第1頁（共1頁）2025年湖南省湘潭市高考數(shù)學(xué)適應(yīng)性試卷（5月份）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，則A． B．，1，2， C．，2， D．，0，1，2，2．某市智能機器人比賽項目有29位同學(xué)參賽，他們在預(yù)賽中所得的積分互不相同，只有積分在前15名的同學(xué)才能進入決賽．若某同學(xué)知道自己的積分后，要判斷自己能否進入決賽，則他只需要知道這29位同學(xué)的預(yù)賽積分的A．中位數(shù) B．眾數(shù) C．平均數(shù) D．極差3．已知橢圓的離心率為，則的短軸長為A． B．1 C．2 D．44．展開式中項的系數(shù)為A．10 B． C． D．55．記，為實數(shù)，設(shè)甲：，乙：，則A．甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件 C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件6．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則的取值范圍為A． B． C． D．7．現(xiàn)有一塊棱長為2的正四面體木料，用平行于該木料底面的一個平面將木料截成兩部分，若這兩部分的表面積相等，則該平面在木料上的截面面積為A． B． C． D．8．設(shè)函數(shù)的兩個極值點分別為，．則過，，，兩點的直線斜率為A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，選錯得0分。（多選）9．（6分）已知雙曲線，則A．的實軸長為6 B．的漸近線方程為 C．的焦點坐標(biāo)為 D．的焦點到其漸近線的距離為（多選）10．（6分）定義域為的函數(shù)滿足：①，②的圖象過點，則A． B．為偶函數(shù) C．的圖象關(guān)于點中心對稱 D．（多選）11．（6分）記圓是△的外接圓，且，，，則A． B． C．△的面積為 D．圓的周長為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．復(fù)數(shù)的實部與虛部之和為．13．已知銳角滿足，則．14．記為數(shù)列的前項和，且，2，，若每個數(shù)字出現(xiàn)的概率相同，則是奇數(shù)的概率為．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）為了解正在研發(fā)的新產(chǎn)品在歲和歲兩個年齡段青年群體中的受眾面，某科技公司發(fā)布問卷調(diào)查，回收整理了400份問卷并整理數(shù)據(jù)，得到如下列聯(lián)表：感興趣不感興趣合計歲16040200歲70合計290110400（1）求表中，的值；（2）分別計算歲和歲青年群體對新產(chǎn)品感興趣的頻率；（3）根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為對新產(chǎn)品感興趣與青年的年齡段有關(guān)？附：0.050.010.0013.8416.63510.82816．（15分）已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若，求的取值范圍．17．（15分）如圖，矩形紙片中，，，將點沿對角線折疊至點，使得平面平面，形成三棱錐．（1）證明：平面平面；（2）求與平面所成角的正弦值．18．（17分）已知為拋物線的焦點，點滿足，其中為坐標(biāo)原點，過的直線交于，兩點，點在第一象限，過點作直線的垂線，交軸正半軸于點，直線交直線于點．記△，△，△的面積分別為，，．（1）求的準(zhǔn)線方程；（2）證明：；（3）求的最小值及此時點的坐標(biāo)．19．（17分）已知為正整數(shù)且，為非零實數(shù)，數(shù)列滿足，且，，，是公差為1的等差數(shù)列，，，是公差為的等差數(shù)列，，，，是公差為的等差數(shù)列，以此類推．（1）當(dāng)，時，求；（2）求的最小值（用含的代數(shù)式表示）；（3）記除以的整數(shù)部分為，余數(shù)為，求的通項公式（用含，，，，的代數(shù)式表示）．

2025年湖南省湘潭市高考數(shù)學(xué)適應(yīng)性試卷（5月份）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號12345678答案DABCABDA二．多選題（共3小題）題號91011答案ACDACBCD一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，則A． B．，1，2， C．，2， D．，0，1，2，解：由，可得，故，故，0，1，2，．故選：．2．某市智能機器人比賽項目有29位同學(xué)參賽，他們在預(yù)賽中所得的積分互不相同，只有積分在前15名的同學(xué)才能進入決賽．若某同學(xué)知道自己的積分后，要判斷自己能否進入決賽，則他只需要知道這29位同學(xué)的預(yù)賽積分的A．