2025秋季初三數(shù)學(xué)同步講義05一元二次方程的應(yīng)用【基礎(chǔ)鞏固】1、解一元二次方程的步驟是什么？2、常見(jiàn)的一元二次方程的應(yīng)用題有哪些類型？【精準(zhǔn)突破】一．增長(zhǎng)率問(wèn)題例1．（常規(guī)）滄州金絲小棗又名西河紅棗，因干棗剝開(kāi)時(shí)有金黃絲相連，入口甜如蜜，外形如珠似璣，故稱金絲小棗，是中國(guó)國(guó)家地理標(biāo)志產(chǎn)品．2022年至2024年滄州某地的金絲小棗種植面積由5000畝增加到7500畝．設(shè)2022年至2024年金絲小棗種植面積的年平均增長(zhǎng)率為x，則可列方程為．例2．（累計(jì)、求和）某經(jīng)濟(jì)技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)今年一月份工業(yè)產(chǎn)值達(dá)50億元，且一月份、二月份、三月份的總產(chǎn)值為175億元，若設(shè)平均每月的增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意可列方程（

）A．501+x2=175C．501+x+501+x例3．（初始值未知當(dāng)“1”計(jì)算）某市2008年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）比2007年增長(zhǎng)了12%，由于受到國(guó)際金融危機(jī)的影響，預(yù)計(jì)今年比2008年增長(zhǎng)7%，若這兩年GDP年平均增長(zhǎng)率為x%，則x%滿足的方程是．例4．（審題）某種品牌運(yùn)動(dòng)服經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)，每件的零售價(jià)由400元降為288元，已知第二次降價(jià)的百分率是第一次的2倍，求第一次降價(jià)的百分率．設(shè)第一次降價(jià)的百分率為x，根據(jù)題意，可列方程為_(kāi)________________________.【答案】400【實(shí)戰(zhàn)演練】1．俗語(yǔ)有云：“一天不練手腳慢，兩天不練丟一半，三天不練門(mén)外漢，四天不練瞪眼看．”其意思是知識(shí)和技藝在學(xué)習(xí)后，如果不及時(shí)復(fù)習(xí)，那么學(xué)習(xí)過(guò)的東西就會(huì)被遺忘．假設(shè)每天“遺忘”的百分比是一樣的，根據(jù)“兩天不練丟一半”，設(shè)每天“遺忘”的百分比為x，根據(jù)題意可列方程為（

）A．1?x2=C．12(1+x)22．某機(jī)場(chǎng)計(jì)劃經(jīng)過(guò)兩年時(shí)間，人流量增加44%，這兩年平均每年人流量的增長(zhǎng)率是（

A．19% B．20% C．21%3．一種測(cè)溫槍原來(lái)的價(jià)格為120元/把，連續(xù)兩次降價(jià)后，價(jià)格下降了15%．設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x，則（

A．1201?2x=120×1?15C．1201?x2=120×4．“雙碳”背景下，我國(guó)新能源汽車保有量已處于世界第一，隨著消費(fèi)人群不斷增多，某款新能源汽車銷售量持續(xù)增長(zhǎng)，如果第三個(gè)月銷售量的增長(zhǎng)率是第二個(gè)月的2倍，第三個(gè)月的銷售量是第一個(gè)月的3倍，設(shè)第一月月銷售量為a輛，第二個(gè)月銷售量的增長(zhǎng)率為x，則可列出方程是（

）A．a(chǎn)(1+x)2=3aC．a(chǎn)1+2x1+3x=3a5．某海洋養(yǎng)殖場(chǎng)每年的養(yǎng)殖成本包括固定成本和可變成本，其中固定成本每年均為4萬(wàn)元，可變成本逐年增長(zhǎng)，已知該養(yǎng)殖場(chǎng)第一年的可變成本為2.6萬(wàn)元，第三年的養(yǎng)殖成本為7.146萬(wàn)元，設(shè)可變成本平均每年增長(zhǎng)的百分率為x，則可列方程為．二．銷售利潤(rùn)問(wèn)題例1．（設(shè)降價(jià)為x）西瓜經(jīng)營(yíng)戶以2元/千克的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批小型西瓜，以3元/千克的價(jià)格出售，每天可售出200千克．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種小型西瓜每降價(jià)0.1元/千克，每天可多售出40千克，另外，每天的房租等固定成本共24元，該經(jīng)營(yíng)戶要想每天盈利200元，為盡快將西瓜售出，應(yīng)將每千克小型西瓜的售價(jià)降低多少元？例2．（設(shè)售價(jià)為x）某商場(chǎng)將進(jìn)貨價(jià)為30元的臺(tái)燈以40元售出，平均每月能售出600個(gè)，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，售價(jià)在40元至60元之間，這種臺(tái)燈的售價(jià)每上漲1元，其銷售量就將減少10個(gè)．（1）若y（個(gè)）表示這種臺(tái)燈平均每月的銷量，x（元）表示這種臺(tái)燈的售價(jià)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）為了實(shí)現(xiàn)平均每月12000元的銷售利潤(rùn)，求這種臺(tái)燈的售價(jià)應(yīng)定為多少元．例3．（總利潤(rùn)=總銷售額總成本）某玩具廠計(jì)劃生產(chǎn)一種玩具熊貓，每日最高產(chǎn)量為40只，且每日產(chǎn)出的產(chǎn)品全部售出，已知生產(chǎn)x只熊貓的成本為R（元），售價(jià)每只為P（元），且R、P與x的關(guān)系式分別為R＝500+30x，P＝170﹣2x．（1）當(dāng)日產(chǎn)量為40只時(shí)，每日獲利多少元？（2）當(dāng)日產(chǎn)量為多少時(shí)每日獲得的利潤(rùn)為1750元？例4．（給圖象）某超市擬于十月一前50天里銷售某種水果，其進(jìn)價(jià)為18元/kg．設(shè)第x天的銷售價(jià)格為y（元/kg），銷售量為m（kg）．該超市根據(jù)以往的銷售經(jīng)驗(yàn)得出以下的銷售規(guī)律：①當(dāng)1≤x≤30時(shí)，y＝43；當(dāng)31≤x≤50時(shí)，y與x滿足為y＝﹣x+55；②銷售量m與x的關(guān)系如圖所示．（1）求m與x的關(guān)系式；（2）超市在第幾天銷售可獲利4250元？例5．（含參數(shù)）今年以來(lái)四川把家電以舊換新作為惠民生的重要舉措，截至10月24日全省家電補(bǔ)貼金額15億元．某商家在“雙十一購(gòu)物節(jié)”對(duì)某款冰箱實(shí)行降價(jià)促銷．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，該款冰箱原銷售單價(jià)為4500元時(shí)，平均每月能售出10臺(tái)；如果售價(jià)每降價(jià)100元，那么平均每月可多售出2臺(tái)．(1)設(shè)每臺(tái)冰箱降價(jià)x元，那么平均每月銷售量為（用含x的代數(shù)式表示）；(2)已知購(gòu)進(jìn)這款冰箱的單價(jià)是3000元，商家決定每臺(tái)冰箱降價(jià)100m元進(jìn)行銷售．根據(jù)政策，降價(jià)銷售后，商家每銷售一臺(tái)冰箱可獲得40m元的補(bǔ)貼．若商家所獲的總利潤(rùn)為27000元，求m的值．例6．（審題）李師傅到批發(fā)市場(chǎng)購(gòu)進(jìn)陽(yáng)光玫瑰進(jìn)行銷售，這種陽(yáng)光玫瑰每箱10千克，批發(fā)商規(guī)定：整箱購(gòu)買，一箱起售，每人一天購(gòu)買不超過(guò)10箱；當(dāng)購(gòu)買1箱時(shí)，批發(fā)價(jià)為9.2元/千克，每多購(gòu)買1箱，批發(fā)價(jià)每千克降低0.2元．根據(jù)李師傅的銷售經(jīng)驗(yàn)；這種陽(yáng)光玫瑰售價(jià)為14元/千克時(shí)，每天可銷售1箱；售價(jià)每千克降低0.5元，每天可多銷售1箱．(1)若購(gòu)進(jìn)陽(yáng)光玫瑰3箱，每千克批發(fā)價(jià)為_(kāi)_____，3箱全部售出，每千克售價(jià)為_(kāi)_____，3箱共獲利為_(kāi)_____．(2)若每天購(gòu)進(jìn)的陽(yáng)光玫瑰需當(dāng)天全部售完，請(qǐng)你計(jì)算，李師傅每天應(yīng)購(gòu)進(jìn)這種水果多少箱，才能使每天所獲利潤(rùn)為198元？【實(shí)戰(zhàn)演練】1．某商場(chǎng)銷售A，B兩種新型小家電，A型每臺(tái)進(jìn)價(jià)30元，售價(jià)40元，B型每臺(tái)進(jìn)價(jià)35元，售價(jià)50元，4月份售出A型30臺(tái)，且銷售這兩種小家電共獲利不少于590元．(1)求4月份售出B型小家電至少多少臺(tái)？(2)經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查，5月份A型售價(jià)每降低1元，銷量將增加6臺(tái)；B型售價(jià)每降低1元，銷量將在4月份最低銷量的基礎(chǔ)上增加4臺(tái)．為盡可能讓消費(fèi)者獲得實(shí)惠，商場(chǎng)計(jì)劃5月份A，B兩種小家電都降低相同價(jià)格，且希望銷售這兩種小家電共獲利700元，則這兩種小家電都應(yīng)降低多少元？2．“我運(yùn)動(dòng)，我健康，我快樂(lè)！”隨著人們對(duì)身心健康的關(guān)注度越來(lái)越高，某市參加健身運(yùn)動(dòng)的人數(shù)逐年增多，從2021年的32萬(wàn)人增加到2023年的50萬(wàn)人．(1)求該市參加健身運(yùn)動(dòng)人數(shù)的年均增長(zhǎng)率；(2)為支持市民的健身運(yùn)動(dòng)，該市市政府決定從A公司購(gòu)買某種套裝健身器材．該公司規(guī)定：若購(gòu)買不超過(guò)100套，每套售價(jià)1800元；若超過(guò)100套，每增加10套，售價(jià)每套可降低60元．但最低售價(jià)不得少于1200元．已知市政府向該公司支付貨款22.5萬(wàn)元，求購(gòu)買的這種健身器材的套數(shù)．3．水果店花1500元進(jìn)了一批水果，按50%的利潤(rùn)定價(jià)，無(wú)人購(gòu)買，決定打折出售，但仍無(wú)人購(gòu)買，結(jié)果又一次打折后才售完．經(jīng)結(jié)算，這批水果共盈利500元．若兩次打折的折扣相同，設(shè)每次打x折，根據(jù)題意，下面所列方程正確的是（

