+Z0=180°,

「.A。IIBC；

（2）ZBAE+/.CDE=NAED,理由如下：

如圖2,過點E作EFIIAB,

圖2

?「A8IICD

.\AB\lCDIIEF

...ZBAE=NAEF,ZCDE=ZDEF

即NFEA+NFEDMCDE+Z.BAE

ZBAE+Z.CDEMAED；

(3)①N4ED-NFDC=45。；

ZAED+AAEC=180°,ZAED+NDEC+NAEB=180°,

/.ZAEC=ZDEC+ZAEB,

ZAED=Z.AEB,

,/DF平分NEDC

NDEC=2ZFDC

/.ZDFC=90°-2ZFDC,

：.2ZAED+(90°-2ZFDC)=180°,

/.ZAED叱FOC=45°,

故答案為：ZAED-^FDC=45°；

②如圖3,

圖3

ZAED=AF+ZFDE,ZZED-ZFDC=45°,

/.ZF=45°,

ZDEP=2ZF=90°,

55

ZDEA-APEA=—NDEB=-NDEA,

147

ZPEA=^4AED,

9。

ZDEP=ZPEA+NAED=-Z,AED=90°,

7

NAED-70°,

ZAED+AAEC=180\

：.ZDEC+2Z.AED=180°,

ZDEC=40°,

,「ADIIBC,

：.ZAOE=NDEC=40°,

在^POE中，ZEPD=18Q°-ADEP-Z.AED=5Q°,

即NEPD=50°.

【點睛】

本題主要考查平行線的判定和性質，熟練掌握平行線的判定和性質，角平分線的性質等知

識點是解題的關鍵.

8.（1）見解析；（2）10°；（3）

【分析】

（1）過點E作EFIICD,根據(jù)平行線的性質，兩直線平行，內錯角相等，得出

結合已知條件，得出即可證明；

（2）過點E作HEIICD,設由（1）得ABIICD

解析：（1）見解析；（2）10°；（3）1800-15?

【分析】

（1）過點E作EFIICD,根據(jù)平行線的性質，兩直線平行，內錯角相等，得出

NCDE=NDEF,結合己知條件/DEB+ZABE-ZCDE=180°,得出/FEB+/ABE=180。，

即可證明；

（2）過點E作HEIICD,設/GEF=x,/FEB=NEFB=義由（1）得4811CD,則

4811CDIIHE,由平行線的性質，得出/。所=/。+/日9=20。+h再由￡；6平分/。窈，

得出NDEG=/GEB=NGEF+/FEB=x+y,則/DEF=Z.DEG+NGEF=2x+），,則可歹ij

出關于x和y的方程，即可求得x,即NGE尸的度數(shù)；

（3）過點N作NPIICD,過點M作。MilCD,由（1）得A8IICD,貝I」

NPWCDIIABWQM,根據(jù)NCOM='/8石和/COM，得出NM￡）E=3a,根據(jù)

4

CDIIP/VIIQM,DE\\N8,得出i/PND=NCDM=ZDMQ=a,/EDM=/BNM=3a,即

/BNP=4a,根據(jù)NP||48,得出NPN8=ZABN=4a,再由NABN=,得出

4

48M=16a,由ABIIQM得出NQM3=180。一16%因為/乂％3=/乂3。+/。河8,代入a

的式子即可求出4MV.

【詳解】

（1）過點E作EFIICD,如圖，

/EFWCD,

\NCDE=/DEF,

\NDEB-NCDE=NDEB-NDEF=NFEB、

ZDEB+ZABE-ZCDE=180°,

-.ZFZsB+ZABE=180°,

EFIIAB,

CDIIAB-

(2)過點E作HEIICD,如圖，

設NGEF=x,4FEB=NEFB=y,

由(1)得A8IICD,貝IjABIICDIIHE,

：.ZD=4DEH=20°,NHEF=Z.EFB=y,

/DEF=NDEH+NHEF=NO+ZEFB=20°+)，,

又「EG平分ZDEB,

/DEG=/GEB=/GEF+/FEB=x+y,

：./.DEF=Z.DEG+NGEF=x+y+x=2x+y,

即21+)，=20。+工

解得：x=10°,BpZGEF=10°；

(3)過點N作/VPIICO,過點M作QMIIC。，如圖,

由(1)得4811CD,則NPWCDIIABWQM,

,/NPWCD,CDWQM,NCDM=a,

ZPND=/CDM=4DMQ=a,

又?「ZCDM=L/CDE,

4

ZMDE=3/CDM=3a,

,.1BNIIDE,

ZMDE=/BNM=3a,

：.ZPNB=NPND+4BNM=a+3a=4a,

又二PA/IIAB,

：.NPNB=4NBA=4a,

???NABN=、NABE,

4

ZABM=4AABN=4X4a=16a,

X*/ABWQM,

ZABM+Z0MB=18O°,

ZQMB=1800-ZABM=180°-16a.

