人教版平面向量多選題專項訓練單元期末復(fù)習提高題檢測試卷一、平面向量多選題1．已知的三個角，，的對邊分別為，，，若，則該三角形的形狀是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形答案：D【分析】在中，根據(jù)，利用正弦定理得，然后變形為求解.【詳解】在中，因為，由正弦定理得，所以，即，所以或，解得或.故是直角三角形或等腰三角形.故選：D.【點睛】本題主要考查解析：D【分析】在中，根據(jù)，利用正弦定理得，然后變形為求解.【詳解】在中，因為，由正弦定理得，所以，即，所以或，解得或.故是直角三角形或等腰三角形.故選：D.【點睛】本題主要考查利用正弦定理判斷三角形的形狀，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.2．給出下列結(jié)論，其中真命題為（）A．若，，則B．向量、為不共線的非零向量，則C．若非零向量、滿足，則與垂直D．若向量、是兩個互相垂直的單位向量，則向量與的夾角是答案：CD【分析】對于A由條件推出或，判斷該命題是假命題；對于B由條件推出，判斷該命題是假命題；對于C由條件判斷與垂直，判斷該命題是真命題；對于D由條件推出向量與的夾角是，所以該命題是真命題.【詳解解析：CD【分析】對于A由條件推出或，判斷該命題是假命題；對于B由條件推出，判斷該命題是假命題；對于C由條件判斷與垂直，判斷該命題是真命題；對于D由條件推出向量與的夾角是，所以該命題是真命題.【詳解】對于A，若，，則或，所以該命題是假命題；對于B，，而，由于、為不共線的非零向量，所以，所以，所以該命題是假命題；對于C，若非零向量、滿足，，所以，則與垂直，所以該命題是真命題；對于D，以與為鄰邊作平行四邊形是正方形，則和所在的對角線互相垂直，所以向量與的夾角是，所以該命題是真命題.故選：CD.【點睛】本題考查平面向量的線性運算與數(shù)量積運算、向量垂直的判斷，是基礎(chǔ)題.3．中，，，則下列敘述正確的是（）A．的外接圓的直徑為4.B．若，則滿足條件的有且只有1個C．若滿足條件的有且只有1個，則D．若滿足條件的有兩個，則答案：ABD【分析】根據(jù)正弦定理，可直接判斷的對錯，然后，，三個選項，都是已知兩邊及一邊的對角，判斷解得個數(shù)的問題，做出圖象，構(gòu)造不等式即可．【詳解】解：由正弦定理得，故正確；對于，，選項：如圖解析：ABD【分析】根據(jù)正弦定理，可直接判斷的對錯，然后，，三個選項，都是已知兩邊及一邊的對角，判斷解得個數(shù)的問題，做出圖象，構(gòu)造不等式即可．【詳解】解：由正弦定理得，故正確；對于，，選項：如圖：以為圓心，為半徑畫圓弧，該圓弧與射線的交點個數(shù)，即為解得個數(shù)．易知當，或即時，三角形為直角三角形，有唯一解；當時，三角形是等腰三角形，也是唯一解；當，即，時，滿足條件的三角形有兩個．故，正確，錯誤．故選：．【點睛】本題考查已知兩邊及一邊的對角的前提下，三角形解得個數(shù)的判斷問題．屬于中檔題．4．在中，內(nèi)角所對的邊分別為.根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是（）A． B．C． D．答案：BC【分析】根據(jù)題設(shè)條件和三角形解的個數(shù)的判定方法，逐項判定，即可求解，得到答案.【詳解】對于選項A中：由，所以，即三角形的三個角是確定的值，故只有一解；對于選項B中：因為，且，所以角有兩解析：BC【分析】根據(jù)題設(shè)條件和三角形解的個數(shù)的判定方法，逐項判定，即可求解，得到答案.【詳解】對于選項A中：由，所以，即三角形的三個角是確定的值，故只有一解；對于選項B中：因為，且，所以角有兩解；對于選項C中：因為，且，所以角有兩解；對于選項D中：因為，且，所以角僅有一解.故選：BC.【點睛】本題主要考查了三角形解得個數(shù)的判定，其中解答中熟記三角形解得個數(shù)的判定方法是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.5．下列結(jié)論正確的是（）A．已知是非零向量，，若，則⊥（）B．向量，滿足||＝1，||＝2，與的夾角為60°，則在上的投影向量為C．點P在△ABC所在的平面內(nèi)，滿足，則點P是△ABC的外心D．