2025年統(tǒng)計學(xué)專業(yè)期末考試題庫——統(tǒng)計與決策理論測試真題模擬解析考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題2分，共10分。請將正確選項的字母填在題后的括號內(nèi)）1.從總體中抽取樣本進行參數(shù)估計時，使用樣本方差$S^2$估計總體方差$\sigma^2$，$S^2$是$\sigma^2$的（）。A.無偏估計量B.有效性估計量C.一致估計量D.以上都是2.在假設(shè)檢驗中，犯第一類錯誤是指（）。A.接受原假設(shè)，但原假設(shè)為真B.拒絕原假設(shè)，但原假設(shè)為真C.接受原假設(shè)，但原假設(shè)為假D.拒絕原假設(shè)，但原假設(shè)為假3.設(shè)總體服從正態(tài)分布$N(\mu,\sigma^2)$，$\sigma^2$未知，欲檢驗$H_0:\mu\leq\mu_0$對$H_1:\mu>\mu_0$，應(yīng)選擇的檢驗統(tǒng)計量是（）。A.$Z=\frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$B.$Z=\frac{\bar{X}-\mu_0}{S/\sqrt{n}}$C.$t=\frac{\bar{X}-\mu_0}{S/\sqrt{n}}$D.$t=\frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$4.在一元線性回歸模型$Y=\beta_0+\beta_1X+\epsilon$中，若變量$X$與$Y$之間的相關(guān)系數(shù)$r=-0.8$，則回歸系數(shù)$\beta_1$的值是（）。A.0.8B.-0.8C.0.64D.-0.645.某決策問題中，決策者面臨兩種自然狀態(tài)$\theta_1$和$\theta_2$，有兩種行動方案$a_1$和$a_2$，對應(yīng)的收益矩陣為：$\begin{matrix}&\theta_1&\theta_2\\a_1&8&4\\a_2&2&6\end{matrix}$若決策者是風(fēng)險規(guī)避型，且在$\theta_1$和$\theta_2$發(fā)生的概率相等時，他會選擇（）方案。A.$a_1$B.$a_2$C.無差異D.信息不足無法判斷二、填空題（每小題2分，共10分。請將答案填在題后的橫線上）6.設(shè)總體服從二項分布$B(n,p)$，從中抽取容量為$n$的樣本，樣本均值$\bar{X}$的期望$E(\bar{X})=$______，方差$Var(\bar{X})=$______。7.在假設(shè)檢驗$H_0:\mu=\mu_0$對$H_1:\mu\neq\mu_0$中，若拒絕原假設(shè)，則稱犯錯誤的概率不超過給定的顯著性水平$\alpha$，這個概率$\alpha$是______錯誤的概率。8.一元線性回歸分析中，檢驗回歸方程整體線性關(guān)系的統(tǒng)計量是______統(tǒng)計量，其服從______分布（在$\sigma^2$已知時）。9.若一個隨機變量的期望$E(X)=0$，方差$Var(X)=1$，則稱該隨機變量服從______分布。10.在決策分析中，若決策者選擇行動方案時，考慮了自然狀態(tài)發(fā)生的可能性，并選擇了期望收益（或期望損失）最大的方案，則該決策準(zhǔn)則稱為______決策準(zhǔn)則。三、計算題（每小題10分，共40分）11.設(shè)總體$X\simN(\mu,16)$，其中$\mu$未知。現(xiàn)抽取容量為25的樣本，樣本均值為48.5。若要求構(gòu)造$\mu$的95%置信區(qū)間，請寫出置信區(qū)間的計算公式，并說明公式中各部分的含義。12.某工廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品，假設(shè)產(chǎn)品合格率為$p$?，F(xiàn)從中隨機抽取100件，發(fā)現(xiàn)其中有92件合格品。試用假設(shè)檢驗的方法檢驗這批產(chǎn)品的合格率是否顯著高于0.9（顯著性水平$\alpha=0.05$）。請寫出檢驗步驟，包括建立假設(shè)、選擇檢驗統(tǒng)計量、計算統(tǒng)計量值、給出結(jié)論。13.