2026年高考數(shù)學(xué)培優(yōu)講義 1 3 7 10 12 14 17 20 22 25 28 .......................................................................................................1培優(yōu)點(diǎn)1集合中的創(chuàng)新問(wèn)題數(shù)學(xué)思維的創(chuàng)新是思維品質(zhì)的最高層次，以集合為背景的創(chuàng)新問(wèn)題是新高考命題創(chuàng)新型試題的一個(gè)熱題目常常以“問(wèn)題”為核心，以“探究”為途徑，以“發(fā)現(xiàn)”為目的，以集合為依托，考查學(xué)生理解問(wèn)題、問(wèn)題的能力.例1(多選)設(shè)P是一個(gè)數(shù)集，且至少含有兩個(gè)數(shù)，若對(duì)任意a，b∈P，都有a+b，a-b，ab，∈P(除數(shù)b≠0)，則稱P是一個(gè)數(shù)域.例如有理數(shù)集Q是一個(gè)數(shù)域；數(shù)集F={a+b√2|a，b∈Q}也是一個(gè)數(shù)域.下列關(guān)于數(shù)域的命題中是真命題的為()A.0，1是任意數(shù)域中的元素B.若數(shù)集M，N都是數(shù)域，則M∪N是一個(gè)數(shù)域C.存在無(wú)窮多個(gè)數(shù)域D.若數(shù)集M，N都是數(shù)域，則有理數(shù)集Q?M∩N【即時(shí)訓(xùn)練】1設(shè)全集U={2，3，5，6，9}，對(duì)其子集引進(jìn)“勢(shì)”的概念：①空集的“勢(shì)”最?。虎诜强兆蛹脑卦蕉?，其“勢(shì)”越大；③若兩個(gè)子集的元素個(gè)數(shù)相同，則子集中最大的元素越大，子集的“勢(shì)”就越大，最大的元素相同，則第二大的元素越大，子集的“勢(shì)”就越大，依此類推.若將全部的子集按“勢(shì)”從小到大的順序排列，則排在第23位的子集是.例2(多選)(2024·泰州模擬)對(duì)任意A，B?R，記A⊕B={x|x∈A∪B，x?A∩B}，并稱A⊕B為集合A，B的對(duì)稱差.例如：若A={1，2，3}，B={2，3，4}，則A⊕B={1，4}.下列命題中，為真命題的是()A.若A，B?R且A⊕B=B，則A=?B.若A，B?R且A⊕B=?,則A=BC.若A，B?R且A⊕B?A，則A?BD.存在A，B?R，使得A⊕B≠[RA⊕[RB2新運(yùn)算問(wèn)題是通過(guò)創(chuàng)新給出有關(guān)集合的一個(gè)全新的運(yùn)算規(guī)則.按照新的運(yùn)算規(guī)則，結(jié)運(yùn)算規(guī)則，通過(guò)相關(guān)的集合或其他知識(shí)進(jìn)行計(jì)算或邏輯推理等進(jìn)行解答.【即時(shí)訓(xùn)練】2對(duì)于數(shù)集A，B，定義A+B={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，A÷B={x|x，a∈A，b∈B}，若集合A={1，2}，則集合(A+A)÷A中所有元素之和為()A.5B.CD例3(2024·江門模擬)將2024表示成5個(gè)正整數(shù)x1，x2，x3，x4，x5之和，得到方程x1+x2+x3+x4+x5=2024①,稱五元有序數(shù)組(x1，x2，x3，x4，x5)為方程①的解，對(duì)于上述的五元有序數(shù)組(x1，x2，x3，x4，x5)，當(dāng)1≤i，j≤5時(shí)，若max(xi-xj)=t(t∈N)，則稱(x1，x2，x3，x4，x5)是t-密集的一組解.(1)方程①是否存在一組解(x1，x2，x3，x4，x5)，使得xi+1-xi(i=1，2，3，4)等于同一常數(shù)？若存在，請(qǐng)求出該常數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)方程①的解中共有多少組是1-密集的？(3)記S=i，問(wèn)S是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出S的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.新性質(zhì)問(wèn)題往往是通過(guò)創(chuàng)新集合中給定的定義與性質(zhì)衍生而來(lái)的.在新環(huán)境下研究“舊”性應(yīng)用在“舊”性質(zhì)上，創(chuàng)造性地證明更新的性質(zhì)，落腳點(diǎn)仍然是集合的有關(guān)知識(shí)點(diǎn).【即時(shí)訓(xùn)練】3(2025·山東名校聯(lián)盟聯(lián)考)已知集合S={0，1，2，…,5n}(n∈N*)，集合T?S，記T的元素個(gè)數(shù)為|T|.若集合T中存在三個(gè)元素a，b，c(a<b<c)，使得c+2a>3b，則稱T為“理想集”.(1)若n=1，分別判斷集合T1={0，2，3，5}，T2={0，1，2，5}是否為“理想集”，并說(shuō)明理由；(2)若n=1，寫出所有的“理想集”T的個(gè)數(shù)并列舉；(3)若|T|=4n+2，證明：集合T必為“理想集”3培優(yōu)點(diǎn)2著名的不等式2n123n是實(shí)數(shù)，則(aEQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up4(2),1)+aEQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up4(2),2)+…+aEQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up4(2),n))(bEQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up4(2),1)+bEQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up4(2),2)+…+bEQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up4(2),n))≥例1已知x，y∈R，3x2+2y2≤6，求2x+y的最值.掌握柯西不等式及其變式的結(jié)構(gòu)，常用巧拆常數(shù)、重新安排某些項(xiàng)的次序、改變結(jié)【即時(shí)訓(xùn)練】1設(shè)a=(1，-2)，b=(x，y)，若x2+y2=16，則a·b的最大值為.nn.如果a1≤a2≤…≤an；b1≤b2≤…a1bn+a2bn-1+…+anb1≤a1bi1+a2bi2+…+anbin(反序和)≤a1b1+a2b2+…+anbn.4n該不等式所表達(dá)的意義是和式j(luò)bij在同序和反序時(shí)分別取得最大值和最小值.a1b1+a2b2+…+anbn=a1b1+a2b2+…+anbn，a1b1+a2b2+…+anbn≥a1b2+a2b3+…+anb1，a1b1+a2b2+…+anbn≥a1b3+a2b4+…+anb2，a1b1+a2b2+…+anbn≥a1bn+a2b1+…+anbn-1，例2已知銳角三角形ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且A≥B≥C.設(shè)PQ=acosC+bcosB+ccosA，則P，Q的大小關(guān)系為()A.P≥QB.P=QC.P≤QD.不能確定在比較兩組數(shù)積的和及兩組數(shù)的線性和的積的大小時(shí)，對(duì)于沒(méi)有給出大小關(guān)系的【即時(shí)訓(xùn)練】2若A=xEQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up4(2),1)+xEQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up4(2),2)+…+xEQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up4(2),n)，B=x1x2+x2x3+…+xn-1xn+xnx1，其中x1，x2，…,xn都是正數(shù)，則A與B的大小關(guān)系為()A.A>BB.A<BC.A≥BD.A≤B5時(shí)等號(hào)成立，稱之為權(quán)方和不等式.m為該不等式的和，它的特點(diǎn)是例3(1)若x>0，y>0則6x+5y的最小值為.(2)已知正數(shù)x，y，z滿足x+y+z=1，則的最小值為.(2)關(guān)于齊次分式，將分子變?yōu)槠椒绞剑儆脵?quán)方和不等式.(3)關(guān)于帶根號(hào)的式子，將分子變?yōu)榇?，分【即時(shí)訓(xùn)練】3(1)已知正數(shù)x，y滿足x+y=1，則的最小值為.(2)已知a+b+c=1，且a，b，c>0，則的最小值為()A.1B.3C.6D.9設(shè)連續(xù)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇a，b]，對(duì)于區(qū)間[a，b]內(nèi)任意兩點(diǎn)x1，x2，都有f，則稱f(x)反之，若有f，則稱f(x)為[a，b]上的凸函數(shù).f≤[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)](當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=…=xn時(shí)取“=”).6n(2)加權(quán)琴生不等式：若f(x)在[a，b]上為nn有f≤i例4半徑為R的圓的內(nèi)接三角形的面積的最大值是.