ZNMB=ZNMQ+Z.QMB=a+\S0°-}6a=\S0-15a.

【點睛】

本題考查平行線的性質，龜平分線的定義，解決問題的關鍵是作平行線構造相等的角，利

用兩直線平行，內錯角相等，同位角相等來計算和推導角之間的關系.

9.(1),；(2)30。；(3)15秒或82.5秒

【分析】

(1)解出式子即可;

(2)根據(jù)，用含t的式子表示出，根據(jù)(2)中給出的條件得出方程式，求出

t的值，進而求出的度數(shù)；

(3)根據(jù)燈B的

解析：(1)a=3,/?=1；(2)30°；(3)15秒或82.5秒

【分析】

(1)解出式子,-34+(〃+/7-4)2=0即可；

(2)根據(jù)尸Q//MN,用含t的式子表示出N8C4,根據(jù)(2)中給出的條件得出方程式

ZBCD=90°-ZBC4=90c-[l800-(2r)°]=(2r)°-90°=20°,求出t的值，進而求出/BAC

的度數(shù)；

(3)根據(jù)燈8的要求，t<150,在這個時間段內4可以笠3次，分情況討論.

【詳解】

解：(1)?.|。-3〃|+(4+力-4)2=().

又|。-3勿20,(tz+/?-4r>0.

.".a=3,Z?=1；

(2)設A燈轉動時間為，秒，

如圖，作CE〃PQ,而PQ//MN,

PQ//CE//MN,

.?.Z4CE=NCW=180?！?/，/BCE=NCBD=儼,

NBC4=NCBD+/CAN=/°+180°-(3/)°=180°-(21)。，

??48=90。，

/.NBCD=90。-/BCA=90。-[180°-(2/)°]=(2/)°-90°=20°,

.*./=55

NCW=180O—(3。。，

ZBAC=45。-[180。-（3。。]=⑶）。-135。=165。-135。=30。

（3）設A燈轉動f秒，兩燈的光束互相平行.

依題意得0V/V150

①當0vf<60時，

兩河岸平行，所以N2=Z3=（3r）°

兩光線平行，所以N2=N1=3O+尸

所以，Z1=Z3

即：3,=30+，，

解得f=15；

②當60<r<120時，

兩光束平行，所以N2=N3=（30+。。

兩河岸平行,所以N1+N2=18O。

Zl=3z-180°

所以，31-180+30+/=180,

解得f=82.5；

③當120</vl50時，圖大概如①所示

3z-360=r+30,

解得f=195>150（不合題意）

綜上所述，當1=15秒或82.5秒時，兩燈的光束互相平行.

【點睛】

這道題考察的是平行線的性質和一元一次方程的應用.根據(jù)平行線的性質找到對應角列出

方程是解題的關鍵.

10.（1）見解析；（2）當點E在CA的延長線上時，ZBED=ZD-ZB；當點E

在AC的延長線上時，ZBED=ZBET-ZDET=ZB-ZD；（3）

【分析】

（1）如圖1中，過點E作ETIIAB.利用平行

解析：（1）見解析；（2）當點￡在C4的延長線上時，ND-N氏當點￡在八C的

延長線上時，NBED=NBET-NDET=NB-ND；（3）業(yè)二1

2n

【分析】

（1）如圖1中，過點E作￡711AB.利用平行線的性質解決問題.

（2）分兩種情形：如圖2-1中，當點E在C4的延長線上時，如圖2-2中，當點E在4C的

延長線上時，構造平行線，利用平行線的性質求解即可.

（3）利用（1）中結論，可得N8MD=NA8M+NCDM,ZBFD=AABF+ACDF,由此解決問

題即可.

【詳解】

解：（1）證明：如圖1中，過點E作ETIIAB.由平移可得ABIICD,

圖1

,/ABWET,ABWCD,

/.ETWCDWAB,

Z8=NBET,ZTED=Z.D,

：.Z8ED=/BET+Z.DET=4B+ND.

(2)如圖2-1中，當點￡在C4的延長線上時，過點E作E7IIAB.

圖2-1

:A8IIET,ABWCD,

ETWCDWAB,

ZB=ZBET,Z7￡D=ZD,

ZBED=NDET-NBET=/D-ZB.

