1.3集合的基本運算（精講）第一部分：思第一部分：思維導圖總覽全局第二部分：知識點精準記憶第二部分：知識點精準記憶知識點1：并集一般地，由所有屬于集合或屬于集合的元素組成的集合稱為集合與集合的并集，記作（讀作：并）.記作：.并集的性質：,,,,.高頻性質：若.圖形語言對并集概念的理解(1)仍是一個集合,由所有屬于集合或屬于集合的元素組成.(2)并集符號語言中的“或”與生活中的“或”字含義有所不同.生活中的“或”是只取其一,并不兼存;而并集中的“或”連接的并列成分之間不一定是互斥的,“或”包括下列三種情況:①,且;②,且;③,且.可用下圖所示形象地表示.知識點2：交集一般地，由既屬于集合又屬于集合的所有元素組成的集合即由集合和集合的相同元素組成的集合，稱為集合與集合的交集，記作（讀作：交）.記作：.交集的性質：,,,,.高頻性質：若.圖形語言對交集概念的理解(1)仍是一個集合,由所有屬于集合且屬于集合的元素組成.(2)對于“”,包含以下兩層意思:①中的任一元素都是與的公共元素;②與的公共元素都屬于,這就是文字定義中“所有”二字的含義,如,,則,而不是或或.(3)并不是任意兩個集合總有公共元素,當集合與集合沒有公共元素時,不能說集合與集合沒有交集,而是.(4)當時,和同時成立.知識點3：全集與補集全集：在研究某些集合的時候，它們往往是某個給定集合的子集，這個給定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的這些集合.補集：設是全集，是的一個子集（即）,則由中所有不屬于集合的元素組成的集合，叫做中子集的補集，記作，即.補集的性質：,,.知識點4：德摩根律(1)(2)知識點5：容斥原理一般地，對任意兩個有限集,進一步的：第三部分：課前自我評估測試第三部分：課前自我評估測試1．設全集，集合，，則如圖所示的陰影部分表示的集合為（

）A． B． C． D．【答案】A，圖中陰影部分表示的集合為．故選：A．2．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】C由題意，故選：C3．集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B，所以故選：B4．已知集合，，，則實數________．【答案】由題意得或，解得，經檢驗，當時，故答案為：5．設集合，，則______．【答案】解方程組，得或.故答案為：．第四部分：第四部分：典型例題剖析重點題型一：集合的并集與交集運算典型例題例題1．已知集合,，則（

）A． B． C． D．【答案】C由題可知：所以故選：C例題2．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A,則,故選：A例題3．已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】D解：因為集合，，所以，故選：D.例題4．已知集合，則（

）A． B．C． D．【答案】B故選：B.同類題型演練1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B，故故選：B2．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D由題，，故故選：D3．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】C則故選：C4．已知集合，，則中元素的個數是（

）A．2 B．3C．4 D．5【答案】C對于集合，，解得：又，，，共個元素，故選：C.重點題型二：已知集合的交集、并集求參數的值或取值范圍典型例題例題1．已知集合，，若，則=（

）A． B． C． D．【答案】B由題意知：2是的一個解，所以，則，故.故選：B.例題2．設集合，，則中元素的個數為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B由，，故，元素個數為3.故選：B例題3．已知集合，，若，則（

）A．1 B．2 C．1或2 D．0或1或2【答案】C解：，因為，所以a=1或2，故選：C．例題4．已知集合，．(1)若，求；(2)若，求的取值范圍．【答案】(1)或(2)(1)解：由題意當時得，因為，所以或，所以或．(2)解：因為，所以，①當時，，解得，符合題意；．②當時，，解得．故的取值范圍為例題5．已知集合，．(1)當時，求A的非空真子集的個數；(2)若，求實數的取值范圍．【答案】(1)1262)(1)因為，，所以，A中共有7個元素，則A的非空真子集的個數為；(2)因為，所以，因為，故，則，解得：，從而實數的取值范圍為同類題型演練1．設集合，，則集合中元素的個數為(