琴生不等式在解決有關(guān)函數(shù)不等式時(shí)要注意構(gòu)造函數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)或函數(shù)【即時(shí)訓(xùn)練】2025>0，且x1+x2+…+x2025=1，則W的最小值7培優(yōu)點(diǎn)3泰勒展開(kāi)式有fn+Rn其中f(n)(x0)表示f(x)在x=x0處的n階導(dǎo)數(shù)，等號(hào)后的多項(xiàng)式稱為函數(shù)f(x)在x=x0處的n階泰勒展開(kāi)式.考中經(jīng)常會(huì)涉及.4.兩個(gè)超越不等式(注意解答題需先證明后使(1)對(duì)數(shù)型超越放縮：lnx≤x-1例已知a=ln1.01，b，則()A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.c<a<b(2)(2022·新高考全國(guó)Ⅰ)設(shè)a=0.1e0.1，bc=-ln0.9，則()A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b8涉及比較大小的問(wèn)題，如果其中同時(shí)含有指數(shù)式、對(duì)數(shù)式別注意結(jié)合賦值法，利用如下超越不等式或其變形公式解決問(wèn)題：lnx≤【即時(shí)訓(xùn)練】1(1)已知a=e0.02，b=1.02，c=ln2.02，則()A.c>a>bB.a>b>cC.a>c>bD.b>a>c(2)(2022·全國(guó)甲卷)已知ab=cosc=4sin，則()A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b例2給出以下三段材料：①若函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為f'(x)，f'(x)的導(dǎo)數(shù)叫做f(x)的二階導(dǎo)數(shù)，記作f″(x).類似地，二階導(dǎo)數(shù)f″(x)的導(dǎo)數(shù)叫做f(x)的三階導(dǎo)數(shù)，記作f(3)(x)，三階導(dǎo)數(shù)f(3)(x)的導(dǎo)數(shù)叫做f(x)的四階導(dǎo)數(shù)，…,一般地，n-1階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做f(x)的n階導(dǎo)數(shù)，即f(n)(x)=(n-1)(x)]'，n≥4；②若n∈N*，定義n！=n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1；③若函數(shù)f(x)在含有x0的某個(gè)開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)具有n+1階導(dǎo)數(shù)，那么對(duì)于?x∈(a，b)，有fn+o，我們稱上式為函數(shù)f(x)在x=x0處的n階泰勒展開(kāi)式，其中o((x-x0)n)為(x-x0)n的高階無(wú)窮小量.例如，y=ex在x=0處的n階泰勒展開(kāi)式為xn+o根據(jù)以上三段材料，完成下面的題目：(1)求f1(x)=cosx，f2(x)=sinx在x=0處的3階泰勒展開(kāi)式；(2)在(1)的條件下，記g1x3，比較f1(x)與g1(x)的大?。?3)證明：ex+sinx+cosx≥2+2x.9在證明不等式或根據(jù)不等式求參數(shù)的范圍時(shí)，要仔細(xì)觀察，發(fā)現(xiàn)其中所含的超越解決問(wèn)題.【即時(shí)訓(xùn)練】2已知函數(shù)f(x)=ln(x-1)-k(x-1)+1.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：培優(yōu)點(diǎn)4帕德近似帕德近似是法國(guó)數(shù)學(xué)家亨利·帕德發(fā)明的用有理多項(xiàng)式近似特定函數(shù)的方法.給定兩個(gè)正整數(shù)m，n，函數(shù)f(x)且滿足f(0)=R(0)，f'(0)=R'(0)，f″(0)=R″(0)，…,f(m+n)(0)=R(m+n)(0).其中f″(x)='(x)]'，f'''例如：求f(x)=ln(x+1)在x=0處的[1，1]階帕德近似.解由上述定義可知，f(x)在x=0處的[1，1]階帕德近似的一般形式為R，且滿足f(0)=R(0)，可得a0=0.進(jìn)一步，f'R'，再由定義可知，需滿足f'(0)=R'(0)，可得a1=1，同理再由f″→b，于是可得到f(x)=ln(x+1)在x=0處的[1，1]階帕德近似為Rcosx例1(1)已知a=e0.3，b+1，c=√1.5，則()A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.a<c<b(2)(2024·益陽(yáng)模擬)若a=2ln1.1，b=0.21，c=tan0.21，則()A.b<c<aB.a<c<bC.c<a<bD.a<b<c對(duì)于含指數(shù)、對(duì)數(shù)、正弦、余弦、正切的比較大小問(wèn)題，利用帕德近似公式求近注意公式的使用條件，公式不能記錯(cuò).【即時(shí)訓(xùn)練】1(2025·哈爾濱模擬)設(shè)a=ln1.01，b=sin0.01則()A.c<b<aB.c<a<bC.a<b<cD.a<c<b例2(2024·廈門模擬)帕德近似是法國(guó)數(shù)學(xué)家亨利·帕德發(fā)明的用有理多項(xiàng)式近似特定函數(shù)的方法，在數(shù)學(xué)計(jì)算中有著廣泛的應(yīng)用.已知函數(shù)f(x)在x=0處的[m，n]階帕德近似定義為R，且滿足f(0)=R(0)，f'(0)=R'(0)，f″(0)=R″(0)，…,f(m+n)(0)=R(m+n)(0).其中f″(x)=[f'(x)]'，f'''(x)=[f″(x)]'，…,f(m+n)(x)=(m+n-1)(x)]'.已知f(x)=ln(x+1)在x=0處的[2，2]階帕德近似為R(2)設(shè)h(x)=f(x)-R(x)，證明：xh(x)≥0；(3)已知x1，x2，x3是方程lnx=λ的三個(gè)不等實(shí)根，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍，并證明：利用帕德近似完美避開(kāi)構(gòu)造函數(shù)，公式容易記憶并且技巧性較弱，容易被學(xué)生理解掌【即時(shí)訓(xùn)練】2(2024·濟(jì)寧模擬)帕德近似是法國(guó)數(shù)學(xué)家亨利·帕德發(fā)明的用有理多項(xiàng)式近似特定函數(shù)的方法.給定兩個(gè)正整數(shù)m，n，函數(shù)f(x)在x=0處的[m，n]階帕德近似定義為R，且滿足f(0)=R(0)，f'(0)=R'(0)，f″(0)=R″(0)，…,f(m+n)(0)=R(m+n)(0)(注：f″(x)='(x)]'，f'''(x)=[f″(x)]'，f(4)(x)='''(x)]'，f(5)(x)=[f(4)(x)]'，…,f(n)(x)為f(n-1)(x)的導(dǎo)數(shù)).已知f(x)=ln(x+1)在x=0處的[1，1]階帕德近似為R(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；(3分)(2)比較f(x)與R(x)的大??；(5分)(3)證明：vn∈N*，+++…+<ln2.(7分)培優(yōu)點(diǎn)5平面向量奔馳定理與三角形四心問(wèn)題奔馳定理將三角形的四心與向量完美地融合到一起，揭示了平面向量與三角形面積之間所蘊(yùn)含的一個(gè)優(yōu)美規(guī)律，例1如圖1，O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，△BOC，△AOC，△AOB的面積分別為SA，SB，SC，求證：SABC-EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up2(-→),C)=0.(圖1與奔馳汽車的標(biāo)志(圖2)類似，故上述結(jié)論稱為“奔馳”定理)【即時(shí)訓(xùn)練】EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up2(-→),C)A.2B.3C.4D.5命題點(diǎn)1奔馳定理與重心EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up2(-→),C)命題點(diǎn)2奔馳定理與外心EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up2(-→),C)命題點(diǎn)3奔馳定理與內(nèi)心EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up2(-→),C)B，C所對(duì)的邊長(zhǎng))命題點(diǎn)4奔馳定理與垂心EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up2(-→),C)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up2(-),P)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up2(-→),G)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up2(-),P)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up2(-),P)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up2(-),P)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up2(-→),C)【即時(shí)訓(xùn)練】2奔馳定理與三角形四心(重心、內(nèi)心、外心、垂心)有著神秘的關(guān)聯(lián).