如圖2-2中，當點E在AC的延長線上時，過點E作ETII4B.

fillCDIIAB,

ZB=ZBET,ZTED=ND,

/.ZBED=NBET-Z.DET=AB-ZD.

(3)如圖,設NABE=NEBM=x,ZCD￡=ZEDM=y,

圖2

1/ABWCD,

：.ZBMD=4ABM+ACDM,

m=2x+2y,

x+y=ym,

，..ZBFD=Z.ABF+Z.CDF,ZABE=nZ.EBF,ZCDF=nZEDF,

Cf〃一］〃-1/\1,〃(〃一|)

ZBFD=---x+---y=---(x+y)=---x-〃？=----.

nn'nKfn2In

【點睛】

本題屬于幾何變換綜合題，考查了平行線的性質，角平分線的定義等知識，解題的關鍵是

學會條件常用輔助線，構造平行線解決問題，屬于中考?？碱}型.

三、解答題

11.(1),；(2)1：(3)不變，值為2

【分析】

(1)根據(jù)絕對值和算術平方根的非負性，求得a,b的值，再利用中點坐標公

式即可得出答案；

(2)先得出CP=t,0P=2-t,0Q=2t,AQ=4-

解析：(1)0(2,0),4(0,4)；(2)1；(3)不變，值為2

【分析】

(1)根據(jù)絕對值和算術平方根的非負性，求得a,b的值，再利用中點坐標公式即可得出

答案；

(2)先得出CP=t,OP=2-t,OQ=2t,42=4-23再根據(jù)％OM=SAODQ,列出關于t的方程，

求得t的值即可；

(3)過H點作4c的平行線，交x軸于P,先判定0GII4C,再根據(jù)角的和差關系以及平行

線的性質，得出NPHO=NGOF=N1+Z2,

ZOHC=ZOHP+NPHC=ZGOF+N4=Z1+Z2+Z4,最后代入+乙、(上進行計算即可.

Z.OEC

【詳解】

解：(1),-?J"2/?+|b-2|=O,

a-2b=0,b-2=0,解得Q=4,b=2,

：.A(0,4),C(2,0).

(2)存在，理由：如圖1中，D(1,2),

圖1

由條件可知：P點從C點運動到。點時間為2秒，Q點從0點運動到八點時間為2秒,

1.0VE2時,點a在線段4。上,即CP=t,0P=2-t,OQ=2340=4-23

SADOP=^?0P9YD=^(2-t)x2=2-t,SADOQ=^?OQ*XD=Tx2M=t,

SAODP=SAODQ，

2-t=t,

t=l.

(3)結論：儂黑”的值不變，其值為2.理由如下：如圖2中，

Z.OEC

圖2

?/Z2+Z3=90°,又=Z1=Z2,Z3=ZFC。，

/.ZGOC+N48=180°,

OGIIAC,

：.Z1=ZCAO,

ZOEC-ZCAO+N4-N1-N4,

如圖，過H點作4C的平行線,交x軸于P,則N4=NP，C,PHIIOG,

：.ZPHO=NGOF=Z1+Z2,

ZOHC=NOHP+NPHC=ZGOF+N4=Z1+Z2+Z4,

.NOHC+4CEN1+/2+N4+N4.

一~ZOEC-Z1+Z4="

【點睛】

本題主要考查三角形綜合題、非負數(shù)的性質、三角形的面積、平行線的性質等知識，解題

的關鍵是學會添加常用鋪勁線，學會用轉化的思想思考問題.

12.（1）②③；（2）相等，理由見解析；（3）30?；?5?；?5?；?20?；?/p>

135°

【分析】

（1）根據(jù)平行線的判定和性質分別判定即可；

（2）利用角的和差,結合NCAB=NDAE=90。進行判斷

解析：（1）@（3）；（2）相等，理由見解析；（3）30,或45?；?5。或120?；?35。

【分析】

（1）根據(jù)平行線的判定和性質分別判定即可；

（2）利用角的和差，結合NCA8=N。4￡=90。進行判斷；

（3）依據(jù)這兩塊三角尺各有?條邊互相平行，分五種情況討論，即可得到NE48角度所有

可能的值.

