概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（慕課版）山東大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院新形態(tài)系列教材2學(xué)科，是近代數(shù)學(xué)的重要組成部分。大家好！歡迎來(lái)到人民郵電出版社與山東大學(xué)數(shù)學(xué)院聯(lián)合制作的《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》慕課課堂！從今天開(kāi)始，我們學(xué)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)這門(mén)課概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的一門(mén)程。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（慕課版）3近幾年興起的大數(shù)據(jù)分析更加體現(xiàn)了它的應(yīng)用價(jià)其理論與方法已廣泛應(yīng)用于電子通訊、工業(yè)制造、航空航天、石油勘探、經(jīng)濟(jì)管理、醫(yī)療衛(wèi)生等各個(gè)領(lǐng)域。值。法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯說(shuō):“生活中最重要的問(wèn)題，其中絕大多數(shù)在實(shí)質(zhì)上只是概率的問(wèn)題?！备怕收撆c數(shù)理統(tǒng)計(jì)（慕課版）4概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程是理工類各專業(yè)的重要的下面讓我們一同開(kāi)啟概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的神秘之在高等學(xué)校人才培養(yǎng)中占有非常重要的地位。因此學(xué)好這門(mén)課程是十分必要的?；A(chǔ)理論課程，門(mén)！概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（慕課版）概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（慕課版）本章導(dǎo)學(xué)第1章隨機(jī)事件與概率6研究對(duì)象？研究?jī)?nèi)容？概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第1章

隨機(jī)事件與概率自然界和人類社會(huì)中出現(xiàn)的種種現(xiàn)象,按照條件和結(jié)果的相互關(guān)系，大致上可分成兩類：在一定條件下，必然出現(xiàn)某種結(jié)果的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象.7??例1（1）水從高處（條件）流向低處（結(jié)果）.一、確定性現(xiàn)象與隨機(jī)現(xiàn)象??確定性現(xiàn)象第1章

隨機(jī)事件與概率（2）一個(gè)磁鐵的“N”極與另一個(gè)磁鐵的“S”極靠近（條件）,則兩磁鐵相互吸引（結(jié)果）.確定性現(xiàn)象的特點(diǎn)：條件完全決定結(jié)果,結(jié)果唯一.8（3）一個(gè)磁鐵的“N”極與另一個(gè)磁鐵的“N”極靠近（條件）,則兩磁鐵相互排斥（結(jié)果）.第1章

隨機(jī)事件與概率在一定條件下，可能出現(xiàn)不同結(jié)果的現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象.（1）投擲一枚均勻的硬幣（條件）,可能9??例2（2）投一個(gè)骰子（條件）,可能出現(xiàn)“1”??隨機(jī)現(xiàn)象（研究對(duì)象）出現(xiàn)正面，也可能出現(xiàn)反面（結(jié)果）.點(diǎn)到“6”點(diǎn)之中的某一個(gè),但不能事先確定出現(xiàn)哪個(gè)點(diǎn)(結(jié)果).第1章

隨機(jī)事件與概率(3）下周的股市（條件）可能上漲，也可能下跌（結(jié)果）.隨機(jī)現(xiàn)象的特點(diǎn)：條件不能決定結(jié)果，結(jié)果不唯一.當(dāng)今世界充滿了不確定性，世界政治、經(jīng)濟(jì)以及我們10生活的各個(gè)方面都存在不確定性.第1章

隨機(jī)事件與概率隨機(jī)現(xiàn)象是不是沒(méi)有規(guī)律可言?否！在一定條件下對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行大量觀測(cè)會(huì)發(fā)現(xiàn)某種試驗(yàn)者投擲次數(shù)正面次數(shù)正面頻率De.Morgan204810610.518Buffon404020480.5069K.Person1200060190.5016K.Person24000120120.500511歷史上的幾位數(shù)學(xué)家拋硬幣的試驗(yàn),觀察出??例3生活的各個(gè)方面都存在不確定性.生活的各個(gè)方面都存在不確定性.第1章

隨機(jī)事件與概率試驗(yàn)表明：盡管“出現(xiàn)正面”這個(gè)結(jié)果具有偶然性，但隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多,“出現(xiàn)正面”的“可能性”越來(lái)接近于常數(shù)0.5.——這個(gè)性質(zhì)稱為“頻率的穩(wěn)定性”.12第1章

隨機(jī)事件與概率從表面上看，隨機(jī)現(xiàn)象的每一次觀察結(jié)果都是隨機(jī)的，但多次觀察某個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象，便可以發(fā)現(xiàn)，在大量的偶然之中存在著必然的規(guī)律.這種隨機(jī)現(xiàn)象所呈現(xiàn)出的固有規(guī)律性，稱為隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)——就是研究和揭示隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門(mén)學(xué)科.13二、隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性??研究?jī)?nèi)容第1章

隨機(jī)事件與概率隨機(jī)試驗(yàn)14概率統(tǒng)計(jì)的研究方法概率統(tǒng)計(jì)的研究對(duì)象隨機(jī)現(xiàn)象概率統(tǒng)計(jì)的研究?jī)?nèi)容隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性如何研究隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性？請(qǐng)進(jìn)入第1講隨機(jī)事件第1章

隨機(jī)事件與概率學(xué)海無(wú)涯，祝你成功！概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（慕課版）概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（慕課版）第1講隨機(jī)事件第1章隨機(jī)事件與概率第一講隨機(jī)事件17隨機(jī)現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性隨機(jī)試驗(yàn)如何研究隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性？概率統(tǒng)計(jì)的研究對(duì)象

概率統(tǒng)計(jì)的研究?jī)?nèi)容全概率統(tǒng)計(jì)的研究方法01隨機(jī)試驗(yàn)與樣本空間02隨機(jī)事件03隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算本講內(nèi)容隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性是通過(guò)大量試驗(yàn)呈現(xiàn)出來(lái)的，為了研究這種規(guī)律性，我們需要對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行調(diào)查、觀察或試驗(yàn).這類工作我們統(tǒng)稱為“隨機(jī)試驗(yàn)”，簡(jiǎn)稱為“試驗(yàn)”，用E表示.1901

隨機(jī)試驗(yàn)與樣本空間試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行；試驗(yàn)的所有結(jié)果明確可知，并且不止一個(gè)；每次試驗(yàn)只能出現(xiàn)一個(gè)結(jié)果，事先不能確定.??隨機(jī)試驗(yàn)具有下列三個(gè)特點(diǎn)：給微信好友發(fā)消息，觀察對(duì)方是否回復(fù)；試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行；試驗(yàn)的所有結(jié)果明確可知，并且不止一個(gè)；每次試驗(yàn)只能出現(xiàn)一個(gè)結(jié)果，事先不能確定.??隨機(jī)試驗(yàn)具有下列三個(gè)特點(diǎn)：檢驗(yàn)10件產(chǎn)品，記錄其中的次品數(shù)；調(diào)查某收銀臺(tái)一天內(nèi)使用移動(dòng)支付的次數(shù)；研究某品牌電腦的使用壽命.??例101

