2021年高中數(shù)學(xué)函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)多選題專題復(fù)習及解析一、函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)多選題1．已知是定義域為的奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且當時，，則（）A．是周期為2的函數(shù) B．C．的值域為 D．在上有4個零點【答案】BCD【分析】對于A，由為上的奇函數(shù)，為偶函數(shù)，得，則是周期為4的周期函數(shù)，可判斷A.對于B，由是周期為4的周期函數(shù)，則，，可判斷B．對于C，當時，，有，又由為R上的奇函數(shù)，則時，，可判斷C．對于D，根據(jù)函數(shù)的周期性和對稱性，可以求出函數(shù)在各段上的解析式，從而求出函數(shù)的零點，可判斷D．【詳解】解：對于A，為偶函數(shù)，其圖像關(guān)于軸對稱，把的圖像向右平移1個單位得到的圖像，所以圖象關(guān)于對稱，即，所以，為上的奇函數(shù)，所以，所以，用替換上式中的得，，所以，，則是周期為4的周期函數(shù).故A錯誤.對于B，定義域為R的奇函數(shù)，則，是周期為4的周期函數(shù)，則；當時，，則，則，則.故B正確.對于C，當時，，此時有，又由為上的奇函數(shù)，則時，，，函數(shù)關(guān)于對稱，所以函數(shù)的值域.故C正確.對于D，，且時，，，，，，①時，，此時函數(shù)的零點為0，2；是奇函數(shù)，，②時，的周期為，，，此時函數(shù)零點為4；③時，，，此時函數(shù)零點為6；④時，，，此時函數(shù)無零點；綜合以上有，在上有4個零點.故D正確；故選：BCD【點睛】關(guān)鍵點點睛：由是偶函數(shù)，通過平移得到關(guān)于對稱，再根據(jù)是奇函數(shù)，由此得到函數(shù)的周期，進一步把待求問題轉(zhuǎn)化到函數(shù)的已知區(qū)間上，本題綜合考查抽象函數(shù)的奇偶性、周期性.2．下列說法中，正確的有（）A．若，則B．若，，，則的最小值為C．己知，且，則實數(shù)的取值范圍為D．已知函數(shù)在上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是【答案】BCD【分析】利用不等式的基本性質(zhì)可判斷A選項的正誤；將與相乘，展開后利用基本不等式可判斷B選項的正誤；判斷函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，解不等式可判斷C選項的正誤；利用復(fù)合函數(shù)法可得出關(guān)于實數(shù)的不等式組，解出的取值范圍，可判斷D選項的正誤.【詳解】對于A選項，，則，A選項錯誤；對于B選項，，，，，當且僅當時，等號成立，所以，的最小值為，B選項正確；對于C選項，函數(shù)的定義域為，任取、且，則，所以，，即，所以，函數(shù)為上的減函數(shù)，，則，所以，函數(shù)為上的奇函數(shù)，且為減函數(shù)，由可得，所以，，即，解得，C選項正確；對于D選項，對于函數(shù)，令，由于外層函數(shù)為增函數(shù)，則內(nèi)層函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，解得，D選項正確.故選：BCD.【點睛】方法點睛：利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性求解抽象函數(shù)不等式，要設(shè)法將隱性劃歸為顯性的不等式來求解，方法是：（1）把不等式轉(zhuǎn)化為；（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性把不等式的函數(shù)符號“”脫掉，得到具體的不等式（組），但要注意函數(shù)奇偶性的區(qū)別.3．已知正數(shù)，滿足，則（）A． B．C． D．【答案】AC【分析】令，根據(jù)指對互化和換底公式得：，再依次討論各選項即可.【詳解】由題意，可令，由指對互化得：，由換底公式得：，則有，故選項B錯誤；對于選項A，，所以，又，所以，所以，故選項A正確；對于選項C?D，因為，所以，所以，所以，則，則，所以選項C正確，選項D錯誤；故選：AC.【點睛】本題考查指對數(shù)的運算，換底公式，作差法比較大小等，考查運算求解能力，是中檔題.本題解題的關(guān)鍵在于令，進而得，再根據(jù)題意求解.4．已知函數(shù),則下列判斷正確的是（）A．為奇函數(shù)B．對任意,,則有C．