/2024-2025學(xué)年河南省安陽(yáng)市高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（北師大版）一、單選題（本大題共8小題）1．已知直線，，設(shè)甲：；乙：，則甲是乙的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．直線與以點(diǎn)為圓心的圓相交于兩點(diǎn)，且，則圓的方程為（

）A． B．C． D．3．甲、乙、丙、丁四人去聽同時(shí)舉行的個(gè)講座，每人可自由選擇聽其中一個(gè)講座，則恰好只有甲、乙兩人聽同一個(gè)講座的情況種數(shù)為（

）A． B． C． D．4．下列說(shuō)法中，正確的是（）A．點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是B．若直線l的方向向量為，平面的法向量為，則C．已知O為空間中任意一點(diǎn)，A，B，C，P四點(diǎn)共面，且A，B，C，P中任意三點(diǎn)不共線，若，則D．若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角為30°，則直線l與平面所成的角為30°5．已知平面，的法向量分別為，，則平面，的夾角的大小為（）A． B． C． D．6．已知拋物線，直線l過(guò)拋物線的焦點(diǎn)且與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若弦的長(zhǎng)為8，則直線l的方程為（）A．或 B．或C．或 D．或7．如圖，在兩行三列的網(wǎng)格中放入標(biāo)有數(shù)字、、、、、的六張卡片，每格只放一張卡片，則“只有最左邊一列兩個(gè)數(shù)字之和為”的不同的放法有（

）A．種 B．種 C．種 D．種8．空間直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)且一個(gè)法向量為的平面的方程為.已知平面的方程為，直線l是平面與平面的交線，則直線l與平面所成角的大小為（）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．用、、、、這五個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則（

）A．可以組成個(gè)三位數(shù)B．在組成的三位數(shù)中，各位數(shù)字之和為的個(gè)數(shù)為C．在組成的三位數(shù)中，比大的個(gè)數(shù)為D．在組成的三位數(shù)中，百位上的數(shù)字最小的個(gè)數(shù)為10．雙曲線：的焦點(diǎn)為，，過(guò)的直線與雙曲線的左支相交于兩點(diǎn)，過(guò)的直線與雙曲線的右支相交于，兩點(diǎn)，若四邊形為平行四邊形，則（

）A．B．C．平行四邊形各邊所在直線斜率均不為D．11．如圖，在正方體中，P為棱的中點(diǎn)，為正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（含邊界），則下列說(shuō)法正確的是（

）A．三棱錐的體積為定值B．若平面，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一條線段C．存在點(diǎn)，使得平面D．若直線與平面所成角的正切值為2，那么點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半棱長(zhǎng)為半徑的圓弧三、填空題（本大題共3小題）12．在平行六面體中，，，，點(diǎn)在上，且，用表示，則.13．已知橢圓，且，直線與橢圓相交于兩點(diǎn).若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則橢圓的半焦距.14．已知集合，若、、且、、互不相等，則使得指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)中至少有兩個(gè)函數(shù)在上單調(diào)遞增的有序數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)是.四、解答題（本大題共5小題）15．5名工作人員在社區(qū)開展交通安全宣講活動(dòng)，活動(dòng)結(jié)束后，5名工作人員與社區(qū)組織者小王站成一排拍照留念.(1)要求小王與工作人員甲?乙都相鄰，有多少種不同的站法？(2)若這5名工作人員中，甲?乙?丙的身高互不相等，拍照時(shí)甲?乙?丙三人按從高到低的順序從左到右排列（不一定相鄰），有多少種不同的站法？(3)若工作人員甲不站在最左端，工作人員乙不站在最右端，有多少種不同的站法？（寫出必要的數(shù)學(xué)式，結(jié)果用數(shù)字作答）16．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O0,0,0，，，.(1)證明：，，不共面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.17．如圖，在四棱柱中，四邊形是正方形，，點(diǎn)為的中點(diǎn)．(1)用向量表示；(2)求線段的長(zhǎng)及直線與所成角的余弦值．18．如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，M為棱的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)若，①求二面角的余弦值；②在棱上是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離是？若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由．19．設(shè)分別為橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左?右焦點(diǎn)，是橢圓的短軸的一個(gè)端點(diǎn)，(1)求橢圓的方程.(2)如圖，是橢圓上不重合的三點(diǎn)，原點(diǎn)是的重心.（i）當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，求點(diǎn)到直線的距離；（ii）求點(diǎn)到直線的距離的最大值.