隨機(jī)試驗(yàn)與樣本空間隨機(jī)試驗(yàn)E所有可能的結(jié)果組成的集合,記為S或Ω.E1

給微信好友發(fā)消息，觀察對(duì)方是否回復(fù).E2

檢驗(yàn)10件產(chǎn)品，記錄其中的次品數(shù).2101

隨機(jī)試驗(yàn)與樣本空間??樣本空間??例2

E4

研究某品牌電腦的使用壽命.E3

調(diào)查某收銀臺(tái)一天內(nèi)使用移動(dòng)支付的次數(shù).2201

隨機(jī)試驗(yàn)與樣本空間??注研究隨機(jī)現(xiàn)象時(shí),第一步就是建立樣本空間.01隨機(jī)試驗(yàn)與樣本空間02隨機(jī)事件03隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算本講內(nèi)容僅由一個(gè)元素(樣本點(diǎn))組成的子集，每次試驗(yàn)必定生.由若干個(gè)基本事件組成的隨機(jī)事件.樣本空間的子集,記為A,B,…24??隨機(jī)事件??基本事件??復(fù)合事件01

隨機(jī)事件發(fā)生且只可能發(fā)生一個(gè)的結(jié)果.每次試驗(yàn)必定不發(fā)生的事件，記為每次試驗(yàn)必定發(fā)生的事件，即樣本空間S.25??必然事件??不可能事件拋骰子??例301

隨機(jī)事件

.AS

文氏圖

(Venndiagram)26在一般情況下，事件的關(guān)系是怎樣的呢？事件是樣本空間的子集，因此，事件的關(guān)系和運(yùn)算與01

隨機(jī)事件集合的關(guān)系和運(yùn)算是完全相似的.要學(xué)會(huì)利用概率論的語(yǔ)言來(lái)解釋這些關(guān)系及其運(yùn)算.這里需要強(qiáng)調(diào)的是，01隨機(jī)試驗(yàn)與樣本空間02隨機(jī)事件03隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算本講內(nèi)容A=BSA28它表示事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生.它表示：事件A與事件B的樣本點(diǎn)完全相同.01

隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算??包含關(guān)系如果事件A?的樣本點(diǎn)都在事件B中，則稱事件A包含于事件B.

拋一枚骰子中的隨機(jī)試驗(yàn)中??例4

??相等關(guān)系

2901

隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算??事件的和(并)考察某同學(xué)期末考試的成績(jī)情況.??例5事件A與事件B的樣本點(diǎn)合在一起構(gòu)成的事件.它表示：“事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生”.ABS

??推廣??推廣30它表示英語(yǔ)、高數(shù)至少有一門(mén)及格.01

隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算至少有一個(gè)發(fā)生.表示同時(shí)發(fā)生.表示31它表示英語(yǔ)、高數(shù)兩門(mén)課都及格.01

隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算??事件的積(交)

表示事件A與事件B共有的樣本點(diǎn)構(gòu)成的事件.考察某同學(xué)期末考試的成績(jī)情況.??例5它表示：“事件A與事件B同時(shí)發(fā)生”.

??推廣??推廣3201

隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算表示同時(shí)發(fā)生.表示同時(shí)發(fā)生.3301

隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算??事件的差由屬于A但不屬于B的樣本點(diǎn)構(gòu)成的事件.考察電視機(jī)的使用壽命t(:h)??例4

它表示：“事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生”.

3401

隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算??互不相容（互斥）若事件A，B不能同時(shí)發(fā)生.即考察電視機(jī)的使用壽命t(:h)??例5AB則事件A與B互不相容.??對(duì)立事件（逆事件）"A∩B=Φ".則稱事件A與B互不相容.對(duì)于事件A，由所有不包含在A中的樣A本點(diǎn)所組成的事件稱為A的對(duì)立件，

記

對(duì)應(yīng)事件運(yùn)算集合運(yùn)算3503

隨機(jī)事件的關(guān)系和運(yùn)算??運(yùn)算規(guī)律(1)交換律：(2)結(jié)合律：(3)分配律：逆交和差3603

隨機(jī)事件的關(guān)系和運(yùn)算??運(yùn)算順序括號(hào)優(yōu)先(4)對(duì)偶律：(D.Morgan律)37利用事件的關(guān)系和運(yùn)算可表達(dá)復(fù)雜事件01

隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算??例6設(shè)A、B、C表示三個(gè)事件，利用A、B、C表示下列(1)A發(fā)生,B與C不發(fā)生.(2)A與B發(fā)生,C不發(fā)生.(3)A、B、C中至少有一個(gè)發(fā)生.(4)A、B、C都發(fā)生.事件——A,B,C

不都發(fā)生.3803

隨機(jī)事件的關(guān)系和運(yùn)算設(shè)A、B、C

表示三個(gè)事件，利用A

、B

、C

表示下列事件(5)A、B、C都不發(fā)生.(6)A、B、C中不多于一個(gè)發(fā)生.(7)A、B、C中不多于兩個(gè)個(gè)發(fā)生(8)A、B、C中不至少有兩個(gè)發(fā)生.如右圖所示的電路中,設(shè)事件A、B、C分別表示開(kāi)關(guān)a、b、c閉合，用A、B、C表示事件“指示燈亮”及事件“指示燈不亮”.??例73901

排列及其逆序數(shù)解,,

則則D發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A及B∪C都發(fā)生發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)發(fā)生或發(fā)生40設(shè)A，B，C分別表示第1，2，3個(gè)產(chǎn)品為次品，01

隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算??例8用A，B，C的運(yùn)算可表示下列各事件(1)至少有一個(gè)次品(2)沒(méi)有次品(3)恰有一個(gè)次品(4)恰有兩個(gè)個(gè)次品4101

隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算(5)至多有兩個(gè)次品(考慮其對(duì)立事件)第1講隨機(jī)事件42這一講我們學(xué)習(xí)了隨機(jī)事件以及事件間的關(guān)系與運(yùn)算，利用這些關(guān)系與運(yùn)算，我們可以用簡(jiǎn)單事件去表示復(fù)雜事件，從而利用簡(jiǎn)單事件的概率得到復(fù)雜事件的概率.下一講我們介紹一類簡(jiǎn)單概率模型——古典概型.學(xué)海無(wú)涯，祝你成功！概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（慕課版）概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（慕課版）第2講古典概率與幾何概率第1章隨機(jī)事件與概率01古典概率02幾何概率本講內(nèi)容在概率論發(fā)展的歷史上，最早研究的一類最直觀、最拋擲一枚均勻的硬幣，或拋擲一顆均勻的骰4601

古典概率??例1簡(jiǎn)單的問(wèn)題是等可能摡型，在這類問(wèn)題中，樣本空間中每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性是相等的.子，這類隨機(jī)試驗(yàn)，它們都有如下的兩個(gè)特點(diǎn)：基本事件的個(gè)數(shù)有限.4701

古典概率有限性等可能性.??注??結(jié)論具有上述特點(diǎn)的隨機(jī)試驗(yàn)E稱為古典(等可能)概型.