對任意,則有D．若函數(shù)有兩個不同的零點,則實數(shù)m的取值范圍是【答案】CD【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性判斷AB選項；對進行分類討論，判斷C選項；對選項D，構(gòu)造函數(shù)，將函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點問題，即可得出實數(shù)m的取值范圍.【詳解】對于A選項，當時，，則所以函數(shù)不是奇函數(shù)，故A錯誤；對于B選項，的對稱軸為，的對稱軸為所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，并且所以在上單調(diào)遞增即對任意，都有則，故B錯誤；對于C選項，當時，，則則當時，，則當時，，則則即對任意,則有，故C正確；對于D選項，當時，，則不是該函數(shù)的零點當時，令函數(shù)，函數(shù)由題意可知函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點因為時，，時，所以當時，設(shè)，因為，所以，即設(shè)，，即所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增同理可證，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增函數(shù)圖象如下圖所示由圖可知，要使得函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點則實數(shù)m的取值范圍是，故D正確；故選：CD【點睛】本題主要考查了利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性以及奇偶性，由函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)的范圍，屬于較難題.5．已知為上的奇函數(shù)，且當時，.記，下列結(jié)論正確的是（）A．為奇函數(shù)B．若的一個零點為，且，則C．在區(qū)間的零點個數(shù)為3個D．若大于1的零點從小到大依次為，則【答案】ABD【分析】根據(jù)奇偶性的定義判斷A選項；將等價變形為，結(jié)合的奇偶性判斷B選項，再將零點問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點問題，結(jié)合函數(shù)的奇偶性判斷C選項，結(jié)合圖象，得出的范圍，由不等式的性質(zhì)得出的范圍.【詳解】由題意可知的定義域為，關(guān)于原點對稱因為，所以函數(shù)為奇函數(shù)，故A正確；假設(shè)，即時，所以當時，當時，當，，則由于的一個零點為，則，故B正確；當時，令，則大于的零點為的交點，由圖可知，函數(shù)在區(qū)間的零點有2個，由于函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間的零點有1個，并且所以函數(shù)在區(qū)間的零點個數(shù)為4個，故C錯誤；由圖可知，大于1的零點所以故選：ABD【點睛】本題主要考查了判斷函數(shù)的奇偶性以及判斷函數(shù)的零點個數(shù)，屬于較難題.6．已知函數(shù)，當實數(shù)取確定的某個值時，方程的根的個數(shù)可以是（）A．0個 B．1個 C．2個 D．4個【答案】ABC【分析】令，畫出，結(jié)合的解的情況可得正確的選項.【詳解】，故當時，，故在上為增函數(shù)；當時，，故在上為減函數(shù)，而且當時，恒成立，故的圖象如圖所示：考慮方程的解的情況.，當時，，此時方程有兩個不等的正根，因為，故，，由圖象可知方程的解的個數(shù)為2，方程的解的個數(shù)為0，故方程的根的個數(shù)是2.當時，，此時方程有兩個相等的正根，由圖象可知方程的解的個數(shù)為1，故方程的根的個數(shù)是1.當時，，此時方程無解，故方程的根的個數(shù)是0.當時，，此時方程有兩個相等的負根，由圖象可知方程的解的個數(shù)為1，故方程的根的個數(shù)是1.當時，，此時方程有兩個不等的負根，由圖象可知方程的解的個數(shù)為1，方程的解的個數(shù)為1，故方程的根的個數(shù)是2.故選：ABC．【點睛】本題考查復(fù)合方程的解，此類問題，一般用換元法來考慮，其中不含的參數(shù)的函數(shù)的圖象應(yīng)利用導(dǎo)數(shù)來刻畫，本題屬于難題．7．已知函數(shù)，則方程的實根個數(shù)可能為（）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】ABC【分析】以的特殊情形為突破口，解出或或或，將看作整體，利用換元的思想進一步討論即可.