以（1，1），（2，3），（5，﹣1），（6，1）為頂點的四邊形是一個矩形答案：ABD【分析】利用平面向量的數(shù)量積運算，結(jié)合向量的線性運算，對每個選項進行逐一分析，即可容易判斷選擇.【詳解】對：因為，又，故可得，故，故選項正確；對：因為||＝1，||＝2，與的夾角為解析：ABD【分析】利用平面向量的數(shù)量積運算，結(jié)合向量的線性運算，對每個選項進行逐一分析，即可容易判斷選擇.【詳解】對：因為，又，故可得，故，故選項正確；對：因為||＝1，||＝2，與的夾角為60°，故可得.故在上的投影向量為，故選項正確；對：點P在△ABC所在的平面內(nèi)，滿足，則點為三角形的重心，故選項錯誤；對：不妨設(shè)，則，故四邊形是平行四邊形；又，則，故四邊形是矩形.故選項正確；綜上所述，正確的有：.故選：.【點睛】本題考查向量數(shù)量積的運算，向量的坐標運算，向量垂直的轉(zhuǎn)化，屬綜合中檔題.6．中，，，面積，則邊（）A． B． C． D．答案：AB【分析】在中，根據(jù)，，由，解得或，然后分兩種情況利用余弦定理求解.【詳解】中，因為，，面積，所以，所以，解得或，當時，由余弦定理得：，解得，當時，由余弦定理得：，解得所以或解析：AB【分析】在中，根據(jù)，，由，解得或，然后分兩種情況利用余弦定理求解.【詳解】中，因為，，面積，所以，所以，解得或，當時，由余弦定理得：，解得，當時，由余弦定理得：，解得所以或故選：AB【點睛】本題主要考查三角形面積公式和余弦定理的應(yīng)用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.7．八卦是中國文化的基本哲學概念，如圖1是八卦模型圖，其平面圖形記為圖2中的正八邊形，其中，則下列結(jié)論正確的有（）A．B．C．D．在向量上的投影為答案：AB【分析】直接利用向量的數(shù)量積的應(yīng)用，向量的夾角的應(yīng)用求出結(jié)果．【詳解】圖2中的正八邊形，其中，對于；故正確．對于，故正確．對于，，但對應(yīng)向量的夾角不相等，所以不成立．故錯誤．對于解析：AB【分析】直接利用向量的數(shù)量積的應(yīng)用，向量的夾角的應(yīng)用求出結(jié)果．【詳解】圖2中的正八邊形，其中，對于；故正確．對于，故正確．對于，，但對應(yīng)向量的夾角不相等，所以不成立．故錯誤．對于在向量上的投影，，故錯誤．故選：．【點睛】本題考查的知識要點：向量的數(shù)量積的應(yīng)用，向量的夾角的應(yīng)用，主要考查學生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于中檔題．8．在中，角，，的對邊分別為，，，則下列結(jié)論中正確的是（）A．若，則B．若，則是等腰三角形C．若，則是直角三角形D．若，則是銳角三角形答案：AC【分析】對選項A，利用正弦定理邊化角公式即可判斷A正確；對選項B，首先利用正弦二倍角公式得到，從而得到是等腰三角形或直角三角形，故B錯誤；對選項C，利用正弦定理邊化角公式和兩角和差公式即可判解析：AC【分析】對選項A，利用正弦定理邊化角公式即可判斷A正確；對選項B，首先利用正弦二倍角公式得到，從而得到是等腰三角形或直角三角形，故B錯誤；對選項C，利用正弦定理邊化角公式和兩角和差公式即可判斷C正確；對D，首先根據(jù)余弦定理得到為銳角，但，無法判斷，故D錯誤.【詳解】對選項A，，故A正確；對選項B，因為所以或，則是等腰三角形或直角三角形.故B錯誤；對選項C，因為，所以，，，因為，所以，，是直角三角形，故③正確；對D，因為，所以，為銳角.但，無法判斷，所以無法判斷是銳角三角形，故D錯誤.故選：AC【點睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，同時考查學三角函數(shù)恒等變換，屬于中檔題.9．下列各組向量中，不能作為基底的是（）A．， B．，C．， D．，答案：ACD【分析】依次判斷各選項中的兩向量是否共線即可.【詳解】A，C，D中向量與共線，不能作為基底；B中，不共線，所以可作為一組基底．【點睛】本題主要考查平面向量的基本定理及基底的定義，屬解析：ACD【分析】依次判斷各選項中的兩向量是否共線即可.【詳解】A，C，D中向量與共線，不能作為基底；B中，不共線，所以可作為一組基底．【點睛】本題主要考查平面向量的基本定理及基底的定義，屬于基礎(chǔ)題.10．下列命題中，正確的是（）A．在中，，B．在銳角中，不等式恒成立C．在中，若，則必是等腰直角三角形D．