每個(gè)基本事件等可能性發(fā)生.則設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E為古典概型，記:對(duì)古典概率的計(jì)算可以轉(zhuǎn)化為對(duì)樣本點(diǎn)的計(jì)數(shù)問(wèn)題，4801

古典概率古典概率概率的古典定義.??注該問(wèn)題通常可以借助排列組合公式以及加法和乘法原理等進(jìn)行計(jì)算.樣本空間S中所包含的基本事件的個(gè)數(shù).事件A中所包含的基本事件的個(gè)數(shù).4901

古典概率??加法原理??乘法原理設(shè)完成一件事有m

種方式，第i?種方式有ni

種方法，則完成這件事共有:n1+n2+?+nm

種不同的方法.設(shè)完成一件事需要m個(gè)步驟，第i個(gè)步驟有ni

種方法，則完成這件事共有:?n1×n2×…×nm

種不同的方法.5001

古典概率??排列公式??組合公式從n個(gè)不同元素中任取k個(gè)的不同排列總數(shù).從n個(gè)不同元素中任取k個(gè)的不同組合總數(shù).設(shè)有N件產(chǎn)品，其中有M件次品，現(xiàn)從這N件中任取n件，求其中恰有k件次品的概率.5101

古典概率??例2解令A(yù)=超幾何公式.??注{恰有k件次品}口袋中a只黑球，b只白球．隨機(jī)地一只快充普充(1)有放回抽取：5201

古典概率??例3解(2)不放回抽?。阂恢怀槿?，求第k次摸得黑球的概率．無(wú)放回和有放回答案相同！5301

古典概率??注簡(jiǎn)單理解是“抽簽理論或排隊(duì)理論”：電器含3個(gè)快充，每次抽中快充的概率都是3/10，與次序無(wú)關(guān)！如10個(gè)充??例4把球編號(hào)，按抽取次序把球排成一列，樣本點(diǎn)總口袋中a只黑球，b只白球．隨機(jī)地一只一只抽取，(2)不放回抽取.求第k次摸得黑球的概率．5401

古典概率解法1數(shù)就是a+b個(gè)球的全排列數(shù)(a+b)!事件A相當(dāng)于在第k

位放黑球，共有a種放法，對(duì)應(yīng)其它a+b－1個(gè)球的(a+b－1)!種放法,故事件A包含的每種放法又樣本點(diǎn)數(shù)為a(a+b－1)!只考慮前k個(gè)位置共a+b個(gè)次序，總數(shù):從a+b個(gè)次序里邊挑a5501

古典概率解法2解法3個(gè)給黑球.下a+b-1個(gè)位置，挑a-1個(gè)給黑球：事件A的次數(shù)：把第k個(gè)位置放黑球，剩...（1）作放回抽樣（每次抽取后記錄結(jié)果，然后放回）；（2）作不放回抽樣（抽取后不再放回）；5601

古典概率??例5箱中放有a+b個(gè)外形一樣的手機(jī)充電器（不含充電線），其中a個(gè)充電器具有快充功能，其余b個(gè)沒(méi)有快充功能，k(k≤a+b)

個(gè)人依次在箱中取一個(gè)充電器，（3）求第i(i=1,2,?,k)人取到具有快充功能的充電器（記為事件A

）的概率.（1）放回抽樣的情況下，每個(gè)人都有a+b

種抽取5701

古典概率解法，古典概率的定義:（抽到具有快充功能的充電器）包含a種抽取方法，由于其中a個(gè)充電器具有快充功能，因此事件A由.于事件A要求第i人抽到具有快充功能的充電器，5801

古典概率（2）在不放回抽樣的情況下，k個(gè)人依次抽取，根據(jù)乘法原理，完成抽取后樣本空間共有個(gè)基本結(jié)果.由第i人有a

種取法，其余k-1

人從剩余的a+b-1個(gè)充電種取法，器中任選k-1

個(gè)，有種基本結(jié)果，由古典概率的定義：A

共包含根據(jù)乘法原理事件因而.5901

古典概率從該例可以看出，無(wú)論是放回抽樣還是不放回抽樣，抽到具有快充功能充電器的概率都和抽取順序無(wú)關(guān).此問(wèn)題和抽簽問(wèn)題類似，因此從概率意義上，抽簽是公平的，不必爭(zhēng)先恐后.6001

古典概率??例6解貨架上有外觀相同的商品15件，其中12件來(lái)自甲產(chǎn)地，3件來(lái)自乙產(chǎn)地.現(xiàn)從貨架上隨機(jī)抽取兩件，求這兩件商品來(lái)自同一產(chǎn)地的概率.A1

表示“兩件商品都來(lái)自甲產(chǎn)地”，A2

表示“兩件商品都來(lái)自乙產(chǎn)地”.即樣本空間中有105個(gè)樣本點(diǎn).有從15件商品中取出兩件，共事件A1

要求兩件商品都來(lái)自甲產(chǎn)地，因而事件A1

共包6101

古典概率含個(gè)樣本點(diǎn)，本點(diǎn).而事件A=“兩件上商品來(lái)自同一產(chǎn)地”可以表示A1∪A2

，且事件A1

和事件A2互斥，k=k1+k2=69個(gè)樣本點(diǎn)，所以這兩件上商品來(lái)自同一產(chǎn)地的概率：個(gè)樣同理事件包含因而事件A包含.假設(shè)接待站的接待時(shí)間是沒(méi)有規(guī)定,而各來(lái)訪者在62??例7解

某接待站在某一周曾接待過(guò)12次來(lái)訪,已知所有這12次接待都是在周二和周四進(jìn)行的,問(wèn)是否可以推斷接待時(shí)間是有規(guī)定的?01

古典概率一周的任一天中去接待站是等可能的.訪者都在周二、周四的概率為：

12次接待來(lái)63人們?cè)陂L(zhǎng)期實(shí)踐中總結(jié)得到“概率很小的事件在一次試驗(yàn)中實(shí)際上幾乎是不發(fā)生的”（實(shí)際推斷原理）,概率很小的事件在一次試驗(yàn)中竟然發(fā)生了,因此有理現(xiàn)在

由懷疑假設(shè)的正確性,待來(lái)訪者,即認(rèn)為其接待時(shí)間是有規(guī)定的.從而推斷接待站不是每天都接01

古典概率64??例8某福利彩票游戲規(guī)則：購(gòu)買(mǎi)者從01-35共35個(gè)號(hào)碼中選取7個(gè)號(hào)碼作為一注進(jìn)行投注，7個(gè)號(hào)碼中6個(gè)為基本號(hào)碼另外1個(gè)號(hào)碼為特別號(hào)碼，每注彩票2元，每期銷(xiāo)售彩票總金額的50%用來(lái)作為獎(jiǎng)金.獎(jiǎng)項(xiàng)設(shè)置為一等獎(jiǎng)：選7中6+1（不考慮基本號(hào)碼的順序）；二等獎(jiǎng)：選7中6；三等獎(jiǎng)：選7中5+1；四等獎(jiǎng)：選7中5；五等獎(jiǎng)：選7中4+1；六等獎(jiǎng)：選7中4；七等獎(jiǎng)：選7中3+1.試計(jì)算單注中獎(jiǎng)概率.01

古典概率這一類型彩票游戲可以看作不放回摸球問(wèn)題：65解袋中有35個(gè)(同類型)球，其中6個(gè)紅球1個(gè)黃球，28個(gè)白一個(gè)球.現(xiàn)不放回從袋中取7個(gè)球，求7個(gè)球中恰有i個(gè)紅球和j個(gè)黃球的概率，i=0，1，…6；

j=0，1.記表示“恰有i個(gè)紅球j個(gè)黃球”，則有：因此中一等獎(jiǎng)的概率01

古典概率66類似可求得單注中k等獎(jiǎng)的概率pk，k＝2，……7，它們分別為：01

古典概率67單注中獎(jiǎng)概率為：通過(guò)以上可以看出單注中獎(jiǎng)的概率不到2%，而中頭獎(jiǎng)的概率僅有百萬(wàn)分之一點(diǎn)五左右，根據(jù)實(shí)際推斷原理，偶爾買(mǎi)一次彩票就中大獎(jiǎng)幾乎是不可能的.01