【詳解】由基本不等式可得或，作出函數(shù)的圖像，如下：①當時，或，故方程的實數(shù)根個數(shù)為；②當時，或或，故方程的實數(shù)根個數(shù)為；③當時，或或或，故方程的實數(shù)根個數(shù)為；④當時，或或或，故方程的實數(shù)根個數(shù)為；⑤當時，或，故方程的實數(shù)根個數(shù)為；⑥當時，或，故方程的實數(shù)根個數(shù)為；⑦當時，，故方程的實數(shù)根個數(shù)為；故選：ABC【點睛】本題考查了求零點的個數(shù)，考查了數(shù)形結(jié)合的思想以及分類討論的思想，屬于難題.8．設(shè)表示不超過的最大整數(shù)，如：，，又稱為取整函數(shù)，在現(xiàn)實生活中有著廣泛的應(yīng)用，諸如停車收費，出租車收費等均按“取整函數(shù)”進行計費，以下關(guān)于“取整函數(shù)”的描述，正確的是（）A．，B．，若，則C．，D．不等式的解集為或【答案】BCD【分析】通過反例可得A錯誤，根據(jù)取整函數(shù)的定義可證明BC成立，求出不等式的解后可得不等式的解集，從而可判斷D正確與否.【詳解】對于A，，則，故，故A不成立.對于B，，則，故，所以，故B成立.對于C，設(shè)，其中，則，，若，則，，故；若，則，，故，故C成立.對于D，由不等式可得或，故或，故D正確.故選：BCD【點睛】本題考查在新定義背景下恒等式的證明與不等式的解法，注意把等式的證明歸結(jié)為整數(shù)部分和小數(shù)部分的關(guān)系，本題屬于較難題.9．已知函數(shù)，下列關(guān)于函數(shù)的結(jié)論正確的為（）A．在定義域內(nèi)有三個零點 B．函數(shù)的值域為C．在定義域內(nèi)為周期函數(shù) D．圖象是中心對稱圖象【答案】ABD【分析】將函數(shù)變形為，求出定義域，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性即可判斷BC，由零點存在定理結(jié)合單調(diào)性可判斷A，由可求出函數(shù)的對稱點，即可判斷D.【詳解】解：由題意知，，定義域為，，所以函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，C不正確；當時，，則上有一個零點，當時，，所以在上有一個零點，當時，，所以在上有一個零點，當，，所以在定義域內(nèi)函數(shù)有三個零點，A正確；當，時，，當時，，又函數(shù)在遞增，且在上有一個零點，則值域為R，B正確；，所以，所以函數(shù)圖象關(guān)于對稱，D正確；故選:ABD.【點睛】結(jié)論點睛:1、與圖象關(guān)于x軸對稱；2、與圖象關(guān)于y軸對稱；3、與圖象關(guān)于軸對稱；4、與圖象關(guān)于軸對稱；5、與圖象關(guān)于軸對稱.10．已知函數(shù)其中，下列關(guān)于函數(shù)的判斷正確的為（）A．當時，B．當時，函數(shù)的值域C．當且時，D．當時，不等式在上恒成立【答案】AC【分析】對于A選項，直接代入計算即可；對于B選項，由題得當時，，進而得當時，，故的值域；對于C選項，結(jié)合B選項得當且時，進而得解析式；對于D選項，取特殊值即可得答案.【詳解】解：對于A選項，當時，，故A選項正確；對于B選項，由于當，函數(shù)的值域為，所以當時，，由于，所以，因為，所以，所以當時，，綜上，當時，函數(shù)的值域，故B選項錯誤；對于C選項，由B選項得當時，，故當且時，，故C選項正確；對于D選項，取，，則，，不滿足式，故D選項錯誤.故選：AC.【點睛】本題考查函數(shù)的綜合應(yīng)用，考查分析能力與運算求解能力，是難題.本題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意得當時，，且當，函數(shù)的值域為，進而利用函數(shù)平移與伸縮變換即可求解.11．已知函數(shù)滿足，且在上有最小值，無最大值.則（）A． B．若，則C．的最小正周期為3 D．在上的零點個數(shù)最少為1346個【答案】AC【分析】根據(jù)正弦函數(shù)圖象的對稱性可判斷；根據(jù)已知三角函數(shù)值求角的方法，可得，，兩式相減可求出，進而求得周期，從而可判斷和選項；因為，所以函數(shù)在區(qū)間上的長度恰好為673個周期，為了算出零點“至少”有多少個，可取，進而可判斷．