答案1．【正確答案】B【詳解】由，得，化簡(jiǎn)得，解得或．當(dāng)時(shí)，直線，直線；當(dāng)時(shí)，直線，直線．綜上所述：等價(jià)于或．故甲不能推出乙，乙能推出甲，故甲是乙的必要不充分條件．故選：B．2．【正確答案】A【詳解】因?yàn)閳A心到直線的距離，所以圓的半徑，所以圓的方程為．故選：A．3．【正確答案】D【分析】將甲、乙兩人捆綁，與丙、丁兩人形成三個(gè)元素，然后從個(gè)講座中選取個(gè)講座分配給這三個(gè)元素即可，利用排列數(shù)公式可得結(jié)果.【詳解】先將甲、乙兩人捆綁，與丙、丁兩人形成三個(gè)元素，然后從個(gè)講座中選取個(gè)講座分配給這三個(gè)元素即可，所以，恰好只有甲、乙兩人聽同一個(gè)講座的情況種數(shù)為.故選：D.4．【正確答案】B【分析】根據(jù)對(duì)稱規(guī)則可判斷A錯(cuò)誤，利用向量共線的條件可得，可得B正確，由共面定理可知C錯(cuò)誤，再由線面角定義可得D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A，點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，直線l的方向向量為，平面的法向量為，因?yàn)?，所以，則，故B正確；對(duì)于C.已知O為空間任意一點(diǎn)，A，B，C，P四點(diǎn)共面，且A，B，C，P中任意三點(diǎn)不共線，若，則，解得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角為30°，則直線l與平面所成的角為，故D錯(cuò)誤.故選：B.5．【正確答案】C【分析】直接由兩平面夾角的向量公式計(jì)算可求.【詳解】由向量與，得，又，則，所以平面，的夾角的大小為.故選：C.6．【正確答案】B【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合拋物線定義求解即得.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，依題意，直線l的斜率存在，且不為0，設(shè)直線l的方程為，，，由消去y，整理得，，于是，解得，，所以直線l的方程為或.故選：B7．【正確答案】C【分析】先考慮左邊一列兩個(gè)數(shù)字為和，根據(jù)題意，、不能放在一列，利用間接法可得出放法種數(shù)，同理可得出左邊一列兩個(gè)數(shù)字為和的放法種數(shù)，即可得解.【詳解】在、、、、、六個(gè)數(shù)字中，，若左邊一列兩個(gè)數(shù)字為和，根據(jù)題意，、不能放在一列，此時(shí)，不同的填數(shù)字的方法種數(shù)為，所以，若左邊一列兩個(gè)數(shù)字為和，符合條件的放法種數(shù)為種.同理，若左邊一列兩個(gè)數(shù)字為和，符合條件的放法種數(shù)為種.因此，滿足條件的放法種數(shù)為種.故選：C.8．【正確答案】B【分析】根據(jù)平面方程對(duì)應(yīng)的法向量，由三個(gè)平面方程得出法向量，由線面角的向量求法計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】依題意，平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為.設(shè)直線l的方向向量為，，，，即令，則.設(shè)直線l與平面所成的角為，則，.故選：B.9．【正確答案】ABD【分析】根據(jù)排列數(shù)公式可判斷A選項(xiàng)；根據(jù)，結(jié)合排列數(shù)公式可判斷B選項(xiàng)；分析可知，百位數(shù)字為或，利用排列數(shù)公式可判斷C選項(xiàng)；分析可知，從五個(gè)數(shù)字中任意抽個(gè)數(shù)，最小的放在百位上，結(jié)合排列數(shù)和組合數(shù)公式可判斷D選項(xiàng).