古典概率68??例9解設(shè)有k

個(gè)不同的球,每個(gè)球等可能地落入N

個(gè)盒子中（）,設(shè)每個(gè)盒子容球數(shù)無(wú)限,求下列事件的概率:（1）某指定的k

個(gè)盒子中各有一球；（2）某指定的一個(gè)盒子恰有m

個(gè)球（）.（3）恰有k

個(gè)盒子中各有一球.01

古典概率（1）某指定的k

個(gè)盒子中各有一球（3）恰有k

個(gè)盒子中各有一球（每個(gè)盒子至多一球）（2）某指定的一個(gè)盒子恰有m

個(gè)球()6901

古典概率??注某班級(jí)有k(k≤365)個(gè)人，求k

個(gè)人的生日均不相同的概率.??例10“分房模型”的應(yīng)用下一講揭曉.恰有k

個(gè)盒子中各有一球7001

古典概率問(wèn)：如何求“至少有兩人同生日”的概率？解古典概型考慮了樣本空間僅包含有限個(gè)樣本點(diǎn)的等可能(1)設(shè)樣本空間S是平面上某個(gè)區(qū)域，它的面積記為μ(S);S7101

古典概率??幾何概型(古典概型的推廣)概率模型，但等可能概型還有其它類型，一線段、平面或空間區(qū)域等，概型，思路如下：如樣本空間為這類等可能概型稱為幾何該點(diǎn)落入S內(nèi)任何部分區(qū)域內(nèi)的可能性只與這部分區(qū)域(2)向區(qū)域S上隨機(jī)投擲一點(diǎn)，“隨機(jī)投擲一點(diǎn)”的含義是:S7201

古典概率的面積成比例，而與這部分區(qū)域的位置和形狀無(wú)關(guān).設(shè)事件A是S的某個(gè)區(qū)域，它的面積為μ(A)，則向區(qū)域S上隨機(jī)投擲一點(diǎn)，該點(diǎn)落在區(qū)域A的概率為SA7301

古典概率7401

古典概率確定，只不過(guò)把

理解(3)假如樣本空間S可用一線段，或空間中某個(gè)區(qū)域表示，并且向S上隨機(jī)投擲一點(diǎn)的含義如前述，則事件A的概率仍可用為長(zhǎng)度或體積即可.01古典概率02幾何概率本講內(nèi)容76幾何概率率為:設(shè)樣本空間為有限區(qū)域S,若樣本點(diǎn)落入S內(nèi)任何區(qū)域A中的概率與區(qū)域A的測(cè)度成正比,則樣本點(diǎn)落入A內(nèi)的概02

幾何概率.

(約會(huì)問(wèn)題)在區(qū)間(0,1)中隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)，求這兩個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值小于1/2的概率.??例1177解法1利用幾何概型計(jì)算解法2利用均勻分布計(jì)算（第三章）.

A

1/21Oyx

02

幾何概率某人午覺(jué)醒來(lái)，發(fā)覺(jué)表停了,他打開(kāi)收音機(jī)，想聽(tīng)電臺(tái)報(bào)時(shí),設(shè)電臺(tái)每正點(diǎn)時(shí)報(bào)時(shí)一次,求他等待時(shí)間短于10分鐘的概率.??例1278解以分鐘為單位,記上一次報(bào)時(shí)時(shí)刻為0，時(shí)刻為60,因此這個(gè)人打開(kāi)收音機(jī)的時(shí)間必在區(qū)間(0,60)

內(nèi),則有:下一次報(bào)時(shí)記“等待時(shí)間短于10分鐘”為事件A，02

幾何概率79于是:02

幾何概率.

(會(huì)面問(wèn)題)某銷(xiāo)人員和客戶相約7點(diǎn)到8點(diǎn)之間在某地會(huì)面,先到者等候另一人半個(gè)小時(shí),過(guò)時(shí)就離開(kāi)。

如果每個(gè)人可在指定的一小時(shí)內(nèi)任意時(shí)刻到達(dá),試計(jì)算二人能夠會(huì)面的概率.??例1380解記7點(diǎn)為0時(shí)刻，x，y分別表示甲、乙兩人到達(dá)指定02

幾何概率地點(diǎn)的時(shí)刻，則樣本空間為:81以A表示“兩人能會(huì)面”，如圖所示，根據(jù)題意，這是一個(gè)幾何概型，于是02

幾何概率則有11212121|x-y|＜Oyx.第2講古典概率與幾何概率82古典概型是最簡(jiǎn)單的一種概率模型，要掌握好古典幾何概型的概率計(jì)算的關(guān)鍵是將樣本空間和隨機(jī)事????概型，必須學(xué)好排列組合公式.去求樣本點(diǎn)總數(shù)和事件包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù).件用正確的圖形表示出來(lái).會(huì)利用排列組合公式知識(shí)點(diǎn)解讀—古典概型與幾何概型第2講古典概率與幾何概率83幾何圖形的度量主要是長(zhǎng)度，面積或體積等，經(jīng)常??運(yùn)用積分等工具去求解.學(xué)海無(wú)涯，祝你成功！概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第3講行列式的基本概念(1)第1章行列式01概率的公理化定義02概率的運(yùn)算性質(zhì)本講內(nèi)容歷史上概率的三次定義③公理化定義②統(tǒng)計(jì)定義①古典定義概率的最初定義.基于頻率的定義.1933年由蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯?tīng)柲缏宸蚪o出.研究隨機(jī)現(xiàn)象，我們不僅要關(guān)心會(huì)出現(xiàn)哪些事件，更關(guān)心這些事件出現(xiàn)的可能性大小，所謂事件的概率就是度量事件出現(xiàn)可能性大小的數(shù)值.87概率的公理化定義什么是概率？01

概率論的公理化定義通過(guò)規(guī)定概率應(yīng)具備的基本性質(zhì)來(lái)定義88歷史上概率的三次定義??古典定義不足：僅適用于等可能概型.??統(tǒng)計(jì)定義概率的統(tǒng)計(jì)定義:在大量重復(fù)試驗(yàn)中，若事件A

發(fā)生的頻率穩(wěn)定在某一常數(shù)p的周?chē)?，發(fā)生的概率，并記不足：不精確不嚴(yán)格不便使用.??公理化定義概率.01

概率論的公理化定義則稱該常數(shù)p為事件A89??概率的公式化定義（1）非負(fù)性（2）規(guī)范性（3）可列加性設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E

的樣本空間為S，若對(duì)E

的每一事件A

都有一個(gè)實(shí)數(shù)P(A)與之對(duì)應(yīng)，并且滿足下列三條公理，則稱P(A)為事件A的概率.對(duì)每一個(gè)事件A，有對(duì)任意個(gè)兩兩互不相容事件.01

概率論的公理化定義它給出了概率所必須滿足的最基本的性質(zhì)，為建立嚴(yán)格的概率理論提供了一個(gè)堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).9001