【詳解】解：由題意得，在的區(qū)間中點處取得最小值，即，所以A正確；因為，且在上有最小值，無最大值，所以不妨令，，兩式相減得，，所以，即B錯誤，C正確；因為，所以函數(shù)在區(qū)間上的長度恰好為673個周期，當，即時，在區(qū)間上的零點個數(shù)至少為個，即D錯誤.故選:AC.【點睛】本題考查與三角函數(shù)有關(guān)的命題的真假關(guān)系，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用特殊值法以及三角函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，綜合性較強．12．已知函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，且對，當時，成立，若對任意的恒成立，則的可能取值為（）A． B． C． D．【答案】BC【分析】由已知得函數(shù)是偶函數(shù)，在上是單調(diào)增函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為對任意的恒成立，由基本不等式可求得范圍得選項．【詳解】因為函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線（即軸）對稱，所以函數(shù)是偶函數(shù).又時，成立，所以函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù).且對任意的恒成立，所以對任意的恒成立，當時，恒成立，當時，，又因為，當且僅當時，等號成立，所以，因此，故選：BC.【點睛】方法點睛：不等式恒成立問題常見方法：①分離參數(shù)恒成立(即可)或恒成立（即可）；②數(shù)形結(jié)合(圖象在上方即可)；③討論最值或恒成立.13．對于定義在上的函數(shù)，若存在正實數(shù)，，使得對一切均成立，則稱是“控制增長函數(shù)”.在以下四個函數(shù)中是“控制增長函數(shù)”的有（）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】假設(shè)各函數(shù)是“控制增長函數(shù)”，根據(jù)定義推斷對一切恒成立的條件，并判斷的存在性，即可得出結(jié)論.【詳解】對于A.可化為，，不等式在上不恒成立，所以不是“控制增長函數(shù)”；對于B.可化為，，即恒成立.又，故只需保證恒成立即可.，當時，不等式恒成立，是“控制增長函數(shù)”；對于C.，時，為任意正數(shù)，恒成立，是“控制增長函數(shù)”；對于D.化為，，令，則，當時，不等式恒成立，是“控制增長函數(shù)”.故選：BCD【點睛】本題考查了新定義的理解，函數(shù)存在成立和恒成立問題的研究.我們可先假設(shè)結(jié)論成立，再不斷尋求結(jié)論成立的充分條件，找得到就是“控制增長函數(shù)”.如果找出了反例，就不是“控制增長函數(shù)”.14．已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）有唯一零點，則的值可以為（）A．1 B． C．2 D．【答案】BC【分析】由已知，換元令，可得，從而為偶函數(shù)，圖象關(guān)于對稱，結(jié)合函數(shù)圖象的對稱性分析可得結(jié)論.【詳解】∵，令，則，定義域為，，故函數(shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，要使得函數(shù)有唯一零點，則，即，解得或①當時，由基本不等式有，當且僅當時取得故，當且僅當取等號故此時有唯一零點②當時，，同理滿足題意.故選：BC．【點睛】方法點睛：①函數(shù)軸對稱：如果一個函數(shù)的圖像沿一條直線對折，直線兩側(cè)的圖像能夠完全重合，則稱該函數(shù)具備對稱性中的軸對稱，該直線稱為該函數(shù)的對稱軸.②的圖象關(guān)于直線對稱15．已知函數(shù)，若存在實數(shù)a，使得，則a的個數(shù)不是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】ABD【分析】令，即滿足，對t進行分類討論，結(jié)合已知函數(shù)解析式代入即可求得滿足題意的t，進而求得a.【詳解】令，即滿足，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與有交點，結(jié)合圖像由圖可知，有兩個根或（1）當，即，由，得時，經(jīng)檢驗均滿足題意；（2）當，即，當時，，解得：；當時，，解得：；綜上所述：共有4個a．故選：ABD．【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖像，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解16．