/貴州省惠水民族中學(xué)2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期開(kāi)學(xué)檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，則（

）A． B．C． D．2．設(shè)（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的虛部為（）A． B．4 C． D．3．已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．4．2025年春節(jié)檔上映的動(dòng)畫(huà)電影《哪吒之魔童鬧?！芬l(fā)全民觀影熱潮．某數(shù)據(jù)平臺(tái)實(shí)時(shí)統(tǒng)計(jì)了該片上映前10天的全國(guó)單日票房（單位：億元），并生成如圖所示的折線圖．假設(shè)橫軸為上映時(shí)間（日期），縱軸為單日票房（億），則下列說(shuō)法正確的是（

）A．前十日之后，隨著上映時(shí)間的增加，單日票房一定會(huì)呈現(xiàn)下降趨勢(shì)B．上映前十天的票房極差為4.76（億）C．上映前十天的票房中位數(shù)為6.34（億）D．上映前十天的票房第70百分位數(shù)為7.30（億）5．已知正方形的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，將分別沿折起，使三點(diǎn)重合于點(diǎn)，則三棱錐的外接球與內(nèi)切球的表面積之比為（

）A． B． C． D．6．已知是兩個(gè)不同的平面，，是內(nèi)兩條不同的直線，則“，且”是“”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件7．在平面直角坐標(biāo)系中，，，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．8．若，當(dāng)時(shí)，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．二、多選題（本大題共3小題）9．(多選)已知正實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足xy=x+4y,則 ()A．x>4B．4y2xC．x+y的最小值為9D．x2+y2的最小值為8110．已知函數(shù)和有相同的最大值，直線與兩曲線和恰好有三個(gè)交點(diǎn)，從左到右三個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)依此為，則以下說(shuō)法正確的是（

）A． B．C．成等差數(shù)列 D．成等比數(shù)列11．如圖，在正三棱柱中，，過(guò)中點(diǎn)的截面，將正三棱柱分成上下兩部分，設(shè)下半部分幾何體的體積為，則下列四個(gè)體積是的幾何體中，能放在半徑為3的球體內(nèi)的是（

）（參考數(shù)據(jù)：）

A．正方體 B．正四面體C．高是4的圓柱 D．高是5的圓錐三、填空題（本大題共3小題）12．當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.13．(系數(shù)問(wèn)題)在△ABC中，AB=4，AC=3，∠BAC=90，D在邊BC上，延長(zhǎng)AD到P，使得AP=9，若PA=mPB+3214．已知圓O的直徑AB把圓分成上下兩個(gè)半圓，點(diǎn)C，D分別在上、下半圓上（都不與A，B點(diǎn)重合）若，，則.四、解答題（本大題共5小題）15．如圖，設(shè)是平面內(nèi)相交成的兩條射線，分別為同向的單位向量，定義平面坐標(biāo)系為仿射坐標(biāo)系，在仿射坐標(biāo)系中，若，則記.

