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課題9.3.2列二元一次方程組解決實際問題課型新授主備人日期2025.3.17備課組成員課標(biāo)分析1.能根據(jù)現(xiàn)實情境理解方程的意義,能針對具體問題列出方程2.能根據(jù)具體問題的實際意義,檢驗方程解的合理性.教材分析給出一個簡單的問題,讓學(xué)生用不同的方法列一元一次方程解決,初步體會如何設(shè)間接未知數(shù),以及如何用數(shù)學(xué)問題的答案解釋具體的實際問題學(xué)情分析在學(xué)習(xí)“解二元一次方程解決實際問題”之前,學(xué)生已具備以下知識:一元一次方程的解法:學(xué)生已經(jīng)掌握了一元一次方程的解法,包括移項、合并同類項等基本技能。二元一次方程的概念:學(xué)生了解二元一次方程的定義,知道它含有兩個未知數(shù),且未知數(shù)的次數(shù)為1。二元一次方程的解法:學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了代入法和加減法解二元一次方程組的基本方法。學(xué)生可能遇到的困難:實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型:學(xué)生可能難以將實際問題中的條件轉(zhuǎn)化為二元一次方程組,尤其是理解題意和確定未知數(shù)。選擇合適的解法:在面對不同問題時,學(xué)生可能不確定何時使用代入法或加減法,導(dǎo)致解題效率降低。計算錯誤:在解方程組的過程中,學(xué)生可能會在移項、合并同類項或消元時出現(xiàn)計算錯誤。教學(xué)目標(biāo)1.能分析實際問題中的數(shù)量關(guān)系,合理設(shè)定未知數(shù),進一步體會建模思想.2.掌握間接設(shè)未知數(shù)的方法解決問題.學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能分析實際問題中的數(shù)量關(guān)系,合理設(shè)定未知數(shù),進一步體會建模思想.2.掌握間接設(shè)未知數(shù)的方法解決問題.教學(xué)程序教師指導(dǎo)教學(xué)程序一、導(dǎo)入爸爸給小華出了一道“關(guān)于一元一次方程解應(yīng)用題”的題目:兩列火車分別從A地和B地同時發(fā)車,相向而行,已知這兩列火車的速度比是,2小時后,兩列火車在距AB兩地中點71千米處相遇,請問A地與B地間鐵路全程多少千米?爸爸對小明說:這道題有兩種解法.你能幫助小華寫出這兩種解法嗎?二、新授問題1:試一試用兩種方法解決導(dǎo)入中的問題.預(yù)設(shè)答案:(解法1)設(shè)兩列火車速度分別為千米/小時,千米/小時,答:南京與連云港間的鐵路全程568千米.(解法2)設(shè)A地與B地間鐵路全程x千米.則(x2+71):(x2解得x=568.答:南京與連云港間的鐵路全程568千米.問題2:解法1和解法2的思路分別是什么?預(yù)設(shè)答案:解法1是間接設(shè)未知數(shù),根據(jù)兩列火車的速度比是,設(shè)它們的速度分別為5x,3x(單位:千米/時),根據(jù)等量關(guān)系:快車—71=慢車+71,列方程.解法2是直接設(shè)未知數(shù),根據(jù)兩列火車的速度比是列方程.追問:你覺得哪種方法比較簡便?解法1,間接設(shè)未知數(shù)簡便.總結(jié):若在直接設(shè)要求的量為未知數(shù)不容易列方程(組)時,應(yīng)設(shè)間接未知數(shù),求得未知數(shù)的值后再計算要求的量.下面我們一起探究兩道間接設(shè)未知數(shù)的題目.探究1:彈簧不掛物體時的長度稱為彈簧的自然長度。在彈性限度內(nèi),所掛物體的質(zhì)量每增加1kg,彈簧增加的長度是相同的。在彈性限度內(nèi),某彈簧所掛物體質(zhì)量與彈簧長度的數(shù)據(jù)如下表:物體質(zhì)量...0.53...彈簧長度...1116...當(dāng)所掛物體的質(zhì)量為5kg時,該彈簧的長度是多少?