立體幾何中的向量方法lAP１．直線的方向向量直線ｌ的向量式方程換句話說,直線上的非零向量叫做直線的一、方向向量與法向量22、平面的法向量

AlP平面α的向量式方程換句話說,與平面垂直的非零向量叫做平面的法向量3oxyzABCO1A1B1C1例1.如圖所示,正方體的棱長為1直線OA的一個方向向量坐標為___________平面OABC的一個法向量坐標為___________平面AB1C的一個法向量坐標為___________(-1,-1,1)(0,0,1)(1,0,0)4例256練習如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=1,E是PC的中點，求平面EDB的一個法向量.ABCDPE解：如圖所示建立空間直角坐標系.XYZ設平面EDB的法向量為7

因為方向向量與法向量可以確定直線和平面的位置，所以我們可以利用直線的方向向量與平面的法向量表示空間直線、平面間的平行、垂直、夾角、距離等位置關系.用向量方法解決幾何問題8大家有疑問的，可以詢問和交流可以互相討論下，但要小聲點9二、立體幾何中的向量方法——平行關系10ml一.平行關系：11α12αβ13例1四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形,PD⊥底面ABCD，PD=DC=6,E是PB的中點，DF:FB=CG:GP=1:2

.求證：AE//FG.ABCDPGXYZFEA(6,0,0),F(2,2,0),E(3,3,3),G(0,4,2),AE//FG證：如圖所示,建立空間直角坐標系.//AE與FG不共線幾何法呢？14例2四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中點，(1)求證：PA//平面EDB.ABCDPEXYZG解1立體幾何法15ABCDPEXYZG解2：如圖所示建立空間直角坐標系，點D為坐標原點，設DC=1(1)證明：連結AC,AC交BD于點G,連結EG16ABCDPEXYZ解3：如圖所示建立空間直角坐標系，點D為坐標原點，設DC=1(1)證明：設平面EDB的法向量為17ABCDPEXYZ解4：如圖所示建立空間直角坐標系，點D為坐標原點，設DC=1(1)證明：解得x＝－２,ｙ＝１18練習如圖，已知矩形和矩形所在平面相交于AD，點分別在對角線上，且求證：ABCEFDMN幾何法呢？19三、立體幾何中的向量方法——垂直關系20二、垂直關系：lm21lABC22αβ23例1四面體ABCD的六條棱長相等,AB、CD的中點分別是M、N,求證MN⊥AB,MN⊥CD.證1幾何法24例1四面體ABCD的六條棱長相等,AB、CD的中點分別是M、N,求證MN⊥AB,MN⊥CD.證2如圖所示建立空間直角坐標系，設AB=2.xyZxy25例1四面體ABCD的六條棱長相等,AB、CD的中點分別是M、N,求證MN⊥AB,MN⊥CD.證3MN⊥AB,同理MN⊥CD.26練習棱長為a的正方體中,E、F分別是棱AB,OA上的動點，且AF=BE,求證：

O’C’B’A’OABCEFZxy解：如圖所示建立空間直角坐標系，設AF=BE=b.27ABCDPEFXYZ證1：如圖所示建立空間直角坐標系，設DC=1.例228ABCDPEFXYZ證2：例229A1xD1B1ADBCC1yzEF是BB1,，CD中點，求證：D1F練習正方體中，E、F分別平面ADE.

證明：設正方體棱長為1，為單位正交基底，建立如圖所示坐標系D-xyz，所以30A1xD1B1ADBCC1yzEF是BB1,，CD中點，求證：D1F練習正方體中，E、F分別平面ADE.

證明2：31,E是AA1中點，例3正方體平面C1BD.

證明：E求證：平面EBD設正方體棱長為2,建立如圖所示坐標系平面C1BD的一個法向量是E(0,0,1)D(0,2,0)B(2,0,0)設平面EBD的一個法向量是平面C1BD.

平面EBD32證明2：E,E是AA1中點，例3正方體平面C1BD.

