高中數(shù)學(xué)隱圓模型課程講義與例題引言在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，我們常常會(huì)遇到一些看似與圓無(wú)關(guān)的問(wèn)題，但通過(guò)深入分析和轉(zhuǎn)化，卻能發(fā)現(xiàn)其中隱藏著圓的軌跡。這類問(wèn)題構(gòu)思巧妙，綜合性強(qiáng)，能夠有效考查學(xué)生的邏輯思維能力、轉(zhuǎn)化與化歸能力以及數(shù)形結(jié)合思想。本講義將系統(tǒng)梳理高中階段常見(jiàn)的“隱圓”模型，通過(guò)典型例題的剖析，幫助同學(xué)們掌握這類問(wèn)題的解題策略，提升解題能力。一、利用圓的定義（到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)）構(gòu)造隱圓模型特征若一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到某個(gè)定點(diǎn)的距離始終為一個(gè)固定的常數(shù)，則該動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑的圓。這是最基本、最直接的隱圓模型，往往題目中不會(huì)直接提及“圓”，而是通過(guò)一些條件間接給出“定點(diǎn)”和“定長(zhǎng)”。核心原理圓的定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合（軌跡）是圓。解題策略1.分析題目，找出或構(gòu)造出“定點(diǎn)”和“定長(zhǎng)”。2.明確動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)定義判斷其軌跡為圓。3.利用圓的相關(guān)性質(zhì)（如圓心、半徑、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系等）解決問(wèn)題。典型例題與解析例題1：已知點(diǎn)A(1,0)，點(diǎn)B(4,0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|2+|PB|2=10，求點(diǎn)P的軌跡方程，并判斷軌跡形狀。解析：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y)。根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式：PAPB由已知|PA|2+|PB|2=10，可得：[(x-1)2+y2]+[(x-4)2+y2]=10展開(kāi)并化簡(jiǎn)：(x2-2x+1+y2)+(x2-8x+16+y2)=102x2-10x+2y2+17=102x2-10x+2y2=-7兩邊同除以2：x2-5x+y2=-7/2配方：x2-5x+(25/4)+y2=-7/2+25/4(x-5/2)2+y2=(-14/4+25/4)=11/4所以，點(diǎn)P的軌跡方程為(x-5/2)2+y2=(√11/2)2，其軌跡是以點(diǎn)(5/2,0)為圓心，√11/2為半徑的圓。例題2（阿波羅尼斯圓）：平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)A、B的距離之比為常數(shù)λ(λ>0,λ≠1)的點(diǎn)的軌跡是圓，這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓。已知點(diǎn)A(-2,0)，B(4,0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|/|PB|=1/2，求點(diǎn)P的軌跡方程。解析：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y)。由|PA|/|PB|=1/2，得|PA|=(1/2)|PB|，兩邊平方：PA2=(1/4)PB即(x+2)2+y2=(1/4)[(x-4)2+y2]兩邊同乘以4：4[(x+2)2+y2]=(x-4)2+y2展開(kāi)：4(x2+4x+4+y2)=x2-8x+16+y24x2+16x+16+4y2=x2-8x+16+y2移項(xiàng)化簡(jiǎn)：3x2+24x+3y2=0x2+8x+y2=0配方：x2+8x+16+y2=16(x+4)2+y2=16所以，點(diǎn)P的軌跡方程為(x+4)2+y2=16，其軌跡是以點(diǎn)(-4,0)為圓心，4為半徑的圓。（注：阿波羅尼斯圓是一種重要的隱圓模型，需熟練掌握其推導(dǎo)過(guò)程和應(yīng)用場(chǎng)景。）二、利用圓周角定理的逆定理（直徑所對(duì)的圓周角是直角）構(gòu)造隱圓模型特征若一個(gè)三角形中，有一條邊的長(zhǎng)度固定，且這條邊所對(duì)的角始終為直角，則這個(gè)直角頂點(diǎn)的軌跡是以該固定邊為直徑的圓（除去該邊的兩個(gè)端點(diǎn)）。核心原理圓周角定理的逆定理：如果一個(gè)三角形的一個(gè)角等于90°，那么這個(gè)角所對(duì)的邊是斜邊，三角形的三個(gè)頂點(diǎn)共圓，且斜邊為該圓的直徑。解題策略1.