中位數(shù) B．眾數(shù) C．平均數(shù) D．極差解：由中位數(shù)的概念可知，29位同學(xué)的積分，中位數(shù)是第15名，所以知道中位數(shù)即可判斷是否在前15．故選：．3．已知橢圓的離心率為，則的短軸長為A． B．1 C．2 D．4解：因為橢圓的離心率為，所以，即，所以，則橢圓的焦點在軸上，因此，解得，故橢圓的短軸長為．故選：．4．展開式中項的系數(shù)為A．10 B． C． D．5解：二項式的展開式的通項公式為，，1，，5，令，解得，故展開式中項的系數(shù)為．故選：．5．記，為實數(shù)，設(shè)甲：，乙：，則A．甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件 C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件解：令，由可得，即，且，可知在定義域上遞增，則等價于，顯然可以推出，即充分性成立，但不能推出，必要性不成立，所以甲是乙的充分條件但不是必要條件．故選：．6．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則的取值范圍為A． B． C． D．解：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，因為，令，則，因為，所以．故原條件等價于已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，所以，解得，又因為，故．故選：．7．現(xiàn)有一塊棱長為2的正四面體木料，用平行于該木料底面的一個平面將木料截成兩部分，若這兩部分的表面積相等，則該平面在木料上的截面面積為A． B． C． D．解：已知有一塊棱長為2的正四面體木料，用平行于該木料底面的一個平面將木料截成兩部分，若這兩部分的表面積相等，由正四面體木料知，底面為邊長為2的正三角形，故底面面積為，因為平面平行于該木料底面，故該平面在木料上的截面也為正三角形，設(shè)該正三角形與底面的相似比為，則該平面在木料上的截面面積為，截下部分一部分為小四面體，一部分為正三棱臺，其中小四面體部分的表面積即，正三棱臺表面積為，故，解得，所以該平面在木料上的截面面積為．故選：．8．設(shè)函數(shù)的兩個極值點分別為，．則過，，，兩點的直線斜率為A． B． C． D．【解答】解；因為，則，又函數(shù)的兩個極值點分別為，，所以，滿足，，也即，，而，同理，故過，，，兩點的直線斜率．故選：．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，選錯得0分。（多選）9．（6分）已知雙曲線，則A．的實軸長為6 B．的漸近線方程為 C．的焦點坐標(biāo)為 D．的焦點到其漸近線的距離為解：已知雙曲線，對于，根據(jù)雙曲線定義，，，故的實軸長為6，故正確；對于，由有解得的漸近線方程為，故錯誤；對于，，故，易得的焦點坐標(biāo)為，故正確；對于，由對稱性，不妨取焦點到漸近線的距離為，故正確．故選：．（多選）10．（6分）定義域為的函數(shù)滿足：①，②的圖象過點，則A． B．為偶函數(shù) C．的圖象關(guān)于點中心對稱 D．解：因為，對于，令，，則（1）（1），又因為的圖象過點，所以（1），所以（1）（1），解得，故正確；對于，令，則，由可知，所以，所以，故為奇函數(shù)，故錯誤；對于，令，則（1）（1），即的圖象關(guān)于點中心對稱，故正確；對于，由于且，則有，即，所以（2）（1），（3）（2），，，故錯誤．故選：．（多選）11．（6分）記圓是△的外接圓，且，，，則A． B． C．△的面積為 D．圓的周長為解：對于，因為圓是△的外接圓，所以是△的外心，即點在的中垂線上，若符合，則也應(yīng)在的中垂線上，故，由題設(shè)知，故錯誤；對于，因為是△的外心，所以在的中垂線上，所以，故正確；對于，對等式兩邊同時乘以，可得，所以，解得，故，，所以△的面積為，故正確；對于，由余弦定理可得，解得，由正弦定理，，所以圓的半徑為，其周長為，故正確．故選：．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．復(fù)數(shù)的實部與虛部之和為4．解：因為，所以的實部為1，虛部為3，和為4．故答案為：4．13．已知銳角滿足，則．解：因為，所以或（舍去），可得．故答案為：．14．記為數(shù)列的前項和，且，2，，若每個數(shù)字出現(xiàn)的概率相同，則是奇數(shù)的概率為．解：記事件為“為奇數(shù)”，設(shè)事件為“為奇數(shù)”，由題可知，當(dāng)為奇數(shù)時，若，則仍然為奇數(shù)，若為偶數(shù)，或3時，仍然為奇數(shù)，所以（B）（A），（其中表示的概率，，2，，由題意可知，，設(shè)（A），（B），則，所以，又因為，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，即，即（A），所以是奇數(shù)的概率為．