求證：平面EBD33ABCDPXYZG練習：343.2.4立體幾何中的向量方法——夾角問題35夾角問題：lmlm36夾角問題：ll37夾角問題：38夾角問題：39解1：以點C為坐標原點建立空間直角坐標系如圖所示，設則：

所以與所成角的余弦值為例140解3、補形：例1解2①補成長方體②重一個同樣的三棱柱41

練習空間四邊形ABCD中，AB=BC=CD，AB⊥BC，BC⊥CD，AB與CD成600角，求AD與BC所成的角大小.42例：

的棱長為1.解1建立直角坐標系.A1xD1B1ADBCC1yzEF例243例：的棱長為1.解2

A1xD1B1ADBCC1yzEF例244例3如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F.(3)求二面角C-PB-D的大小。ABCDPEF45例3如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F.(3)求二面角C-PB-D的大小。ABCDPEFXYZ平面PBC的一個法向量為解1如圖所示建立空間直角坐標系，設DC=1.平面PBD的一個法向量為G46ABCDPEFXYZ(3)解建立空間直角坐標系，設DC=1.4748例3如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F.(3)求二面角C-PB-D的大小。ABCDPEF解3設DC=1.49練習的棱長為1.解1建立直角坐標系.A1xD1B1ADBCC1yz平面PBD1的一個法向量為平面CBD1的一個法向量為50的棱長為1.解2A1D1B1ADBCC1513.2.4立體幾何中的向量方法——距離問題52距離問題：(1)A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),則53距離問題：(2)點P與直線l的距離為d,則54距離問題：(3)點P與平面α的距離為d,則d55距離問題：(4)平面α與β的距離為d,則mDCPA56

例1如圖1：一個結晶體的形狀為四棱柱，其中，以頂點A為端點

的三條棱長都相等，且它們彼此的夾角都是60°，那么以這

個頂點為端點的晶體的對角線的長與棱長有什么關系？A1B1C1D1ABCD圖1解：如圖1，所以答:這個晶體的對角線AC1

的長是棱長的倍。57

例1如圖1：一個結晶體的形狀為四棱柱，其中，以頂點A為端點

的三條棱長都相等，且它們彼此的夾角都是60°，那么以這

個頂點為端點的晶體的對角線的長與棱長有什么關系？A1B1C1D1ABCD圖1解2：如圖1，58練習.(P107.2)如圖，60°的二面角的棱上有A、B兩點，直線AC、BD分別在這個二面角的兩個半平面內,且都垂直AB,已知AB＝4,AC＝6，BD＝8，求CD的長.BACD解159練習.(P107.2)如圖，60°的二面角的棱上有A、B兩點，直線AC、BD分別在這個二面角的兩個半平面內,且都垂直AB,已知AB＝4,AC＝6，BD＝8，求CD的長.BACD解260例

如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長為1，E為D1C1的中點，求點E到直線A1B的距離.點E到直線A1B的距離為61例

如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長為1，E為D1C1的中點，求點E到直線A1B的距離.解262例

如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長為1，E為D1C1的中點，求B1到面A1BE的距離.63例

如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長為1，E為D1C1的中點，求B1到面A1BE的距離.等體積法解264例

如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長為1，E為D1C1的中點，求D1C到面A1BE的距離.解1:∵D1C∥面A1BE∴D1到面A1BE的距離即為D1C到面A1BE的距離.仿上例求得D1C到

面A1BE的距離為65例

如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長為1，E為D1C1的中點，求D1C到面A1BE的距離.等體積法解266例

如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長為1，求面A1DB與面D1CB1的距離.解1:∵面D1CB1∥面A1BD∴D1到面A1BD的距離即為面D1CB1到面A1BD的距離67例

如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長為1，求面A1DB與面D1CB1的距離.等體積法解268例

如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長為1，求面A1DB與面D1CB1的距離.解369例

如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長為1，E為D1C1的中點，求異面直線D1B與A1E的距離.70作業(yè)P1112P1125A1E71作業(yè)

1.在