【詳解】

解：（1）①ZBFD=60\N8=45°,

Z8AO+ND=ZBFD+N8=105°,

ZBAD=105°-30o=75°,

：.ZBAD〃B,

」.8C和八。不平行，故①錯誤；

②?「ZBAC+Z.DAE=180°,

ZBAE+NCAO=N84E+NCAE+Z.DAE=130°f故②正確；

③若8GlAD,

則NBAD=8=45°,

Z8A￡=45°,

即AN平分/。。，故③正確：

故答案為：②③：

（2）相等，理由是：

?「ZCAD=150°,

ZB4E=180°?150°=30°,

/.ZBAD=60°,

ZBAD+Z.D=ZBFD+Z.B,

：.Z8FO=60°+30°-45°=45°=/C：

（3）若ACIIDE,

則/CAE=A￡=60°,

ZE48=90°-60°=30°；

D

若BCWAD,

則NB=Z840=45°,

Z￡48=45°；

若BCWDE,

則NE=ZAFB=6Q0,

：.ZE/48=180°-60°-45°=75°；

若48IIDE,

則/D=Z0A8=30°,

ZE48=30°+90o=120°；

若AEIIBC,

則NC=ZC4￡=45°,

/.ZE48=45°+90°=135°；

E

綜上：ZEAB的度數(shù)可能為30。或45。或75。或120?；?35。.

【點睛】

本題考查了平行線的判定和性質，角平分線的定義，解題的關鍵是理解題意，分情況畫出

圖形，學會用分類討論的思想思考問題.

13.（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析；.

【分析】

（1）過點C作，得到,再根據(jù)，，得到，進而得到，最后證明；

（2）先證明，再證明，得到，問題得證；

（3）根據(jù)題意得到，艱據(jù)（2）結論得到ND

解析：（1）見解析：（2）見解析；（3）見解析；2a.

【分析】

（1）過點C作CG//DF,得到/DFE=NFCG,再根據(jù)=90°,

N4BC+N。尸￡=90。，得到NA4C=N4CG,進而得到CG〃/13,最后證明。產(chǎn)〃AB；

（2）先證明NAC4+NOM=90。，再證明NAC4+NACE=90。，得到NOE”=NACE,問

題得證；

（3）根據(jù)題意得到在=/OM=a,根據(jù)（2）結金得到ND￡F=/￡C4=a,進而得到

ZABC=Z4C^90°-a,根據(jù)三角形內角和即可求解.

【詳解】

解：（1）過點C作CG//DF,

:"DFE=/FCG,

BC1MN,

ZBCF=90°,

/.ZBCG+ZFCG=90°,

:"BCG+/DFE=%。,

Z48C+NOFE=90。，

/.ZABC=NBCG,

:.CG//AB,

：.DF//AI3；

（2）解：?.ZABC=ZACBfNDEF=NDFE,

又；NABC+NDFE=90。,

ZACB+/DEF=900,

???BC工MN,

.?./BCM=90。，

/.Z4CB+ZACE=90°,

ZDEF=ZACE,

/.DE//AC；

（3）如圖三角形。EF即為所求作三角形.

Z.DFE-a,

/.ZDFE=ZDEF=a,

由（2）得，OFIIAC,

ZDEFMECA=a,

?「ZAC^+ZACE=90°,

zACB=90°-a,

/.AABC=ZACB=90°-a,

/.Z4=180°-ZABC-ZACB=2a.

故答案為為：2a.

【點睛】

本題考查了平行線的判定，三角形的內角和等知識，綜合性較強，熟練掌握相關知識，根

據(jù)題意畫出圖形是解題關鍵.

14.（1）；（2）,見解析；（3）不變,

【分析】

（1）根據(jù)平行線的性質求出，再求出的度數(shù)，利用內錯角相等可求出角的度

數(shù)；

（2）過點作II,類似（1）利用平行線的性質，得出三個角的關系；

（3）運用

解析：（1）23°；（2）/BCD=ZA+NB,見解析；（3）不變，ZFOG=25°

【分析】

（1）根據(jù)平行線的性質求出NA=NDCE=50。，再求出/8CE的度數(shù)，利用內錯角相等可

求出角的度數(shù)；

（2）過點。作CEIIAB,類似（1）利用平行線的性質，得出三個角的關系；

（3）運用（2）的結論和平行線的性質、角平分線的性質，可求；的度數(shù)，可緣結

論.

【詳解】

(1)因為CEIIA3,

所以ZA=NOCE=50。，/B=NBCE

因為NBCD=73°,

所以/BCE=/BCD-Z.DCE=23°,

故答案為：23°

(2)NBCD=ZA+NB,

如圖②，過點。作CEIIAB,

則ZA=NDCE,NB=NBCE.

因為/BCD=NDCE+/BCE,

所以/BCD=ZBAD+ZB,

(3)不變，

設Z48E=x,

因為破平分乙ABC,

所以NC9E=N42￡=x.

由(2)的結論可知N3a)=N8AO+NAAC,且NBA。=50°,

貝ij：ZBCD=500+2x.