某研究者想要探究廣告投入額$X$（單位：萬元）與產(chǎn)品銷售額$Y$（單位：萬元）之間的關(guān)系。隨機收集了6組數(shù)據(jù)，得到以下信息：$\sumX_i=30$,$\sumY_i=180$,$\sumX_i^2=164$,$\sumY_i^2=2720$,$\sumX_iY_i=940$。請建立$Y$關(guān)于$X$的線性回歸方程。14.某公司有兩個銷售部門$A$和$B$，欲比較兩個部門的銷售業(yè)績均值是否相同。隨機抽取了$A$部門的10名員工和$B$部門的12名員工，計算得到樣本均值$\bar{X}_A=8500$元，$\bar{X}_B=8200$元，樣本方差$S_A^2=500000$元$^2$，$S_B^2=720000$元$^2$。假設(shè)兩部門的銷售業(yè)績均服從正態(tài)分布且方差相等。請以0.05的顯著性水平檢驗兩部門銷售業(yè)績均值是否存在顯著差異。請寫出檢驗步驟。四、簡答題（每小題5分，共10分）15.簡述參數(shù)估計中點估計和區(qū)間估計的區(qū)別與聯(lián)系。16.在進行假設(shè)檢驗時，如何理解顯著性水平$\alpha$和檢驗的功效？五、綜合應(yīng)用題（10分）17.某投資者面臨一個投資決策問題，有兩種投資方案$a_1$（購買股票）和$a_2$（購買債券）。市場未來可能有兩種狀態(tài)：繁榮$(\theta_1)$和衰退$(\theta_2)$。經(jīng)評估，不同方案在不同狀態(tài)下的收益（萬元）如下：方案$a_1$:在繁榮狀態(tài)下收益10，在衰退狀態(tài)下虧損5。方案$a_2$:在繁榮狀態(tài)下收益3，在衰退狀態(tài)下收益1。若投資者認(rèn)為未來市場繁榮和衰退的可能性各為50%，請分別計算兩個方案的期望收益。根據(jù)期望收益最大化準(zhǔn)則，投資者應(yīng)選擇哪個方案？如果投資者是風(fēng)險規(guī)避型，他會如何考慮？請簡述理由。試卷答案一、選擇題1.C2.B3.C4.B5.A二、填空題6.$np$,$np(1-p)/n$7.第一類8.F,$F_{k-1,n-k}$（$k$為自變量個數(shù)）9.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)10.期望值三、計算題11.置信區(qū)間為$\left(\bar{X}-Z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\bar{X}+Z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$。其中，$\bar{X}$是樣本均值，$Z_{\alpha/2}$是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下面積為$1-\alpha/2$的分位數(shù)（對于95%置信水平，$Z_{0.025}\approx1.96$），$\sigma$是總體標(biāo)準(zhǔn)差，$n$是樣本容量。公式表示用樣本均值加減一個誤差范圍來估計總體均值所在區(qū)間，$Z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$是置信區(qū)間的半徑，代表估計的誤差。12.檢驗步驟：a.建立假設(shè)：$H_0:p\leq0.9$，$H_1:p>0.9$。b.選擇檢驗統(tǒng)計量：由于樣本量較大（$n=100$），且$np_0=90>5$，$n(1-p_0)=10>5$，可用$Z$檢驗。統(tǒng)計量$Z=\frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}$，其中$\hat{p}=92/100=0.92$，$p_0=0.9$，$n=100$。c.計算統(tǒng)計量值：$Z=\frac{0.92-0.9}{\sqrt{0.9\times0.1/100}}=\frac{0.02}{0.03}\approx0.67$。d.給出結(jié)論：比較$Z$值與臨界值。對于$\alpha=0.05$的單尾檢驗，臨界值$Z_{0.05}\approx1.645$。由于$0.67<1.645$，不能拒絕原假設(shè)$H_0$。結(jié)論：在顯著性水平0.05下，沒有足夠證據(jù)表明產(chǎn)品合格率顯著高于0.9。13.