A．1500×50B．1500×50C．1500D．15004．星星服裝店以每件50元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)800件T恤．第一個(gè)月以單價(jià)80元銷售，售出了200件：第二個(gè)月如果單價(jià)不變，預(yù)計(jì)仍可售出200件，批發(fā)商為增加銷售量，決定降價(jià)銷售，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，單價(jià)每降低1元，可多售出10件，但最低單價(jià)應(yīng)高于購(gòu)進(jìn)的價(jià)格；第二個(gè)月結(jié)束后，批發(fā)商將對(duì)剩余的T恤一次性清倉(cāng)銷售，清倉(cāng)時(shí)單價(jià)為40元．設(shè)第二個(gè)月單價(jià)降低x元．(1)填表（需化簡(jiǎn)）：時(shí)間第一個(gè)月第二個(gè)月清倉(cāng)時(shí)單價(jià)（元）8040銷售量（件）200(2)如果批發(fā)商希望通過(guò)銷售這批T恤獲利9000元，那么第二個(gè)月的單價(jià)應(yīng)是多少元？5．為了加快發(fā)展新能源和清結(jié)能源，助力實(shí)現(xiàn)“雙碳”目標(biāo)，大力發(fā)展高效光伏發(fā)電關(guān)鍵零部件制造．青島上合示范區(qū)某工廠生產(chǎn)的某種零件按供需要求分為8個(gè)檔次．若生產(chǎn)第一檔次（最低檔次）的產(chǎn)品，一天可生產(chǎn)38件，每件的利潤(rùn)為12元，每提高一個(gè)檔次，每件的利潤(rùn)增加3元，每天的產(chǎn)量將減少2件．請(qǐng)解答下列問(wèn)題，設(shè)產(chǎn)品的檔次（每天只生產(chǎn)一個(gè)檔次的產(chǎn)品）為x，若該產(chǎn)品一天的總利潤(rùn)為756元，求這天生產(chǎn)產(chǎn)品的檔次x的值．三．面積問(wèn)題例1．（小路問(wèn)題）如圖，在長(zhǎng)為42米、寬為20米的矩形地面上修筑道路（圖中陰影部分），其中鉛直方向的小路的寬度是水平小路寬度的2倍，余下部分種植草坪，要使草坪的面積為640平方米，設(shè)水平方向道路的寬為x米，則可列方程為．例2．（紙盒問(wèn)題）把長(zhǎng)為40cm，寬為30cm的長(zhǎng)方形硬紙板，剪掉2個(gè)小正方形和2個(gè)小長(zhǎng)方形（陰影部分即剪掉的部分），把剩余部分折成一個(gè)有蓋的長(zhǎng)方體盒子，記剪掉的小的正方形邊長(zhǎng)為xcm，（紙板的厚度忽略不計(jì)）若折成的長(zhǎng)方體盒子表面積為950例3．（柵欄問(wèn)題）如圖，要利用一面墻（墻長(zhǎng)為25米）建一個(gè)矩形場(chǎng)地，用97米長(zhǎng)的圍欄圍成三個(gè)大小相同的矩形，每個(gè)矩形都有一個(gè)1米的門(mén)，設(shè)矩形的邊長(zhǎng)AB為x米．(1)請(qǐng)用含有x的式子表示BC______（不要求寫(xiě)出的取值范圍）；(2)當(dāng)x為何值時(shí)，矩形場(chǎng)地的總面積為400平方米？【實(shí)戰(zhàn)演練】1．如圖，某小區(qū)規(guī)劃在一個(gè)長(zhǎng)為40m、寬為26m的矩形場(chǎng)地ABCD上修建三條同樣寬的小路，使其中兩條與AB平行，另一條與AD平行，其余部分種草．若使每一塊草坪的面積為144m2，求小路的寬度．若設(shè)小路的寬度為xm某小區(qū)在綠化工程中有一塊長(zhǎng)為18m、寬為6m的矩形空地，計(jì)劃在其中修建兩塊相同的矩形綠地，使它們的面積之和為60m2，兩塊綠地之間及周邊留有寬度相等的人行通道（如圖所示），求人行通道的寬度．3．綜合實(shí)踐——用矩形硬紙片制作無(wú)蓋紙盒．如圖1，有一張長(zhǎng)30cm，寬16(1)若剪去的正方形的邊長(zhǎng)為2cm，則紙盒底面長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為_(kāi)__________cm，寬為_(kāi)__________cm(2)若紙盒的底面積為240cm(3)如圖3，小明先在原矩形硬紙片的兩個(gè)角各剪去一個(gè)同樣大小的正方形（陰影部分），經(jīng)過(guò)思考他發(fā)現(xiàn)，再剪去兩個(gè)同樣大小的矩形后，可將剩余部分折成一個(gè)有蓋紙盒．若折成的有蓋長(zhǎng)方體紙盒的表面積為412cm4．如圖1，將面積為4的正方形分為①②③④四部分，分成的4部分恰好拼成如圖2所示的矩形ABCD，則AB長(zhǎng)為．四．其他問(wèn)題例1．（單雙循環(huán)問(wèn)題）學(xué)校要組織一次排球邀請(qǐng)賽，參賽的每?jī)蓚€(gè)隊(duì)之間都要比賽一場(chǎng)．根據(jù)場(chǎng)地和時(shí)間等條件，賽程計(jì)劃安排7天，每天安排4場(chǎng)比賽，比賽組織者應(yīng)邀請(qǐng)多少個(gè)隊(duì)參賽？設(shè)應(yīng)邀請(qǐng)x個(gè)隊(duì)參賽，根據(jù)題意，可列方程為（

）A．12xx?1=28B．12x例2．（病毒傳播問(wèn)題）秋冬季是支原體肺炎的感染高發(fā)期，佩戴口罩是遏制支原體肺炎病毒傳播的一種有效途徑．若有一個(gè)人患了支原體肺炎，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有81人患了支原體肺炎（假設(shè)每個(gè)人每輪傳染的人數(shù)同樣多）．設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人，可列方程為（