概率論的公理化定義有01概率的公理化定義02概率的運(yùn)算性質(zhì)本講內(nèi)容92概率的運(yùn)算性質(zhì)三條公理（1）非負(fù)性（2）規(guī)范性基本性質(zhì)（3）可列加性加法公式.對(duì)任意個(gè)兩兩互不相容事件02

概率的運(yùn)算性質(zhì)有93加法公式若事件A,B互斥，則，若事件A1,A2,?,An

兩兩互斥，則，??性質(zhì)102

概率的運(yùn)算性質(zhì)對(duì)任一事件A，有如果正面計(jì)算事件

A的概率不容易，而計(jì)算其對(duì)立事件的概率較易時(shí)，可以使用性質(zhì)2.ＡA94逆事件公式??性質(zhì)2??注02

概率的運(yùn)算性質(zhì)設(shè)Ａ、B是兩個(gè)事件，若,則有AB95減法公式??性質(zhì)3??注對(duì)任意兩個(gè)事件A,B,有02

概率的運(yùn)算性質(zhì)對(duì)任意兩個(gè)事件A、B，有再由性質(zhì)3得證.96廣義加法公式??性質(zhì)202

概率的運(yùn)算性質(zhì)右端共有項(xiàng).97推廣：一般：02

概率的運(yùn)算性質(zhì)設(shè)有50件產(chǎn)品，其中有3件不合格品，從中任取4件，求至少有一件不合格品的概率.??例198解法1設(shè)A表示至少有一件不合格品，Ai

表示恰好有i件不合格品，則：性質(zhì)102

概率的運(yùn)算性質(zhì).99解法2因?yàn)?/p>

表示全是合格品，則性質(zhì)2計(jì)算事件A的概率不容易，而計(jì)算其對(duì)立事件的概率較易時(shí)，可以利用性質(zhì)2.02

概率的運(yùn)算性質(zhì)對(duì)某高校學(xué)生移動(dòng)支付使用情況進(jìn)行調(diào)查，使用支付寶的用戶占45%，使用微信支付的用戶占35%，同時(shí)使用兩種移動(dòng)支付的占10%.求至少使用一種移動(dòng)支付的概率和只使用一種移動(dòng)支付的概率.??例2100解記“使用支付寶”為事件A，“使用微信支付”為事件B，而“只使用一種移動(dòng)支付”可表示為且易知?jiǎng)t“至少使用一種移動(dòng)支付”可以示為A∪B，02

概率的運(yùn)算性質(zhì)101至少使用一種移動(dòng)支付的概率：只使用一種移動(dòng)支付的概率：02

概率的運(yùn)算性質(zhì)某班級(jí)有k(k≤365)個(gè)人，求k

個(gè)人的生日均不相同的概率.求“至少有兩人同生日”的概率.恰有k

個(gè)盒子中各有一球102例“分房模型”的應(yīng)用02

概率的運(yùn)算性質(zhì).??例3

A,B是兩個(gè)事件，已知103解求而因此02

概率的運(yùn)算性質(zhì)??例4104解則事件A,B,C都不發(fā)生的概率為?02

概率的運(yùn)算性質(zhì)因?yàn)锳,B互不相容,所以105??例5設(shè)(1)若A,B互斥，則則(2)若02

概率的運(yùn)算性質(zhì).第3講

行列式的基本概念（1）106到目前為止，我們學(xué)習(xí)了樣本空間、隨機(jī)事件等概念，給出了概率的公理化定義及概率的性質(zhì)，知識(shí)我們就可以求一般的隨機(jī)事件的概率。下一講我們將學(xué)習(xí)一種新的概率——條件概率.家多做練習(xí)，熟練掌握.利用這些希望大學(xué)海無(wú)涯，祝你成功！概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（慕課版）概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（慕課版）第4講條件概率與乘法公式第1章隨機(jī)事件與概率01條件概率02乘法公式本講內(nèi)容在解決許多概率問(wèn)題時(shí)，往往需要在某些附加條件下世界萬(wàn)物都是互相聯(lián)系、互相影響的，隨機(jī)事件也不例P(B|A)=?110條件概率01

條件概率外.通事故發(fā)生的可能性明顯比天氣狀況優(yōu)良情況下要大得定程度的相互影響．多．在同一個(gè)試驗(yàn)中的不同事件之間，通常會(huì)存在著一例如，在天氣狀況惡劣的情況下交求事件的概率.概率，將此概率記作P(B|A).P(B).如在事件A發(fā)生的條件下求事件B發(fā)生的在100件產(chǎn)品中有72件為一等品，從中取兩件產(chǎn)品，記A表示“第一件為一等品”，B表示“第二件為一等品”.求P(B)

,P(B|A).??例1111解由前例可知無(wú)論有放回抽樣和無(wú)放回抽樣都有（1）有放回抽樣（2）無(wú)放回抽樣獨(dú)立性如何定義？01

條件概率11201

條件概率.設(shè)A、B為兩事件,P(A)>0,則稱為事件

A

發(fā)生的條件下事件

B

發(fā)生的條件概率.稱為在事件B發(fā)生的條件下事件A的條件概率.同理113??定義01

條件概率條件概率也是概率,故概率的重要性質(zhì)都適用于條件概率.例如：

114??性質(zhì)01

條件概率在100件產(chǎn)品中有72件為一等品，從中取兩件產(chǎn)品，記A表示“第一件為一等品”，B表示“第二件為一等品”.??例2

2)可用縮減樣本空間法1)用定義計(jì)算:P(A)>0A發(fā)生后的縮減樣本空間所含樣本點(diǎn)總數(shù)在縮減樣本空間中B所含樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)無(wú)放回抽樣115??計(jì)算01

條件概率.在全部產(chǎn)品中有4%是廢品，有72%為一等品.現(xiàn)從其中任取一件，發(fā)現(xiàn)是合格品，求它是一等品的概率.??例3116解設(shè)A=依題意，P(A)=所求概率為P(B|A).01

條件概率{任取一件為合格品}，B={任取一件為一等品}0.96,0.72.P(B)=設(shè)A，B，C是隨機(jī)事件，A與C互不相容，則117利用事件的關(guān)系及概率性質(zhì)公式求條件概率??例401

條件概率.由條件概率的定義：若已知P(A),P(B|A)時(shí),可以反過(guò)來(lái)求P(AB).118??注乘法公式.01

條件概率某工廠有職工400名，其中男女職工各占一半，男女職工中技術(shù)優(yōu)秀的分別為20人和40人，從中任選一名職工，計(jì)算（1）該職工技術(shù)優(yōu)秀的概率；（2）已知選出的是男職工，他技術(shù)優(yōu)秀的概率.??例5119解設(shè)A表示“選出的職工技術(shù)優(yōu)秀”，B表示“選出的職工為男性”，則:01

條件概率120(1)利用古典概率有(2)通過(guò)縮減樣本空間，有01

條件概率..??例612101

條件概率某雜志包含三個(gè)欄目“藝術(shù)”（記為事件A）、“圖書(shū)”（記為事件B）、“電影”（記為事件C），調(diào)查讀者的閱讀習(xí)慣有如下結(jié)果:試求122解01

條件概率01條件概率02乘法公式本講內(nèi)容124乘法公式推廣02

乘法公式125ab-1abOF(x)xba102

乘法公式xf

(x)O盒中裝有100個(gè)產(chǎn)品,其中3個(gè)次品，從中不放回地取產(chǎn)品,每次1個(gè),求（1）取兩次，兩次都取得正品的概率;（2）取三次，第三次才取得正品的概率.??例7126解令A(yù)i