它的具體內(nèi)容是：已知M是EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up2(-),M)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up2(-),M)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up2(-),M)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up2(-→),C)以下命題錯(cuò)誤的是()BEQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up2(-),M)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up2(-),M)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up2(-),M)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up2(-→),C)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up2(-),M)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up1(-),M)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up2(-),M)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up2(-→),C)培優(yōu)點(diǎn)6新情境、新定義下的數(shù)列問(wèn)題縱觀各地考題，總能在試卷的壓軸題位置發(fā)現(xiàn)新情境、新定義數(shù)列題的常常以新定義和新構(gòu)造形式呈現(xiàn)，有時(shí)還伴隨著數(shù)列與其他知識(shí)的交匯.例1(1)定義：滿足q(q為常數(shù)，且q≠0，n∈N*)的數(shù)列{an}稱為二階等比數(shù)列，q為二階公比.已知二階等比數(shù)列{an}的二階公比為√2，a1＝1，a2=√2，則使得an>2025成立的最小正整數(shù)n為A.7B.8C.9D.10(2)定義高階等差數(shù)列：對(duì)于一個(gè)給定的數(shù)列{an}，令bn＝an＋1－an，則數(shù)列{bn}稱為數(shù)列{an}的一階差數(shù)列，再令cn＝bn＋1－bn，則數(shù)列{cn}稱為數(shù)列{an}的二階差數(shù)列.已知數(shù)列{An}為2，5，11，21，36，…,且它的二階差數(shù)列是等差數(shù)列，則A8＝.“新定義”主要是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問(wèn)題，有時(shí)還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對(duì)新定義的透徹理解.【即時(shí)訓(xùn)練】1(多選)(2024·喀什模擬)對(duì)于數(shù)列{an}，定義bn＝an，稱數(shù)列{bn}是{an}的“倒和數(shù)列”.下列說(shuō)法正確的有()A.若數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，則數(shù)列{bn}為遞增數(shù)列B.若an＝2n，則bn有最小值2C.若an＝2n，則bn有最小值D.若bn＋1＝bn>0，且an＋1≠an，則an＋1an＝1例2給定數(shù)列{an}，若滿足a1＝a(a>0且a≠1)，且對(duì)于任意的m，t∈N*，都有am＋t＝am·at，則稱數(shù)列n}為“指數(shù)型數(shù)列”.(1)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝4n，證明：{an}為“指數(shù)型數(shù)列”；(2)若數(shù)列{an}滿足aan＝3an＋1＋2anan＋1①判斷數(shù)列是否為“指數(shù)型數(shù)列”，若是，給出證明，若不是，說(shuō)明理由；②若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，證明：Sn數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，本質(zhì)上數(shù)列是以正整數(shù)集或它的有限子集為定義域的【即時(shí)訓(xùn)練】2(多選)數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝f(an)，n∈N*，定義函數(shù)y＝f(x)是數(shù)列{an}的特征函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是()A.當(dāng)f(x)<x時(shí)，數(shù)列{an}為遞增數(shù)列B.當(dāng)f(x)＝2x－1時(shí)，an＝1C.當(dāng)f時(shí)，an≤2D.當(dāng)f時(shí)，記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則S2024<3例3(2025·泰安模擬)已知各項(xiàng)均不為0的遞增數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＝2，a2＝4，anan＋1=2Sn(Sn＋1＋Sn－1－2Sn)(n∈N*，且n≥2).(1)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn；(2)定義首項(xiàng)為2且公比大于1的等比數(shù)列為“G－數(shù)列”.證明：①對(duì)任意k≤5且k∈N*，存在“G－數(shù)列”{bn}，使得bk≤ak≤bk＋1成立；②當(dāng)k≥6且k∈N*時(shí)，不存在“G－數(shù)列”{cn}，使得cm≤am≤cm＋1對(duì)任意正整數(shù)m≤k成立.解決此類創(chuàng)新概念問(wèn)題的關(guān)鍵：一是認(rèn)真審題，讀懂創(chuàng)新概念的含義；二是活用概念，即會(huì)利用創(chuàng)新概念，在相關(guān)知識(shí)的基礎(chǔ)上加以類比、提升與拓展，轉(zhuǎn)化為熟悉的相關(guān)問(wèn)題；三是根據(jù)以分析與求解，達(dá)到創(chuàng)新能力與轉(zhuǎn)化思維的統(tǒng)一，知識(shí)與能力的綜合，真正達(dá)到創(chuàng)新的目的.【即時(shí)訓(xùn)練】3對(duì)于給定的正整數(shù)k，若數(shù)列{an}滿足an－k＋an－k＋1+…+an－1＋an＋1+…+an＋k－1＋an＋k＝2kan對(duì)任意正整數(shù)n(n>k)恒成立，則稱數(shù)列{an}是“P(k)數(shù)列”.(1)證明：等差數(shù)列{an}是“P(3)數(shù)列”；(2)若數(shù)列{an}既是“P(2)數(shù)列”，又是“P(3)數(shù)列”，證明：{an}是等差數(shù)列.培優(yōu)點(diǎn)7阿波羅尼斯圓與蒙日?qǐng)A方程、定值、定點(diǎn)、弦長(zhǎng)、面積等解析幾何的核心問(wèn)題，難度為中高檔.“阿波羅尼斯圓”的定義：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A(－a，0)，B(a，0)(a>0)是以C為圓心，為半徑的圓，即為阿波羅尼例1(1)設(shè)A，B是平面上兩點(diǎn)，則滿足k(其中k為常數(shù)，k>0且k≠1)的點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓，已知A(√6，0)，B，0)，且k=√2，則點(diǎn)P所在圓M的方程為.(2)已知在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，sinA＝2sinB，acosB＋bcosA＝2，則△ABC面積的最大值為.當(dāng)題目給了一個(gè)圓的方程和一個(gè)定點(diǎn)，我們可【即時(shí)訓(xùn)練】1(1)如圖，在等腰△ABC中，已知|AB|＝|AC|，B(－1，0)，AC邊的中點(diǎn)為D(2，0)，則點(diǎn)C的軌跡所包圍的圖形的面積等于.