2025-2026學(xué)年九年級上冊數(shù)學(xué)單元檢測卷第二十四章圓·能力提升建議用時(shí)：120分鐘，滿分：120分一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．已知的直徑為5，若，則點(diǎn)與的位置關(guān)系是（

）A．點(diǎn)在內(nèi) B．點(diǎn)在上C．點(diǎn)在外 D．無法判斷【答案】C【分析】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷．關(guān)鍵要記住若半徑為r，點(diǎn)到圓心的距離為d，則有：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在圓外；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在圓上，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)．判斷圓的半徑與的大小即可解答．【詳解】解：圓的半徑，點(diǎn)P到O的距離，∴，∴點(diǎn)P在圓外，故選：C．2．下列命題中，假命題是（

）A．如果兩條弧是等弧，則它們所對的弦相等B．同圓或等圓中，如果兩條弧不相等，則它們所對的弦也一定不相等C．如果一條直線平分弦所對的兩條弧，那么這條直線經(jīng)過圓心，并且垂直于這條弦D．如果一條直線經(jīng)過圓心，并且垂直弦，那么該直線平分這條弦和弦所對的弧【答案】B【分析】此題考查了弧、弦之間的關(guān)系，垂徑定理的推論．根據(jù)弧、弦之間的關(guān)系，垂徑定理的推論進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A.如果兩條弧是等弧，則它們所對的弦相等，是真命題，故選項(xiàng)不符合題意；B.同圓或等圓中，如果兩條弧不相等，則它們所對的弦有可能相等，選項(xiàng)是假命題，故選項(xiàng)符合題意；C.如果一條直線平分弦所對的兩條弧，那么這條直線經(jīng)過圓心，并且垂直于這條弦，是真命題，故選項(xiàng)不符合題意；D.如果一條直線經(jīng)過圓心，并且垂直弦，那么該直線平分這條弦和弦所對的弧，是真命題，故選項(xiàng)不符合題意；故選：B3．一個(gè)圓錐的底面半徑為3，高為2，則它的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查圓錐的體積．根據(jù)圓錐的體積=×底面積×高，即可求解．【詳解】解：∵圓錐的底面半徑為3，高為2，∴它的體積，故選：B．4．已知扇形的半徑為，圓心角為，則扇形的弧長為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了求扇形的弧長，正確理解扇形弧長公式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)扇形的弧長公式計(jì)算，即得答案．【詳解】解：，圓心角為，．故選：A．5．在中，，，，則這個(gè)三角形的外接圓的直徑是（

）A．8 B． C． D．4【答案】C【分析】本題考查了三角形的外接圓的性質(zhì)，直角三角形角的性質(zhì)以及勾股定理．根據(jù)所對的直角邊等于斜邊的一半，然后根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：∵在中，，，∴，∴，根據(jù)勾股定理得：，即，解得：，∴這個(gè)三角形的外接圓的直徑是，故選：C．6．如圖，是的直徑，切于點(diǎn)，線段交于點(diǎn)，連接．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理，掌握相關(guān)定理的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．首先根據(jù)是的直徑，切于點(diǎn)，可求得的度數(shù)，然后根據(jù)圓周角定理，即可求解．【詳解】解：∵是的直徑，切于點(diǎn)，∴，即，∵，∴，∴．故選：A．7．如圖，一塊直角三角板的斜邊與量角器的直徑重合，點(diǎn)D對應(yīng)的刻度值為，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了的圓周角所對的弦為直徑，圓周角定理等知識．熟練掌握的圓周角所對的弦為直徑，圓周角定理是解題的關(guān)鍵．如圖，記的中點(diǎn)為，連接，由題意知，，四點(diǎn)共圓，由圓周角定理可得，根據(jù)，計(jì)算求解即可．【詳解】解：如圖，記的中點(diǎn)為，連接，由題意知，，∵，∴四點(diǎn)共圓，∵，∴，∴，故選：A．8．如圖，正五邊形內(nèi)接于，點(diǎn)是劣弧上一點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了正多邊形和圓的性質(zhì)以及圓周角定理，熟練掌握正多邊形內(nèi)角與圓心角的關(guān)系以及圓周角定理是解題的關(guān)鍵．先連接、，利用正五邊形的性質(zhì)求出圓心角的度數(shù)，再根據(jù)圓周角定理求出的度數(shù)．【詳解】解：連接、，∵五邊形是正五邊形∴∴∴故選：C．9．如圖1是圓形干果盤，其示意圖如圖2所示，四條隔板，，，長度相等，橫縱隔板互相垂直交于隔板的三等分點(diǎn)，測得，則該干果盤的半徑為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要運(yùn)用垂徑定理和勾股定理求解．過點(diǎn)O作于點(diǎn)K，連接，由垂徑定理求出，根據(jù)題意再求出，最后利用勾股定理即可計(jì)算圓的半徑．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)O作于點(diǎn)K，連接，則，∵，∴，在中，由勾股定理得：，則該干果盤的半徑為．故選∶A．10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與軸、軸分別交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，與軸交于、兩點(diǎn)，當(dāng)與該一次函數(shù)的圖象相切時(shí)，的長度是（

