（人教版）數(shù)學(xué)

九年級(jí)下第二十七章

相似

27.2.3相似三角形的應(yīng)用舉例目錄課后小結(jié)隨堂練習(xí)知識(shí)講解情境導(dǎo)入學(xué)習(xí)目標(biāo)135241.能夠利用相似三角形的知識(shí)，求出不能直接測(cè)量的物體的高度和寬度.(重點(diǎn))2.進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)建模思想，能夠?qū)?shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相似三角形的數(shù)學(xué)模型，提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.(難點(diǎn))世界上最高的樹——紅杉

怎樣測(cè)量這些非常高大的物體的高度？臺(tái)灣最高的樓——臺(tái)北101大樓樂(lè)山大佛

據(jù)傳說(shuō)，古希臘數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的頂部立一根木桿，借助太陽(yáng)光線構(gòu)成兩個(gè)相似三角形，來(lái)測(cè)量金字塔的高度.知識(shí)點(diǎn)一

利用相似三角形測(cè)量高度表達(dá)式：物1高∶物2高=影1長(zhǎng)∶影2長(zhǎng)測(cè)高方法一：測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度時(shí)，可以用“在同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)成正比例”的原理解決.歸納：例1如圖，木桿EF長(zhǎng)

2m，它的影長(zhǎng)FD為3m，測(cè)得OA為201m，求金字塔的高度BO.解析：∵太陽(yáng)光是平行的光線，因此∠BAO=∠EDF.∵∠AOB=∠DFE=90°，∴△ABO∽△DEF.

因此金字塔的高度為134m.??例2如圖，要測(cè)量旗桿AB的高度，可在地面上豎一根竹竿DE，測(cè)量出DE的長(zhǎng)以及DE和AB在同一時(shí)刻下地面上的影長(zhǎng)即可，則下面能用來(lái)求AB長(zhǎng)的等式是()

A．B．

C．D．C例3如圖，九年級(jí)某班數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)想利用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)量學(xué)校旗桿的高度，當(dāng)身高1.6米的楚陽(yáng)同學(xué)站在C處時(shí)，他頭頂端的影子正好與旗桿頂端的影子重合，同一時(shí)刻，其他成員測(cè)得AC=2米，AB=10米，則旗桿的高度是______米．

8還可以有其他測(cè)量方法嗎？OBEF=OAAF△ABO∽△AEFOB=OA·EFAFAFEBO┐┐平面鏡想一想：測(cè)高方法二：測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度時(shí)，也可以用“利用鏡子的反射測(cè)量高度”的原理解決.測(cè)量如河寬等不易直接測(cè)量的物體的寬度時(shí)，常構(gòu)造相似三角形求解.知識(shí)點(diǎn)二

利用相似三角形測(cè)量距離例1如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)P，在近岸取點(diǎn)Q和S，使點(diǎn)P，Q，S共線且直線PS與河垂直，接著在過(guò)點(diǎn)S且與PS垂直的直線a上選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)T，確定PT與過(guò)點(diǎn)Q且垂直PS的直線b的交點(diǎn)R.

已知測(cè)得QS=45m，ST=90m，QR=60m，請(qǐng)根據(jù)這些數(shù)據(jù)，計(jì)算河寬PQ.PRQSbTaPRQSbTa∴PQ×90=(PQ+45)×60，解得PQ=90.因此，河寬大約為90m.解析：∵∠PQR=∠PST=90°，∠P=∠P，∴△PQR∽△PST.

45m90m60m例2如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)作為點(diǎn)A，再在河的這一邊選點(diǎn)B和C，使AB⊥BC，然后，再選點(diǎn)E，使EC⊥BC，用視線確定BC和AE的交點(diǎn)

D．

此時(shí)測(cè)得BD＝80m，DC＝30m，EC＝24m，求兩岸間的大致距離

AB的長(zhǎng)．EADCB30m24m80m

解析：∵∠ADB＝∠EDC，

∠ABC＝∠ECD＝90°，

解得AB=64.因此，兩岸間的大致距離為64m.EADCB60m50m120m知識(shí)點(diǎn)三

利用相似解決有遮擋物問(wèn)題在實(shí)際遮擋物問(wèn)題中，通常先找出相似三角形，比如測(cè)量某物體被遮擋部分高度時(shí)，把物體、遮擋物和地面構(gòu)成的三角形與一個(gè)已知尺寸的相似三角形（比如通過(guò)在旁邊立一個(gè)已知長(zhǎng)度的標(biāo)桿形成的三角形）相對(duì)比，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)計(jì)算出被遮擋物體的高度或其他未知長(zhǎng)度等相關(guān)量.

分析：如圖，設(shè)觀察者眼睛的位置(視點(diǎn))為點(diǎn)F，畫出觀察者的水平視線FG，它交ABCD于點(diǎn)H，K.視線FA，F(xiàn)G的夾角∠AFH是觀察點(diǎn)A的仰角.類似地，∠CFK是觀察點(diǎn)C時(shí)的仰角，由于樹的遮擋，區(qū)域Ⅰ和Ⅱ都在觀察者看不到的區(qū)域(盲區(qū))之內(nèi).再往前走就根本看不到C點(diǎn)了.

由此可知，如果觀察者繼續(xù)前進(jìn)，當(dāng)她與左邊的樹的距離小于

8m時(shí)，由于這棵樹的遮擋，就看不到右邊樹的頂端C.

解得

EH=8.隨堂練習(xí)1.小明身高1.5米，在操場(chǎng)的影長(zhǎng)為2米，同時(shí)測(cè)得教學(xué)大樓在操場(chǎng)的影長(zhǎng)為60米，則教學(xué)大樓的高度應(yīng)為()

A.45米B.40米

C.90米

D.80米A2.小剛身高1.7m，測(cè)得他站立在陽(yáng)光下的影子長(zhǎng)0.85m，緊接著他把手臂豎直舉起，測(cè)得影子長(zhǎng)為1.1m，那么小剛舉起的手臂超出頭頂()A.0.5mB.0.55mC.0.6mD.2.2mA3.如圖，有點(diǎn)光源S在平面鏡上面，若在P

點(diǎn)看到點(diǎn)光源的反射光線，并測(cè)得AB＝10cm，BC＝20cm，PC⊥AC，且PC＝24cm，則點(diǎn)光源S到平面鏡的距離SA為

.

12cm4.如圖，為了測(cè)量水塘邊

A、B兩點(diǎn)之間的距離，在可以看到

A、B

的點(diǎn)E處，取AE、BE延長(zhǎng)線上的C、D

兩點(diǎn)，使得CD∥AB.若測(cè)得CD＝5m，AD＝15m，ED=3m，則A、B

兩點(diǎn)間的距離為

m.ABEDC205.如圖，某校數(shù)學(xué)興趣小組利用自制的直角三角形硬紙板DEF來(lái)測(cè)量操場(chǎng)旗桿AB的高度，他們通過(guò)調(diào)整測(cè)量位置，使斜邊DF與地面保持平行，并使邊DE與旗桿頂點(diǎn)A

在同一直線上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目測(cè)點(diǎn)D到地面的距離DG=1.5米，到旗桿的水平距離DC=20米，求旗桿的高度.ABCDGEFABCDGEF

解得AC=10，