)A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B由解得，即，∴，又由得，，∴.故選：B．2.已知集合，，則中元素的個數是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A,所以.所以中元素的個數是.故選：A.3．已知集合，或．(1)若，求a的取值范圍；(2)若，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)或，(1)解：∵或，且，∴，解得，∴a的取值范圍為；(2)解：∵或，且，∴，∴或，即或，∴a的取值范圍是或.4．已知集合，．(1)若，求；(2)若，求實數m的取值范圍．【答案】(1)(2)(1)時，故.(2)因為，故，若即時，，符合；若，則，解得，綜上，.重點題型三：集合的交集、并集性質的應用典型例題例題1．已知集合，集合.(1)求；(2)若集合，且，求實數的取值范圍．【答案】(1)(2)(1)或，或，所以；(2)由得，所以，解得．例題2．已知集合，.(1)當時，求；(2)若，求實數的取值范圍.【答案】(1)(2)(1)，則或，當時，，；(2)若，則，，實數a的取值范圍為，即.例題3．已知集合，.(1)若，求；(2)若，求的取值集合.【答案】(1)(2)或.(1)當時，.因為，所以.(2)因為，所以.當時，解得，，符合題意；當，即時，，符合題意；當，即時，，則解得.綜上，a的取值集合是或.同類題型演練1．已知集合，集合(1)若集合，求實數的值；(2)若，求實數的取值范圍.【答案】(1)或(2)(1)若集合，則且，將代入方程可得，解得：或；當時，原方程可化為，解得：或，此時，滿足，當時，原方程可化為，解得：或，此時，滿足，所以或；(2)若，則，所以或或或；當時，方程無解，所以，解得：，若，則方程有兩個相等的實根，所以此時無解，若，則方程有兩個相等的實根，所以此時無解，若，則方程有兩個不相等的實根，所以此時無解，綜上所述：實數的取值范圍為.2．已知集合，．(1)當時，求；(2)若，求實數m的取值范圍．【答案】(1)或(2)或(1)當時，，，或(2)，當時，；當時，且，解得：，綜上所述：或3．設集合，.（1）當時，求中各元素之和；（2）若，求實數的取值的集合.【答案】（1）-2；（2）.（1），當時，，方程有兩個不相等的實數根，，所以，因為-1和2不是方程的根，所以中有四個元素，各元素之和為-2；（2）因為，所以有以下四種可能的情形：①，則方程無解，所以，解得；②，則方程有兩個相等的實數根，所以，方程組無解；（法二：）③，則方程有兩個相等的實數根，所以，方程組無解；（法二：）④，則方程有兩個不相等的實數根，，所以，解得，綜上所述實數的取值的集合為.重點題型四：補集的基本運算典型例題例題1．已知全集，集合，則_________.【答案】由題意，集合，根據集合的補集的概念及運算，可得.故答案為：.例題2．已知，，則圖中陰影表示的集合是（

）A． B．或 C． D．【答案】D由圖可知，陰影表示的集合為集合A相對于全集U的補集，即陰影表示的集合是，所以.故選：D同類題型演練1．設全集，，（

）A． B． C． D．【答案】C因為全集，，所以.故選：C2．已知全集，，則（

）A． B． C． D．【答案】B解：因為，所以；故選：B3．已知集合，則（

）A． B．C．或 D．或【答案】D由不等式，解得，即，根據補集的概念及運算，可得或.故選：D.4．已知，，則___________.【答案】或；解：因為，，所以或；故答案為：或；重點題型五：交集、并集與補集的混合運算典型例題例題1．已知集合，，求，，，．【答案】或；或；；或.∵集合，，∴，或；，或；或，；或，或.例題2．設為全集，，，且，求的取值范圍．【答案】.因為，所以或，又，，所以只需，即實數的取值范圍為.例題3．已知集合.(1)在①，②，③這三個條件中選擇一個條件，求；(2)若，求實數的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)(1)解：若選擇①:當時，，因為，所以.若選擇②:當時，，因為，所以.若選擇③:當時，，因為，所以.(2)解：因為，所以.因為，所以，當時，；當時，，即；綜上，.同類題型演練1．已知集合，或.(1)當時，求；(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)(2)(1)由題意得，或，，故.(2)當時，，符合題意，當時，由，得，故a的取值范圍為．2．已知，（1）若時，求；（2）若，求實數m的取值范圍．【答案】（1）；（2）或．（1）當時，，則即．（2）或，由，可分以下兩種情況：①當時，，解得：②當時，利用數軸表示集合，如圖由圖可知或，解得；綜上所述，實數m的取值范圍是：或，即或3．已知集合，集合．現(xiàn)有三個條件：條件①；條件②；條件③．請從上述三個條件中任選一個，補充在下面橫線上，并求解下列問題：(1)若，求；(2)若______，求m的取值范圍．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個選擇的解答計分．【答案】(1)；(2)條件選擇見解析，.(1)解不等式得：，則有，當時，，或，所以.(2)選條件①，，由（1）知，，而，于是得，解得，所以m的取值范圍是.選條件②，，由（1）知，，而，于是得，解得，所以m的取值范圍是.選條件③：，由（1）知，，而，于是得，解得，所以m的取值范圍是.重點題型六：補集性質的應用典型例題例題1．已知全集，，，則圖中陰影部分表示的集合是（