）A．xx+1=81 C．1+x+x2=81例3．（數(shù)字問(wèn)題）小明同學(xué)是一位古詩(shī)文的愛(ài)好者，在學(xué)習(xí)了一元二次方程這一章后，改編了蘇軾詩(shī)詞《念奴嬌?赤壁懷古》：“大江東去浪淘盡，千古風(fēng)流人物．而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù)．十位恰小個(gè)位三，個(gè)位平方與壽同．哪位學(xué)子算得快，多少年華數(shù)周瑜？”假設(shè)周瑜去世時(shí)年齡的十位數(shù)字是x，則可列方程為（）A．10x+（x﹣3）＝（x﹣3）2 B．10（x+3）+x＝x2 C．10x+（x+3）＝（x+3）2 D．10（x+3）+x＝（x+3）2【實(shí)戰(zhàn)演練】1．（1）某學(xué)習(xí)小組同學(xué)在元旦互相贈(zèng)賀年卡一張，全組共贈(zèng)賀年卡90張，設(shè)這個(gè)小組共有同學(xué)x個(gè)．根據(jù)題中的條件，列出關(guān)于x的方程為：．（2）2022年北京冬奧會(huì)女子冰壺比賽有若干支隊(duì)伍參加了單循環(huán)比賽（即所有參賽隊(duì)在比賽中均能相遇一次），若單循環(huán)比賽共進(jìn)行了45場(chǎng)，則共有多少支隊(duì)伍參加比賽？設(shè)共有x支隊(duì)伍參加比賽，根據(jù)題意，可列方程為．2．春節(jié)過(guò)后，甲型流感病毒（以下簡(jiǎn)稱：甲流）開(kāi)始悄然傳播，某辦公室最初有兩人同時(shí)患上甲流，經(jīng)過(guò)兩輪傳播后，辦公室現(xiàn)有8人確診甲流，請(qǐng)問(wèn)在兩輪傳染過(guò)程中，平均一人會(huì)傳染給幾個(gè)人．動(dòng)點(diǎn)1．如圖，在等邊△ABC中，AB=8cm．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB方向運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā)，沿BC的延長(zhǎng)線方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P，Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，Q，P兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度均為1cm/s．過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AC，垂足為D，PQ，AC相交于點(diǎn)(1)當(dāng)t為何值時(shí)，△BPQ為直角三角形？(2)設(shè)四邊形PBQD的面積為Scm2，寫(xiě)出S與(3)在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻t，使得S△PDA:S2．如圖，直線AB交x軸于點(diǎn)A32,0，交y軸于點(diǎn)B0,3，點(diǎn)P在線段AB上（不與點(diǎn)A，B重合），過(guò)點(diǎn)P作(1)求直線AB的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)△POC的面積為12時(shí)，求P(3)△POC的面積能達(dá)到1嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．3．在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，點(diǎn)P從點(diǎn)C開(kāi)始以1cm/s的速度沿CB邊向點(diǎn)B移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)D開(kāi)始以2cm/s的速度沿DC邊向點(diǎn)C移動(dòng)，(1)經(jīng)過(guò)幾秒，△PCQ是等腰三角形？(2)是否存在某個(gè)時(shí)刻，使△PCQ的面積是矩形面積的18(3)是否存在某個(gè)時(shí)刻，使△APQ成為直角三角形？為什么？4．如圖，在矩形ABCD中，AB=10?cm，BC=12?cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿邊AB向終點(diǎn)B以2cm/s的速度移動(dòng)，與此同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿邊BC向終點(diǎn)C以4cm/s的速度移動(dòng)．如果P，Q分別從A，B同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)(1)當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)B在PQ的垂直平分線上？(2)當(dāng)t為何值時(shí)，PQ的長(zhǎng)度等于10?cm(3)連接PC，是否存在t的值，使得△PQC的面積等于32?cm25．如圖①，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝6cm，Rt△EDF中，∠EDF＝90°，DE＝DF＝6cm，邊BC與FD重合，且頂點(diǎn)E與AC邊上的定點(diǎn)N重合．如圖②，△EDF從圖①所示位置出發(fā)，沿射線NC方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s．EF與BC交于點(diǎn)Q(1)當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)B在PQ的垂直平分線上？(2)當(dāng)t為何值時(shí)，S△PBQ(3)如圖③，△APE與△AGE關(guān)于直線AC對(duì)稱，連接CG．①當(dāng)PQ∥CG時(shí)，求t的值；②是否存在某一時(shí)刻t，使四邊形APEG為菱形？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．6．如圖，在矩形ABCD中，AB=5?cm,BC=6?cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿邊AB向終點(diǎn)B以1?cm/s的速度移動(dòng)，與此同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿邊BC向終點(diǎn)C以2?cm/s的速度移動(dòng)．如果P,Q分別從A,B同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)(1)當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)B在PQ的垂直平分線上？(2)當(dāng)t為何值時(shí)，PQ的長(zhǎng)度等于5?cm(3)連接PC，是否存在t的值，使得△PQC的面積等于8?cm2(4)是否存在t的值，使得△BPQ的面積與五邊形APQCD的面積之比等于2:13？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．7．如圖，一次函數(shù)y=2x+5的圖象交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，點(diǎn)P在線段AB上（不與點(diǎn)A，B重合），過(guò)點(diǎn)P作OB的垂線，垂足為C，連接OP，過(guò)點(diǎn)C作CD∥OP，交x軸于點(diǎn)D．若四邊形PCDO的面積為2，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為8．如圖，在矩形ABCD中，AB=3cm，BC=6cm．點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A即停止；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C即停止，點(diǎn)P、Q的速度都是1cm/s．連接PQ、AQ、CP．設(shè)點(diǎn)P、Q(1)當(dāng)t=______時(shí)，四邊形ABQP是矩形；(2)當(dāng)t=______時(shí)，四邊形AQCP是菱形；(3)是否存在某一時(shí)刻t使得PQ⊥PC，如果存在，請(qǐng)求出t的值，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(4)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，沿著AQ把△ABQ翻折，當(dāng)t為何值時(shí)，翻折后點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′恰好落在PQ2025秋季初三數(shù)學(xué)同步講義05一元二次方程的應(yīng)用（解析）【基礎(chǔ)鞏固】1、解一元二次方程的步驟是什么？2、常見(jiàn)的一元二次方程的應(yīng)用題有哪些類型？【精準(zhǔn)突破】一．增長(zhǎng)率問(wèn)題例1．（常規(guī)）滄州金絲小棗又名西河紅棗，因干棗剝開(kāi)時(shí)有金黃絲相連，入口甜如蜜，外形如珠似璣，故稱金絲小棗，是中國(guó)國(guó)家地理標(biāo)志產(chǎn)品．2022年至2024年滄州某地的金絲小棗種植面積由5000畝增加到7500畝．設(shè)2022年至2024年金絲小棗種植面積的年平均增長(zhǎng)率為x，則可列方程為．【答案】5000【分析】本題考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．設(shè)2022年至2024年金絲小棗種植面積的年平均增長(zhǎng)率為x，則2023年金絲小棗種植面積為50001+x畝，那么2024年金絲小棗種植面積為5000【詳解】解：設(shè)2022年至2024年金絲小棗種植面積的年平均增長(zhǎng)率為x，∵2022年至2024年滄州某地的金絲小棗種植面積由5000畝增加到7500畝．∴由題意得：50001+x例2．（累計(jì)、求和）某經(jīng)濟(jì)技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)今年一月份工業(yè)產(chǎn)值達(dá)50億元，且一月份、二月份、三月份的總產(chǎn)值為175億元，若設(shè)平均每月的增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意可列方程（

）A．501+x2=175C．501+x+501+x【答案】D【分析】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．增長(zhǎng)率問(wèn)題，一般用增長(zhǎng)后的量=增長(zhǎng)前的量×（1+增長(zhǎng)率），本題可先用x表示出二月份的產(chǎn)值，再根據(jù)題意表示出三月份的產(chǎn)值，然后將三個(gè)月的產(chǎn)值相加，即可列出方程．【詳解】解：二月份的產(chǎn)值為：501+x三月份的產(chǎn)值為：501+x故第一季度總產(chǎn)值為：50+501+x故選：D．例3．（初始值未知當(dāng)“1”計(jì)算）某市2008年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）比2007年增長(zhǎng)了12%，由于受到國(guó)際金融危機(jī)的影響，預(yù)計(jì)今年比2008年增長(zhǎng)7%，若這兩年GDP年平均增長(zhǎng)率為x%，則x%滿足的方程是．【答案】1×(1+12【分析】設(shè)2007年的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）為1，根據(jù)2009年的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值的兩種不同的表述方式列出方程即可．【詳解】解：設(shè)2007年的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）為1，∵2008年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）比2007年增長(zhǎng)了12%，∴2008年的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）為1×（1+12%），∵今年比2008年增長(zhǎng)7%，∴2009年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值為1×（1+12%）×（1+7%），若這兩年GDP年平均增長(zhǎng)率為x%，則2009年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值為1×（1+x%）2，∴可列方程為1×(1+12%故答案為1×(1+12%【點(diǎn)睛】本題考查了平均增長(zhǎng)率問(wèn)題，正確理解增長(zhǎng)率是解題的關(guān)鍵．例4．（審題）某種品牌運(yùn)動(dòng)服經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)，每件的零售價(jià)由400元降為288元，已知第二次降價(jià)的百分率是第一次的2倍，求第一次降價(jià)的百分率．設(shè)第一次降價(jià)的百分率為x，根據(jù)題意，可列方程為_(kāi)________________________.【答案】400【實(shí)戰(zhàn)演練】1．俗語(yǔ)有云：“一天不練手腳慢，兩天不練丟一半，三天不練門(mén)外漢，四天不練瞪眼看．”其意思是知識(shí)和技藝在學(xué)習(xí)后，如果不及時(shí)復(fù)習(xí)，那么學(xué)習(xí)過(guò)的東西就會(huì)被遺忘．假設(shè)每天“遺忘”的百分比是一樣的，根據(jù)“兩天不練丟一半”，設(shè)每天“遺忘”的百分比為x，根據(jù)題意可列方程為（