識(shí)別題目中是否存在直角（或可轉(zhuǎn)化為直角）的條件。2.確定直角所對(duì)的斜邊（固定的線段）。3.依據(jù)定理判斷直角頂點(diǎn)的軌跡是以斜邊為直徑的圓（或圓?。?。4.結(jié)合圓的性質(zhì)解決后續(xù)問(wèn)題（如最值、范圍等）。典型例題與解析例題3：已知點(diǎn)A(1,3)，點(diǎn)B(4,-1)，點(diǎn)P是直線l：x-y+2=0上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠APB為直角時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。解析：因?yàn)椤螦PB為直角，所以點(diǎn)P的軌跡是以線段AB為直徑的圓（除去A、B兩點(diǎn)）與直線l的交點(diǎn)。首先，求線段AB的中點(diǎn)（即圓心）坐標(biāo)和AB的長(zhǎng)度（即直徑）。AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)為((1+4)/2,(3+(-1))/2)=(5/2,1)。AB因此，以AB為直徑的圓的方程為：(x-5/2)2+(y-1)2=(5/2)2。展開(kāi)并化簡(jiǎn)：x2-5x+25/4+y2-2y+1=25/4x2+y2-5x-2y+1=0接下來(lái)，求此圓與直線l：x-y+2=0的交點(diǎn)。由直線方程得：y=x+2，代入圓的方程：x2+(x+2)2-5x-2(x+2)+1=0展開(kāi)：x2+x2+4x+4-5x-2x-4+1=0合并同類項(xiàng)：2x2-3x+1=0因式分解：(2x-1)(x-1)=0解得x=1/2或x=1。當(dāng)x=1/2時(shí)，y=1/2+2=5/2；當(dāng)x=1時(shí)，y=1+2=3。但需檢驗(yàn)，當(dāng)x=1,y=3時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，此時(shí)∠APB無(wú)意義，故舍去。所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1/2,5/2)。例題4：已知圓C：(x-2)2+(y-3)2=4，點(diǎn)A(5,0)，點(diǎn)P是圓C上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q滿足AQ=2QP，求點(diǎn)Q的軌跡方程。解析：設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x,y)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x?,y?)。由AQ=2QP，可知點(diǎn)Q在線段AP上，且AQ:QP=2:1，即Q是AP的定比分點(diǎn)，λ=AQ/QP=2。根據(jù)定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式：x=(xA+λxP)/(1+λ)=(5+2x?)/(1+2)=(5+2x?)/3y=(yA+λyP)/(1+λ)=(0+2y?)/3=(2y?)/3解得：x?=(3x-5)/2，y?=(3y)/2因?yàn)辄c(diǎn)P(x?,y?)在圓C上，所以將其代入圓C的方程：[(3x-5)/2-2]2+[(3y)/2-3]2=4化簡(jiǎn)：[(3x-5-4)/2]2+[(3y-6)/2]2=4[(3x-9)/2]2+[(3(y-2))/2]2=4[9(x-3)2]/4+[9(y-2)2]/4=4兩邊同乘以4/9：(x-3)2+(y-2)2=16/9所以，點(diǎn)Q的軌跡方程為(x-3)2+(y-2)2=(4/3)2，是以(3,2)為圓心，4/3為半徑的圓。（注：本題雖主要是相關(guān)點(diǎn)法求軌跡，但點(diǎn)P在已知圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q的軌跡也是圓，體現(xiàn)了圓的伸縮和平移變換，也可視為一種“隱圓”的生成方式。）三、利用四點(diǎn)共圓（對(duì)角互補(bǔ)或張角相等）構(gòu)造隱圓模型特征若平面上四個(gè)點(diǎn)滿足對(duì)角互補(bǔ)，或一個(gè)四邊形的外角等于其內(nèi)對(duì)角，則這四個(gè)點(diǎn)共圓。此外，若兩個(gè)點(diǎn)在一條線段的同側(cè)，且對(duì)該線段的張角相等，則這兩個(gè)點(diǎn)與線段的兩個(gè)端點(diǎn)共圓。核心原理圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理及判定定理；圓周角定理：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等。解題策略1.分析題目條件，尋找是否存在四點(diǎn)共圓的判定條件（如對(duì)角互補(bǔ)、張角相等）。2.確定共圓的四個(gè)點(diǎn)，從而確定隱圓。3.利用圓的性質(zhì)（如圓周角相等、弦切角等于圓周角等）解決角度關(guān)系或線段長(zhǎng)度問(wèn)題。