因為MNIIAD,

所以ZBON=/BCD=50c+2x,

因為OF平分/8ON,

所以ZCOF=/NOF=LRBON=250+x.

2

因為OGIIBE,

所以NCOG=NC8石=x,

所以乙FOG=4cOF-乙COG=25。+xt=25。.

【點睛】

本題考查了平行線的性質和角平分線的定義，解題關鍵是熟練運用平行線的性質證明角相

等，通過等量代換等方法得出角之間的關系.

15.(1)4；(2)45°；(3)P(0,-1)或(0,3)

【分析】

(1)根據(jù)非負數(shù)的性質得到3=-13,a-b+4=0,解得a=-2,b=2,則A

(-2,0),B(2,0),C(2,2),即可計算出

解析：(1)4；(2)45°；(3)P(0,-1)或(0,3)

【分析】

(1)根據(jù)非負數(shù)的性質得到a=-b,a-b+4=0,解得a=-2,b=2,則A(-2,0),B

(2,0),C(2,2),即可計算出三角形ABC的面積=4；

(2)由于CBIIy軸，BDIIAC,則NCAB=NABD,即N3+/4+/5+/6=90。，過E作

EFIIAC,則BDIIACIIEF,然后利用角平分線的定義可得到N3=Z4=N1,N5=Z6=

Z2,所以NAED=N1+/2=/x90°=45°；

(3)先根據(jù)待定系數(shù)法確定直線AC的解析式為y=gx+l,則G點坐標為(0,1),然

后利用SAPAC=SAAPG+SACPG進行計算.

【詳解】

解：(1)由題意知：a=-b,a-b+4=0,

解得：a=-2,b=2,

/.A(-2,0),B(2,0),C(2,2),

SAABC=-AB-BC=4；

2

(2)CBIIy軸，BDIIAC,

/.ZCAB=ZABD,

Z3+z4+/5+Z6=90°,

過E作EFIIAC,

1/BDIIAC,

BDIIACIIEF,

VAE,DE分另平分NCAB,ZODB,

/.Z3=Z4=Z1,Z5=Z6=Z2,

ZAED=Z1+z2=^X9O°=45°；

(3)存在.理由如下：

設P點坐標為(0,t),宣線AC的解析式為y=kx+b,

把A(-2,0)、C(2,2)代入得：

[-2k+b=0k=-

2k+b=2,解得2

b=l

直線AC的解析式為y=￡x+l,

??.G點坐標為(0,1),

SAPAC=SAAPG+SACPG=~|t-l|*2+y|t-l|,2=4,解得t=3或T,

P點坐標為(0,3)或(0,-1).

備用圖

【點睛】

本題考查了絕對值、平方的非負性，平行線的判定與性質：內錯角相等，兩直線平行；同

旁內角互補，兩直線平行；兩直線平行，內錯角相等.

四、解答題

16.(1)105°；(2)135°；(3)5.5或11.5.

【分析】

(1)在ACEN中，用三角形內角和定理即可求出；

(2)由NBON=30NNN=30。可得MNIICB,再根據(jù)兩直線平行,同旁內角

解析：(1)105。；(2)135°：(3)5.5或11.5.

【分析】

(1)在△CEN中，用三角形內角和定理即可求出：

(2)由NBO/V=30°,NN=30°可得MNIICB,再根據(jù)兩直線平行,同旁內角互補即可求出

zCEN的度數(shù).

(3)畫出圖形，求出在M/V_LC。時的旋轉角，再除以30。即得結果.

【詳解】

解：(1)在^CEN中，ZCEA/=180°-ZECN-ZCNE=180°—45°—30°=105°；

(2)ZBON=30°,ZN=30°,

ZBON=Z.N,

MNWCB.

/.ZOCO+NCEA/=180°,

,,,Z08=45°

/.ZCE/V=180°-45o=135°；

(3)如圖，MALLCD時,旋轉角為360°—90°—45°—60°=165°,或360。一(60°-45°)

=345。，所以在第165。+3(/=5.5或345。+30。=11.5秒時，直線MN恰好與直線C。垂直.

C

M

【點睛】

本題以學生熟悉的三角板為載體，考查了三角形的內角和、平行線的判定和性質、垂直的

定義和旋轉的性質，前兩小題難度不大，難點是第（3）小題，解題的關鍵是畫出適合題意

的幾何圖形，弄清求旋轉角的思路和方法，本題的第一種情況是將旋轉角NOOM放在四邊

形。OMF中，用四邊形內角和求解，第二種情況是用周角減去/。。乂的度數(shù).

17.（1）①115。，110°；②，證明見解析；（2）,證明