(2)已知點(diǎn)P是圓(x－4)2＋(y－4)2＝8上的動(dòng)點(diǎn)，A(61)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|PO|＋2|PA|的最小值例2(1)蒙日?qǐng)A涉及的是幾何學(xué)中的一個(gè)著名定理，該定理的內(nèi)容為：橢圓上兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)必在一個(gè)與橢圓同心的圓上，該圓稱為原橢圓的蒙日?qǐng)A，若橢圓C：的蒙日?qǐng)A的方程為x2＋y2＝4，則a等于()A.1B.2C.3D.4(2)(多選)已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，離心率為eP為橢圓C的蒙日?qǐng)A上任一點(diǎn)，則以下說(shuō)法正確的是()A.過(guò)點(diǎn)P作橢圓C的兩條切線PA，PB，則有PA⊥PBB.過(guò)點(diǎn)P作橢圓的兩條切線，交橢圓于點(diǎn)A，B，O為原點(diǎn)，直線OP，AB的斜率分別為kOP，kAB，C.過(guò)點(diǎn)P作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則S△APB的取值范圍為，D.過(guò)點(diǎn)P作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，O為原點(diǎn)，則S△AOB的最大值為√3(1)設(shè)P為蒙日?qǐng)A上任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作橢圓的兩條切線，交橢圓于點(diǎn)a2＋b2a2＋b2.性質(zhì)7S△APBa2＋b2a2＋b2.a>b時(shí)才有蒙日?qǐng)A).(3)拋物線y2＝2px(p>0)的兩條互相垂直的切線PA，PB交點(diǎn)P的軌半徑無(wú)窮大的圓).【即時(shí)訓(xùn)練】2(多選)已知橢圓CO為原點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的是()A.橢圓C的蒙日?qǐng)A方程為x2＋y2＝9B.過(guò)直線l：x＋2y－3＝0上一點(diǎn)P作橢圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N，當(dāng)∠MPN為直角時(shí)，直線OP的斜率為-C.若P為蒙日?qǐng)A上一點(diǎn)，則PO平分橢圓的切點(diǎn)弦MND.若P為蒙日?qǐng)A上一點(diǎn)，O，P到MN的距離分別為d1，d2，則d1d2=培優(yōu)點(diǎn)8阿基米德三角形在近幾年全國(guó)各地的解析幾何試題中可以發(fā)現(xiàn)許多試題涉及阿基米德三角形問(wèn)題線相交、相切兩種位置關(guān)系，聚焦了軌跡方程、定值、定點(diǎn)、弦長(zhǎng)、面積中高檔.拋物線的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形.如圖.例1(1)(多選)下列選項(xiàng)正確的是()A.過(guò)拋物線x2＝2py(p>0)上一點(diǎn)M(x0，y0)的切線方程為x0x＝p(y＋y0)B.過(guò)拋物線x2＝－2py(p>0)上一點(diǎn)M(x0，y0)的切線方程為x0x＝－p(y＋y0)C.過(guò)拋物線y2＝2px(p>0)上一點(diǎn)M(x0，y0)的切線方程為y0y＝p(x＋x0)D.過(guò)拋物線y2＝－2px(p>0)上一點(diǎn)M(x0，y0)的切線方程為y0y＝－p(x－x0)(2)過(guò)拋物線x2＝2py(p>0)外一點(diǎn)C(x0，y0)向拋物線引兩條切線，設(shè)兩切點(diǎn)分別為點(diǎn)A，B，則過(guò)點(diǎn)A，B的直線方程為.在圓錐曲線方程中，以x0x替換x2，以y0y替換y2，以替換x，以替換y，即可得到切線方程和切【即時(shí)訓(xùn)練】1已知曲線C：y，D為直線y上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)D作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則直線AB過(guò)定點(diǎn).例2(多選)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是拋物線y2＝2px(p>0)上的兩點(diǎn)，在兩點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn)Q，則下列說(shuō)法中正確的是()A.當(dāng)阿基米德三角形的頂角為直角時(shí)，阿基米德三角形頂點(diǎn)的軌跡為蒙日?qǐng)AB.若M為弦AB的中點(diǎn)，則MQ與x軸平行(或重合)C.若弦AB過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，則點(diǎn)Q在拋物線的準(zhǔn)線上D.若阿基米德三角形的底邊AB過(guò)焦點(diǎn)，M為弦AB的中點(diǎn)，則該三角形的面積最小值為2p(1)阿基米德三角形底邊上的中線平行(或重合)于拋物線的對(duì)稱軸.(2)若阿基米德三角形的底邊即弦AB過(guò)拋物線內(nèi)的定點(diǎn)P，面積的最小值為p2.(4)若直線l與拋物線沒(méi)有公共點(diǎn)，以l上的點(diǎn)為頂點(diǎn)的阿基米德三角形的底邊過(guò)定點(diǎn).軸交點(diǎn)D的橫坐標(biāo)互為相反數(shù).【即時(shí)訓(xùn)練】2若直線l與拋物線沒(méi)有公共點(diǎn)，以l上的點(diǎn)為頂點(diǎn)的阿基米德三角形的底邊過(guò)定點(diǎn).若直線l的方程為ax＋by＋c＝0，拋物線方程為y2＝2px(p>0)，則定點(diǎn)的坐標(biāo)為.培優(yōu)點(diǎn)9等角定理與蝴蝶定理在近幾年高考試題中，以“角相等”為背景的圓錐曲線試題頻繁出現(xiàn)，綜合性強(qiáng)，是體.本節(jié)課主要說(shuō)明圓錐曲線中以“角相等”為命題背景的題型及求解策略.例1求證：過(guò)橢圓長(zhǎng)軸上任意一點(diǎn)N(t，0)(0<|t|<a)的一條弦(非長(zhǎng)軸)的端點(diǎn)A，B與點(diǎn)G0)的連線所成的角，被焦點(diǎn)所在的直線平分，即∠OGA=∠OGB.過(guò)雙曲線a>0，b>0)的實(shí)軸所在直線上任意一點(diǎn)N(t，0)(t≠±a)的過(guò)拋物線y2＝2px(p>0)對(duì)稱軸上任意一點(diǎn)N(a，0)(a>0)的一條弦的端點(diǎn)A，B與對(duì)應(yīng)點(diǎn)G(－a，0)的連線所成的角，被對(duì)稱軸平分，即∠OGA=∠OGB，如圖2所示.【即時(shí)訓(xùn)練】1在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，曲線C：y＝與直線y＝kx＋a(a>0)交于M，N兩點(diǎn).(1)當(dāng)k＝0時(shí)，分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程；(2)y軸上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有∠OPM=∠OPN？并說(shuō)明理由.定理原本只是圓的背景，通過(guò)射影幾何，我們可以非常容易地將蝴蝶定橢圓、雙曲線、拋物線，甚至退化到兩條相交直線的情況).EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up2(-→),G)線x＝6上的動(dòng)點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C，PB與E的另一交點(diǎn)為D.(1)求E的方程；(2)證明：直線CD過(guò)定點(diǎn).(1)蝴蝶定理的方法可以作為了解問(wèn)題的相關(guān)背景，預(yù)判結(jié)果，但不能作為相關(guān)解答.【即時(shí)訓(xùn)練】2已知橢圓r：，過(guò)橢圓左焦點(diǎn)F任作一條弦PQ(不與長(zhǎng)軸重合)，點(diǎn)A，B是橢圓的左、右頂點(diǎn)，設(shè)直線AP的斜率為k1，直線BQ的斜率為k2，則k1k2＋的最小值為.培優(yōu)點(diǎn)10極點(diǎn)、極線“極點(diǎn)、極線”是射影幾何中的內(nèi)容，不屬于高考考查的范圍，但極點(diǎn)、極線是圓錐曲線的一種基本特征，蘊(yùn)含了很多圓錐曲線的重要性質(zhì)，自然成為命題人命題的背景知識(shí)和方向，可以肯定的是以“極點(diǎn)、極線”為背景的考題是出題人思維中的定勢(shì)方向.線，點(diǎn)P叫做相應(yīng)于此極線的極點(diǎn)，簡(jiǎn)稱極.一個(gè)極點(diǎn)與其對(duì)應(yīng)的極線稱作一對(duì)配極元素，它們之間的關(guān)系稱作一對(duì)配極關(guān)系.如圖(2)，若極點(diǎn)P在圓錐曲線內(nèi)，則極線l是例1(多選)已知點(diǎn)P是異于原點(diǎn)的一點(diǎn)，則下列關(guān)于極線方程的說(shuō)法中，正確的是()A.已知點(diǎn)P(x0，y0)和圓C：x2＋y2＝r2，則關(guān)于點(diǎn)P的極線方程為x0x＋y0y＝r2B.已知點(diǎn)P(x0，y0)在橢圓外，則關(guān)于點(diǎn)P的極線方程為C.對(duì)于雙曲線，與點(diǎn)P(x0，y0)對(duì)應(yīng)的極線方程為D.