北師大版2024·八年級(jí)上冊(cè)2.1認(rèn)識(shí)實(shí)數(shù)

（第1課時(shí)）

第二章

實(shí)數(shù)

章節(jié)導(dǎo)讀實(shí)數(shù)2.1認(rèn)識(shí)實(shí)數(shù)2.2平方根與立方根無(wú)理數(shù)平方根立方根二次根式算術(shù)平方根平方根立方根無(wú)限不循環(huán)小數(shù)實(shí)數(shù)2.3二次根數(shù)二次根式的乘除最簡(jiǎn)二次根式二次根式的混合運(yùn)算2.1.1學(xué)

習(xí)

目

標(biāo)（P25-P26）123理解非有理數(shù)的存在性，掌握無(wú)限不循環(huán)小數(shù)的核心特征；經(jīng)歷無(wú)限不循環(huán)小數(shù)的概念的探索過(guò)程，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想和逼近思想；在探索無(wú)線(xiàn)不循環(huán)小數(shù)過(guò)程中，發(fā)展計(jì)算與估算能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。情景引入畢達(dá)哥拉斯學(xué)派是古希臘一個(gè)集宗教、哲學(xué)、數(shù)學(xué)和政治為一體的神秘組織。他們發(fā)展并堅(jiān)信一個(gè)核心教義：“萬(wàn)物皆整數(shù)比”：更具體地說(shuō)，他們認(rèn)為宇宙中一切可度量的事物之間的關(guān)系（比例），都可以用兩個(gè)整數(shù)的比（即分?jǐn)?shù)）來(lái)表示。這個(gè)發(fā)現(xiàn)對(duì)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派來(lái)說(shuō)是顛覆性的、災(zāi)難性的；結(jié)果希帕索斯被學(xué)派的其他成員扔進(jìn)了大海淹死，作為對(duì)“褻瀆神明”的懲罰；他們認(rèn)為這個(gè)發(fā)現(xiàn)動(dòng)搖了學(xué)派的根基，必須被掩蓋！

溫故知新(1)什么是有理數(shù)?通過(guò)以上問(wèn)題，猜測(cè)一下：什么是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)？它的是不是有理數(shù)？整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱(chēng)為有理數(shù)(2)有理數(shù)包括哪些小數(shù)形式?(3)理數(shù)一定都是分?jǐn)?shù)和整數(shù)嗎？無(wú)限循環(huán)小數(shù)屬于整數(shù)還是分?jǐn)?shù)？有理數(shù)一定都是整數(shù)和分?jǐn)?shù)；所有的無(wú)限循環(huán)小數(shù)都可以表示為分?jǐn)?shù)有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)※問(wèn)題1如何將兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形拼成一個(gè)大正方形？新知探究探究1.非有理數(shù)的引入可以將這兩個(gè)正方形沿著對(duì)角線(xiàn)平分，再將得到的四個(gè)三角形拼成一個(gè)大正方形.

S1S1(1)假設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為a，則a滿(mǎn)足什么條件?

(2)a可能是整數(shù)或分?jǐn)?shù)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.不可能，12=1<2<22=2※遷移驗(yàn)證

根據(jù)問(wèn)題1的結(jié)論，請(qǐng)你分析以下問(wèn)題：新知探究探究1.非有理數(shù)的引入既不是整數(shù)，也不是分?jǐn)?shù)→非有理數(shù)！(1)如圖，以直角三角形的斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積是多少？正方形的面積等于5(2)直角三角形的斜邊b滿(mǎn)足什么條件？

(3)b是整數(shù)或分?jǐn)?shù)嗎？b不是整數(shù)也不是分?jǐn)?shù)

即時(shí)訓(xùn)練非有理數(shù)的引入

BC新知探究探究2.無(wú)限不循環(huán)小數(shù)的概念※問(wèn)題2面積為2的正方形，其邊長(zhǎng)a為多少？(1)圖中面積為2的正方形面積的范圍是怎樣的？1<2<4(2)由此可以推測(cè)它的邊長(zhǎng)a范圍是多少？1<a<2由此可以發(fā)現(xiàn)，a是一個(gè)小數(shù)，那么它的小數(shù)部分是怎樣的呢？這需要我們確定該數(shù)的十分位、百分位、千分位...探究