）A．1?x2=C．12(1+x)2【答案】D【分析】該題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，正確列出方程．設(shè)每天遺忘的百分比為x，根據(jù)“兩天不練丟一半”列出方程即可．【詳解】解：設(shè)每天遺忘的百分比為x，則(1?x)2故選：D．2．某機(jī)場(chǎng)計(jì)劃經(jīng)過(guò)兩年時(shí)間，人流量增加44%，這兩年平均每年人流量的增長(zhǎng)率是（

A．19% B．20% C．21%【答案】B【分析】本題考查了增長(zhǎng)率的問(wèn)題．可設(shè)這兩年平均每年的增長(zhǎng)率為x，因?yàn)榻?jīng)過(guò)兩年時(shí)間，人流量增加44%，則有1+x【詳解】解：設(shè)這兩年平均每年人流量的增長(zhǎng)率是x，根據(jù)題意得，1+x2解得x1=?2.2（舍去），答：這兩年平均每年人流量的增長(zhǎng)率是20%故選：B．3．一種測(cè)溫槍原來(lái)的價(jià)格為120元/把，連續(xù)兩次降價(jià)后，價(jià)格下降了15%．設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x，則（

A．1201?2x=120×1?15C．1201?x2=120×【答案】C【分析】根據(jù)兩次降價(jià)后，價(jià)格下降了15%【詳解】解：設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x，由題意可得：1201?x故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，關(guān)鍵是根據(jù)平均變化率表示出變化后的量，經(jīng)過(guò)兩次變化后的數(shù)量關(guān)系為a1±x4．“雙碳”背景下，我國(guó)新能源汽車保有量已處于世界第一，隨著消費(fèi)人群不斷增多，某款新能源汽車銷售量持續(xù)增長(zhǎng)，如果第三個(gè)月銷售量的增長(zhǎng)率是第二個(gè)月的2倍，第三個(gè)月的銷售量是第一個(gè)月的3倍，設(shè)第一月月銷售量為a輛，第二個(gè)月銷售量的增長(zhǎng)率為x，則可列出方程是（