對(duì)于拋物線y2＝2px，若點(diǎn)P，則對(duì)應(yīng)的極線為拋物線的準(zhǔn)線(2)從代數(shù)角度看，在圓錐曲線方程中，以x0x替換x2，以替換xy，以y0y替以替換y即可得到點(diǎn)P(x0，y0)的極線方程.由圖同理可知，PM為點(diǎn)N對(duì)應(yīng)的極線，PN為點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的極線.因而將△MNP稱為自極三角形.【即時(shí)訓(xùn)練】1過(guò)橢圓C：內(nèi)一點(diǎn)M(3，2)，作直線AB與橢圓交于點(diǎn)A，B，作直線CD與橢圓交于點(diǎn)C，D，過(guò)A，B分別作橢圓的切線交于點(diǎn)P，過(guò)C，D分別作橢圓的切線交于點(diǎn)Q，則PQ所在的直線方程為.例2在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，如圖所示，已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，右焦點(diǎn)為F.設(shè)過(guò)點(diǎn)T(t，m)的直線TA，TB與此橢圓分別交于點(diǎn)M(x1，y1)，N(x2，y2)，其中m>0，y1>0，y2<0.(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF|2－|PB|2＝4，求點(diǎn)P的軌跡；(2)設(shè)t＝9，求證：直線MN必過(guò)x軸上的一定點(diǎn)(其坐標(biāo)與m無(wú)關(guān))，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).(3)如圖3，A，B為圓錐曲線r的一條對(duì)稱軸l上的兩點(diǎn)(不在r上)，若A，B關(guān)于r調(diào)和共軛，過(guò)點(diǎn)B任作r的一條割線，交r于P，Q兩點(diǎn)，則∠PAB=∠QAB.(4)如圖4，已知點(diǎn)Q在圓錐曲線r的對(duì)稱軸上，直線l垂直于該對(duì)稱軸，過(guò)點(diǎn)Q作直線交r于點(diǎn)M，N，P為l上任意一點(diǎn).若點(diǎn)Q與直線l是r的一對(duì)極點(diǎn)與極線，當(dāng)對(duì)橢圓在點(diǎn)A處的切線與極線x＝交于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)N作MN⊥AP于點(diǎn)M，則直線MN恒過(guò)x軸上的一個(gè)定(6)如圖6，設(shè)圓錐曲線r的一個(gè)焦點(diǎn)為F，與F相應(yīng)的準(zhǔn)線為l.若過(guò)點(diǎn)F的直線與圓錐曲線r相交于M，N兩點(diǎn)，則r在M，N兩點(diǎn)處的切線的交點(diǎn)Q在準(zhǔn)線l上，且FQ⊥MN；反之，若過(guò)準(zhǔn)線l上一點(diǎn)Q作圓錐曲線r的兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N，則直線MN過(guò)焦點(diǎn)F，且FQ⊥MN.【即時(shí)訓(xùn)練】2(2024·蘇州模擬)已知橢圓C1(a>b>0)的短軸長(zhǎng)為2√2，離心率為.(2)過(guò)點(diǎn)P(4，1)的動(dòng)直線l與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A，B，在線段AB上取點(diǎn)Q，滿足|AP||QB|=|AQ||PB|，證明：點(diǎn)Q總在某定直線上.培優(yōu)點(diǎn)11圓錐曲線中探索性與知識(shí)交匯問(wèn)題高考中探索性問(wèn)題是一個(gè)重要考點(diǎn)，同時(shí)圓錐曲線與其它知識(shí)的查學(xué)生解決綜合性數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力.例1已知橢圓C的焦點(diǎn)坐標(biāo)是F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)，過(guò)點(diǎn)F2垂直于長(zhǎng)軸的直線l交橢圓C于B，D兩點(diǎn)，且|BD|＝3.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)定點(diǎn)P(0，2)且斜率為k的直線l'與橢圓C相交于不同兩點(diǎn)M，N，試判斷：在x軸上是否存在點(diǎn)A(m，0)，使得以AM，AN為鄰邊的平行四邊形為菱形？若存在，求出實(shí)數(shù)m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.存在性的問(wèn)題，先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確則存在，若結(jié)(1)當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時(shí)，要分類討論.(2)當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時(shí)，先假設(shè)成立，再推出條件.(3)當(dāng)要討論的量能夠確定時(shí)，可先確定，再證明結(jié)論符合題意.【即時(shí)訓(xùn)練】1(2025·太原模擬)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)D(2，1)且斜率為1的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)F.(1)求拋物線C的方程；(2)若A，B是拋物線C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在x軸上是否存在定點(diǎn)M(異于坐標(biāo)原點(diǎn)O)，使得當(dāng)直線AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)M時(shí)，滿足OA⊥OB？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.例2(2024·新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ)已知雙曲線C：x2－y2＝m(m>0)，點(diǎn)P1(5，4)在C上，k為常數(shù)，0<k<1.按照如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)Pn(n＝2，3，…)：過(guò)Pn－1作斜率為k的直線與C的左支交于點(diǎn)Qn－1，令Pn為Qn-1關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn).記Pn的坐標(biāo)為(xn，yn).(1)若k，求x2，y2；(2)證明：數(shù)列{xn－yn}是公比為的等比數(shù)列；(3)設(shè)Sn為△PnPn＋1Pn＋2的面積，證明：對(duì)任意的正整數(shù)n，Sn＝Sn＋1.解析幾何中的數(shù)列性質(zhì)的研究，要依據(jù)已有的條件構(gòu)建數(shù)列的遞推關(guān)系，再對(duì)得從而得到純粹的單數(shù)列的遞推關(guān)系，這樣便于問(wèn)題的解決.【即時(shí)訓(xùn)練】2(2024·成都模擬)已知橢圓D：的離心率為，且過(guò)點(diǎn)(2，1).過(guò)橢圓D上的點(diǎn)A作圓O：x2＋y2＝2的兩條切線，其中一條切線與橢圓D相交于點(diǎn)B，與圓O相切于點(diǎn)C，兩條切線與y軸分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn).(1)求橢圓D的方程；(2)|BC|·|CA|是否為定值，若是，請(qǐng)求出|BC|·|CA|的值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)若橢圓D上點(diǎn)A(x0，y0)(x0≥2)，求△AEF面積的取值范圍.參考答案培優(yōu)點(diǎn)1∪N，y∈M∪N，x+y=√2+√3?M且x+y例2AB[對(duì)于A，因?yàn)锳⊕B=B，所以B={x|x∈所以A?B，且B中的元素不能出現(xiàn)在A∩B對(duì)于B，因?yàn)锳⊕B=?,所以?={x|x∈A∪B，x?A∩B}，對(duì)于C，因?yàn)锳⊕B?A，所以{x|x∈A∪B，x?A∩B對(duì)于D，由于([RA)⊕([RB)={x|x∈([RA)∪([RB)，x?([RA)∩([RB)}而A⊕B={x|x∈A∪B，x?A∩B}，故A⊕所以不存在一組解(x1，x2，x3，x4，xmax(xi-xj)=1，設(shè)有y個(gè)405，則有(5-y)個(gè)404，由405y+404(5-y)=2024，解得y=4，所以S=5σ2+5x2，因?yàn)閤為常數(shù)，所以當(dāng)方差σ2且Smin=4×4052+4042=819316.設(shè)yi=x4n+2-xi>0，于是yi+1≤yi，則y4ny4ny4nny1，4n，矛盾.培優(yōu)點(diǎn)2[12+(-2)2](x2+y2)≥(x-2y)2，即時(shí)，≥bcosA+ccosB+acosC≥R(2sinAcosB+2sinBcosA+2sinBcosC+2sinCcosA+2sinAcosC)=R[sin(A+B)+sin(B+C)+sin(P.]