）A． B． C． D．【答案】B全集,又因為，所以,而所以陰影部分表示的集合是即為，故選：B.例題2．設全集，集合，集合(1)當時，求；(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)；(2).(1)；當時，；，，.(2)，，當時，滿足；此時，解得：；當時，，解得：；綜上所述：的取值范圍為.例題3．設集合，，．（1）若，求的取值范圍；（2）若，求的取值范圍．【答案】（1）或（2）（1）或，即或當，即時，，此時不成立，舍去當，即時，方程的兩根為，若使得成立，則需或，即或，解得.則成立時，或綜上所述：或.（2）即由（1）可知或，則，當，即時，成立當，即時，，若使得成立，則需滿足，即，解得（舍去）綜上所述.同類題型演練1．已知全集，集合，則圖中陰影部分表示的集合是（

） B．C．D．【答案】C，，由圖知：陰影部分為，而，，∴或，即或，故選：C2．設，集合．(1)若，求；(2)若，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)(1)當時，，所以.(2)集合，所以.可化為.因為，所以且.①若，則，顯然，應舍去；②若，則，顯然，應舍去；③若，則.又，所以因為，所以，解得：.綜上所述：a的取值范圍是.第五部分：新第五部分：新定義問題1．有限集合S中元素的個數記作，設A，B都為有限集合，下列命題中是真命題的是（

）A．的充要條件是B．的充要條件是C．的充分不必要條件是D．的充要條件是【答案】A對于A項，，則集合A與集合B沒有公共元素，正確；對于B項，，則集合A中的元素都是集合B中的元素，為的必要不充分條件，錯誤；對于C項，為既不充分也不必要條件，錯誤；對于D項，，則集合A中的元素與集合B中的元素完全相同，兩個集合的元素個數相同，并不意味著它們的元素相同，錯誤．故選：A．2．（多選）在研究集合時，經常遇到有關集合中元素的個數問題.我們把含有限個元素的集合A叫做有限集，用表示有限集合A中元素的個數，已知有限集，設集合，，則下列說法正確的是（

）A．若，則可能是B．若，則不可能是C．若，則可能是D．若，則不可能是【答案】AC解：由題意可知，若不出現(xiàn)重復元素，則當時，若，則，，從而，故A正確；若，則，，從而，故B錯誤；若不出現(xiàn)重復元素，則當時，若，則，，從而，故C錯誤；若，則，，從而，故D錯誤.故選：AC.3．（多選）中國古代重要的數學著作《孫子算經》下卷有題：“今有物，不知其數，三三數之，剩二；五五數之，剩三；七七數之，剩二問：物幾何?”現(xiàn)有如下表示：已知，，，若，則下列選項中符合題意的整數為（

）A．8 B．128 C．37 D．23【答案】BD對于A，因，則，選項A錯誤；對于B，，即；又，即；而，即，因此，，選項B正確；對于C，因，則，選項C錯誤；對于D，，即；又，即；而，即，因此，，選項D正確.故選：BD4．（多選）由無理數引發(fā)的數學危機一直延續(xù)到19世紀直到1872年，德國數學家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數的“分割”來定義無理數史稱戴德金分割，并把實數理論建立在嚴格的科學基礎上，才結束了無理數被認為“無理”的時代，也結束了持續(xù)2000多年的數學史上的第一次大危機所謂戴德金分割，是指將有理數集Q劃分為兩個非空的子集M與N，且滿足，，M中的每一個元素都小于N中的每一個元素，則稱為戴德金分割試判斷，對于任一戴德金分割，下列選項中，可能成立的是（