為第

i次取到正品02

乘法公式（波利亞罐子--傳染病模型）一個(gè)罐子中包含b個(gè)白球和r個(gè)紅球.b個(gè)白球,r個(gè)紅球127??乘法公式應(yīng)用舉例802

乘法公式隨機(jī)地抽取一個(gè)球，觀看顏色后放進(jìn)行四次，試求第一、二次取到白

球且第三、四次取到紅球的概率.回罐中，并且再加進(jìn)c個(gè)與所抽出

的球具有相同顏色的球.這種手續(xù)于是W1W2R3R4表示事件“連續(xù)取四個(gè)球，第一、二個(gè)是白球，第三、四個(gè)是紅球.”設(shè)Wi=Rj==P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)P(W1W2R3R4)128解02

乘法公式1,2,3,4{第i次取出是白球}，i=j={第j次取出是紅球}，1,2,3,4.記A=為了防止意外，在礦內(nèi)同時(shí)裝有兩種報(bào)警系統(tǒng)(Ⅰ)和(Ⅱ)，每種系統(tǒng)單獨(dú)使用時(shí)，系統(tǒng)(Ⅰ)和系統(tǒng)(Ⅱ)的有效概率分別為0.92和0.93，在系統(tǒng)(Ⅰ)失靈的情況下，系統(tǒng)(Ⅱ)仍有效的概率為0.85，求兩個(gè)報(bào)警系統(tǒng)至少有一個(gè)有效的概率.??例9129解02

乘法公式報(bào)警系統(tǒng)至少一個(gè)有效”可表示為A∪B，由于“兩個(gè)“系統(tǒng)(Ⅰ)有效”，B=“系統(tǒng)(Ⅱ)有效”，且A和

互斥，因此:13002

乘法公式學(xué)海無(wú)涯，祝你成功！概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（慕課版）概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（慕課版）第5講全概率公式與貝葉斯公式第1章隨機(jī)事件與概率133全概率公式和貝葉斯公式主要用于計(jì)算比較復(fù)雜事件的概率,它們實(shí)質(zhì)上是加法公式，乘法公式以及條件概率的綜合運(yùn)用.第5講

全概率公式與貝葉斯公式134全概率公式加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥.乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)P(A)>0.第5講

全概率公式與貝葉斯公式135設(shè)甲、乙、丙三個(gè)廠生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，其產(chǎn)量分別占總數(shù)的25%,35%,40%，次品率分別為5%,4%,2%，從這批產(chǎn)品中任取一件，求它是次品的概率.??例1解分別表示產(chǎn)品由甲、乙、丙廠生產(chǎn)第5講

全概率公式與貝葉斯公式136完備事件組全概率公式兩兩互斥第5講

全概率公式與貝葉斯公式B表示產(chǎn)品為次品01全概率公式02貝葉斯公式本講內(nèi)容138OF(x)x1)Of(xx01

全概率公式稱滿足上述條件的A1,A2,…,An為完備事件組.139全概率公式設(shè)S為隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間，A1,A2,…,An是兩兩互斥的事件，且有P(Ai)>0，i=1,2,…,n,則對(duì)任一事件B，有01

全概率公式加法公式乘法公式B140證明兩兩互不相容，得也兩兩互不相容；01

全概率公式某一事件B的發(fā)生有各種可能的原因(i=1,2,…,n)，如果B是由原因Ai所引起，則B發(fā)生的概率是：每一原因都可能導(dǎo)致B發(fā)生，故B發(fā)生的概率是各原因引起B(yǎng)發(fā)生概率的總和，即全概率公式.P(BAi)=141??全概率公式的關(guān)鍵數(shù)學(xué)模型完備事件組P(Ai)P(B|Ai).01

全概率公式設(shè)某人有三個(gè)不同的電子郵件賬戶，有70%的郵件進(jìn)入賬戶1，另有20%的郵件進(jìn)入賬戶2，其余10%的郵件進(jìn)入賬戶3.根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，三個(gè)賬戶垃圾郵件的比例分別為1%，2%,5%，問(wèn)某天隨機(jī)收到的一封郵件為垃圾郵件的概率.??例2142解分別表示郵件來(lái)自賬戶1、2、3完備事件組B表示郵件為垃圾郵件全概率公式01

全概率公式甲、乙、丙三個(gè)廠生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，其產(chǎn)量分別占總數(shù)的25%,35%,40%，次品率分別為5%,4%,2%，隨機(jī)地從中任取一件，發(fā)現(xiàn)是次品，問(wèn)它來(lái)自哪個(gè)廠的可能性大？??例3143解實(shí)際中還有另一類問(wèn)題：已知結(jié)果求原因乙廠生產(chǎn)的可能性最大貝葉斯公式01

全概率公式有一批同一型號(hào)的產(chǎn)品，已知其中由一廠生產(chǎn)的占20%，二廠生產(chǎn)的占70%，三廠生產(chǎn)的占10%，又知這三個(gè)廠的產(chǎn)品次品率分別為2%,1%,3%,問(wèn)從這批產(chǎn)品中任取一件是次品的概率是多少???例4144解對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，大家都有一個(gè)直觀的認(rèn)識(shí)，容易求出這一概率為01

全概率公式145若記A表示“產(chǎn)品為次品”，B1，B2，B3

表示“產(chǎn)品分別來(lái)自一、二、三廠”，則上式可以表示為：其中B1，B2，B3

正是樣本空間的一個(gè)劃分.01

全概率公式01全概率公式02貝葉斯公式本講內(nèi)容該公式于1763年由貝葉斯(Bayes)給出.它是在觀察到事件B已發(fā)生的條件下，尋找導(dǎo)致B發(fā)生的每個(gè)原因的概率.設(shè)A1,A2,…,An是完備事件組，則對(duì)任一事件B，有147貝葉斯公式02

貝葉斯公式貝葉斯公式在實(shí)際中有很多應(yīng)用，它可以幫助人們確定某結(jié)果發(fā)生的最可能原因.——后驗(yàn)概率在B已經(jīng)發(fā)生的前提下，再對(duì)導(dǎo)致B發(fā)生的原因的可能性大小重新加以修正.P(Ai)——先驗(yàn)概率14802

貝葉斯公式它是由以往的經(jīng)驗(yàn)得到的，是事件

B的原因.