排序不等式，得x1x1+x2x2+…+xnxn≥x1x2+x2x3+…+xnx1，即xEQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up4(2),1)+xEQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up4(2),2)+…+xEQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up4(2),n)≥x1x2+x2x3+…+xnx1.]6x+5ya+b+b+c+a+c顯然當(dāng)△ABC是銳角或直角三角形時(shí)，面積可以取得最設(shè)為A)所對(duì)邊以圓心為對(duì)稱中心作中心對(duì)稱成為B'C'.因此，S△AB'C'>S△ABC).則S△ABCR2(sin2α+sin2β+sin2γ).而y=sinx在(0，π]上是凸函數(shù).3解析構(gòu)造函數(shù)f易證函數(shù)f在(0，1)上為凹函數(shù).得f所以W，當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=…=x2025時(shí)，W的最小值為培優(yōu)點(diǎn)3(2)A[根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)f(x)=1-，g(x)=cosx，h(x)=，則有f'1(x)=-sinx，1(x)=cos0+(x-0)+(x-0)2+(x-0)3+o(x3)=1-x2+o(x3)，同理可得f2(x)=x-x3+o(x3).(2)解由(1)知f1(x)=cosx，g1(x)=1-2x，=cosx-1+x2，故f1(x)≥g1(x).而y=ex在x=0處的3階泰勒展開(kāi)式為ex=1+x+x2+x3+o(x3)，則m'(x)=ex-1-x-x2，m″(x)=ex-1-x≥0，所以ex+sinx+cosx(x-x3)+(1-x2)=2+2x；F'(x)=ex+cosx-sinx-2F″(x)=ex-sinx-cosx，所以F″(x)=ex-sinx-cosxx+sinx+cosx>2+2x.綜上，ex+sinx+cosx≥2+2x.2(1)解因?yàn)閒(x)=ln(x-1)-k(x-1)+1，若k≤0，則f'(x)>0，f(x)在(1，+∞)上為增函數(shù)；若k>0，則f'單調(diào)遞減區(qū)間為+∞).培優(yōu)點(diǎn)4R(0)=a，因?yàn)閒'(x)=，(18?6b)x2+36x+36b(x+6x+6)R'(x)=22(18?6b)x2+36x+36b(x+6x+6)所以f'(0)=1，R'(0)=b，因?yàn)閒'(0)=R'(0)，所以b=1.令t(x)=lnx-λ(x-，其判別式Δ=1-4λ2，所以t(λ4)=lnλ4-λ(λ4->2-5+=(2-λ5)+-2)>0，lnx=λ(x-存在三個(gè)不等實(shí)根，且滿足0<x1<x2=1<x3，且x1，故lnx3=λ(x3->，R(x)=，有f(0)=R(0)，則f'(x)=，a(1+bx)2R'(a(1+bx)2R″(x)=，f″(0)=R″(0)，所以{a-EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up6(=),2a)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up6(1),b),=-1,所以{EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up10(a),b),f(x)>R(x)，培優(yōu)點(diǎn)5例1證明如圖，延長(zhǎng)AO與BC相交于點(diǎn)D，EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up1(-),B)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up1(-),D)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up2(-),D)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up2(-→),C)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up2(-→),C)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up2(-→),C)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up2(-→),C)BCEQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up2(-→),C)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up2(-→),C)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up2(-→),C)△BOC△AOC△AOB=1A=SB=SC，EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up2(-→),C)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up2(-→),C)BCEQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up2(-→),C)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up2(-→),C)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up2(-→),C)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up2(-→),C)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up2(-→),C)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up2(-→),C)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up2(-→),C)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up2(-→),C)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up2(-),M)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up2(-),M)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up2(-),M)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up2(-→),C)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up1(-),M)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up1(-),M)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up2(-),M)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up2(-→),C)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up2(-),M)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up2(-),B)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up6(2-),3B)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up2(-),M)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up1(-),M)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up2(-),M)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up2(-→),C)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up2(-),M)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up2(-),M)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up2(-),M)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up2(-→),C)則有∠BMCR2·sin90°=R2，SBR2·sin∠AMCSCR2·sin∠AMBB對(duì)于D，如圖，延長(zhǎng)AM交BC于點(diǎn)D，延長(zhǎng)BM交AC于點(diǎn)F，延長(zhǎng)CM交AB于點(diǎn