）A．a(chǎn)(1+x)2=3aC．a(chǎn)1+2x1+3x=3a【答案】D【分析】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，根據(jù)第二個(gè)月銷售量的增長(zhǎng)率為x，則第三個(gè)月銷售量的增長(zhǎng)率是2x，由第一月月銷售量為a輛，第三個(gè)月的銷售量是第一個(gè)月的3倍，列出方程即可．【詳解】解：設(shè)第二個(gè)月銷售量的增長(zhǎng)率為x，則第三個(gè)月銷售量的增長(zhǎng)率是2x，根據(jù)題意得：a1+x故選：D．5．某海洋養(yǎng)殖場(chǎng)每年的養(yǎng)殖成本包括固定成本和可變成本，其中固定成本每年均為4萬(wàn)元，可變成本逐年增長(zhǎng)，已知該養(yǎng)殖場(chǎng)第一年的可變成本為2.6萬(wàn)元，第三年的養(yǎng)殖成本為7.146萬(wàn)元，設(shè)可變成本平均每年增長(zhǎng)的百分率為x，則可列方程為．【答案】2.6【分析】根據(jù)題意可求出第三年的可變成本為(7.1464)萬(wàn)元，再用x表示出第三年的可變成本，即可列出等式，即得出答案．【詳解】設(shè)可變成本平均每年增長(zhǎng)的百分率為x，則可列方程為：2.6(1+x)故答案為：2.6(1+x)【點(diǎn)睛】本題考查由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程．理解題意，找出等量關(guān)系，列出等式是解題關(guān)鍵．二．銷售利潤(rùn)問(wèn)題例1．（設(shè)降價(jià)為x）西瓜經(jīng)營(yíng)戶以2元/千克的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批小型西瓜，以3元/千克的價(jià)格出售，每天可售出200千克．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種小型西瓜每降價(jià)0.1元/千克，每天可多售出40千克，另外，每天的房租等固定成本共24元，該經(jīng)營(yíng)戶要想每天盈利200元，為盡快將西瓜售出，應(yīng)將每千克小型西瓜的售價(jià)降低多少元？【答案】0.3元【分析】本題主要考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，設(shè)應(yīng)將每千克小型西瓜的售價(jià)降低x元，則銷售量為200+40?x【詳解】解：設(shè)應(yīng)將每千克小型西瓜的售價(jià)降低x元，由題意得，3?2?x200+40?整理得：50x解得x=0.3或x=0.2，∵為盡快將西瓜售出，∴x=0.3，答：應(yīng)將每千克小型西瓜的售價(jià)降低0.3元．例2．（設(shè)售價(jià)為x）某商場(chǎng)將進(jìn)貨價(jià)為30元的臺(tái)燈以40元售出，平均每月能售出600個(gè)，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，售價(jià)在40元至60元之間，這種臺(tái)燈的售價(jià)每上漲1元，其銷售量就將減少10個(gè)．（1）若y（個(gè)）表示這種臺(tái)燈平均每月的銷量，x（元）表示這種臺(tái)燈的售價(jià)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）為了實(shí)現(xiàn)平均每月12000元的銷售利潤(rùn)，求這種臺(tái)燈的售價(jià)應(yīng)定為多少元．【答案】（1）y＝﹣10x+1000（40≤x≤60）；（2）60元．【解答】解：（1）依題意得：y＝600﹣10（x﹣40）＝﹣10x+1000（40≤x≤60）．（2）依題意得：（x﹣30）（﹣10x+1000）＝12000，整理得：x2﹣130x+4200＝0，解得：x1＝60，x2＝70（不符合題意，舍去）．答：這種臺(tái)燈的售價(jià)應(yīng)定為60元．例3．（總利潤(rùn)=總銷售額總成本）某玩具廠計(jì)劃生產(chǎn)一種玩具熊貓，每日最高產(chǎn)量為40只，且每日產(chǎn)出的產(chǎn)品全部售出，已知生產(chǎn)x只熊貓的成本為R（元），售價(jià)每只為P（元），且R、P與x的關(guān)系式分別為R＝500+30x，P＝170﹣2x．（1）當(dāng)日產(chǎn)量為40只時(shí)，每日獲利多少元？（2）當(dāng)日產(chǎn)量為多少時(shí)每日獲得的利潤(rùn)為1750元？【答案】（1）1900元；（2）當(dāng)日產(chǎn)量為25只時(shí)每日獲得的利潤(rùn)為1750元．【解答】解：（1）當(dāng)x＝40時(shí)，（170﹣2x）x﹣（500+30x）＝（170﹣2×40）×40﹣（500+30×40）＝1900（元），答：當(dāng)日產(chǎn)量為40只時(shí)，每日獲利1900元；（2）由題意得：（170﹣2x）x﹣（500+30x）＝1750，解得：x1＝25，x2＝45（不符合題意舍去）．答：當(dāng)日產(chǎn)量為25只時(shí)每日獲得的利潤(rùn)為1750元．例4．（給圖象）某超市擬于十月一前50天里銷售某種水果，其進(jìn)價(jià)為18元/kg．設(shè)第x天的銷售價(jià)格為y（元/kg），銷售量為m（kg）．該超市根據(jù)以往的銷售經(jīng)驗(yàn)得出以下的銷售規(guī)律：①當(dāng)1≤x≤30時(shí)，y＝43；當(dāng)31≤x≤50時(shí)，y與x滿足為y＝﹣x+55；②銷售量m與x的關(guān)系如圖所示．（1）求m與x的關(guān)系式；（2）超市在第幾天銷售可獲利4250元？【答案】（1）m＝5x+50；（2）第24天或40天．【解答】解：（1）設(shè)m與x的關(guān)系式為m＝kx+b（k≠0），將（2，60），（40，250）代入m＝kx+b得：，解得：，∴m與x的關(guān)系式為m＝5x+50．（2）當(dāng)1≤x≤30時(shí)，（43﹣18）（5x+50）＝4250，解得：x＝24；當(dāng)31≤x≤50時(shí)，（﹣x+55﹣18）（5x+50）＝4250，整理得：x2﹣64x+960＝0，解得：x1＝24（不合題意，舍去），x2＝40．答：超市在第24天或40天銷售可獲利4250元．例5．（含參數(shù)）今年以來(lái)四川把家電以舊換新作為惠民生的重要舉措，截至10月24日全省家電補(bǔ)貼金額15億元．某商家在“雙十一購(gòu)物節(jié)”對(duì)某款冰箱實(shí)行降價(jià)促銷．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，該款冰箱原銷售單價(jià)為4500元時(shí)，平均每月能售出10臺(tái)；如果售價(jià)每降價(jià)100元，那么平均每月可多售出2臺(tái)．(1)設(shè)每臺(tái)冰箱降價(jià)x元，那么平均每月銷售量為（用含x的代數(shù)式表示）；(2)已知購(gòu)進(jìn)這款冰箱的單價(jià)是3000元，商家決定每臺(tái)冰箱降價(jià)100m元進(jìn)行銷售．根據(jù)政策，降價(jià)銷售后，商家每銷售一臺(tái)冰箱可獲得40m元的補(bǔ)貼．若商家所獲的總利潤(rùn)為27000元，求m的值．