六年級奧數(shù)行程問題典型題解析行程問題是小學(xué)數(shù)學(xué)，尤其是奧數(shù)領(lǐng)域中極具代表性的一類題型，它不僅考察學(xué)生對速度、時間、路程三者基本關(guān)系的理解，更側(cè)重培養(yǎng)其分析復(fù)雜情境、建立數(shù)學(xué)模型以及靈活運用解題策略的能力。對于六年級學(xué)生而言，掌握行程問題的解題思路，無疑將極大提升其邏輯思維與解決實際問題的能力。本文將針對六年級奧數(shù)中常見的幾類行程問題典型題型，進行深入解析，力求幫助同學(xué)們厘清思路，掌握要領(lǐng)。一、相遇與追及：行程問題的基石相遇問題和追及問題是行程問題中最基本也最重要的兩種類型，許多復(fù)雜的行程問題都是在此基礎(chǔ)上演變而來。（一）相遇問題：速度與路程的“和”核心知識梳理：相遇問題研究的是兩個物體從兩地出發(fā)，相向而行，最終相遇的情況。其核心關(guān)系式為：`速度和×相遇時間=總路程``總路程÷速度和=相遇時間``總路程÷相遇時間=速度和`解題時，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確判斷“總路程”的構(gòu)成以及“相遇時間”內(nèi)兩者共同運動的過程。有時題目會涉及到“提前出發(fā)”、“中途停留”等干擾因素，需要仔細(xì)甄別有效運動時間。典型例題解析：例題1：甲、乙兩車分別從A、B兩地同時出發(fā)，相向而行。甲車每小時行駛a千米，乙車每小時行駛b千米，經(jīng)過c小時兩車相遇。A、B兩地相距多少千米？若相遇時甲車比乙車多行了d千米，那么a、b、c、d之間滿足怎樣的關(guān)系？分析與解答：這是一道最基礎(chǔ)的相遇問題。根據(jù)“速度和×相遇時間=總路程”，A、B兩地的距離就是甲、乙兩車c小時一共行駛的路程。甲車c小時行駛ac千米，乙車c小時行駛bc千米，所以總路程為`(a+b)×c`千米。對于第二個問題，相遇時甲車比乙車多行了d千米。甲車比乙車每小時多行`(a-b)`千米，經(jīng)過c小時，一共多行的路程就是`(a-b)×c`千米，所以`d=(a-b)×c`。這個關(guān)系揭示了相遇時路程差與速度差、相遇時間之間的聯(lián)系，在一些較復(fù)雜的相遇問題中也會用到。例題2：小明和小紅分別從學(xué)校和圖書館同時出發(fā)，相向而行。小明每分鐘走e米，小紅每分鐘走f米。小明出發(fā)5分鐘后發(fā)現(xiàn)忘記帶東西，立即返回學(xué)校取，取東西耽誤了t分鐘后再出發(fā)，最終與小紅在中途相遇。已知學(xué)校和圖書館相距m米，從小明第一次出發(fā)開始計時，多少分鐘后兩人相遇？分析與解答：這道題的關(guān)鍵在于處理小明“出發(fā)5分鐘后返回學(xué)校取東西并耽誤t分鐘”這段時間。我們可以將整個過程分段考慮：1.小明第一次出發(fā)到返回學(xué)校：小明先走了5分鐘，然后又花5分鐘返回，這一來一回共用了`5+5=10`分鐘。在這10分鐘內(nèi)，小紅一直在向?qū)W校方向行走，她行走的路程為`f×10`米。2.小明取東西耽誤t分鐘：在這t分鐘內(nèi)，小明原地未動，小紅繼續(xù)行走，又行走了`f×t`米。3.小明再次出發(fā)到相遇：此時，小紅一共已經(jīng)走了`10+t`分鐘，行走的總路程為`f×(10+t)`米。那么，此時兩人之間的距離（即小明再次出發(fā)時，他和小紅之間的距離）為總路程m米減去小紅已經(jīng)走的路程，即`m-f×(10+t)`米。接下來，小明和小紅才真正開始相向而行，他們的速度和為`(e+f)`米/分鐘。根據(jù)相遇問題公式，相遇還需要的時間為`[m-f×(10+t)]÷(e+f)`分鐘。因此，從第一次出發(fā)開始計時，兩人相遇的總時間為`10+t+[m-f×(10+t)]÷(e+f)`分鐘。我們可以將其整理得更簡潔一些：`(10+t)+(m-f(10+t))/(e+f)=[(10+t)(e+f)+m-f(10+t)]/(e+f)=[(10+t)e+m]/(e+f)`。這個式子也從另一個角度理解：如果我們把小明耽誤的時間以及往返的時間都看作是小紅“提前”行走的時間，那么當(dāng)小明再次出發(fā)時，相當(dāng)于小紅已經(jīng)提前走了`(10+t)`分鐘，剩下的路程就是兩人共同走完的。（二）追及問題：速度差與路程差的較量核心知識梳理：追及問題研究的是兩個物體同向運動，速度快的物體從后面追上速度慢的物體的情況。其核心關(guān)系式為：`速度差×追及時間=路程差``路程差÷速度差=追及時間``路程差÷追及時間=速度差`這里的“路程差”是指追及開始時，兩者之間的距離，或者在追及過程中由于出發(fā)時間不同等原因造成的初始距離差。解題的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確找出這個“路程差”以及明確“追及時間”是哪一段時間。