在中，若，，則必是等邊三角形答案：ABD【分析】對于選項在中，由正弦定理可得，即可判斷出正誤；對于選項在銳角中，由，可得，即可判斷出正誤；對于選項在中，由，利用正弦定理可得：，得到或即可判斷出正誤；對于選項在中，利用余弦定理可得解析：ABD【分析】對于選項在中，由正弦定理可得，即可判斷出正誤；對于選項在銳角中，由，可得，即可判斷出正誤；對于選項在中，由，利用正弦定理可得：，得到或即可判斷出正誤；對于選項在中，利用余弦定理可得：，代入已知可得，又，即可得到的形狀，即可判斷出正誤.【詳解】對于，由，可得：，利用正弦定理可得：，正確；對于，在銳角中，，，，，，因此不等式恒成立，正確；對于，在中，由，利用正弦定理可得：，，，，或，或，是等腰三角形或直角三角形，因此是假命題，錯誤.對于，由于，，由余弦定理可得：，可得，解得，可得，故正確.故選：.【點睛】本題考查正弦定理與余弦定理及三角形邊角關(guān)系，主要涉及的考點是三角形內(nèi)角的誘導公式的應(yīng)用，同時考查正弦定理進行邊角轉(zhuǎn)化，屬于中等題.11．對于菱形ABCD，給出下列各式，其中結(jié)論正確的為（）A． B．C． D．答案：BCD【分析】由向量的加法減法法則及菱形的幾何性質(zhì)即可求解.【詳解】菱形中向量與的方向是不同的，但它們的模是相等的，所以B結(jié)論正確，A結(jié)論錯誤；因為，，且，所以，即C結(jié)論正確；因為，解析：BCD【分析】由向量的加法減法法則及菱形的幾何性質(zhì)即可求解.【詳解】菱形中向量與的方向是不同的，但它們的模是相等的，所以B結(jié)論正確，A結(jié)論錯誤；因為，，且，所以，即C結(jié)論正確；因為，，所以D結(jié)論正確.故選：BCD【點睛】本題主要考查了向量加法、減法的運算，菱形的性質(zhì)，屬于中檔題.12．（多選）若，是平面內(nèi)兩個不共線的向量，則下列說法不正確的是（）A．可以表示平面內(nèi)的所有向量B．對于平面中的任一向量，使的實數(shù)，有無數(shù)多對C．，，，均為實數(shù)，且向量與共線，則有且只有一個實數(shù)，使D．若存在實數(shù)，，使，則答案：BC【分析】由平面向量基本定理可判斷出A、B、D正確與否，由向量共線定理可判斷出C正確與否.【詳解】由平面向量基本定理，可知A，D說法正確，B說法不正確，對于C，當時，這樣的有無數(shù)個，故C解析：BC【分析】由平面向量基本定理可判斷出A、B、D正確與否，由向量共線定理可判斷出C正確與否.【詳解】由平面向量基本定理，可知A，D說法正確，B說法不正確，對于C，當時，這樣的有無數(shù)個，故C說法不正確.故選：BC【點睛】若，是平面內(nèi)兩個不共線的向量，則對于平面中的任一向量，使的實數(shù)，存在且唯一.13．對于，有如下判斷，其中正確的判斷是（）A．若，則為等腰三角形B．若，則C．若，，，則符合條件的有兩個D．若，則是鈍角三角形答案：BD【分析】對于A，根據(jù)三角函數(shù)的倍角公式進行判斷；對于B，根據(jù)正弦定理即可判斷證明；對于C，利用余弦定理即可得解；對于D，根據(jù)正弦定理去判斷即可．【詳解】在中，對于A，若，則或，當A＝解析：BD【分析】對于A，根據(jù)三角函數(shù)的倍角公式進行判斷；對于B，根據(jù)正弦定理即可判斷證明；對于C，利用余弦定理即可得解；對于D，根據(jù)正弦定理去判斷即可．【詳解】在中，對于A，若，則或，當A＝B時，△ABC為等腰三角形；當時，△ABC為直角三角形，故A不正確，對于B，若，則，由正弦定理得，即成立．故B正確；對于C，由余弦定理可得：b＝＝，只有一解，故C錯誤；對于D，若，由正弦定理得，∴，∴C為鈍角，∴是鈍角三角形，故D正確；綜上，正確的判斷為選項B和D．故選：BD．【點睛】本題只有考查了正弦定理，余弦定理，三角函數(shù)的二倍角公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．14．如圖，的方格紙（小正方形的邊長為1）中有一個向量（以圖中的格點為起點，格點為終點），則（）A．分別以圖中的格點為起點和終點的向量中，與是相反向量的共有11個B．滿足的格點共有3個C．存在格點，，使得D．滿足的格點共有4個答案：BCD【分析】根據(jù)向量的定義及運算逐個分析選項，確定結(jié)果．