【答案】(1)10+(2)m的值為10【分析】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，理解題意，正確列出方程是解答的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意即可解答；（2）根據(jù)每臺(tái)冰箱的利潤(rùn)×每天售出的冰箱臺(tái)數(shù)+補(bǔ)貼=總利潤(rùn)列方程求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)每臺(tái)冰箱降價(jià)x元，那么平均每月銷售量為10+x故答案為：10+x（2）解：由（1）可知，每臺(tái)冰箱降價(jià)100m元，銷售量為10+2m臺(tái)，由題意得：(4500?100m?3000)(10+2m)+40m(10+2m)=27000，整理得：m2解得：m1答：m的值為10．例6．（審題）李師傅到批發(fā)市場(chǎng)購(gòu)進(jìn)陽(yáng)光玫瑰進(jìn)行銷售，這種陽(yáng)光玫瑰每箱10千克，批發(fā)商規(guī)定：整箱購(gòu)買，一箱起售，每人一天購(gòu)買不超過(guò)10箱；當(dāng)購(gòu)買1箱時(shí)，批發(fā)價(jià)為9.2元/千克，每多購(gòu)買1箱，批發(fā)價(jià)每千克降低0.2元．根據(jù)李師傅的銷售經(jīng)驗(yàn)；這種陽(yáng)光玫瑰售價(jià)為14元/千克時(shí)，每天可銷售1箱；售價(jià)每千克降低0.5元，每天可多銷售1箱．(1)若購(gòu)進(jìn)陽(yáng)光玫瑰3箱，每千克批發(fā)價(jià)為_(kāi)_____，3箱全部售出，每千克售價(jià)為_(kāi)_____，3箱共獲利為_(kāi)_____．(2)若每天購(gòu)進(jìn)的陽(yáng)光玫瑰需當(dāng)天全部售完，請(qǐng)你計(jì)算，李師傅每天應(yīng)購(gòu)進(jìn)這種水果多少箱，才能使每天所獲利潤(rùn)為198元？【答案】(1)8.8元；13元；126元；(2)李師傅每天應(yīng)購(gòu)進(jìn)這種水果6箱時(shí)，才能使每天所獲利潤(rùn)為198元【分析】本題主要考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，有理數(shù)四則混合計(jì)算的實(shí)際應(yīng)用：（1）根據(jù)當(dāng)購(gòu)買1箱時(shí)，批發(fā)價(jià)為9.2元/千克，每多購(gòu)買1箱，批發(fā)價(jià)每千克降低0.2元，售價(jià)為14元/千克時(shí)，每天可銷售1箱；售價(jià)每千克降低0.5元，每天可多銷售1箱列式求解即可；（2）設(shè)李師傅應(yīng)購(gòu)進(jìn)這種水果x箱，根據(jù)利潤(rùn)=（實(shí)際售價(jià)?售價(jià)批發(fā)價(jià)）×銷售量列出方程求解即可．【詳解】（1）解：若購(gòu)進(jìn)陽(yáng)光玫瑰3箱，每千克批發(fā)價(jià)為9.2?0.2×3?13箱全部售出，每千克售價(jià)為14?0.5×3?1=13元，3箱共獲利為故答案為：8.8元；13元；126元；（2）解：設(shè)李師傅應(yīng)購(gòu)進(jìn)這種水果x箱，由題意得，14?0.5x?1整理得：x2解得x=6或x=11（不符合題意，舍去），答：李師傅每天應(yīng)購(gòu)進(jìn)這種水果6箱時(shí)，才能使每天所獲利潤(rùn)為198元．【實(shí)戰(zhàn)演練】1．某商場(chǎng)銷售A，B兩種新型小家電，A型每臺(tái)進(jìn)價(jià)30元，售價(jià)40元，B型每臺(tái)進(jìn)價(jià)35元，售價(jià)50元，4月份售出A型30臺(tái)，且銷售這兩種小家電共獲利不少于590元．(1)求4月份售出B型小家電至少多少臺(tái)？(2)經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查，5月份A型售價(jià)每降低1元，銷量將增加6臺(tái)；B型售價(jià)每降低1元，銷量將在4月份最低銷量的基礎(chǔ)上增加4臺(tái)．為盡可能讓消費(fèi)者獲得實(shí)惠，商場(chǎng)計(jì)劃5月份A，B兩種小家電都降低相同價(jià)格，且希望銷售這兩種小家電共獲利700元，則這兩種小家電都應(yīng)降低多少元？【答案】(1)4月份售出B型小家電至少20臺(tái)；(2)這兩種小家電都應(yīng)降低5元．【分析】（1）設(shè)4月份售出B型小家電x臺(tái)，根據(jù)題意列出不等式40?30×30+（2）設(shè)這兩種小家電都應(yīng)降低y元，根據(jù)題意列出方程40?y?3030+6y本題考查了一元一次不等式和一元二次方程的應(yīng)用，讀懂題意，找出數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：設(shè)4月份售出B型小家電x臺(tái)，根據(jù)題意，得40?30×30+解得：x≥191答：4月份售出B型小家電至少20臺(tái)；（2）解：設(shè)這兩種小家電都應(yīng)降低y元，根據(jù)題意得：40?y?3030+6y整理得：y2解得：y1=5，∵為盡可能讓消費(fèi)者獲得實(shí)惠，∴y=2舍去，答：這兩種小家電都應(yīng)降低5元．2．“我運(yùn)動(dòng)，我健康，我快樂(lè)！”隨著人們對(duì)身心健康的關(guān)注度越來(lái)越高，某市參加健身運(yùn)動(dòng)的人數(shù)逐年增多，從2021年的32萬(wàn)人增加到2023年的50萬(wàn)人．(1)求該市參加健身運(yùn)動(dòng)人數(shù)的年均增長(zhǎng)率；(2)為支持市民的健身運(yùn)動(dòng)，該市市政府決定從A公司購(gòu)買某種套裝健身器材．該公司規(guī)定：若購(gòu)買不超過(guò)100套，每套售價(jià)1800元；若超過(guò)100套，每增加10套，售價(jià)每套可降低60元．但最低售價(jià)不得少于1200元．已知市政府向該公司支付貨款22.5萬(wàn)元，求購(gòu)買的這種健身器材的套數(shù)．【答案】(1)該市參加健身運(yùn)動(dòng)人數(shù)的年均增長(zhǎng)率為25%(2)購(gòu)買的這種健身器材的套數(shù)為150套【分析】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)該市參加健身運(yùn)動(dòng)人數(shù)的年均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)從2021年的32萬(wàn)人增加到2023年的50萬(wàn)人，列出一元二次方程，解之取符合題意的值即可；（2）設(shè)購(gòu)買的這種健身器材的套數(shù)為m套，根據(jù)市政府向該公司支付貨款22.5萬(wàn)元，列出一元二次方程，解之取符合題意的值即可．【詳解】（1）解：設(shè)該市參加健身運(yùn)動(dòng)人數(shù)的年均增長(zhǎng)率為x，由題意得：32(1+x)解得：x1答：該市參加健身運(yùn)動(dòng)人數(shù)的年均增長(zhǎng)率為25%（2）解：設(shè)購(gòu)買的這種健身器材的套數(shù)為m套，由題意得：m整理得：m2解得：m1∵最低售價(jià)不得少于1200元，∴1800?解得：m≤200，∴m=150,答：購(gòu)買的這種健身器材的套數(shù)為150套．3．水果店花1500元進(jìn)了一批水果，按50%的利潤(rùn)定價(jià)，無(wú)人購(gòu)買，決定打折出售，但仍無(wú)人購(gòu)買，結(jié)果又一次打折后才售完．經(jīng)結(jié)算，這批水果共盈利500元．若兩次打折的折扣相同，設(shè)每次打x折，根據(jù)題意，下面所列方程正確的是（