)E，EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up2(-),M)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up2(-),M)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up2(-),M)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up2(-→),C)所以cos∠BMDcos∠AMF2=2y培優(yōu)點(diǎn)6故√2)n-1，√2)n-2，…,√2，,(n—1)n(n—1)n對(duì)于A，由于函數(shù)f(x)在定義域上不單調(diào)，則由數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，無(wú)法判斷數(shù)列{bn}的單調(diào)性，(2)①解將an=3an+1+2anan+1兩2BCD[由已知f(x)<x，an+1=f(an)可得a2=f(1)<1=a1，故A錯(cuò)誤；所以f(2)≤an≤2(n≥2)，從而S2024>a1+a2=1+，所以an+1<an，n所以an+1<2√an(√an-√an+1)√an=2(√an-√an+1)，例3(1)解anan+1=2Sn(Sn+1+Sn-1-2Sn)=2Sn(an+1-an)(n≥2)，n}各項(xiàng)均不為0且為遞增數(shù)列，n+1-an≠0，EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up6(a),an)EQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up4(1),a)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up6(a),n)n+1+an-1=2an(n≥3)，2=4，2a3=2S2(a3-a2)，3=6，n設(shè)f(x)=，則f'(x)=，令f'(x)=0，解得x=e，EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up7(q),q)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up11(3),5)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up7(3),6)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up7(q),q)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up11(15),15)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up7(243),216)當(dāng)n≥4時(shí)，an-i+an+i=a1+(n-i-1)d+a1+(n+i-1)d所以an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an對(duì)任意正整數(shù)n(n>3)恒成立，當(dāng)n≥4時(shí)，an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an.②由①知，an-3+an-2=4an-1-(an+an+1)，an+2+an+3=4an+1-(an-1+an)，④將③④代入②,得an-1+an+1=2an，其中n≥4，在①中，取n=4，則a2+a3+a5+a6=4a4，所培優(yōu)點(diǎn)7EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up6(PA),PB)整理得x2+y2=3.(x-2+y2，x≠0，所以(S△ABC)max.從而可得3x2-8mx+4m2+3y2-8ny+4n2=0，從而可知圓心坐標(biāo)為=2√(6-3)2+(-1-3)2=10，例2(1)A[∵橢圓上兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)必在一個(gè)與橢圓同心P(√2+a，√a)，而P在蒙日?qǐng)A上，∴(√2+a)2+(則橢圓方程為+=1，蒙日?qǐng)A的方程為x2+y2=7.對(duì)于B，設(shè)P(x1，y1)，A(x2，y2)，B(x3，y3)，則kAB=-，而kOP，對(duì)于C，當(dāng)點(diǎn)P在x軸上時(shí)，則y1=0，x1=√7或x1=-√7，聯(lián)立，得y=±,則S△APB得(3xEQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up4(2),1)+4yEQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up4(2),1))x2-24x1x+48-16yEQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up4(2),1)=0，Δ=(-24x1)2-4(3xEQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up4(2),1)+4yEQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up4(2),1))(48-16yEQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up4(2),1))=64yEQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up4(2),1)(3xEQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up4(2),1)+4yEQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up4(2),1)-12)>0，則x2+xx2x3=，故|AB|=√1+KEQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up4(2),A)B·√(x2+x3)2-4x2x3故S△APB|AB|d1|3xEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up3(2),1)+4yEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up3(2),1)-12|√9xEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up2(2),1)+16yEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up2(2),1)又xEQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up3(2),1)+yEQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up3(2),1)=7，EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up4(2),1)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up4(2),1)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up4(2),1)則S△APB，令f(t)=+，tt3則S△APB>，則S△AOB√9xEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up2(2),1)+16y√9xEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up2(2),1)+16yEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up2(2),1)故S△AOB|AB|d2|-12||-12|√9xEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up2(2),1)+16yEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up2(2),1)又xEQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up3(2),1)+yEQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up3(2),1)=7，EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up4(2),1)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up4(2),1)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up4(2),1)則S△AOB故S△AOB為(x0，y0)(x0≠0，y0≠0)，直線OP斜率kOP，由切點(diǎn)弦公式得到培優(yōu)點(diǎn)8方法一設(shè)拋物線x2=2py(p>0)上一點(diǎn)M(x0，y0)的切線方程為y-y0=k(x-x0)，代入x2=2py，整理得由Δx=0，y-y0(x-x0)，即x0x=xEQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up4(2),0)+py-py0，又xEQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up4(2),0)=2py0，∴過(guò)拋物線x2=2py(p>0)上一點(diǎn)M(x0，y0)的x0x=p(y+y0).