【詳解】解：分別以圖中的格點為起點和終點的向量中，與是相反向量的共有18個，故錯，以為原點建立平面直角坐標系，，設(shè)，若，所以解析：BCD【分析】根據(jù)向量的定義及運算逐個分析選項，確定結(jié)果．【詳解】解：分別以圖中的格點為起點和終點的向量中，與是相反向量的共有18個，故錯，以為原點建立平面直角坐標系，，設(shè)，若，所以，，，且，，得，，共三個，故正確．當，時，使得，故正確．若，則，，，且，，得，，，共4個，故正確．故選：．【點睛】本題考查向量的定義，坐標運算，屬于中檔題．15．下列命題中正確的是()A．單位向量的模都相等B．長度不等且方向相反的兩個向量不一定是共線向量C．若與滿足，且與同向,則D．兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同答案：AD【分析】利用向量的基本概念，判斷各個選項是否正確，從而得出結(jié)論.【詳解】單位向量的模均為1，故A正確；向量共線包括同向和反向，故B不正確；向量是矢量，不能比較大小，故C不正確；根據(jù)解析：AD【分析】利用向量的基本概念，判斷各個選項是否正確，從而得出結(jié)論.【詳解】單位向量的模均為1，故A正確；向量共線包括同向和反向，故B不正確；向量是矢量，不能比較大小，故C不正確；根據(jù)相等向量的概念知，D正確.故選：AD【點睛】本題考查單位向量的定義、考查共線向量的定義、向量是矢量不能比較大小，屬于基礎(chǔ)題．二、平面向量及其應(yīng)用選擇題16．已知中，，則等于（）A．60° B．120° C．30°或150° D．60°或120°解析：D【分析】由正弦定理可得，，根據(jù)，可得B角的大小.【詳解】由正弦定理可得，，又，或.故選：D【點睛】本題考查了正弦定理的應(yīng)用，考查了運算求解能力和邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題目.17．三角形的三邊分別是，若，，且，則有如下四個結(jié)論：①②的面積為③的周長為④外接圓半徑這四個結(jié)論中一定成立的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個解析：C【分析】由正弦定理可得三角形的外接圓的半徑；由三角函數(shù)的恒等變換化簡或，即；分別討論，結(jié)合余弦定理和三角形面積公式，計算可得所求值，從而可得結(jié)論．【詳解】，，可得，可得外接圓半徑，④正確；，即為，即有，則，即或，即；若，，，可得，①可能成立；由可得，，則三角形的周長為；面積為；則②③成立；若，由，可得，，則三角形的周長為；面積為；則②③成立①不成立；綜上可得②③④一定成立,故選C．【點睛】本題考查三角形的正弦定理、余弦定理和面積公式，考查三角函數(shù)的恒等變換，屬于中檔題．以三角形為載體，三角恒等變換為手段，正弦定理、余弦定理為工具，對三角函數(shù)及解三角形進行考查是近幾年高考考查的一類熱點問題，一般難度不大，但綜合性較強.解答這類問題，兩角和與差的正余弦公式、誘導公式以及二倍角公式，一定要熟練掌握并靈活應(yīng)用，特別是二倍角公式的各種變化形式要熟記于心.18．已知D，E，F(xiàn)分別是△ABC的邊BC，CA，AB的中點，且，，則①＝－－；②＝＋；③＝－＋；④＋＋＝0.其中正確的等式的個數(shù)為()A．1 B．2 C．3 D．4解析：D【分析】本題考查的知識點是向量的加減法及其幾何意義、及零向量，我們根據(jù)已知中的圖形，結(jié)合向量加減法的三角形法則，對題目中的四個結(jié)論逐一進行判斷，即可得到答案．【詳解】①如圖可知＝＋＝＋＝－－＝－－，故①正確．②＝＋＝＋＝＋，故②正確．③＝＋＝＋＝＋(－－)＝－＋，故③正確．④＋＋＝－＋＋＝－(＋)＋＋＝－(＋)＋＋－＋＝0，故④正確．故選D.【點睛】本題考查的主要知識點是向量加減法及其幾何意義，關(guān)鍵是要根據(jù)向量加減法及其幾何意義，將未知的向量分解為已知向量．19．在中，，則的形狀一定是（）A．等邊三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形解析：D【分析】先根據(jù)向量減法與向量數(shù)量積化簡得邊之間關(guān)系，再判斷三角形形狀.【詳解】因為，所以，即是直角三角形，選D.【點睛】判斷三角形形狀的方法①化邊：通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀．②化角：通過三角恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷三角形的形狀，此時要注意應(yīng)用這個結(jié)論．20．在銳角三角形中，角，，的對邊分別為，，，若，則的取值范圍為A． B．C． D．解析：A【分析】先化簡已知得，再化簡，利用三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)求其范圍.【詳解】由可得，即，所以，所以，，所以，又，，所以，所以，所以，故的取值范圍為．故選A．【點睛】(1)本題主要考查余弦定理解三角形，考查三角恒等變換和三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)利用函數(shù)的思想研究數(shù)學問題，一定要注意“定義域優(yōu)先”的原則，所以本題一定要準確計算出A的范圍，不是.21．中華人民共和國國歌有個字，小節(jié)，奏唱需要秒，某校周一舉行升旗儀式，旗桿正好處在坡度的看臺的某一列的正前方，從這一列的第一排和最后一排測得旗桿頂部的仰角分別為和，第一排和最后一排的距離為米（如圖所示），旗桿底部與第一排在同一個水平面上．要使國歌結(jié)束時國旗剛好升到旗桿頂部，升旗手升旗的速度應(yīng)為（米/秒）A． B． C． D．解析：B【分析】如解析中圖形，可在中，利用正弦定理求出，然后在中求出直角邊即旗桿的高度，最后可得速度．【詳解】如圖，由題意，∴，在中，，即，．∴，（米/秒）．故選B．【點睛】本題考查解三角形的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是掌握正弦定理和余弦定理，解題時要根據(jù)條件選用恰當?shù)墓?，適當注意各個公式適合的條件．22．在中，則的值等于（）A． B． C． D．解析：A【解析】分析：先利用三角形的面積公式求得的值，進而利用余弦定理求得，再利用正弦定理求解即可.詳解：由題意，在中，利用三角形的面積公式可得，解得，又由余弦定理得，解得，由正弦定理得，故選A.點睛：本題主要考查了利用正弦定理和三角函數(shù)的恒等變換求解三角形問題，對于解三角形問題，通常利用正弦定理進行“邊轉(zhuǎn)角”尋求角的關(guān)系，利用“角轉(zhuǎn)邊”尋求邊的關(guān)系，利用余弦定理借助三邊關(guān)系求角，利用兩角和差公式及二倍角公式求三角函數(shù)值.利用正、余弦定理解三角形問題是高考高頻考點，經(jīng)常利用三角形內(nèi)角和定理，三角形面積公式，結(jié)合正、余弦定理解題.23．在中，，，且，，則點P的軌跡一定通過的（）A．重心 B．內(nèi)心 C．外心 D．垂心解析：A【分析】設(shè)，則，再利用平行四邊形法則可知，P在中線上，即可得答案；【詳解】如圖，，∴，，由平行四邊形法則可知，P在中線上，P的軌跡一定通過的重心.故選：A.【點睛】本題考查三角形重心與向量形式的關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力，求解時注意向量加法幾何意義的運用.24．在中，、、分別是、、上的中線，它們交于點G，則下列各等式中不正確的是（）A． B．C． D．解析：C【分析】由三角形的重心定理和平面向量的共線定理可得答案．【詳解】中，、、分別是、、上的中線，它們交于點G，可得G為重心，則，，且故選：C【點睛】本題考查了三角形的重心定理和向量共線定理，屬于中檔題．25．在三角形中，若三個內(nèi)角的對邊分別是，，，，則的值等于（）A． B． C． D．解析：B【分析】在三角形中，根據(jù)，，，利用余弦定理求得邊b,再利用正弦定理求解.【詳解】在三角形中，，，，由余弦定理得：，，所以，由正弦定理得：，所以，故選：B【點睛】本題主要考查余弦定理和正弦定理的應(yīng)用，所以考查了運算求解的能力，屬于中檔題.26．在中，，，所對的邊分別為，，，過作直線與邊相交于點，，.當直線時，值為；當為邊的中點時，值為.當，變化時，記（即、中較大的數(shù)），則的最小值為（）A． B． C． D．1解析：C【分析】當直線時，由直角三角形的勾股定理和等面積法，可得出，，再由基本不等式可得出，從而得出M的范圍.當為邊的中點時，由直角三角形的斜邊上的中線為斜邊的一半和勾股定理可得，，由基本不等式可得出，從而得出的范圍，可得選項.【詳解】當直線時，因為，，所以，由等面積法得，因為有（當