典型例題解析：例題3：甲、乙兩人在環(huán)形跑道上練習(xí)跑步，跑道一圈長n米。甲每分鐘跑g米，乙每分鐘跑h米，且g>h。（1）若兩人同時同地同向出發(fā)，經(jīng)過多少分鐘甲第一次追上乙？（2）若兩人同時同地反向出發(fā)，經(jīng)過多少分鐘兩人第一次相遇？分析與解答：這道題將行程問題與環(huán)形跑道結(jié)合，非常經(jīng)典。第（1）問是環(huán)形跑道上的追及問題。兩人同時同地同向出發(fā)，甲的速度比乙快，所以甲會逐漸追上乙。當(dāng)甲第一次追上乙時，甲正好比乙多跑了一圈，也就是路程差為n米。根據(jù)追及問題公式，追及時間=路程差÷速度差，所以甲第一次追上乙所需的時間為`n÷(g-h)`分鐘。第（2）問是環(huán)形跑道上的相遇問題。兩人同時同地反向出發(fā)，他們的相對速度是兩者的速度和`(g+h)`米/分鐘。當(dāng)兩人第一次相遇時，他們一共跑的路程正好是一圈，即n米。根據(jù)相遇問題公式，相遇時間=總路程÷速度和，所以第一次相遇所需的時間為`n÷(g+h)`分鐘。例題4：一輛卡車以每小時i千米的速度從A地開往B地，行了j小時后，一輛轎車以每小時k千米的速度也從A地開往B地，轎車追上卡車時距離A地多遠(yuǎn)？（k>i）分析與解答：這是一道直線追及問題?？ㄜ囅瘸霭l(fā)j小時，當(dāng)轎車開始出發(fā)時，卡車已經(jīng)行駛了一段路程，這段路程就是轎車需要追及的“路程差”。路程差=卡車速度×卡車先行時間=`i×j`千米。轎車和卡車的速度差為`(k-i)`千米/小時。根據(jù)追及時間=路程差÷速度差，轎車追上卡車所需的時間為`(i×j)÷(k-i)`小時。那么，轎車追上卡車時，轎車行駛的路程就是距離A地的距離，即轎車速度×追及時間=`k×[(i×j)÷(k-i)]`千米。也可以通過卡車行駛的總路程來計算：卡車一共行駛了`j+[(i×j)÷(k-i)]`小時，所以距離A地`i×(j+[(i×j)÷(k-i)])`千米，化簡后與前面的結(jié)果一致。二、火車過橋/隧道問題：考慮自身長度的特殊行程核心知識梳理：火車過橋（或隧道）問題的特殊性在于，火車本身具有一定的長度，不能像質(zhì)點一樣看待。因此，火車完全通過橋（或隧道）所行駛的路程，等于橋長（或隧道長）加上火車自身的長度?；娟P(guān)系式：`火車行駛路程=橋長(隧道長)+火車長度``(橋長+火車長)÷速度=通過時間``速度×通過時間=橋長+火車長`解題時，務(wù)必明確“完全通過”、“完全在橋上”、“車頭相遇”、“車尾相離”等不同情境下，火車實際行駛的路程是多少。典型例題解析：例題5：一列火車長p米，以每秒q米的速度通過一座長r米的大橋。從車頭上橋到車尾離橋共需要多少時間？分析與解答：“從車頭上橋到車尾離橋”意味著火車要完全通過大橋。此時，火車行駛的總路程應(yīng)該是大橋的長度加上火車自身的長度，即`(p+r)`米。已知火車速度為每秒q米，根據(jù)時間=路程÷速度，所需時間為`(p+r)÷q`秒。例題6：兩列火車相向而行，甲車長s米，每秒行t米；乙車長u米，每秒行v米。兩車從車頭相遇到車尾相離共需要多少時間？分析與解答：這是兩列火車的相遇問題，同樣要考慮火車的長度。從“車頭相遇到車尾相離”，兩車共同行駛的路程等于甲、乙兩車的長度之和，即`(s+u)`米。兩車相向而行，它們的相對速度為兩車速度之和`(t+v)`米/秒。因此，所需時間為`(s+u)÷(t+v)`秒。這里的“路程和”是兩車車身長度之和，這點非常關(guān)鍵。三、行程問題的綜合運用與解題策略除了上述基本題型，六年級奧數(shù)中還常常出現(xiàn)一些綜合性的行程問題，例如“多次相遇”、“分段變速”、“流水行船”等。解決這些問題，除了要熟練掌握基本公式外，還需要運用一些有效的解題策略：1.畫圖法：行程問題往往涉及運動過程，畫圖是理解題意、分析數(shù)量關(guān)系最直觀有效的方法。通過線段圖、示意圖等，可以清晰地表示出物體的運動方向、路程、時間等要素，幫助找到關(guān)鍵的等量關(guān)系。2.分段法/假設(shè)法：對于復(fù)雜的行程過程，可以將其分解為若干個簡單的階段，逐個分析。或者通過假設(shè)某個量不變，來簡化問題，找到突破口。3.方程法：許多行程問題，特別是當(dāng)數(shù)量關(guān)系比較隱蔽時，運用方程求解會非常方便。設(shè)出恰當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)，根據(jù)路程、速度、時間之間的關(guān)系列出方程，即可求解。4.比例法：在速度一定時，路程與時間成正比；在時間一定時，路程與速度成正比；在路程一定時，速度與時間成反比。利用這些比例關(guān)系，可以巧妙地解決一些用算術(shù)方法難以