方法二y=y-y0(x-x0)，即x0x=xEQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up4(2),0)+py-py0，又xEQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up4(2),0)=2py0，∴過(guò)拋物線x2=2py(p>0)上一點(diǎn)M(x0，y0)的x0x=p(y+y0).](2)x0x=p(y+y0)解析設(shè)切點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up7(x),x)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up5(EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up7(x),x)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up5(1),2)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up7(x),x)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up5(0),0)=p(y0+y2),解析方法一設(shè)D(t，-，A(x1，y1)，則xEQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up4(2),1)=2y1.由于y'=x，所以切線DA的斜率為x1，故=x1.整理得2tx1-2y1+1=0.設(shè)B(x2，y2)，方法二設(shè)D(x0，-，由切點(diǎn)弦的方程可知，直線AB的方程為y，①②y1y=p(x+x1)①②y2y=p(x+x2)，=2px1,=2px2,④=2px1,=2px2,④又M則Q點(diǎn)的軌跡方程是x=-，≥|QM即y0=-x0-，①y0y=p(x0+x)，(-x0-y=p(x0+x)，即(-y-p)x0=px+y，可得弦AB所在的直線過(guò)定點(diǎn)，-.培優(yōu)點(diǎn)9kGA=-kGB，其中xG則xA=myA+t，xB=myB+t.=2m-2m=0=右邊.故命題得證.C在(2√a，a)處的切線方程為y-a=√a(x-2√a)，即√ax-y-a=0.故y√a處的導(dǎo)數(shù)值為-√a，C在(-2√a，a)處的切線方程為y-a=-√a(x+2√a)，即√ax+y+a=0.故所求切線方程為√ax-y-a=0或√ax+y+a=0.M(x1，y1)，N(x2，y2)，得x2-4kx-4a=0.則k1+k2+,EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up2(-→),G)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up1(-→),G)即y(x+3).整理得(yEQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up4(2),0)+9)x2+6yEQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up4(2),0)x+9yEQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up4(2),0)-81=0，將x=代入直線y(x+3)，可得y，EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up4(2),0)直線CD的方程為y-整理可得y+整理得y=3(EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up7(4),3)-yEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up1(02),y0))x+EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up4(2),0)①②①②22√5解析如圖所示，過(guò)點(diǎn)F作x軸的垂線，交橢圓于E，G兩點(diǎn)，交直線AP，BQ于X，Y兩點(diǎn)，所以k1kEQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up4(4),2)T(x1，y1)，T2(x2，y2)，0x0x2+y0y2=r2，A(x3，y3)，B(x4，y4)，兩條切線的方程分別為0解析方法一由題意知直線PQ為點(diǎn)M關(guān)于橢圓C的極線，所以直線PQ的方程為+=1.其方程為+=1.①②①②+=1.直線TB的方程為y(x-3)，EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up8(1),1)y1；點(diǎn)N(x2，y2)滿足{EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up9(2),1),-3),y2.kMDkND所以kMD=kND，所以直線MN過(guò)點(diǎn)D(1，0).B(x2，y2)，y=k(x-4)+1.則|AP|=√1+k2(4-x1)，|QB|=√1+k2(x-x2)，可得(4-x1)(x-x2)=(x1-x)(4-x2)，化簡(jiǎn)得2x1x2-(x1+x2)(4+x)+8x=0.聯(lián)立直線y=k(x-4)+1和橢圓C的方程，消去y，得(2k2+1)x2+4k(1-4k)x+2(1-4k)2-4=0，Δ=16k2(1-4k)2-4(2k2+1)(32k2-16k-2)>0，得12k2-8k-1<0，得x1+x x1x2.化簡(jiǎn)得x(2)設(shè)直線l'：y=kx+2，M(x1，y1)，N(x2，y2)，線段MN得(4k2+3)x2+16kx+4=0，所以Δ=(16k)2-16(4k2+3)>0所以x1+xx1x2，所以x因?yàn)锳E⊥MN，即y=x-1，令y=0，則x=1，設(shè)直線AB的方程為x=ty+m(t∈R，m≠0)，B(x2，y2)，聯(lián)立{EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up7(x),y)2EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up7(y),4)m,得y2-4ty-4m=0，1+y2=4t，y1y2=-4m，Δ=16t2+16m>0，1x2+y1y2=(ty1+m)(ty2+m)+y1y2=(t2+1)y1y2+tm(y1+y2)+m2=-4m(t2+1)+4mt2+m2=m2-4m=0，當(dāng)k時(shí)，過(guò)P1(5，4)且斜率為的直線為y，與x2-y2=9聯(lián)立得到x22=9.從而x2=3，y2=0.(2)證明方法一由于過(guò)Pn(xn，yn)且斜率為k的直線為y=k(x-xn)+yn，得到方程x2-[k(x-xn)+yn]2=9.展開(kāi)得(1-k2)x2-2k(yn-kxn)x-(yn-kxn)2-9=0，由于Pn(xn，yn)已經(jīng)是直線y=k(x-xn)+yn和x2-y2=9的公共點(diǎn)，故方程必有一根x=xn.另一根xxn相應(yīng)的y=k(x-xn)+ynyn+1.所以xn+1-yn+1yn+k2yn-2kxn-1-k2再由xEQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up4(2),1)-yEQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up4(2),1)=9，所以數(shù)列{xn-yn}是公比為的等比數(shù)列.方法二因?yàn)辄c(diǎn)Pn(xn，yn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)是Qn-1(-xn，yn)，①①EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up3(2),n)-yEQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up4(2),n)-1=EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up3(2),n)-yEQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up4(2),n)-1=9,②=(yn-yn-1)(yn+yn-1).②=k(xn-yn)+k(xn-1-yn-1又x1-y1=1，所以{xn-yn}是公比為的等比數(shù)列.(3)證明方法一先證明一個(gè)結(jié)論：對(duì)平面上三個(gè)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up2(-),W)則S△UVW|ad-bc|(若U，V，W在同一條直線上，約定S△UVW=0