/四川省廣元市川師大萬(wàn)達(dá)中學(xué)2025-2026學(xué)年度第一學(xué)期第一次月考高三年級(jí)數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【詳解】不等式，所以，又，所以.故選：D2.設(shè)a，，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【詳解】對(duì)于A，因，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)椋?，所以，又，所以，即，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，又，所以，故D正確.故選：D.3.已知函數(shù)，則“為冪函數(shù)”是“”的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】由函數(shù)為冪函數(shù)，得，解得或，所以“為冪函數(shù)”是“”的必要不充分條件.故選：B.4.已知函數(shù)（且）的圖象經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，則（）A. B. C. D.3【答案】C【詳解】令，得，此時(shí)，所以定點(diǎn)P的坐標(biāo)為，即，，所以.故選：C5.設(shè)，若恒成立，則k的最小值為（）A.9 B.8 C.－1 D.－2【答案】C【詳解】因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，解得，所以的最小值為.故選：C.6.若，，則（）A.3 B.6 C.9 D.10【答案】C【詳解】設(shè)t=logab所以，解得或，由于題干中a、b地位等價(jià)，不妨設(shè)t=log則，代入可得aa3=由于a在對(duì)數(shù)的底數(shù)上，所以且，由單調(diào)可得，解得，則ab=a故選：C.7.如圖，已知二次函數(shù)的圖象頂點(diǎn)在第一象限，且經(jīng)過(guò)、兩個(gè)點(diǎn).則下列說(shuō)法正確的是：①；②；③；④.（）A.①③ B.②③④ C.①②④ D.①②③④【答案】D【詳解】根據(jù)題意，，因?yàn)槎魏瘮?shù)過(guò)點(diǎn)，所以，又頂點(diǎn)在第一象限，所以對(duì)稱軸，則，即，故①正確；二次函數(shù)圖像過(guò)，所以，則，又，，所以，則，故②正確；由，所以，又，所以，故③正確；，故④正確.故選：D.8.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，已知和都是偶函數(shù)，且，則的值為（）A B. C. D.【答案】B【詳解】由是偶函數(shù)，得，再對(duì)等式兩邊求導(dǎo)得.因，所以，即——①.故函數(shù)關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，且定義域?yàn)?，所以?又函數(shù)是偶函數(shù)，得，即——②.故函數(shù)關(guān)于成軸對(duì)稱，所以.再由①②得，所以，故，所以是函數(shù)的一個(gè)周期，且.所以，所以.故選：B二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有若干個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列各組函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的是（）A.與 B.與C.與 D.與【答案】AD【詳解】對(duì)于A，的定義域?yàn)镽，的定義域?yàn)镽，定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同，是同一個(gè)函數(shù)，故A正確；對(duì)于B，的定義域?yàn)镽，的定義域?yàn)?，定義域不相同，故不是同一函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，的定義域?yàn)镽，的定義域?yàn)?，定義域不相同，故不是同一函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，的定義域?yàn)镽，的定義域?yàn)镽，定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同，是同一個(gè)函數(shù)，故D正確.故選：AD.10.若，，則稱集合為幸福集合．對(duì)集合的所有非空子集，下列敘述正確的是（）A.幸福集合個(gè)數(shù)為8 B.含的幸福集合個(gè)數(shù)為4C.不含1的幸福集合個(gè)數(shù)為4 D.元素個(gè)數(shù)為3的幸福集合有2個(gè)【答案】BD【詳解】具有“幸福關(guān)系”的元素組有：1；，2；三組．含一組的幸福集合有，，，共3個(gè)；含兩組的幸福集合有，，，共3個(gè)；含三組的幸福集合有，共1個(gè)，所以的非空子集中幸福集合的個(gè)數(shù)為，故A錯(cuò)誤；其中含的幸福集合個(gè)數(shù)為4，不含1的幸福集合個(gè)數(shù)為3，故B正確，C錯(cuò)誤；元素個(gè)數(shù)為3的幸福集合有2個(gè)，故D正確.故選：BD.11.已知正數(shù)、、滿足，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A. B.C. D.【答案】ABD【詳解】令，可得，，，，故A正確；，故B正確；，，所以，得，又，所以，得，所以，，故C不正確；，故D正確；故選：ABD三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.______．【答案】##【詳解】，故答案為：13.已知A為拋物線（）上一點(diǎn)，點(diǎn)A到C的焦點(diǎn)的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，則C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為______.【答案】【詳解】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，由拋物線的定義知，又，，所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為：.14.已知函數(shù)，若恒成立，其中，則的取值范圍是__________．【答案】【詳解】易知函數(shù)圖象如圖所示，因?yàn)?，所以函?shù)圖象即為函數(shù)圖象左移個(gè)單位長(zhǎng)度，當(dāng)曲線與直線相切時(shí)，令，即，則，解得：，故，恒成立時(shí)，由圖像可知，.故答案為：.四、解答題（本題共5小題，共77分解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）15.已知函數(shù)為偶函數(shù)．（1）求的值；（2）若函數(shù)，且恒成立，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【小問(wèn)1詳解】由是偶函數(shù)得，即，解得．【小問(wèn)2詳解】由（1）得，則，因?yàn)楹愠闪?，即．?dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?，則，則，因此，即，故函數(shù)區(qū)間上單調(diào)遞增，則，則原不等式等價(jià)于，解得，故的取值范圍是．16.已知中，分別為內(nèi)角的對(duì)邊，且，（1）求角的大??；（2）設(shè)點(diǎn)為上一點(diǎn)，是的角平分線，且，求的長(zhǎng)度．【答案】（1）（2）2【小問(wèn)1詳解】在中，由正弦定理及得：，化簡(jiǎn)可得：，由余弦定理得，又，所以【小問(wèn)2詳解】是的角平分線，則，由可得因?yàn)?，，即有，?17.如圖，已知四棱錐中，頂點(diǎn)在底面上的射影落在線段上（不含端點(diǎn)），，，，.（1）求證：平面；（2）若二面角的大小為，直線與平面所成角為，求的值.【答案】（1）證明見解析（2）【小問(wèn)1詳解】由于平面平面故因?yàn)?，所以底面為直角梯形，故，過(guò)，且與相交于，則，又，故,所以,由于平面，，所以平面，【小問(wèn)2詳解】由題意可知，過(guò)作的垂線，垂足為,連接,由于平面平面故，平面，故平面，平面，故，故為二面角的平面角，所以從而.18.已知函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn).（1）證明：；（2）當(dāng)時(shí)，求的最大值；【答案】（1）證明見解析（2）【小問(wèn)1詳解】，由，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，要使有2個(gè)零點(diǎn)，只需，得證；【小問(wèn)2詳解】由已知，，設(shè)，由，則，將代入，則，結(jié)合，所以，設(shè)，則，設(shè)，則，，由，則，即在上單調(diào)遞增，，所以，則在上單調(diào)遞增，則，所以的最大值；19.已知有兩個(gè)盒子，各裝有1個(gè)黑球、1個(gè)黃球和1個(gè)紅球，現(xiàn)從兩個(gè)盒子中各任取一個(gè)球交換放入另一個(gè)盒子，重復(fù)進(jìn)行次這樣的操作后，記盒子中紅球的個(gè)數(shù)為，恰有1個(gè)紅球的概率為，恰有2個(gè)紅球的概率為．（1）證明是等比數(shù)列，