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配平方法化二次型為標準形教學要求:掌握配方法化二次型為標準形下面通過例題來介紹化二次型為標準形的配方法。這種方法簡單易懂,實際上是中學代數(shù)里二次三項式配平方法的推廣。1、配方法化二次型為標準形中學知識回顧:平方公式【例6.4】用配方法化二次型為標準形,并寫出所用的可逆線性變換.【解】由于所給二次型中有x12項,我們先對所有含x1的項進行配方,
令
即不含變量x1了!則得標準形此時所用的可逆線性變換為即解畢?!纠?.5】用配方法化二次型為標準形,并求所用的變換矩陣。解先對所有含x1及其平方項進行配方,即
(觀察x1及其平方項)(對x1配平方)(整理余項)已不再含變量對余下的部分再配方!已完成了配方!
(注意配方結(jié)果中只有兩個平方項了!)
令即y1y2+0x32把x=Cy代入f(x),則f化成標準形所用變換矩陣或解畢。并求所用的變換矩陣?!纠?.6】
用配方法化二次型【解】首先觀察二次型中的平方項,顯然所給二次型中沒有平方項,可以先作可逆線性變換,令代入f可得關(guān)于u1,u2,u3的二次型或為標準形,再對f配方,得令或矩陣表示所以得f的標準型下面求線性變換x=Cy因為所以,所用的線性變換x=Cy為變換矩陣C
C并求所用的變換矩陣?!狙a例3】
用配方法化二次型【解】首先觀察二次型中的平方項,顯然所給二次型中沒有平方項,可以先作可逆線性變換,令代入f可得關(guān)于u1,u2,u3的二次型或為標準形,再對f配方,得令或矩陣表示又所以得f的標準型其中所以,所用的線性變換x=Cy為變換矩陣C
C說明:用配方法化二次型為標準形的一般步驟:使二次型化為含有ui,uj的平方項形式,再對ui,uj配方。(1)若二次型中含有xi
的平方項,則先把含xi
的各項配成平方項,然后再依此法對其它變量配方,直到都配成平方項;(2)若二次型中不含任何平方項,但有aij≠0(i≠j),即含交叉項aijxixj
,則作可逆線性變換【補例4】用配方法化二次型為標準形,并求所用的變換矩陣?!窘狻?/p>
先對所有含x1及其平方項進行配方,即
(觀察x1及其平方項)(對x1配平方)(整理余項)已不再含變量x1,但也沒有平方項,只有交叉項,此時做變換:令
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