(1)在仿射坐標(biāo)系中①若，求；②若，且與的夾角為，求；(2)如上圖所示，在仿射坐標(biāo)系中，B，C分別在軸，軸正半軸上，分別為BD，BC中點(diǎn)，求的最大值.16．2024年10月13日，成都市將舉辦馬拉松比賽，其中志愿者的服務(wù)工作是馬拉松成功舉辦的重要保障.成都市文體廣電旅游局承辦了志愿者選拔的面試工作.現(xiàn)隨機(jī)抽取了100名候選者的面試成績(jī)，并分成五組:第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求a的值;（2）估計(jì)這100名候選者面試成績(jī)的平均數(shù)和第百分位數(shù);（3）現(xiàn)從以上各組中用分層隨機(jī)抽樣的方法選取人，擔(dān)任本市的宣傳者.若本市宣傳者中第二組面試者的面試成績(jī)的平均數(shù)和方差分別為和，第四組面試者的面試成績(jī)的平均數(shù)和方差分別為和，請(qǐng)據(jù)此估計(jì)這次第二組和第四組所有面試者的面試成績(jī)的方差.（附：設(shè)兩組數(shù)據(jù)的樣本量、樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：，記兩組數(shù)據(jù)總體的樣本平均數(shù)為，則總體樣本方差）17．如圖，平行六面體的所有棱長(zhǎng)均為2，底面為正方形，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在平面內(nèi).(1)若中點(diǎn)為，求的面積；(2)若平面，求線段長(zhǎng)度的最小值.18．記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若為銳角三角形，，求面積的取值范圍.從①；②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問(wèn)題中并作答.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.19．設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)，時(shí)，解方程；(2)當(dāng)時(shí)，若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若為常數(shù)，在區(qū)間上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案1．【答案】A【詳解】∵，∴.故選A.2．【答案】A【詳解】因?yàn)?，所以?fù)數(shù)的虛部為.故選A3．【答案】B【分析】結(jié)合指數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)特征判斷大小范圍，即可求解.【詳解】因?yàn)闉闇p函數(shù)，所以，所以，因?yàn)闉闇p函數(shù)，，所以，因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，，所以.所以.故選：B4．【答案】C【詳解】對(duì)于A：根據(jù)折線統(tǒng)計(jì)圖，無(wú)法預(yù)測(cè)前十日之后，隨著上映時(shí)間的增加，單日票房一定會(huì)呈現(xiàn)下降趨勢(shì)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：上映前十天的票房極差為（億），故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：上映前十天的票房從小到大排列為、、、、、、、、、，所以上映前十天的票房中位數(shù)為（億），故C正確；對(duì)于D：因?yàn)?，所以上映前十天的票房?0百分位數(shù)為（億），故D錯(cuò)誤.故選C5．【答案】C【分析】根據(jù)題意得三棱錐中，兩兩垂直，且，進(jìn)而三棱錐的外接球即為以為鄰邊的長(zhǎng)方體的外接球，進(jìn)而求解得外接球的半徑與表面積，再根據(jù)等體積法求解內(nèi)切球的半徑，進(jìn)而計(jì)算內(nèi)切球的表面積，最后計(jì)算比值即可得答案.【詳解】解：如圖，依題意知，，，，平面，又平面，所以三棱錐中，兩兩垂直，且，所以三棱錐的外接球即為以為鄰邊的長(zhǎng)方體的外接球，所以三棱錐的外接球半徑滿(mǎn)足，則其外接球的表面積為.因?yàn)槿忮F的表面積為正方形的面積，，設(shè)三棱錐的內(nèi)切球的半徑為，所以由等體積法得，得，所以?xún)?nèi)切球的表面積為所以三棱錐的外接球與內(nèi)切球的表面積之比為故選：C．6．【答案】C【分析】由面面平行的判定與性質(zhì)即可判斷．【詳解】若，，則不一定平行（缺少條件相交）；若，，則，且，故“，且”是“”的必要不充分條件，故選C．7．【答案】B【詳解】由平面直角坐標(biāo)系中，，，可得，則，所以向量在向量上的投影向量為.故選B.8．【答案】A【詳解】等價(jià)于，即等價(jià)于，即等價(jià)于.令，則本題可轉(zhuǎn)化為，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，即，則.又，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.9．【答案】AC【詳解】本題考查基本不等式的應(yīng)用.因?yàn)閤y=x+4y,則(x-4)y=x,當(dāng)x=4時(shí),上式不成立,故x≠4,故y=xx?4=1又x,y為正實(shí)數(shù),則0<1-4x<1,所以x>4,y因?yàn)閤y=x+4y,所以4y2x-y=x(y?1)yx-y=y2-2y=(y-1)2-1,又y>1,所以(因?yàn)閤y=x+4y,且x,y為正實(shí)數(shù),則xy≠0,1=x+4yxy=1y+4x,所以x+y=(x+y)1y+4x=xy+4yx+5≥2x因?yàn)閤+y≥9①,當(dāng)且僅當(dāng)x=6,y=3時(shí)等號(hào)成立,所以(x+y)2≥81,則x2+y2≥12(x+y)2=812②,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=92時(shí)等號(hào)成立,因?yàn)棰佗趦墒降忍?hào)不能同時(shí)取等,所以x2+y2取不到故選AC.10．【答案】ABD【詳解】對(duì)于AB，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，即；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，沒(méi)有最大值，不符合題意，由，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，即；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，沒(méi)有最大值，不符合題意，于是有，因此選項(xiàng)AB正確，對(duì)于CD，兩個(gè)函數(shù)圖像如下圖所示：由數(shù)形結(jié)合思想可知：當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，此時(shí)直線與兩曲線和恰好有三個(gè)交點(diǎn)，不妨設(shè)，且，由，又，又當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，又，又，又當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，，，于是有，且，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，D正確，故選：ABD11．【答案】AC【詳解】由題意得，正三棱柱由截面分成的上部分為正三棱柱，下部分為直四棱柱，高度相等，

如圖，在等邊三角形中，分別為的中點(diǎn)，由相似得與的面積比為，故正三棱柱上、下兩部分的底面積比為，即正三棱上、下兩部分的體積比為，∴，A.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則，得，∴正方體體對(duì)角線為，正方體的外接球半徑為，能放在半徑為3的球體內(nèi)，A正確；B.如圖，在正方體中，由各面對(duì)角線相等可得三棱錐為正四面體，

正四面體的外接球與正方體的外接球相同，由選項(xiàng)A可知體積為的正方體恰好能放在半徑為3的球體內(nèi)，當(dāng)正四面體的體積為，正方體的體積大于，此時(shí)正方體外接球半徑大于，故不能放在半徑為3的球體內(nèi)，B錯(cuò)誤；C.如圖，設(shè)圓柱的底面圓半徑為，外接球半徑為，外接球球心為，則為圓柱上下底面圓心連線的中點(diǎn).