）A．M沒有最大元素，N有一個最小元素B．M沒有最大元素，N也沒有最小元素C．M有一個最大元素，N有一個最小元素D．M有一個最大元素，N沒有最小元素【答案】ABD令，，顯然集合M中沒有最大元素，集合N中有一個最小元素，即選項A可能；令，，顯然集合M中沒有最大元素，集合N中也沒有最小元素，即選項B可能；假設答案C可能，即集合M、N中存在兩個相鄰的有理數，顯然這是不可能的；令，，顯然集合M中有一個最大元素，集合N中沒有最小元素，即選項D可能.故選：ABD．5．定義兩種新運算“⊕”與“?”，滿足如下運算法則：對任意的a，，有，．設全集且，且、．(1)求集合U和A；(2)集合A、B是否能滿足？若能，求出實數m的取值范圍；若不能，請說明理由．【答案】(1)答案見解析(2)能；(1)全集U中，當時，或，此時或；當時，，此時，所以，由A中，當時，，此時，即；(2)因為，當時，或，當時，方程無實根，，解得；時，方程有二等實根為，，此時m的值不存在；綜上知，實數m的取值范圍是．第六部分：高第六部分：高考（模擬）題體驗1．設集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D，故選：D.2．（2022·北京·高考真題）已知全集，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D由補集定義可知：或，即，故選：D．3．若集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D，故，故選：D4．設全集，集合M滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】A由題知,對比選項知，正確,錯誤故選:5．）設全集，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D由題意，，所以,所以.故選：D.6．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B，故，故選：B.1.3集合的基本運算（精練）A夯實基礎一、單選題1．已知集合，集合

，則集合（

）A．{0，2，3} B．{1，2，3} C．{2，4} D．{2，3}【答案】D對于不等式，其解集為，即，根據交集的定義：，故選：D.2．設集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】A由題意，集合，，根據集合并集的概念及運算，可得.故選：A.3．已知全集，集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B解：因為全集，集合，，則，，故.故選：B.4．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D解：因為，所以，解得，所以，又，所以，故選：D.5．如圖，已知全集和集合，，則圖中陰影部分表示正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B根據圖中陰影部分的元素屬于集合，且屬于集合，但不屬于集合對于選項，表達的是屬于集合或集合，且不屬于集合，故錯誤；對于選項，符合陰影部分表達的含義；對于選項，表達的是集合、、的交集，故錯誤；對于選項，屬于集合，但是不屬于集合，故錯誤.故選：6．設集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D由，解得，所以，由，解得，所以，所以.故選：D.7．已知集合，，若，則實數a滿足（

）A． B． C． D．【答案】D因為，所以，當時，，即，滿足題意；當時，若，則或4，當時，，滿足題意；當時，，滿足題意；若，則-2,2是方程的兩根，顯然，故不合題意，綜上：實數a滿足.故選：D8．已知集合，，若，且中恰好有兩個整數解，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C，由題設有，故，其中為方程的兩個根，所以，故，而有兩個整數解，且，故進一步有，所以，故，故選：C二、多選題9．對于集合A，B，定義，．設，，則中可能含有下列元素（

）．A．5 B．6 C．7 D．8【答案】CD解：因為，，所以，∴．故選：CD10．某校舉辦運動會，高一的兩個班共有120名同學，已知參加跑步?拔河?籃球比賽的人數分別為58，38，52，同時參加跑步和拔河比賽的人數為18，同時參加拔河和籃球比賽的人數為16，同時參加跑步?拔河?籃球三項比賽的人數為12，三項比賽都不參加的人數為20，則（

）A．同時參加跑步和籃球比賽的人數為24B．只參加跑步比賽的人數為26C．只參加拔河比賽的人數為16D．只參加籃球比賽的人數為22【答案】BCD設同時參加跑步和籃球比賽的人數為，由Venn圖可得，，得，則只參加跑步比賽的人數為，只參加拔河比賽的人數為，只參加籃球比賽的人數為.故選：BCD．三、填空題11．設非空數集同時滿足條件：①中不含元素；②若，則，則下列結論不正確的個數是__________個.（1）集合中至多有2個元素；（2）集合中至少有4個元素；（3）集合中有且僅有4個元素；（4）集合中至多有4個元素.【答案】3因為若，則，所以，，則；當時，4個元素中，任意兩個元素都不相等，所以集合M中至少有4個元素．故可判斷出（1）錯誤，（2）正確，（3）錯誤，（4）錯誤，故答案為：3.12．已知、，若不等式的解集為，不等式的解集為，則______．【答案】或由題意可知，關于的方程的兩根分別為、，所以，解得，不等式即為，即，解得，則，因為，則或，因此，或.故答案為：或.四、解答題13．設全集，集合，，．(1)求；(2)若，求實數的取值范圍．【答案】(1)(2)(1)或，故．(2)，因為，故．14．已知全集，集合，.(1)當時，求A∩B與A∪B；(2)若，求實數的取值范圍.【答案】(1)，；(2)．(1)當時，，而，所以，．(2)因為，而，所以，當即時，，顯然符合；當時，，要，所以或，解得：．綜上，實數的取值范圍為．15．已知集合，.(1)當時，求集合；(2)若，求實數的取值范圍.【答案】(1)(2)(1)由題意得，集合，當時，，所以或，所以.(2)由，可得，①當時，可得，解得：；②當時，則滿足，解得：，綜上所述：實數的取值范圍是.B能力提升1．設全集U，有以下四個關系式：甲：A∩B＝A；乙：A∪B＝B；丙：；?。海绻星抑挥幸粋€不成立，則該式是（