（醫(yī)學(xué)模型——稀有病癥的診斷率問(wèn)題）甲胎蛋白（AFP）免疫檢測(cè)法被普遍用于肝病的早期診斷和普查.已知肝病患者經(jīng)AFP檢測(cè)呈陽(yáng)性的概率為95%，而非肝病患者經(jīng)AFP檢測(cè)呈陽(yáng)性（誤診）的概率為2%.設(shè)人群中肝病的發(fā)病率為0.04%，現(xiàn)有一人經(jīng)AFP

檢測(cè)呈陽(yáng)性，求此人確實(shí)患肝病的概率.??例5149解記A={肝病患者}，{經(jīng)"AFP"檢測(cè)呈陽(yáng)性},B=02

貝葉斯公式由貝葉斯公式經(jīng)AFP檢測(cè)顯陽(yáng)性的人，真患有肝病的人不到2%.可見(jiàn)，對(duì)于稀有病癥，一次檢測(cè)的結(jié)果不必過(guò)于擔(dān)心.15002

貝葉斯公式對(duì)以往數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明,當(dāng)機(jī)器調(diào)整良好時(shí),產(chǎn)品的合格率為98%,而當(dāng)機(jī)器發(fā)生某種故障時(shí),其合格率為55%.每天早上機(jī)器開(kāi)動(dòng)時(shí),機(jī)器調(diào)整良好的概率為95%.已知某日早上第一件產(chǎn)品是合格品時(shí),試求機(jī)器調(diào)整良好的概率.??例6151解A1=B=顯然A1∪A2=“機(jī)器未調(diào)整良好”，“機(jī)器調(diào)整良好”，A2=“產(chǎn)品是合格品”，S，由題意，A1

A2=?，02

貝葉斯公式152由貝葉斯公式，有即機(jī)器調(diào)整良好的概率為97%.02

貝葉斯公式某機(jī)器由A、B、C三類元件構(gòu)成，其所占比例分別為0.1，0.4，0.5，且其發(fā)生故障的概率分別為0.7，0.1，0.2.現(xiàn)機(jī)器發(fā)生了故障，問(wèn)應(yīng)從哪類元件開(kāi)始檢查？??例7153解設(shè)D表示“機(jī)器發(fā)生故障”，A表示“元件是A類”，B表示“元件是B類”，C表示“元件是C類”，由全概率公式02

貝葉斯公式154由貝葉斯公式故應(yīng)從C元件開(kāi)始檢查.同理02

貝葉斯公式第5講

全概率公式與貝葉斯公式155這一講我們學(xué)習(xí)了兩個(gè)重要的公式——全概率公式與貝葉斯公式.家需要牢記，并會(huì)熟練運(yùn)用.在概率的計(jì)算中，經(jīng)常用到這兩個(gè)公式，大

知識(shí)點(diǎn)解讀——全概率公式與貝葉斯公式學(xué)海無(wú)涯，祝你成功！概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（慕課版）概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（慕課版）第6講事件的獨(dú)立性第1章隨機(jī)事件與概率01事件獨(dú)立性的定義02獨(dú)立性重復(fù)實(shí)驗(yàn)本講內(nèi)容在100件產(chǎn)品中有72件為一等品，從中取兩件產(chǎn)有放回抽樣前面我們介紹了條件概率，一般來(lái)說(shuō)，P(B|A)≠P(B)，但159??例1也有例外.品，記A表示“第一件為一等品”，B表示“第二件為一等品”.兩事件的獨(dú)立性01

事件獨(dú)立性的意義設(shè)A,B為兩事件，若:則稱事件A與事件B相互獨(dú)立.

等價(jià)于因此，我們有如下的定義.160這就是說(shuō)，已知事件A發(fā)生，并不影響事件B發(fā)生的概率，這時(shí)稱事件A、B相互獨(dú)立.根據(jù)乘法公式??定義01

事件獨(dú)立性的意義161??性質(zhì)（1）若P(A)>0,??P(B)>0,??則也相互獨(dú)立.（2）若A與B相互獨(dú)立，則與B,?A

與證明事件A與B

相互獨(dú)立，有P(AB)=P(A)P(B).僅證事件與B相互獨(dú)立，其他可類似證明.由于所以因而事件與B

相互獨(dú)立.01

事件獨(dú)立性的意義請(qǐng)問(wèn)：如圖的兩個(gè)事件是獨(dú)立的嗎？

故A、B不獨(dú)立互斥反之，若A與B獨(dú)立特別注意：相互獨(dú)立≠互不相容“A，B相互獨(dú)立”和“A，B互不相容”不能同時(shí)成立.162若P(A)>0,P(B)>0，可以證明：即A，B相容.01

事件獨(dú)立性的意義在實(shí)際應(yīng)用中，往往根據(jù)實(shí)際意義去判斷是否獨(dú)立.

由于“甲命中”并不影響“乙命中”的概率，故認(rèn)為A、B獨(dú)立.甲、乙兩人向同一目標(biāo)射擊，記A={甲命中}，

B={乙命中}，A與B是否獨(dú)立？一事件發(fā)生與否并不影響另一事件發(fā)生的概率.163??例201

事件獨(dú)立性的意義一批產(chǎn)品共n件，從中抽取2件，設(shè)Ai={第i件是合格品}，i=1,2.??例3164解若抽取是有放回的,則A1與A2獨(dú)立.因?yàn)榈诙纬槿〉慕Y(jié)果不受第一次抽取的影響.若抽取是無(wú)放回的，則A1與A2不獨(dú)立.因?yàn)榈诙纬槿〉慕Y(jié)果受到第一次抽取的影響.01

事件獨(dú)立性的意義設(shè)隨機(jī)事件A與B相互獨(dú)立，A與C相互獨(dú)立，且??例4165解01

事件獨(dú)立性的意義.設(shè)A,?B互不相容，若P(A)>0?,P(B)>0，問(wèn)A,?B是否互相獨(dú)立？166??例5解假設(shè)A,?B相互獨(dú)立，則P(AB)=而A,?B互不相容，所以P(AB)=因此A,?B不相互獨(dú)立.P(A)P(B)>0矛盾；0，01

事件獨(dú)立性的意義將兩事件獨(dú)立的定義推廣到三個(gè)事件：P(ABC)=四個(gè)等式同時(shí)成立,則稱事件A、B、C相互獨(dú)立.167有限個(gè)事件的獨(dú)立性??定義對(duì)于三個(gè)事件A、B、C，若：P(AB)=P(A)P(B)P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)01

事件獨(dú)立性的意義

n個(gè)事件A1,A2,…,An

相互獨(dú)立是指下面的關(guān)推廣到n個(gè)事件的獨(dú)立性定義.168??定義系式同時(shí)成立:01

事件獨(dú)立性的意義兩兩獨(dú)立相互獨(dú)立對(duì)n(n>2)個(gè)事件?169??性質(zhì)如果?n個(gè)隨機(jī)事件(A1，A2，?，An)?相互獨(dú)立．則也相互獨(dú)立．其中是的一個(gè)排列．??注多個(gè)事件兩兩獨(dú)立與相互獨(dú)立的區(qū)別與聯(lián)系.01

事件獨(dú)立性的意義三人獨(dú)立地去破譯一份密碼，已知各人能譯出的概率分別為1/5，1/3，1/4，求密碼被破譯的概率.??例6170解法1記Ai={第i個(gè)人破譯出密碼}i=1,2,3所求為利用獨(dú)立性01

事件獨(dú)立性的意義簡(jiǎn)便方法也相互獨(dú)立171解法2設(shè)事件相互獨(dú)立,則:01

事件獨(dú)立性的意義加工某一零件共需經(jīng)過(guò)7道工序,每道工序的次品率都是5%，假定各道工序是互不影響的,求加工出來(lái)的零件的次品率.??例7172解以?Ai?(i=1,2,?,7)?表示事件“第

i?道工序出現(xiàn)次品”，D表示事件“加工出來(lái)的零件為次品”，則有D=A1∪A2∪?∪A7.01

事件獨(dú)立性的意義173由此可見(jiàn)，雖然每道工序次品率都很低，但次品數(shù)隨工序數(shù)的增加而增加，因此對(duì)于多道工序的產(chǎn)品，需要有嚴(yán)格的控制程序.01