A．1500×50B．1500×50C．1500D．1500【答案】C【分析】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．利用連續(xù)兩次打相同的折扣，即可得出關(guān)于的一元二次方程，即可得到答案．【詳解】解：根據(jù)題意得：15001+50故選：C．4．星星服裝店以每件50元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)800件T恤．第一個(gè)月以單價(jià)80元銷售，售出了200件：第二個(gè)月如果單價(jià)不變，預(yù)計(jì)仍可售出200件，批發(fā)商為增加銷售量，決定降價(jià)銷售，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，單價(jià)每降低1元，可多售出10件，但最低單價(jià)應(yīng)高于購(gòu)進(jìn)的價(jià)格；第二個(gè)月結(jié)束后，批發(fā)商將對(duì)剩余的T恤一次性清倉(cāng)銷售，清倉(cāng)時(shí)單價(jià)為40元．設(shè)第二個(gè)月單價(jià)降低x元．(1)填表（需化簡(jiǎn)）：時(shí)間第一個(gè)月第二個(gè)月清倉(cāng)時(shí)單價(jià)（元）8040銷售量（件）200(2)如果批發(fā)商希望通過(guò)銷售這批T恤獲利9000元，那么第二個(gè)月的單價(jià)應(yīng)是多少元？【答案】(1)見(jiàn)解析(2)第二個(gè)月的單價(jià)應(yīng)為70元【分析】本題考查了列代數(shù)式，一元二次方程的應(yīng)用．根據(jù)題意正確的表示單價(jià)，銷售量，并正確的列方程是解題的關(guān)鍵．（1）由題意知，第二月的單價(jià)為80?x元，銷售量為200+10x件，清倉(cāng)時(shí)的銷售量根據(jù)800?200?200+10x（2）依題意得，80×200+80?x【詳解】（1）解：由題意知，第二月的單價(jià)為80?x元，銷售量為200+10x件，清倉(cāng)時(shí)的銷售量為800?200?200+10x補(bǔ)表如下：時(shí)間第一個(gè)月第二個(gè)月清倉(cāng)時(shí)單價(jià)（元）8080?x40銷售量（件）200200+10x400?10x故答案為：80?x，200+10x，400?10x；（2）解：依題意得，80×200+80?x整理得，x2解得，x=10，∴80?x=80?10=70，∴第二個(gè)月的單價(jià)應(yīng)為70元．5．為了加快發(fā)展新能源和清結(jié)能源，助力實(shí)現(xiàn)“雙碳”目標(biāo)，大力發(fā)展高效光伏發(fā)電關(guān)鍵零部件制造．青島上合示范區(qū)某工廠生產(chǎn)的某種零件按供需要求分為8個(gè)檔次．若生產(chǎn)第一檔次（最低檔次）的產(chǎn)品，一天可生產(chǎn)38件，每件的利潤(rùn)為12元，每提高一個(gè)檔次，每件的利潤(rùn)增加3元，每天的產(chǎn)量將減少2件．請(qǐng)解答下列問(wèn)題，設(shè)產(chǎn)品的檔次（每天只生產(chǎn)一個(gè)檔次的產(chǎn)品）為x，若該產(chǎn)品一天的總利潤(rùn)為756元，求這天生產(chǎn)產(chǎn)品的檔次x的值．【答案】6．【解答】解：∵該工廠生產(chǎn)產(chǎn)品的檔次（每天只生產(chǎn)一個(gè)檔次的產(chǎn)品）為x，∴每件產(chǎn)品的利潤(rùn)為12+3（x﹣1）＝（9+3x）元，一天可生產(chǎn)38﹣2（x﹣1）＝（40﹣2x）件產(chǎn)品．根據(jù)題意得：（9+3x）（40﹣2x）＝756，整理得：x2﹣17x+66＝0，解得：x1＝6，x2＝11（不符合題意，舍去）．答：這天生產(chǎn)產(chǎn)品的檔次x的值為6．三．面積問(wèn)題例1．（小路問(wèn)題）如圖，在長(zhǎng)為42米、寬為20米的矩形地面上修筑道路（圖中陰影部分），其中鉛直方向的小路的寬度是水平小路寬度的2倍，余下部分種植草坪，要使草坪的面積為640平方米，設(shè)水平方向道路的寬為x米，則可列方程為．【答案】42?2x【分析】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找出題目中的等量關(guān)系，設(shè)水平方向道路的寬為x米，則鉛直方向的小路的寬度為2x米，根據(jù)草坪的面積為640平方米，列出方程即可．【詳解】解：設(shè)水平方向道路的寬為x米，則鉛直方向的小路的寬度為2x米，根據(jù)題意得：42?2x20?x故答案為：42?2x20?x例2．（紙盒問(wèn)題）把長(zhǎng)為40cm，寬為30cm的長(zhǎng)方形硬紙板，剪掉2個(gè)小正方形和2個(gè)小長(zhǎng)方形（陰影部分即剪掉的部分），把剩余部分折成一個(gè)有蓋的長(zhǎng)方體盒子，記剪掉的小的正方形邊長(zhǎng)為xcm，（紙板的厚度忽略不計(jì)）若折成的長(zhǎng)方體盒子表面積為950【答案】1500【分析】本題考查了一元二次方程與幾何體面積、體積的運(yùn)用，根據(jù)題意，長(zhǎng)方體盒子的表面積等于長(zhǎng)方形硬紙板減去陰影部分的面積，由此列式可得x的值，再根據(jù)體積的計(jì)算方法即可求解．【詳解】解：長(zhǎng)方形硬紙板，剪掉2個(gè)小正方形和2個(gè)小長(zhǎng)方形（陰影部分即剪掉的部分），∴余下部分的長(zhǎng)為40?2x2=20?xcm，寬為∵長(zhǎng)方體盒子表面積為950cm∴40×30?2x2?2×20x=950∴x?5x+25解得，x1∴長(zhǎng)方體盒子的體積為：x30?2x故答案為：1500cm例3．（柵欄問(wèn)題）如圖，要利用一面墻（墻長(zhǎng)為25米）建一個(gè)矩形場(chǎng)地，用97米長(zhǎng)的圍欄圍成三個(gè)大小相同的矩形，每個(gè)矩形都有一個(gè)1米的門(mén)，設(shè)矩形的邊長(zhǎng)AB為x米．(1)請(qǐng)用含有x的式子表示BC______（不要求寫(xiě)出的取值范圍）；(2)當(dāng)x為何值時(shí)，矩形場(chǎng)地的總面積為400平方米？【答案】(1)100?4x(2)x=20【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是∶（1）用圍欄的長(zhǎng)度加上3個(gè)門(mén)寬，再減去4個(gè)AB長(zhǎng)求解即可；（2）根據(jù)“矩形場(chǎng)地的總面積為400平方米”列方程求解即可．【詳解】（1）解：BC=97+3×1故答案為：100?4x；（2）解：根據(jù)題意，得x100?4x解得x1=5，當(dāng)x=5時(shí)，BC=100?4×5=80>25，不符合題意，舍去；當(dāng)x=20時(shí)，BC=100?4×20=20<25，符合題意，∴當(dāng)x=20時(shí)，矩形場(chǎng)地的總面積為400平方米．【實(shí)戰(zhàn)演練】1．如圖，某小區(qū)規(guī)劃在一個(gè)長(zhǎng)為40m、寬為26m的矩形場(chǎng)地ABCD上修建三條同樣寬的小路，使其中兩條與AB平行，另一條與AD平行，其余部分種草．若使每一塊草坪的面積為144m2，求小路的寬度．若設(shè)小路的寬度為xm【答案】40?2x【分析】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，除了小路，其余部分拼為一個(gè)長(zhǎng)40?2xm，寬26?x【詳解】解：設(shè)小路的寬度為xm根據(jù)題意，得40?2x26?x故答案為：40?2x26?x某小區(qū)在綠化工程中有一塊長(zhǎng)為18m、寬為6m的矩形空地，計(jì)劃在其中修建兩塊相同的矩形綠地，使它們的面積之和為60m2，兩塊綠地之間及周邊留有寬度相等的人行通道（如圖所示），求人行通道的寬度．3．綜合實(shí)踐——用矩形硬紙片制作無(wú)蓋紙盒．如圖1，有一張長(zhǎng)30cm，寬16(1)若剪去的正方形的邊長(zhǎng)為2cm，則紙盒底面長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為_(kāi)__________cm，寬為_(kāi)__________cm(2)若紙盒的底面積為240cm(3)如圖3，小明先在原矩形硬紙片的兩個(gè)角各剪去一個(gè)同樣大小的正方形（陰影部分），經(jīng)過(guò)思考他發(fā)現(xiàn)，再剪去兩個(gè)同樣大小的矩形后，可將剩余部分折成一個(gè)有蓋紙盒．若折成的有蓋長(zhǎng)方體紙盒的表面積為412cm【答案】(1)26，12(2)剪去正方形的邊長(zhǎng)為3(3)剪去的正方形的邊長(zhǎng)為2【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用、有理數(shù)的混合運(yùn)算的應(yīng)用，理解題意，正確列出一元二次方程是解此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意列式計(jì)算即可得出答案；（2）設(shè)減去的正方形的邊長(zhǎng)為xcm，則紙盒底面長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為30?2xcm，寬為（3）設(shè)剪去的正方形的邊長(zhǎng)為acm【詳解】（1）解：由題意得：30?2×2=26cm，16?2×2=12紙盒底面長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為26cm，寬為12（2）解：設(shè)減去的正方形的邊長(zhǎng)為xcm，則紙盒底面長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為30?2xcm，寬為由題意得：30?2x16?2x解得：x=3或x=20（舍去），∴剪去正方形的邊長(zhǎng)為3cm（3）解：設(shè)剪去的正方形的邊長(zhǎng)為acm由題意得：a16?2a解得：a=2或a=?17（不符合題意，舍去），4．如圖1，將面積為4的正方形分為①②③④四部分，分成的4部分恰好拼成如圖2所示的矩形ABCD，則AB長(zhǎng)為．【答案】5【分析】本題考查了關(guān)于圖形的剪拼的一元二次方程的應(yīng)用，正確理解題目的意思，然后會(huì)根據(jù)題目隱含條件找到數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵．已知圖中的①和②，③和④形狀大小分別完全相同，結(jié)合圖中數(shù)據(jù)可知①④能拼成一個(gè)直角三角形，②③能拼成一個(gè)直角三角形，并且這兩個(gè)直角三角形形狀大小相同，利用這兩個(gè)直角三角形即可拼成矩形；利用拼圖前后的面積相等列出方程求解即可得出答案．【詳解】解：如圖圖1中的正方形面積為4∴正方形邊長(zhǎng)為2∴直角三角形①中的長(zhǎng)直角邊為2∴b解得：b=5∴AB=故答案為：5?1四．其他問(wèn)題例1．（單雙循環(huán)問(wèn)題）學(xué)校要組織一次排球邀請(qǐng)賽，參賽的每?jī)蓚€(gè)隊(duì)之間都要比賽一場(chǎng)．根據(jù)場(chǎng)地和時(shí)間等條件，賽程計(jì)劃安排7天，每天安排4場(chǎng)比賽，比賽組織者應(yīng)邀請(qǐng)多少個(gè)隊(duì)參賽？設(shè)應(yīng)邀請(qǐng)x個(gè)隊(duì)參賽，根據(jù)題意，可列方程為（