【詳解】用、、、、這五個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)對(duì)于A選項(xiàng)，可以組成個(gè)三位數(shù)，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，在組成的三位數(shù)中，各位數(shù)字之和為的個(gè)數(shù)為個(gè)，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，由題意可知，百位數(shù)字為或，所以，在組成的三位數(shù)中，比大的個(gè)數(shù)為個(gè)，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，在組成的三位數(shù)中，百位上的數(shù)字最小，即從五個(gè)數(shù)字中任意抽個(gè)數(shù)，最小的放在百位上，所以，百位上的數(shù)字最小的個(gè)數(shù)為個(gè)，D對(duì).故選：ABD.10．【正確答案】BC【分析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可判定A，由平行四邊形與雙曲線的對(duì)稱性及雙曲線定義可判定B，利用雙曲線的性質(zhì)可判定C，設(shè)直線方程，聯(lián)立雙曲線利用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可判定D.【詳解】由題意可得，，則，故A錯(cuò)誤．由雙曲線的對(duì)稱性和平行四邊形的對(duì)稱性可知：，則，B正確．設(shè)任一邊所在直線為（斜率存在時(shí)），聯(lián)立雙曲線，聯(lián)立得，則，即，C正確．由，設(shè)：；，，，聯(lián)立得，∴，，則，設(shè)，則，∴，又單調(diào)遞減，則，∴，故，D錯(cuò)誤．故選：BC11．【正確答案】ABD【詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為．對(duì)選項(xiàng)A，三棱錐的體積即三棱錐的體積，因?yàn)榈拿娣e為定值，點(diǎn)到平面的距離為定值，所以三棱錐的體積為定值．故A正確；對(duì)選項(xiàng)B，如圖，分別取的中點(diǎn)，連接．由且，知四邊形是平行四邊形，所以．因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面．同理可得平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，則點(diǎn)的軌跡為線段，故B正確；對(duì)選項(xiàng)C，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則．設(shè)，則．設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則即，得取，則．若平面，則，即存在，使得，則，解得，與矛盾，故不存在點(diǎn)使得平面，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)槠矫妫约礊橹本€與平面所成的角．因?yàn)橹本€與平面所成角的正切值為2，所以．因?yàn)辄c(diǎn)為正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（含邊界），所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半棱長(zhǎng)為半徑的圓?。ㄕ叫蝺?nèi)），且其圓心角為，故D正確．故選：ABD．12．【正確答案】【分析】利用空間向量的基本定理可得出關(guān)于、、的表達(dá)式.【詳解】如下圖所示：