事件獨(dú)立性的意義01事件獨(dú)立性的定義02獨(dú)立性重復(fù)實(shí)驗(yàn)本講內(nèi)容試驗(yàn)在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行.其中，若一次試驗(yàn)只有兩個(gè)結(jié)果:A或者,稱為每次試驗(yàn)的結(jié)果互不影響，即每次試驗(yàn)之間相互獨(dú)立.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)第二章詳細(xì)介紹伯努利試驗(yàn).17502

獨(dú)立性重復(fù)實(shí)驗(yàn)?zāi)车陜?nèi)有4名售貨員，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)每名售貨員平均在1小時(shí)內(nèi)用秤15分鐘.問(wèn)該店配置幾臺(tái)秤較為合理.??例8176解將觀察每名售貨員在某時(shí)刻是否用秤看作一次試驗(yàn)，那么4名售貨員在同一時(shí)刻是否用秤可看作4重伯努利試驗(yàn).在同時(shí)用秤的概率，再做決斷同一時(shí)刻恰有i個(gè)人同時(shí)用秤的事件記為Ai，i=1,2,3,4，則：于是問(wèn)題就轉(zhuǎn)化成求出某一時(shí)刻恰有i人(i=1,2,3,4)02

獨(dú)立性重復(fù)實(shí)驗(yàn)177從計(jì)算結(jié)果看，三人及以上同時(shí)用秤的概率很小，根據(jù)實(shí)際推斷原理，配備2臺(tái)秤就基本可以滿足要求.02

獨(dú)立性重復(fù)實(shí)驗(yàn)第6講

事件的獨(dú)立性知識(shí)點(diǎn)解讀—獨(dú)立性178這一講我們學(xué)習(xí)了事件的獨(dú)立性.理統(tǒng)計(jì)的一個(gè)非常重要的概念，很多定理和結(jié)論都是在獨(dú)立性這個(gè)條件之下得到的.重點(diǎn)：理解事件獨(dú)立性的概念，掌握用事件獨(dú)立性進(jìn)行概率計(jì)算.獨(dú)立性是概率論與數(shù)學(xué)海無(wú)涯，祝你成功！概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（慕課版）概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（慕課版）本章小結(jié)第1章隨機(jī)事件與概率01知識(shí)點(diǎn)歸納02教學(xué)要求和學(xué)習(xí)建議本章小結(jié)隨機(jī)事件與概率事件的關(guān)系和運(yùn)算概率的運(yùn)算公式包含和事件積事件差事件互斥對(duì)立獨(dú)立古典概率幾何概率性質(zhì)公式條件概率乘法公式全概率公式貝葉斯公式18201

知識(shí)點(diǎn)歸納01知識(shí)點(diǎn)歸納02教學(xué)要求和學(xué)習(xí)建議本章小結(jié)184理解事件獨(dú)立性的概念，掌握用事件獨(dú)立性進(jìn)行概??理解概率、條件概率的概念，掌握概率的基本性質(zhì)，??了解樣本空間的概念，理解隨機(jī)事件的概念，掌握??事件間的關(guān)系及運(yùn)算.會(huì)計(jì)算古典概率和幾何概率；法公式、全概率公式以及貝葉斯公式,并能熟練運(yùn)用這些公式求解相關(guān)問(wèn)題.掌握概率的加法公式、乘概率的方法.率計(jì)算；理解獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概念，掌握計(jì)算有關(guān)事件02

教學(xué)要求和學(xué)習(xí)建議分清判斷正確表達(dá)無(wú)誤轉(zhuǎn)換熟練熟練掌握應(yīng)用185隨機(jī)事件與概率事件的關(guān)系和運(yùn)算概率的運(yùn)算公式包含和事件積事件差事件互斥對(duì)立獨(dú)立古典概率幾何概率性質(zhì)公式條件概率乘法公式全概率公式貝葉斯公式02

教學(xué)要求和學(xué)習(xí)建議學(xué)海無(wú)涯，祝你成功！概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（慕課版）概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（慕課版）習(xí)題課第1章隨機(jī)事件與概論188

習(xí)題課解（A）成立.（B）不成立.，（C）成立.（D）成立.因此選（B）.??例1設(shè)是三個(gè)事件，在下列各式中，不成立的是（A）（B）（C）（D）（）.，，189本題主要考查事件的運(yùn)算和運(yùn)算律，特別是事件的差運(yùn)算，??方法歸納在事件的運(yùn)算化簡(jiǎn)中經(jīng)常用到.

習(xí)題課190解??例2設(shè)A，B為互不相容的隨機(jī)事件，則（

）.（A）（B）（C）（D）因?yàn)锳，B為互不相容，所以

，因此選項(xiàng)A，無(wú)法得出和0的關(guān)系.選項(xiàng)B是事件獨(dú)立的概念，選項(xiàng)C是事件對(duì)立的概念.故選D.??方法歸納本題主要考察事件互不相容的概念和德摩根律，要正確區(qū)分互不相容和相互獨(dú)立兩個(gè)概念.

習(xí)題課.，191解??例3若當(dāng)事件A，B同時(shí)發(fā)生時(shí)，事件C必發(fā)生，則（）.（A）（B）（C）（D）由題意知

，因此，而所以選B.

習(xí)題課，192解由減法公式可知

，，因此

，所以選C.

習(xí)題課（C）??例4（A）設(shè)A，B為隨機(jī)事件，則的充要條件是（B）（D）（

）.193解由題意

，知，因此A，B至少有一個(gè)不發(fā)生的概率即

習(xí)題課，??例5設(shè)事件A，B僅發(fā)生一個(gè)的概率為0.3，且，則A，B至少有一個(gè)不發(fā)生的概率為_(kāi)_________..194解??例6，則中恰好有一個(gè)事件設(shè)

為三個(gè)隨機(jī)事件，且發(fā)生的概率為（

）.（A）（B）（C）（D）中恰好有一個(gè)事件發(fā)生可以表示為

習(xí)題課195??方法歸納表達(dá)復(fù)雜事件，然后利用概率的運(yùn)算性質(zhì)展開(kāi)計(jì)算.本題是隨機(jī)事件計(jì)算概率的基本題型，首先要用基本事件

習(xí)題課196解??例7從0，1，2，…，9等1個(gè)數(shù)字總?cè)我膺x出3個(gè)不同的數(shù)字，試求下列事件的概率：A1=“三個(gè)數(shù)字中不含0和5”；A2=“三個(gè)數(shù)字中不含0或5”.樣本空間樣本點(diǎn)總數(shù)為

，A1含樣本點(diǎn)總數(shù)為

，含樣本點(diǎn)總數(shù)為.由古典概率，.??方法歸納本題是基本的古典概型問(wèn)題，只需要計(jì)算樣本空間和事件所含樣本點(diǎn)的數(shù)目.

習(xí)題課A2197解設(shè)A表示“兩數(shù)之和小于

”，兩數(shù)分別記為.??例8在區(qū)間（0,1）中隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)，則事件“兩數(shù)之和小于

”的概率為_(kāi)_________.樣本空間

，.由幾何概率

習(xí)題課.198本題是基本的幾何概型問(wèn)題，對(duì)于幾何概型，作圖可以使??方法歸納問(wèn)題直觀，便于計(jì)算