問題:(1)題目中有哪些已知量,未知量?(2)題目中的等量關(guān)系是什么?師生活動:教師引導(dǎo)學(xué)生進行分析:根據(jù)生活經(jīng)驗可知,掛上物體后,彈簧現(xiàn)在的長度=彈簧的自然長度+彈簧增加的長度,即本題的等量關(guān)系.而題中彈簧的自然長度以及每增加1kg,彈簧增加的長度是未知的,即未知量;題中表格中的兩組數(shù)據(jù)是已知的,即已知量.因此,根據(jù)問題的具體條件,可間接設(shè)未知數(shù).設(shè)彈簧的自然長度為xcm,所掛物體的質(zhì)量,每增加1kg,彈簧的長度增加ycm,則x+0.5y=11,x+3y=16.所以,當(dāng)所掛物體的質(zhì)量為5kg時,該彈簧的長度為10+5×2=20(cm).總結(jié):分析題目中的等量關(guān)系是列方程組的關(guān)鍵.當(dāng)直接將所求的結(jié)果當(dāng)作未知數(shù)無法列出方程時,可把關(guān)鍵量設(shè)為間接未知數(shù)列方程組求解,再求得問題的答案.對于數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜的應(yīng)用題,可采用列表法進行分析,進而列出方程.探究2:A,B兩塊試驗田去年共產(chǎn)小麥500kg。今年采用新技術(shù)實現(xiàn)了增產(chǎn),共產(chǎn)小麥562kg。已知A試驗田今年比去年增產(chǎn)16%,B試驗田今年比去年增產(chǎn)10%。今年A,B兩塊試驗田的產(chǎn)量分別是多少?問題1:題目中的等量關(guān)系是什么?分析:根據(jù)題目中的條件,今年或去年的產(chǎn)量都可以用其中一個量表示出來,再根據(jù)等量關(guān)系:去年A試驗田小麥的產(chǎn)量+去年B試驗田小麥的產(chǎn)量=500;今年A試驗田小麥的產(chǎn)量+今年B試驗田小麥的產(chǎn)量=562,所以既可以用直接設(shè)未知數(shù)的方法求解,也可以間接設(shè)未知數(shù)的方法求解.問題2:嘗試分別用直接設(shè)未知數(shù)和間接設(shè)未知數(shù)的方法求解.師生活動:學(xué)生先獨立思考解答,然后小組互相討論,教師選派兩名學(xué)生上臺板演.法一:設(shè)去年A試驗田小麥的產(chǎn)量為xkg,B試驗田小麥的產(chǎn)量為ykg.則x+y=500,((1+16%)×200=232(kg),(1+10%)×300=330(kg).答:今年A、B兩塊試驗田的產(chǎn)量分別為232kg,330kg.法二:設(shè)今年A試驗田小麥的產(chǎn)量為xkg,B試驗田小麥的產(chǎn)量為ykg.則x+y=562,x答:今年A、B兩塊試驗田的產(chǎn)量分別為232kg,330kg.問題3:上面兩種方法哪種簡便?你有什么想法?方法一,間接設(shè)未知數(shù)簡便.根據(jù)問題的具體條件,合理的設(shè)未知數(shù)列方程可以大大簡化解題步驟三、當(dāng)堂達標(biāo)1.某服裝店用6000元購進A,B兩種新款服裝,按標(biāo)價售出后獲得毛利潤為3800元(毛利潤標(biāo)價進價).這兩種服裝的進價、標(biāo)價如下表所示,則這兩種服裝共購進件.AB進價/(元/件)60100標(biāo)價/(元/件)1001602.甲、乙兩人從兩地同時出發(fā)相向而行,甲每分鐘走52米,乙每分鐘走70米,在A點相遇;如果甲先走4分鐘,然后甲的速度仍為每分鐘52米,乙的速度變?yōu)槊糠昼?0米,恰好還在A點相遇,則兩地相距米.3.蘋果和梨各有若干,如果5個蘋果和3個梨裝一袋,蘋果還多4個,梨剛好裝完;如果7個蘋果和3個梨裝一袋,蘋果剛好裝完,梨還多12個,那么蘋果和梨一共有個.4.如圖所示,某工廠生產(chǎn)鏤空的鋁板雕花造型,造型由A繡球花、B祥云兩種圖案組合而成.因制作工藝不同,A,B兩種圖案成本不同,廠家提供了如下幾種設(shè)計造型,造型1的成本64元,造型2的成本42元,則造型3的成本為元.5.七年級某班的一個綜合實
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