故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）為了解正在研發(fā)的新產(chǎn)品在歲和歲兩個年齡段青年群體中的受眾面，某科技公司發(fā)布問卷調(diào)查，回收整理了400份問卷并整理數(shù)據(jù)，得到如下列聯(lián)表：感興趣不感興趣合計歲16040200歲70合計290110400（1）求表中，的值；（2）分別計算歲和歲青年群體對新產(chǎn)品感興趣的頻率；（3）根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為對新產(chǎn)品感興趣與青年的年齡段有關(guān)？附：0.050.010.0013.8416.63510.828解：（1）根據(jù)題意，由列聯(lián)表可得，；（2）由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)可知，歲青年群體對新產(chǎn)品感興趣的頻率為，歲青年群體對新產(chǎn)品感興趣的頻率為；（3）列聯(lián)表如下：感興趣不感興趣合計歲16040200歲13070200合計290110400零假設(shè)：對新產(chǎn)品感興趣與青年的年齡段無關(guān)聯(lián)，則，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為對新產(chǎn)品感興趣與青年的年齡段有關(guān)．16．（15分）已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若，求的取值范圍．解：（1）根據(jù)題意可知：函數(shù)的定義域為，且導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時，由得；由得；當(dāng)時，，可知在上單調(diào)遞減，可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．綜上所述：當(dāng)時，的單調(diào)減區(qū)間為，無單調(diào)增區(qū)間；當(dāng)時，的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為．（2）由已知得在上恒成立，等價于在上恒成立，設(shè)，，則，設(shè)，，可知在上單調(diào)遞減，且（1），當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，即；可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則（1），可得，即的取值范圍為，．17．（15分）如圖，矩形紙片中，，，將點沿對角線折疊至點，使得平面平面，形成三棱錐．（1）證明：平面平面；（2）求與平面所成角的正弦值．【解答】（1）證明：翻折前，，翻折后，，因為平面平面，平面，平面平面，所以平面，又平面，所以平面平面．（2）解：由（1）可得，在△內(nèi)，過點作，垂足為，因為，，，所以△△，所以，即，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，又，，平面，所以平面，在△中，，因為，所以，所以，，以點為原點，，所在直線分別為，軸，作平面，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，6，，，0，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，設(shè)與平面所成角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為．18．（17分）已知為拋物線的焦點，點滿足，其中為坐標(biāo)原點，過的直線交于，兩點，點在第一象限，過點作直線的垂線，交軸正半軸于點，直線交直線于點．記△，△，△的面積分別為，，．（1）求的準(zhǔn)線方程；（2）證明：；（3）求的最小值及此時點的坐標(biāo)．解：（1）因為點滿足，所以，解得，則拋物線的方程為，準(zhǔn)線方程為；（2）證明：設(shè)直線的方程為，，，，，聯(lián)立，消去并整理得，由韋達定理得，所以，由拋物線定義得，，所以，得證；（3）令，此時，代入拋物線方程得，，即，，，因為，且直線的斜率，所以直線，即，令，解得，由，，可得直線，聯(lián)立，解得，所以，設(shè)，，可得，當(dāng)時，，，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增．所以當(dāng)時，取到最小值，此時．19．（17分）已知為正整數(shù)且，為非零實數(shù)，數(shù)列滿足，且，，，是公差為1的等差數(shù)列，，，是公差為的等差數(shù)列，，，，是公差為的等差數(shù)列，以此類推．（1）當(dāng)，時，求；（2）求的最小值（用含的代數(shù)式表示）；（3）記除以的整數(shù)部分為，余數(shù)為，求的通項公式（用含，，，，的代數(shù)式表示）．解：（1）已知為正整數(shù)且，為非零實數(shù)，數(shù)列滿足，且，，，是公差為1的