計算回歸系數(shù)：$\bar{X}=30/6=5$,$\bar{Y}=180/6=30$。$b_1=\frac{\sumX_iY_i-n\bar{X}\bar{Y}}{\sumX_i^2-n\bar{X}^2}=\frac{940-6\times5\times30}{164-6\times5^2}=\frac{940-900}{164-150}=\frac{40}{14}\approx2.857$。$b_0=\bar{Y}-b_1\bar{X}=30-2.857\times5=30-14.285=15.715$?；貧w方程為$\hat{Y}=15.715+2.857X$。14.檢驗步驟：a.建立假設(shè)：$H_0:\mu_A=\mu_B$，$H_1:\mu_A\neq\mu_B$。b.選擇檢驗統(tǒng)計量：由于兩總體方差未知但相等，用$t$檢驗。合并方差估計$S_p^2=\frac{(n_A-1)S_A^2+(n_B-1)S_B^2}{n_A+n_B-2}=\frac{9\times500000+11\times720000}{10+12-2}=\frac{4500000+7920000}{20}=6210000$。合并標(biāo)準(zhǔn)差$S_p=\sqrt{6210000}\approx2492$。統(tǒng)計量$t=\frac{\bar{X}_A-\bar{X}_B}{S_p\sqrt{\frac{1}{n_A}+\frac{1}{n_B}}}$。c.計算統(tǒng)計量值：$t=\frac{8500-8200}{2492\sqrt{\frac{1}{10}+\frac{1}{12}}}=\frac{300}{2492\sqrt{0.1667+0.0833}}=\frac{300}{2492\sqrt{0.25}}=\frac{300}{2492\times0.5}=\frac{300}{1246}\approx0.241$。d.給出結(jié)論：自由度$df=n_A+n_B-2=20$。對于$\alpha=0.05$的雙尾檢驗，臨界值$t_{0.025,20}\approx2.086$。由于$|0.241|<2.086$，不能拒絕原假設(shè)$H_0$。結(jié)論：在顯著性水平0.05下，沒有足夠證據(jù)表明兩部門銷售業(yè)績均值存在顯著差異。四、簡答題15.點估計是用一個具體的數(shù)值（點估計量）來估計未知參數(shù)，如用樣本均值$\bar{X}$估計總體均值$\mu$。區(qū)間估計是用一個區(qū)間（置信區(qū)間）來估計未知參數(shù)，這個區(qū)間以一定的概率（置信水平）包含真實的參數(shù)值，如用$(\bar{X}-Z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\bar{X}+Z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})$估計$\mu$。點估計給出參數(shù)的一個近似值，而區(qū)間估計給出了參數(shù)的一個范圍，并反映了估計的不確定性（精度）。它們都是參數(shù)估計的重要方法，互為補充。16.顯著性水平$\alpha$是當(dāng)原假設(shè)$H_0$為真時，犯第一類錯誤（即拒絕$H_0$）的概率上限。它表示研究者愿意承擔(dān)的、錯誤否定真實原假設(shè)的風(fēng)險。檢驗的功效是指當(dāng)原假設(shè)$H_0$為假時，檢驗?zāi)軌蛘_拒絕$H_0$（即不犯第二類錯誤$\beta$）的概率，通常用$1-\beta$表示。功效越高，說明檢驗?zāi)茉接行У匕l(fā)現(xiàn)原假設(shè)不成立的情況。選擇合適的$\alpha$需要在檢驗兩類錯誤之間做出權(quán)衡。五、綜合應(yīng)用題17.計算期望收益：方案$a_1$的期望收益$E(a_1)=0.5\times10+0.5\times(-5)=5-2.5=2.5$萬元。方案$a_2$的期望收益$E(a_2)=0.5\times3+0.5\times1=1.5+0.5=2.0$萬元。根據(jù)期望收益最大化準(zhǔn)則，投資者應(yīng)選擇方案$a_1$，因為$E(a_1)>E(a_2)$。如果投資者是風(fēng)險規(guī)避型，他會考慮期望收益之外的因素，如風(fēng)險或收益的方差。方案$a_1$的收益方差$Var(a_1)=0.5\times(10-2.5)^2+