）A．12xx?1=28B．12x【答案】A【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，設(shè)應(yīng)邀請(qǐng)x個(gè)隊(duì)參賽，根據(jù)題意列出方程即可求解，根據(jù)題意找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)應(yīng)邀請(qǐng)x個(gè)隊(duì)參賽，根據(jù)題意得，12即12故選：A．例2．（病毒傳播問(wèn)題）秋冬季是支原體肺炎的感染高發(fā)期，佩戴口罩是遏制支原體肺炎病毒傳播的一種有效途徑．若有一個(gè)人患了支原體肺炎，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有81人患了支原體肺炎（假設(shè)每個(gè)人每輪傳染的人數(shù)同樣多）．設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人，可列方程為（

）A．xx+1=81 C．1+x+x2=81【答案】D【分析】本題考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有81人患了支原體肺炎，列出方程即可．【詳解】解：設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人，由題意，得：1+x+x1+x故選D．例3．（數(shù)字問(wèn)題）小明同學(xué)是一位古詩(shī)文的愛(ài)好者，在學(xué)習(xí)了一元二次方程這一章后，改編了蘇軾詩(shī)詞《念奴嬌?赤壁懷古》：“大江東去浪淘盡，千古風(fēng)流人物．而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù)．十位恰小個(gè)位三，個(gè)位平方與壽同．哪位學(xué)子算得快，多少年華數(shù)周瑜？”假設(shè)周瑜去世時(shí)年齡的十位數(shù)字是x，則可列方程為（）A．10x+（x﹣3）＝（x﹣3）2 B．10（x+3）+x＝x2 C．10x+（x+3）＝（x+3）2 D．10（x+3）+x＝（x+3）2【實(shí)戰(zhàn)演練】1．（1）某學(xué)習(xí)小組同學(xué)在元旦互相贈(zèng)賀年卡一張，全組共贈(zèng)賀年卡90張，設(shè)這個(gè)小組共有同學(xué)x個(gè)．根據(jù)題中的條件，列出關(guān)于x的方程為：．【答案】x【分析】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，設(shè)這個(gè)小組共有同學(xué)x個(gè)，根據(jù)題意得xx?1【詳解】解：設(shè)這個(gè)小組共有同學(xué)x個(gè)，根據(jù)題意得：xx?1（2）2022年北京冬奧會(huì)女子冰壺比賽有若干支隊(duì)伍參加了單循環(huán)比賽（即所有參賽隊(duì)在比賽中均能相遇一次），若單循環(huán)比賽共進(jìn)行了45場(chǎng)，則共有多少支隊(duì)伍參加比賽？設(shè)共有x支隊(duì)伍參加比賽，根據(jù)題意，可列方程為．【答案】x【分析】每一支隊(duì)伍都要和另外的x?1支隊(duì)伍進(jìn)行比賽，于是比賽總場(chǎng)數(shù)=每支隊(duì)的比賽場(chǎng)數(shù)×參賽隊(duì)伍÷重復(fù)的場(chǎng)數(shù)，即可解答．【詳解】解：共有x支隊(duì)伍參加比賽，根據(jù)題意，可列方程為xx?1故答案為：xx?1【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，正確理解題意、找準(zhǔn)相等關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．春節(jié)過(guò)后，甲型流感病毒（以下簡(jiǎn)稱：甲流）開(kāi)始悄然傳播，某辦公室最初有兩人同時(shí)患上甲流，經(jīng)過(guò)兩輪傳播后，辦公室現(xiàn)有8人確診甲流，請(qǐng)問(wèn)在兩輪傳染過(guò)程中，平均一人會(huì)傳染給幾個(gè)人．【答案】1個(gè)【分析】本題考查了一元二次方程的實(shí)際運(yùn)用，根據(jù)題意，設(shè)平均一人會(huì)傳染給x個(gè)人，第一輪傳染的人數(shù)為：x+x=2x（人），第二輪傳染的人數(shù)為：2+2xx【詳解】解：設(shè)平均一人會(huì)傳染給x個(gè)人，∴第一輪傳染的人數(shù)為：x+x=2x（人），則此時(shí)共有2+2x人，第二輪傳染的人數(shù)為：2+2xx∴2+2x+2+2xx=8，整理得，解得，x1∴在兩輪傳染過(guò)程中，平均一人會(huì)傳染給1個(gè)人，故答案為：1個(gè)．動(dòng)點(diǎn)1．如圖，在等邊△ABC中，AB=8cm．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB方向運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā)，沿BC的延長(zhǎng)線方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P，Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，Q，P兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度均為1cm/s．過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AC，垂足為D，PQ，AC相交于點(diǎn)(1)當(dāng)t為何值時(shí)，△BPQ為直角三角形？(2)設(shè)四邊形PBQD的面積為Scm2，寫(xiě)出S與(3)在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻t，使得S△PDA:S【答案】(1)t=(2)S=?(3)存在，當(dāng)t為4時(shí)，使S【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．（1）由直角三角形的性質(zhì)可得BQ=2BP，列出等式可求解；（2）由直角三角形的性質(zhì)可求AD，PD的長(zhǎng)，由“AAS”可證△APD≌△CQH，可得AD=CH=1（3）由面積關(guān)系列出方程可求解；【詳解】（1）解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=∠BAC=∠ACB=60°，∵∠ACB>∠BQP，∴∠BPQ=90°，∴∠BQP=30°，∴BQ=2BP，∴8+t=28?t∴t=8∴當(dāng)t=83為時(shí)，（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥AC于H，∵∠A=60°，∴∠APD=30°，∴AD=1∴DC=8?∵∠A=∠ACB=∠QCH=60°，∴△APD≌△CQHAAS∴AD=CH=t∵S=S∴S=3（3）解：∵S△PDA∴10×1∴t=4或t=?8∴當(dāng)t為4時(shí)，使S2．如圖，直線AB交x軸于點(diǎn)A32,0，交y軸于點(diǎn)B0,3，點(diǎn)P在線段AB上（不與點(diǎn)A，B重合），過(guò)點(diǎn)P作(1)求直線AB的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)△POC的面積為12時(shí)，求P(3)△POC的面積能達(dá)到1嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)直線AB的函數(shù)關(guān)系式為y=?2x+3；(2)P1,1或1(3)△POC的面積不能達(dá)到1，理由見(jiàn)解析．【分析】本題是一次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，三角形的面積的計(jì)算，一元二次方程根的情況，正確地求出函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，把A32,0，B0,3代入y=kx+b解方程組得到直線（2）設(shè)P(a,?2a+3)，求得OC=a,PC=?2a+3，根據(jù)三角形的面積公式列方程即可得到結(jié)論；（3）假如△POC的面積能達(dá)到1，得到12×a×?2a+3=1，整理得2a【詳解】（1）解：設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b．把A32,0，B3=b0=解得k=?2∴直線AB的函數(shù)關(guān)系式為y=?2x+3；（2）解：設(shè)P(a,?2a+3)，∵PC⊥OA．∴OC=a,PC=?2a+3．∵△POC的面積為12∴12∴a=1或a=1當(dāng)a=1時(shí)，?2a+3=1，當(dāng)a=12時(shí)，∴P1,1或1（3）解：△POC的面積不能達(dá)到1．理由如下：假如△POC的面積能達(dá)到1．則12整理得2a∴Δ=9?16=?7<0∴方程12故△POC的面積不能達(dá)到1．3．在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，點(diǎn)P從點(diǎn)C開(kāi)始以1cm/s的速度沿CB邊向點(diǎn)B移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)D開(kāi)始以2cm/s的速度沿DC邊向點(diǎn)C移動(dòng)，(1)經(jīng)過(guò)幾秒，△PCQ是等腰三角形？(2)是否存在某個(gè)時(shí)刻，使△PCQ的面積是矩形面積的18(3)是否存在某個(gè)時(shí)刻，使△APQ成為直角三角形？為什么？【答案】(1)經(jīng)過(guò)4秒，△PCQ是等腰三角形；(2)經(jīng)過(guò)3秒，△PCQ的面積是矩形ABCD的面積的18(3)經(jīng)過(guò)4.5秒或6秒，△APQ是直角三角形．【分析】（1）由△PCQ是等腰三角形，則PC=CQ，再列方程求解即可；（2）由△PCQ的面積是矩形ABCD的面積的18（3）先分別表示AP2=122+6?t【詳解】（1）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠C=90∵△PCQ是等腰三角形，∴PC=CQ，∴t=12∴t=4故經(jīng)過(guò)4秒，△PCQ是等腰三角形；（2）解：根據(jù)題意得，12整理得，t2?6∴t=3，∴經(jīng)過(guò)3秒，△PCQ的面積是矩形ABCD的面積的18（3）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠C=∠B=∠D=90∴AP2=122∵△APQ是直角三角形，∴當(dāng)∠AQP=90°時(shí)，則122∴t=4.5，t=0（負(fù)值舍去）；當(dāng)∠APQ=90°時(shí)，即62∴t=6或t=24（不合題意舍去），當(dāng)∠PAQ=90°時(shí)，不存在，舍去，綜上所述，經(jīng)過(guò)4.5秒或6秒，△APQ是直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形的綜合題，等腰三角形的判定，矩形的性質(zhì)，勾股定理，一元二次方程的解法，分類討論是解題的關(guān)鍵．4．如圖，在矩形ABCD中，AB=10?cm，BC=12?cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿邊AB向終點(diǎn)B以2cm/s的速度移動(dòng)，與此同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿邊BC向終點(diǎn)C以4cm/s的速度移動(dòng)．如果P，Q分別從A，B同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)(1)當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)B在PQ的垂直平分線上？(2)當(dāng)t為何值時(shí)，PQ的長(zhǎng)度等于10?cm(3)連接PC，是否存在t的值，使得△PQC的面積等于32?cm2【答案】(1)t=(2)2s(3)當(dāng)t=1s時(shí)，使得△PQC的面積等于32【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，勾股定理及矩形的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．（1）先求出BQ=4tcm，PB=AB?AP=（2）先求出BQ=4tcm，PB=AB?AP=10?tcm（3）先求出CQ=BC?BQ=12?4tcm，再根據(jù)三角形面積計(jì)算公式得到方程【詳解】（1）解：由題意得，BQ=4tcm，AP=2t∵AB=10?cm∴PB=AB?AP=10?2t∵B在PQ的垂直平分線上，∴PB=BQ，∴10?2t=4t，解得t=5∴當(dāng)t=53s時(shí)，點(diǎn)B（2）解：由題意得，BQ=4tcm，AP=2t∵AB=10?cm∴PB=AB?AP=10?2t∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B=90°，在Rt△PBQ中，由勾股定理得P∴10?2t2解得t1=0（舍去），∴當(dāng)t=2時(shí)，PQ的長(zhǎng)度等于10cm（3）解：由題意得，CQ=BC?BQ=12?4t∵△PQC的面積等于32cm∴12∴12∴t=1或t=7（舍去），∴當(dāng)t=1s時(shí)，使得△PQC的面積等于325．如圖①，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝6cm，Rt△EDF中，∠EDF＝90°，DE＝DF＝6cm，邊BC與FD重合，且頂點(diǎn)E與AC邊上的定點(diǎn)N重合．如圖②，△EDF從圖①所示位置出發(fā)，沿射線NC方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s．EF與BC交于點(diǎn)Q(1)當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)B在PQ的垂直平分線上？(2)當(dāng)t為何值時(shí)，S△PBQ(3)如圖③，△APE與△AGE關(guān)于直線AC對(duì)稱，連接CG．①當(dāng)PQ∥CG時(shí)，求t的值；②是否存在某一時(shí)刻t，使四邊形APEG為菱形？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)4s(2)2s或4(3)①2s；②存在，t=【分析】（1）先表示出BQ=tcm，BP=(12?2t)cm，再根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到相等兩端的距離相等得到（2）如圖所示，過(guò)點(diǎn)P分別作BC的垂線，垂足分別為H，根據(jù)（1）d得到BP=(12?2t)cm，再由∠BPH=90°?∠CBA=30°，得出求出BH=12BP=(6?t)cm，HP=BP（3）①連接PG交AC于M，由對(duì)稱性質(zhì)可知PG⊥AC，PM=MG=12AP=tcm，由此得出當(dāng)PQ∥CG時(shí)，四邊形CQPG是平行四邊形；據(jù)此得出【詳解】（1）解：如圖①所示，∵CN=DE=DF=6cm，∠BAC=30∴AB=2BC=12cm，AC=∴AN=AC?CN=6(∵∠EDF=90°，DE=DF=6cm∴∠FED=45°，∴∠CQE=45°，∴CQ=CE，如圖②所示，由題意得，NE=tcm，∴CQ=CE=CN?NE=(6?t)cm∴BQ=BC?CQ=[6?(6?t)]=tcm，∵點(diǎn)B在線段PQ的垂直平分線上，∴BQ=CP，∴t=12?2t，解得t=4，∴當(dāng)t=4s時(shí)，點(diǎn)B在線段PQ（2）解：如圖②所示，過(guò)點(diǎn)P分別作BC的垂線，垂足分別為H，由（1）可知BP=(12?2t)cm，BQ=t∵∠BAC=30°，∴∠CBA=60∴∠BPH=90°?∠CBA=30°，∴BH=1∴HP=B∴S△BPQ當(dāng)S△PBQ:S∴S△PBQ∴12解得：t1=2，即當(dāng)t=2s或4s時(shí)，（3）解：如圖③所示，連接PG交AC于N，∵△APE與△AGE關(guān)于直線AC對(duì)稱，∴PG⊥AC，∵∠BAC=30°，∴PM=MG=12AP=t∵∠ACB=90°，∴BC∥PG，PM=MG=1又∵PQ∥CG