）A．3 B．4 C．2 D．6【答案】C【分析】本題考查了切線的判定與性質(zhì)、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、勾股定理、平行線分線段成比例定理，根據(jù)一次函數(shù)的圖象與軸、軸分別交于、兩點(diǎn)，求出和的長，根據(jù)勾股定理求出，設(shè)與軸相切于點(diǎn)，連接，，設(shè)，根據(jù)列出關(guān)于的方程，求出，即可求出答案．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，一次函數(shù)的圖象與軸、軸分別交于、兩點(diǎn)，，，，，在中，，如圖，設(shè)與直線軸相切于點(diǎn)，連接，，，，設(shè)，．，，解得，．故選：C．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）11．如圖，是的直徑，、是上兩點(diǎn)，連接、．若，，則的度數(shù)為．【答案】【分析】本題考查了圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理．由直徑可得，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理得到，由等弧所對的圓周角相等，得到，再利用圓周角定理求解即可．【詳解】解：是的直徑，，，，，，故答案為：．12．如圖，在中，，以點(diǎn)O為圓心，長為半徑作，將繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，使點(diǎn)落在上，邊交線段于點(diǎn)C，若，則的度數(shù)為．【答案】【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，圓的基本性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，證明是等邊三角形，得到，再由三角形外角的性質(zhì)可得答案．【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，∵點(diǎn)落在上，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，∵，∴，故答案為：．13．如圖，A點(diǎn)是上直徑所分的半圓的一個(gè)三等分點(diǎn)，B點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，P點(diǎn)是上一動點(diǎn)，的半徑為3，則的最小值為．【答案】【分析】本題考查了垂徑定理及勾股定理，作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，則最小，連接，，求出，然后根據(jù)勾股定理求出解答即可．【詳解】作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，則最小，連接，，∵點(diǎn)與關(guān)于MN對稱，點(diǎn)是半圓上的一個(gè)三等分點(diǎn)，，∵點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，，，又∵，，．故答案為：．14．我國魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提出了著名的“割圓術(shù)”．所謂“割圓術(shù)”，是用圓內(nèi)接正多邊形的面積去無限逼近圓面積，并以此求取圓周率的方法．劉徽指出“割之彌細(xì)，所失彌少．割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣”．例如，的半徑為2，運(yùn)用“割圓術(shù)”，以圓內(nèi)接正六邊形面積估計(jì)的面積，，所以的面積近似為，由此可得的估計(jì)值為，若用圓內(nèi)接正十二邊形估計(jì)的面積，可得的估計(jì)值為．【答案】3【分析】本題主要考查了正多邊形與圓，直角三角形的性質(zhì)，先畫出圖形，并作，可求出中心角，再根據(jù)“含直角三角形的性質(zhì)”得，然后求出，即可得正十二邊形的面積，最后根據(jù)圓的面積公式得出答案.【詳解】解：是正十二邊形的一條邊，點(diǎn)O是正十二邊形的中心，設(shè)的半徑是2，過點(diǎn)A作于點(diǎn)M，在正十二邊形中，，在中，，∴，∴正十二邊形的面積為，∴，解得，∴的近似值為3.故答案為：3.15．如圖，四邊形是正方形，．執(zhí)行下面操作：第一次操作以點(diǎn)A為圓心，以為半徑順時(shí)針作弧交的延長線于點(diǎn)E，得到扇形；第二次操作以點(diǎn)B為圓心，以為半徑順時(shí)針作弧交的延長線于點(diǎn)F，得到扇形；第三次操作以點(diǎn)C為圓心，以為半徑順時(shí)針作弧交的延長線于點(diǎn)G，得到扇形，依此類推進(jìn)行操作，其中，、、，…的圓心依次按A，B，C，D循環(huán)，所得曲線叫做“正方形的漸開線”，則經(jīng)過四次操作后所得到的四個(gè)扇形的面積和為．（結(jié)果保留π）【答案】【分析】本題考查了扇形的面積．