已知函數(shù)，若，且，則（）A．B．C．的取值范圍是D．的取值范圍是【答案】ACD【分析】作出函數(shù)的圖象，利用對數(shù)的運算性質(zhì)可判斷A選項的正誤，利用正弦型函數(shù)的對稱性可判斷B選項的正誤；利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可判斷C選項的正誤；利用雙勾函數(shù)的單調(diào)性可判斷D選項的正誤.【詳解】由可得，解得.作出函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖象可得，由，可得，即，得，A選項正確；令，解得，當時，令，解得，由于，，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則點、關(guān)于直線對稱，可得，B選項錯誤；，C選項正確；，下面證明函數(shù)在上為減函數(shù)，任取、且，則，，則，，所以，，所以，函數(shù)在上為減函數(shù)，，則，D選項正確.故選：ACD.【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.17．若定義在R上的函數(shù)滿足，當時，()，則下列說法正確的是（）A．若方程有兩個不同的實數(shù)根，則或B．若方程有兩個不同的實數(shù)根，則C．若方程有4個不同的實數(shù)根，則D．若方程有4個不同的實數(shù)根，則【答案】AC【分析】由題知是R上的奇函數(shù)，則由時的解析式可求出在R上的解析式.先討論特殊情況為方程的根，則可求出，此時方程化為，而函數(shù)為R上的減函數(shù)，則方程僅有一個根.當時，由分段函數(shù)分類討論得出時，，時，.利用數(shù)形結(jié)合思想，畫出圖象，則可得知方程不同的實數(shù)根個數(shù)分別為2個和4時，參數(shù)的取值范圍.【詳解】因為所以，所以是R上的奇函數(shù)，，當時，，，所以，綜上，若是方程的一個根，則，此時，即，而，在R上單調(diào)遞減，當時，原方程有一個實根.當時，，所以，當時不滿足，所以，當時，，所以，當時不滿足，所以，如圖：若方程有兩個不同的實數(shù)根，則或；若方程有4個不同的實數(shù)根，則.故選：AC【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是將方程進行參數(shù)分離，再借助數(shù)形結(jié)合法，求出對應(yīng)的參數(shù)的取值范圍.18．已知函數(shù)，其中實數(shù)a∈R，則下列關(guān)于x的方程f2(x)?(1+a)?f(x)+a=0的實數(shù)根的情況，說法正確的有（）A．a(chǎn)取任意實數(shù)時，方程最多有5個根B．當時，方程有2個根C．當時，方程有3個根D．當a≤?4時，方程有4個根【答案】CD【分析】先化簡方程為或，再對a進行分類討論，結(jié)合圖象來確定或分別有幾個根，根據(jù)結(jié)果逐一判斷選項正誤即可.【詳解】解：關(guān)于x的方程f2(x)?(1+a)?f(x)+a=0，即，故或.函數(shù)中，單調(diào)遞增，，對稱軸為，判別式.（1）當時，函數(shù)圖象如下：由圖象可知，方程有1個根，時方程有2個根，時，方程有1個根，故時已知方程有3個根，時，已知方程有2個根，時已知方程有1個根；（2）時，函數(shù)圖象如下：時，函數(shù)圖象如下：由兩個圖象可知，時，方程有2個根，方程沒有根，故已知方程有2個根；（3）時，函數(shù)圖象如下：方程有兩個根.下面討論最小值與的關(guān)系，由解得，故當時，，直線如圖①，方程有2個根，故已知方程有4個根；當時，，直線如圖②，方程有有1個根，故已知方程有3個根；當時，，直線如圖③，方程沒有根，故已知方程有2個根.綜上可知，a取任意實數(shù)時，方程最多有4個根，選項A錯誤；時方程有2個根，時已知方程有1個根，時方程有3個根，故選項B錯誤；當時，方程有3個根，C正確；當時，方程有4個根，故D正確.故選：CD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的解題關(guān)鍵在于分類討論確定二次函數(shù)的圖象，以及其最低點處與的關(guān)系，以確定方程的根的情況，才能突破難點.19．已知函數(shù)，若函數(shù)有6個不同零點，則實數(shù)的可能取值是（）A．0 B． C． D．【答案】BD【分析】分別代入各個選項中的值，選解出中的，然后再根據(jù)數(shù)形結(jié)合可得出答案.【詳解】畫出函數(shù)的圖象：函數(shù)有零點