由題意可知，，可得，所以，，故答案為.13．【正確答案】【分析】利用點(diǎn)差法來(lái)求解橢圓方程中的值，然后根據(jù)橢圓中a,b,c的關(guān)系求出半焦距.【詳解】設(shè)，，因?yàn)樵跈E圓上，所以.兩式相減得，即.因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以，.斜率，得，即,解得.當(dāng)時(shí)，橢圓方程為，可得，所以.故答案為.14．【正確答案】【分析】分類討論單調(diào)性，結(jié)合排列數(shù)、組合數(shù)運(yùn)算求解.【詳解】若和在0,+∞上單調(diào)遞增，在0,+∞上單調(diào)遞減，則有個(gè)；若和在0,+∞上單調(diào)遞增，在0,+∞上單調(diào)遞減，則有個(gè)；若和在0,+∞上單調(diào)遞增，在0,+∞上單調(diào)遞減，則有個(gè)；若、和在0,+∞上單調(diào)遞增，則有個(gè).綜上所述：共有個(gè).故答案為.方法點(diǎn)睛：兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用技巧（1）在應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理時(shí)，一般先分類再分步，每一步當(dāng)中又可能用到分類加法計(jì)數(shù)原理．（2）對(duì)于復(fù)雜的兩個(gè)計(jì)數(shù)原理綜合應(yīng)用的問(wèn)題，可恰當(dāng)列出示意圖或表格，使問(wèn)題形象化、直觀化．15．【正確答案】(1)48(2)120(3)504【分析】（1）利用捆綁法，把小王與工作人員甲、乙捆綁在一起看作一個(gè)復(fù)合元素，再和另外的3名工作人員全排列，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析:①在6個(gè)位置中任選3個(gè)，安排甲乙丙之外的3人，②將甲乙丙3人按從左到右的順序安排在剩余的3個(gè)位置，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案；（3）根據(jù)題意，分2種情況討論:①甲站在最右端，②甲不站在最右端，由分類計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案.【詳解】（1）由題意，5名工作人員與社區(qū)組織者小王站成一排拍照留念，小王與工作人員甲?乙都相鄰，∴把小王與工作人員甲、乙捆綁在一起看作一個(gè)復(fù)合元素，有種方法（甲、小王、乙，乙、小王、甲），然后總體與其余3名工作人員全排列，共有種方法，∴小王與工作人員甲?乙都相鄰，方法共有種；（2）由題意，甲?乙?丙的身高互不相等，拍照時(shí)甲?乙?丙三人按從高到低的順序從左到右排列（不一定相鄰），①在6個(gè)位置中任選3個(gè),安排甲乙丙之外的3人,有種情況,②將甲乙丙3人按從左到右的順序安排在剩余的3個(gè)位置,有1種情況,∴有種不同的站法；（3）由題意，工作人員甲不站在最左端，工作人員乙不站在最右端，∴①甲站在最右端,其余5人全排列,有種站法,②甲不站在最右端,甲有4種站法,乙有4種站法,剩下4人全排列,有種站法,∴共有種不同的站法16．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)空間向量的基本定理建立，方程無(wú)解，即可證明；（2）利用空間向量法求解線面角即可.【詳解】（1）由題意得，，.假設(shè)，，共面，則存在a，，使得，即，即，所以，此方程組無(wú)解，所以假設(shè)不成立，故，，不共面.（2）由題意得，，.設(shè)平面的法向量為，則，即令，則，，故平面的一個(gè)法向量為.設(shè)直線與平面所成的角為，則.17．【正確答案】(1)(2)；【詳解】（1）方法一：由題意知方法二：因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以．故.（2）因?yàn)樗倪呅问钦叫危?，所以，所以，即線段的長(zhǎng)為．因?yàn)?，所以．又，所以，即直線與所成角的余弦值為．故線段的長(zhǎng)為，直線與所成角的余弦值為.18．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)①；②存在；【詳解】（1）證明：如圖，取的中點(diǎn)，連接．為棱的中點(diǎn)，．，四邊形是平行四邊形，．又平面平面平面．（2）解：．平面平面，平面平面平面，平面．又平面．又兩兩垂直．以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則．為棱的中點(diǎn)，．①，設(shè)平面的一個(gè)法向量為n=x,y,z，則，令，則，所以為平面的一個(gè)法向量，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，所以為平面平面的一個(gè)法向量，所以，根據(jù)圖形得二面角為銳角，則二面角的余弦值為．②假設(shè)在棱上存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離是．設(shè)，則．由①知平面的一個(gè)法向量為，，點(diǎn)到平面的距離是，解得．在中，．19．【正確答案】(1)；(2)，.【分析】（1）根據(jù)已知可得，，再結(jié)合求出橢圓方程.（2）（i）設(shè)出三點(diǎn)坐標(biāo)根據(jù)重心坐標(biāo)公式和已知條件列出方程得到的縱坐標(biāo)為，從而解出橫坐標(biāo)，進(jìn)而解出結(jié)果.（ii）討論直線有無(wú)斜率兩種情況，有斜率時(shí)設(shè)出直線的方程，與橢圓聯(lián)立，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系，重心坐標(biāo)表示出的坐標(biāo)，代入橢圓得到一個(gè)關(guān)系式，利用點(diǎn)到直線距離公式表示點(diǎn)到直線的距離并化簡(jiǎn)，結(jié)合式