先求得前三個(gè)扇形的面積，找出規(guī)律，根據(jù)規(guī)律求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意得：第一個(gè)扇形，圓心角為，半徑為，面積為；第二個(gè)扇形，圓心角為，半徑為，面積為；第三個(gè)扇形，圓心角為，半徑為，面積為；則第四個(gè)扇形，圓心角為，半徑為，面積為；∴經(jīng)過四次操作后所得到的四個(gè)扇形的面積和為，故答案為：．16．如圖，在直線上有相距5cm的兩點(diǎn)和（點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)），以為圓心作半徑為1cm的圓，過點(diǎn)作直線．將以的速度向右移動（點(diǎn)始終在直線上），則與直線在秒時(shí)相切．【答案】2或3【分析】本題考查了切線的判定與性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑；經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線，當(dāng)圓心到直線的距離等于圓的半徑，則直線與圓相切．熟練掌握切線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)切線的判定方法，當(dāng)點(diǎn)到的距離為時(shí)，與相切，然后計(jì)算出圓向右移動的距離，然后計(jì)算出對應(yīng)的時(shí)間．【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)到的距離為時(shí)，與相切，開始時(shí)點(diǎn)到的距離為5，當(dāng)圓向右移動或時(shí)，點(diǎn)到的距離為，此時(shí)與相切，或，即與直線在2秒或3秒時(shí)相切．故答案為：2或3．解答題（第17，18，19，20題，每題6分；第21，22，23題；每題8分；第24，25題，每題12分；共9小題，共72分）17．如圖，，交于點(diǎn)C，D，是半徑，且于點(diǎn)F．(1)求證：．(2)若，，求直徑的長．【答案】(1)見解析(2)的直徑是【分析】本題考查垂徑定理和勾股定理．熟練掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)垂徑定理，得到，等腰三角形三線合一，即可得出結(jié)論；（2）連接，設(shè)的半徑是r，根據(jù)垂徑定理和勾股定理進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）證明：∵，且過圓心O∴，∵，，∴，∴，∴；（2）解：連接，設(shè)的半徑是r，∵，，∴，∵，∴，∵在中，，∴，∴或（舍去），∴的直徑是．18．如圖，的周長等于，正六邊形內(nèi)接于．(1)求圓心到的距離．(2)求正六邊形的面積．【答案】(1)(2)【分析】（）連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，由圓的周長可得，由正六邊形的性質(zhì)可得，即得，得到，再利用勾股定理解答即可求解；（）由（）可得是等邊三角形，得到，可得，再根據(jù)解答即可求解．【詳解】（1）解：如圖，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，∵的周長等于，∴半徑，∵六邊形是正六邊形，∴，∴，∴，∴，即圓心到的距離為；（2）解：∵，，∴是等邊三角形，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形和圓，勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．19．如圖1，某公園有一個(gè)圓形音樂噴泉，為了保障游客安全，管理部門打算在噴泉周圍設(shè)置一圈防護(hù)欄現(xiàn)在對噴泉進(jìn)行測量和規(guī)劃，其示意圖如圖2所示，相關(guān)信息如下：信息二：點(diǎn)為噴泉中心，是噴泉邊緣的一條弦，米，是弦的中點(diǎn)，連接并延長，交劣弧于點(diǎn)，米．信息二：已知防護(hù)欄要距離噴泉邊緣1米，以為圓心，為半徑作防護(hù)欄所在圓．請根據(jù)以上信息解答下列問題(1)求噴泉的半徑；(2)要在防護(hù)欄上每隔1.5米安裝一盞景觀燈，大約需要安裝多少盞景觀燈？（取3，結(jié)果保留整數(shù)）【答案】(1)噴泉的半徑為5米(2)大約需要安裝24盞景觀燈【分析】本題主要考查勾股定理、垂徑定理，熟練掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵；（1）連接，設(shè)噴泉的半徑為，則：，然后可得，，進(jìn)而根據(jù)勾股定理可進(jìn)行求解；（2）由（1）可知米，然后根據(jù)圓的周長可進(jìn)行求解．【詳解】（1）解：連接，設(shè)噴泉的半徑為，則：，，是弦的中點(diǎn)，平分弦，，，，，米；答：噴泉的半徑為5米；（2）解：由題意，得：米，∴（盞）答：大約需要安裝24盞景觀燈．20．停車楔（圖1），又稱車輪止退器、駐車楔、三角木，是用于防止車輛不必要移動的裝置，使用時(shí)將停車楔放置在地面和輪胎之間，即可防止輪胎的滑動．如圖2為停車楔工作模型側(cè)面示意圖，水平地面與車輪切于點(diǎn)，為的直徑，射線與射線交于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接．(1)求證：平分．(2)若，，求車輪的半徑．【答案】(1)見解析(2)【分析】此題考查了切線的性質(zhì)、勾股定理、等邊對等角，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)切線的性質(zhì)和垂直得到，再利用等邊對等角得到，即可證明結(jié)論成立；（2）利用勾股定理列方程并解方程即可得到答案．【詳解】（1）證明：連結(jié)．切于點(diǎn)，．，，．，∴，，平分．（2）設(shè)的半徑為，則．在中，，，，，解得，即的半徑為．21．