）A．甲 B．乙C．丙 D．丁【答案】C由題意，甲：A∩B＝A乙：A∪B＝B丙：?。河捎诩?、乙、丁是等價的，故如果有且只有一個不成立，則該式是丙故選：C2．全集U=R，，，則下圖中陰影部分表示的集合是（

）A． B．C． D．【答案】A解：由題得，圖中陰影部分表示的集合為.故選：A3．（多選）已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】AD解：因為，，所以，A正確；，B錯誤；因為，，所以，C錯誤；所以，D正確.故選：AD.4．（多選）已知全集，集合，，則使成立的實數的取值范圍可以是（）A． B．C． D．【答案】ABC當時，，即，此時，符合題意，當時，，即，由可得或，因為，所以或，可得或，因為，所以，所以實數的取值范圍為或，所以選項ABC正確，選項D不正確；故選：ABC.5．已知全集，集合，集合.(1)若，求和；(2)若，求實數的取值范圍.【答案】(1)，(2)(1)解：由已知，所以當時，，所以，(2)若，則當時，，適合題意故，從而∵（當且僅當時取等號）∴，∴由得，解之得且綜上所述，的取值范圍為6．設全集為，，．(1)若，求，；(2)請在①，②，③三個條件中，任選其中一個作為條件，并求在該條件下實數的取值范圍．（若多個選擇，只對第一個選擇給分．）【答案】(1)；；(2)答案見解析(1)當時，，而，所以，；(2)若選①，因為，．當時，1.當時，，即，此時滿足；2.當時，滿足，即需滿足或解得或綜上所述：實數的取值范圍為.若選②，因為，．當時，1.

當時，，即，此時滿足；2.

當時，滿足，即需滿足，解得，綜上所述，實數的取值范圍為；若選③，因為，．當時，需滿足，解得.綜上所述：實數的取值范圍為.7．學校舉辦運動會時，高一（1）班共有28名同學參加比賽，有15人參加游泳比賽，有8人參加田徑比賽，有14人參加球類比賽，同時參加游泳比賽和田徑比賽的有3人，同時參加游泳比賽和球類比賽的有3人，沒有人同時參加三項比賽，同時參加由徑和球類比賽的有___________人?只參加游泳一項比賽的有___________人?【答案】

3

9解：如圖所示：設A={游泳}，B={田徑}，C={球類}，由題意得：，，所以，則，，所以，所以參加由徑和球類比賽的有3人，只參加游泳一項比賽的有9人，故答案為：3，98．設集合，，若，則___________；___________.【答案】

1

1由題意，集合由于，即或故，否則故集合或故解得故答案為：1，1C綜合素養(yǎng)1．規(guī)定：在整數集中，被7除所得余數為k的所有整數組成一個“家族”，記為，即，，給出如下四個結論：①；②；③若整數a，b屬于同一“家族”，則；④若，則整數a，b屬于同一“家族”．其中，正確結論的個數是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C對于①：因為，所以，故①正確；對于②：因為，所以，故②錯誤；對于③：若a與b屬于同一“家族”，則，，（其中），故③正確；對于④：若，設，，即，，不妨令，，，則，，，所以a與b屬于同一“家族”，故④正確；即①③④為正確結論．故選：C．2．已知集合，集合A1，A2，A3滿足：①每個集合都恰有5個元素；②．集合Ai中元素的最大值與最小值之和稱為集合Ai的特征數，記為，則的最大值與最小值的和為（

）A．56 B．72 C．87 D．96【答案】D由題意集合，當時，取得最小值，；當時，取得最大值，；的最大值與最小值的和為：.故選：D.3．對于集合A，定義了一種運算“”，使得集合A中的元素間滿足條件：如果存在元素，使得對任意，都有，則稱元素e是集合A對運算“”的單位元素.例如：，運算