典型例題與解析例題5：在四邊形ABCD中，已知∠A=90°，∠B=60°，∠C=120°，AB=2，AD=2√3，求CD的長(zhǎng)度。解析：在四邊形ABCD中，∠B=60°，∠C=120°，所以∠B+∠C=180°，根據(jù)“對(duì)角互補(bǔ)的四邊形內(nèi)接于圓”可知，四邊形ABCD四點(diǎn)共圓。又因?yàn)椤螦=90°，所以BD為四邊形ABCD外接圓的直徑（90°圓周角所對(duì)的弦是直徑）。在Rt△ABD中，AB=2，AD=2√3，根據(jù)勾股定理：BD=√(AB2+AD2)=√(4+12)=√16=4。在△BCD中，∠C=120°，BD為直徑，長(zhǎng)度為4。設(shè)CD=x，BC=y。根據(jù)正弦定理：BD/sin∠C=CD/sin∠B即4/sin120°=x/sin60°因?yàn)閟in120°=sin60°=√3/2，所以4/(√3/2)=x/(√3/2)，解得x=4。所以CD的長(zhǎng)度為4。例題6：已知點(diǎn)A(0,0)，點(diǎn)B(2,0)，點(diǎn)C是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作直線l垂直于AC，垂足為D，求點(diǎn)D的軌跡方程。解析：設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,c)（c≠0，若c=0，則AC與x軸重合，直線l與x軸垂直，D與B重合），點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x,y)。因?yàn)锳(0,0)，C(0,c)，所以直線AC的方程為x=0（即y軸）。但當(dāng)C在y軸上運(yùn)動(dòng)（C不為原點(diǎn)）時(shí)，AC的斜率存在嗎？當(dāng)C為原點(diǎn)時(shí)，AC退化為一個(gè)點(diǎn)，不符合題意。當(dāng)C不為原點(diǎn)時(shí)，AC是從原點(diǎn)出發(fā)沿y軸的直線，其斜率不存在（垂直于x軸）。此時(shí)，過(guò)點(diǎn)B(2,0)且垂直于AC的直線l應(yīng)該平行于x軸，即l的方程為y=0。但此時(shí)垂足D就是點(diǎn)B(2,0)。這似乎不太對(duì)，說(shuō)明我們的初始假設(shè)可能限制了思路。換一種思路：設(shè)點(diǎn)C(0,c)，c∈R。直線AC的斜率：當(dāng)c≠0時(shí)，k_AC=(c-0)/(0-0)，分母為0，斜率不存在，此時(shí)AC為y軸，過(guò)B(2,0)垂直于AC的直線l為水平線y=0，垂足D為(0,0)與(2,0)？不，垂足D應(yīng)該是AC與l的交點(diǎn)。AC是y軸(x=0)，l是y=0，交點(diǎn)D是(0,0)，即點(diǎn)A。這情況比較特殊。當(dāng)c=0時(shí)，點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，不符合題意，故c≠0時(shí)，D點(diǎn)為A點(diǎn)。這說(shuō)明，當(dāng)AC斜率不存在時(shí)，D點(diǎn)為A。那么當(dāng)AC斜率存在時(shí)呢？哦，AC斜率存在的前提是點(diǎn)C不在y軸上，但題目明確說(shuō)點(diǎn)C是y軸上的動(dòng)點(diǎn)。所以，或許我們應(yīng)該用向量或者更一般的方法。因?yàn)锽D⊥AC，所以向量DB·向量AC=0。向量DB=(2-x,0-y)=(2-x,-y)向量AC=(0-0,c-0)=(0,c)所以(2-x)*0+(-y)*c=0，即-yc=0。因?yàn)閏≠0（否則C與A重合），所以y=0。這意味著點(diǎn)D的縱坐標(biāo)恒為0。但這似乎與我們的直覺(jué)不符，或者說(shuō)，這種情況下，點(diǎn)D的軌跡就是x軸？但當(dāng)C運(yùn)動(dòng)時(shí)，D點(diǎn)似乎一直在x軸上?；蛘?，我們換個(gè)角度，考慮∠ADB。因?yàn)锽D⊥AC，所以∠ADB=90°（當(dāng)C不與A重合時(shí)，D不與A重合）。所以，點(diǎn)D滿足∠ADB=90°，且A(0,0)，B(2,0)為定點(diǎn)。根據(jù)模型二“直徑所對(duì)的圓周角是直角”，點(diǎn)D的軌跡是以AB為直徑的圓（除去A、B兩點(diǎn)）。AB中點(diǎn)為(1,0)，半徑為1，所以圓的方程為(x-1)2+y2=1(x≠0且x≠2)。但之前通過(guò)向量法得到y(tǒng)=0，這是否矛盾？不矛盾。當(dāng)我們用向量法時(shí)，默認(rèn)了AC的斜率存在（即C不為原點(diǎn)），但此時(shí)推出y=0，即D點(diǎn)在x軸上。而在以AB為直徑的圓上，y=0的點(diǎn)只有A(0,0)和B(2,0)，這正好是要除去的點(diǎn)。這說(shuō)明，當(dāng)C在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)（C≠A），垂足D只能是A點(diǎn)。這似乎更合理，因?yàn)锳C是y軸，過(guò)B作y軸的垂線，垂足就是原點(diǎn)A。所以，本題點(diǎn)D的軌跡就是一個(gè)點(diǎn)A(0,0)。（注：本題通過(guò)“直角”條件試圖構(gòu)造隱圓