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．(1)若的外接圓的圓心為，則圓心的坐標(biāo)為_________，的半徑為_________；(2)的外接圓與軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是________．(3)中所對的圓周角是________度，的長度________．【答案】(1)；(2)(3)，【分析】本題主要考查了確定三角形外接圓圓心的位置，勾股定理，勾股定理的逆定理，求弧的度數(shù)等知識點(diǎn)，熟知三角形外接圓圓心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)圓心是線段、的垂直平分線的交點(diǎn)，結(jié)合網(wǎng)格的特點(diǎn)畫出點(diǎn)的位置，進(jìn)而得到點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用勾股定理求出的長即可得到答案；（2）設(shè)的外接圓與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，根據(jù)點(diǎn)在線段的垂直平分線上，求出點(diǎn)的坐標(biāo)即可；（3）利用勾股定理和勾股定理的逆定理證明是直角三角形，且，然后利用弧長的度數(shù)即可求出圓周角的度數(shù)；【詳解】（1）解：如圖所示，點(diǎn)的位置即為圓心位置，圓心的坐標(biāo)為，，圓的半徑為，故答案為：，．（2）解：設(shè)的外接圓與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，點(diǎn)在線段的垂直平分線上，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，的外接圓與軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是，故答案為：．（3）解：，，，，，，是直角三角形，且，的度數(shù)為，所對的圓周角是，故答案為：，．22．如圖，等腰三角形的頂角，和底邊相切于點(diǎn)C，并與兩腰，分別相交于D，E兩點(diǎn)，連接，．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若的半徑為6，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，根據(jù)切線的性質(zhì)可得，然后利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得，從而可得和都是等邊三角形，最后利用等邊三角形的性質(zhì)可得，即可解答；（2）連接交于點(diǎn)，利用菱形的性質(zhì)可得，，，然后在中，利用勾股定理求出的長，從而求出的長，最后根據(jù)圖中陰影部分的面積扇形的面積菱形的面積，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】（1）證明：連接，

和底邊相切于點(diǎn)，，，，，，，和都是等邊三角形，，，，四邊形是菱形；（2）解：連接交于點(diǎn)，

四邊形是菱形，，，，在中，，，，圖中陰影部分的面積扇形的面積菱形的面積，圖中陰影部分的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，扇形面積的計(jì)算，等腰三角形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．23．如圖，在中，，以為直徑作，與交于點(diǎn)D，與交于點(diǎn)E，點(diǎn)F是外一點(diǎn)，，．(1)求證：是的切線．(2)若，．①求的長；②求圖中由，線段，，所組成的封閉圖形的面積．【答案】(1)見解析(2)①；②【分析】（1）如圖所示，連接，證明出，得到，然后等量代換得到，推出，得到，即可證明；（2）①根據(jù)題意求出，，然后利用弧長公式求解即可；②勾股定理求出，得到，然后求出，，，，，然后利用線段，，所組成的封閉圖形的面積代數(shù)求解即可．【詳解】（1）如圖所示，連接∵為直徑∴∴∵，∴∴∵∴∴∴∴∵為直徑∴是的切線；（2）①∵，∴∴∵∴∴∴；②∵，，∴∴∴∵∴∴∴∵∴∵∴∴線段，，所組成的封閉圖形的面積．【點(diǎn)睛】此題考查了切線的判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，求不規(guī)則圖形面積等知識，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點(diǎn)．24．如圖，是正方形的外接圓．(1)如圖1，若是上的一點(diǎn)，Q是上的一點(diǎn)，且．①求證：．②若，求的直徑．(2)如圖2，若點(diǎn)P在上，過點(diǎn)作，求證：．【答案】(1)①見解析，②(2)見解析【分析】本題主要考查正方形性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、圓周角等知識，作出輔助線構(gòu)造出全等三角形是解本題的關(guān)鍵．（1）①證明即可得出結(jié)論；先證明，由勾股定理求出，再在中求出即可．（2）連接，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，證明，可得，，進(jìn)而證明，可得，由此可得．【詳解】（1）①證明：∵，∴，又∵，在正方形中，，∴，∴，②解：∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，如圖，連接，∵，∴是直徑，∴，又∵，∴（2）證明：如圖2，連接，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)∵在正方形中，