由題意得，，∴，∴，故此圓柱能放在半徑為3的球體，C正確；D.如圖，設(shè)圓錐的底面圓半徑為，外接球半徑為，外接球球心為，則點(diǎn)在圓錐的高上，

由題意得，，∴，由得，，故此圓錐不能放在半徑為3的球體，D錯(cuò)誤.故選AC.12．【答案】【詳解】因，則，又，則，即，因，則，則不等式恒成立，等價(jià)于恒成立.因，則，則.注意到的根為，且，則.故答案為：.13．【答案】0或185【詳解】∵A,D,P三點(diǎn)共線，∴可設(shè)PA=λ∵PA=mPB+32①當(dāng)m=0時(shí)，PA=32PC，C,D重合，此時(shí)②當(dāng)m=32時(shí)，PA=32PB，B,D重合，∵③當(dāng)m≠0且m≠32時(shí)，∵B,D,C三點(diǎn)共線，∴mλ∵AP=9，PA=32∵AD=AC，故取CD的中點(diǎn)為M，連接AM，則AM⊥CD.∴CD=2CM=2ACcos∠ACB=2×3×3∴此時(shí)CD的長(zhǎng)度為18514．【答案】3【詳解】依題意，連接，如圖，因?yàn)槭侵睆剑?，所以，，所?15．【答案】(1)①；②(2)【詳解】（1）①因?yàn)?，所以，②由，得，，，因?yàn)榕c的夾角為，則，得．（2）方法一：依題意設(shè)，，因?yàn)闉锽C中點(diǎn)，，為BD中點(diǎn)，所以，所以，，因?yàn)?，則，在中依據(jù)余弦定理得，所以，代入上式得，.設(shè)，則，令得，得(舍)，所以，則.方法二：依題意設(shè)，，因?yàn)闉锽C中點(diǎn)，則，為BD中點(diǎn)，所以，所以，，因?yàn)?，則，在中依據(jù)余弦定理得，所以，代入上式得，，在中，由正弦定理，設(shè)，，則16．【答案】（1）（2），（3）【詳解】（1）由圖得，解之可得；（2）根據(jù)題意知，，，設(shè)第百分位數(shù)為，所以，，解之可得，故這名候選者面試成績(jī)的平均數(shù)為，第80百分位數(shù)為.（3）設(shè)第二組、第四組所有面試者的面試成績(jī)的平均數(shù)、方差分別為，且兩組的頻率之比為，則第二組和第四組所有面試者的面試成績(jī)的平均數(shù)為，第二組和第四組所有面試者的面試成績(jī)的方差為，則第二組和第四組所有面試者的面試成績(jī)的方差為.17．【答案】(1)1(2)【詳解】（1）連接、、，，，同理，是正方形對(duì)角線AC中點(diǎn)，，且，，即，則，.（2）法一：取中點(diǎn)，連接，，，易得，故四邊形是平行四邊形，，又平面平面，平面，同理，平面平面，平面，且都在面內(nèi)，故平面平面，則點(diǎn)必在上，且當(dāng)時(shí)，長(zhǎng)度最小，，由等面積法得：，解得，故的最小長(zhǎng)度為.法二：取為一組空間基底，則，，平面，，代入整理得，故，動(dòng)點(diǎn)在平面內(nèi)，，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最小值為.法三：由第一問(wèn)知，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，同理，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，設(shè)點(diǎn)，，，即，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最小值為.18．【答案】選擇①，面積的取值范圍為.選擇②，面積的取值范圍為.【分析】選擇①，由正弦定理求出，再根據(jù)三角形面積公式求出面積的表達(dá)式，消去角，得到角三角函數(shù)，利用三角恒等變換化簡(jiǎn)結(jié)合角的范圍求得結(jié)果；選擇②，由正弦定理求出，代入面積公式，消去角，化簡(jiǎn)表達(dá)式結(jié)合角的范圍求得結(jié)果.【詳解】若選擇①，由正弦定理，，同理，所以，又為銳角三角形，，，，解得，所以，即，所以，所以面積的取值范圍為.若選擇②，由正弦定理，，所以，又為銳角三角形，，，，解得，所以，即，所以，所以面積的取值范圍為.19．【答案】(1)或(2)(3)答案見(jiàn)解析【詳解】（1）當(dāng)，時(shí)，，所以，即或，解得或，即或；（2）當(dāng)時(shí)，，所以不等式在上恒成立，即