找出數(shù)a的十分位、百分位、千分位…新知探究探究2.無(wú)限不循環(huán)小數(shù)的概念我們已經(jīng)知道1<a<2(整數(shù)部分是1），接下來(lái)探索a的小數(shù)部分（1）找十分位：嘗試1.4和1.5的平方：

1.96<

2.25>結(jié)論：1.4<a<1.5，所以a的十分位是____4（2）找百分位：在1.4和1.5之間，嘗試1.41和1.42的平方：

結(jié)論：1.41<a<1.42，所以a的百分位是_______。1.9881<2.0164>1新知探究探究2.無(wú)限不循環(huán)小數(shù)的概念用以上方法繼續(xù)計(jì)算下去，得到邊長(zhǎng)和面積的范圍如圖.結(jié)合剛才的計(jì)算過(guò)程，回答下列問(wèn)題：（1）通過(guò)以上的結(jié)果，你認(rèn)為該數(shù)還可以算下去嗎？a可能是有限小數(shù)嗎？a的小數(shù)部分是否循環(huán)？還可以算下去；但它一定不是有限小數(shù)，且小數(shù)部分不循環(huán)（2）a是整數(shù)嗎？是分?jǐn)?shù)嗎？為什么？a不是整數(shù)（1<a<2），也不是分?jǐn)?shù)（分?jǐn)?shù)的平方不可能是2）綜上可得，像a這樣的數(shù)的小數(shù)部分一定是無(wú)限且不循環(huán)的，像這樣的數(shù)就叫無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。通過(guò)上面的活動(dòng)，我們發(fā)現(xiàn)了一種新的數(shù)新知探究歸納總結(jié)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)：具體為小數(shù)部分無(wú)限且沒(méi)有循環(huán)節(jié)的數(shù)該類(lèi)小數(shù)，不能表示為分?jǐn)?shù)，因此不是有理數(shù)例題講解無(wú)限不循環(huán)小數(shù)的概念

h不可能是有理數(shù)，理由如下：證明：在等邊三角形ABC中，BC邊上的高滿(mǎn)足“三線(xiàn)合一”所以BD=CD在直角三角形ABD中，根據(jù)勾股定理：

B知識(shí)補(bǔ)充：若一個(gè)數(shù)的平方是整數(shù)且非完全平方數(shù)（如3，5，7等），則該數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)問(wèn)題

同一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)和對(duì)角線(xiàn)是否可能都是整數(shù)？說(shuō)明你的理由.拓展提升

所以同一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)和對(duì)角線(xiàn)不可能都是整數(shù)

應(yīng)用新知

D2.判斷正誤：（1）所有無(wú)限小數(shù)都是無(wú)理數(shù)；

（

）

（2）所有無(wú)限不循環(huán)小數(shù)數(shù)都是無(wú)限小數(shù)；

（

）

（3）有理數(shù)都是有限小數(shù)；

（

）

（4）不是有限小數(shù)的數(shù)不是有理數(shù)。

（

）

×××√應(yīng)用新知3.如圖，4×4的方格紙中每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)均為1，連接任意兩個(gè)格點(diǎn)便可得到一條線(xiàn)段。試分別找出兩條長(zhǎng)度是有理數(shù)的線(xiàn)段和兩條長(zhǎng)度不是有理數(shù)的線(xiàn)段。

類(lèi)型一.應(yīng)用勾股定理和方程思想求邊長(zhǎng)題型總結(jié)

AC題型總結(jié)類(lèi)型二：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)的在幾何中的應(yīng)用1.大小兩個(gè)正三角形的面積比為2:1，小三角形邊長(zhǎng)為1，求大三角形的高h(yuǎn)；解：如圖，分別給兩個(gè)正三角形作高，已知小正方形邊長(zhǎng)為1，設(shè)其高為h1在正三角形中，滿(mǎn)足“三線(xiàn)合一