第五章一元一次方程（B卷·培優(yōu)卷）考試時(shí)間：60分鐘，滿分：100分一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）1．（3分）下列方程中，是一元一次方程的是（）A．x2＝16 B．x﹣7＝3 C．1x-2=6 D．x+y【分析】只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)是1的整式方程是一元一次方程據(jù)此解答即可．【詳解】解：A、未知數(shù)的次數(shù)是2，不是一元一次方程，不符合題意；B、是一元一次方程，符合題意；C、不是整式方程，不是一元一次方程，不符合題意；D、含有三個(gè)未知數(shù)，不是一元一次方程，不符合題意；故選：B．2．（3分）方程1-2A．1﹣4（2x﹣4）＝﹣（x﹣7） B．12﹣4（2x﹣4）＝﹣x﹣7 C．12﹣4（2x﹣4）＝﹣（x﹣7） D．4﹣4（2x﹣4）＝﹣x+7【分析】等式的兩邊同時(shí)乘或除以同一個(gè)數(shù)（0除外），等式的兩邊仍然相等，特別要注意方程兩邊的每一項(xiàng)都要乘或除以同一個(gè)數(shù)（0除外）．將方程兩邊的每一項(xiàng)都乘以12即可．【詳解】解：1-2方程兩邊同時(shí)乘以12，得：12﹣4（2x﹣4）＝﹣（x﹣7），故選：C．3．（3分）解方程x-A．2x﹣（3x+1）＝2 B．2x﹣3x+1＝2 C．2x﹣（3x+1）＝1 D．2x﹣3x+1＝1【分析】將方程兩邊同時(shí)乘2即可．【詳解】解：方程兩邊同時(shí)乘2，得2x﹣（3x+1）＝2．故選：A．4．（3分）如果a＝b，那么下列說法正確的是（）A．a(chǎn)+2＝b﹣1 B．a(chǎn)c＝bc C．2a﹣1＝2（b﹣1） D．1【分析】根據(jù)等式的兩邊同時(shí)加上（或減去）同一個(gè)數(shù)（或式），等式仍成立；等式的兩邊同時(shí)乘以同一個(gè)數(shù)，或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，等式仍成立，逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、如果a＝b，那么a+2＝b+2≠b﹣1，本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B、如果a＝b，那么ac＝bc，本選項(xiàng)正確，符合題意；C、如果a＝b，那么2a﹣1＝2b﹣1≠2（b﹣1），本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D、如果a＝b，那么13故選：B．5．（3分）盒子里有黑、白兩種棋子，先放入一些白棋子，這樣使得盒子中黑、白棋子的比是2：5，然后又放入一些黑棋子，這樣使得盒子中的黑、白棋子的比是3：5．如果放入的黑棋子和白棋子的數(shù)量比是3：7，那么原來盒子中黑、白棋子的數(shù)量之比是（）A．6：5 B．5：6 C．4：3 D．3：4【分析】設(shè)原來盒子中黑棋子有x個(gè)，白棋子有y個(gè)，第一次放入白棋子，黑棋子不變，所以這時(shí)白棋子有52x個(gè)，放入了（52x﹣y）個(gè)白棋子；同理，第二次放入黑棋子，白棋子不變，所以這時(shí)黑棋子有52x×35個(gè)，放入了（【詳解】解：設(shè)原來盒子中黑棋子有x個(gè)，白棋子有y個(gè)，根據(jù)題意得，(5整理得：3y＝4x，所以，x：y＝3：4．答：原來盒子中黑白棋子的數(shù)量之比是3：4．故選：D．6．（3分）把9個(gè)數(shù)填入3×3的方格中，使其任意一行，任意一列及兩條對(duì)角線上的數(shù)之和都相等，這樣便構(gòu)成了一個(gè)“九宮格”．它源于我國古代的“洛書”（圖1），是世界上最早的“幻方”．圖2是僅可以看到部分?jǐn)?shù)值的“九宮格”，則其中a的值為（）A．2 B．4 C．6 D．1【分析】根據(jù)題意設(shè)左邊中間位置為b，左上為c．求出“九宮格”中的b、c，再求出a即可求解．【詳解】解：如圖，依題意可得2+5+8＝3+5+b，解得b＝7．∴2+5+8＝2+7+c，解得c＝6．∴2+5+8＝6+8+a，解得a＝1．故選：D．7．（3分）如圖，在周長為18m的長方形窗戶上釘一塊寬為3m的長方形遮陽布，使透光部分正好是一正方形，則釘好后透光面積為（）A．4m2 B．25m2 C．16m2 D．9m2【分析】設(shè)長方形窗戶的長為xm，則寬為（9﹣x）m，根據(jù)題意可得方程x﹣3＝9﹣x，解方程即可得到答案．【詳解】解：設(shè)長方形窗戶的長為xm，則寬為182由題意得，x﹣3＝9﹣x，解得x＝6，∴長方形窗戶的寬為9﹣x＝3m，∴釘好后透光面積為3×3＝9m2，故選：D．8．（3分）一列長280m的列車過一座長1000m的橋，當(dāng)列車剛上橋頭時(shí)，車尾站著1個(gè)人，直到列車尾那個(gè)人離開橋尾為止共用64s，則列車的速度為（）A．15m/s B．24m/s C．20m/s D．25m/s【分析】設(shè)列車的速度為xm/s，由題意：一列長280m的列車過一座長1000m的橋，當(dāng)列車剛上橋頭時(shí)，車尾站著1個(gè)人，直到列車尾那個(gè)人離開橋尾為止共用64s，列出一元一次方程，解方程即可．【詳解】解：設(shè)列車的速度為xm/s，由題意得：64x＝1000+280，解得：x＝20，即列車的速度為20m/s，故選：C．二．填空題（共5小題，滿分15分，每小題3分）9．（3分）若方程（a﹣1）xa﹣1+3＝0是一元一次方程，則a＝2．x＝﹣3．【分析】根據(jù)一元一次方程定義可得a﹣1＝1，且a﹣1≠0，解得a的值，代入方程（a﹣1）xa﹣1+3＝0，再解方程可得x的值．【詳解】解：由題意得：a﹣1＝1，且a﹣1≠0，解得：a＝2，方程為x+3＝0，解得：x＝﹣3，故答案為：2；﹣3．10．（3分）矩形ABCD被分成6個(gè)正方形，其中最小的正方形邊長為1，則矩形ABCD的面積為143．【分析】可設(shè)左下角的正方形的邊長為未知數(shù)，表示出其余正方形的邊長，根據(jù)最大正方形邊長的兩種表示方法相等可得未知數(shù)的值，進(jìn)而得到矩形的邊長，相乘即可．【詳解】解：∵最小正方形的面積等于1，∴最小正方形的邊長為1，設(shè)左下角的正方形的邊長為x．∴BC＝x+1+（x+2）＝2x+3，AB＝2x+（x+1）＝3x+1，∵最大正方形邊長可表示為2x﹣1，也可表示為x+3，∴2x﹣1＝x+3，解得：x＝4，∴AB＝13，BC＝11，∴矩形的面積為11×13＝143．故答案為：143．11．（3分）對(duì)于非零的兩個(gè)有理數(shù)a、b，規(guī)定a?b＝b-1a，若1?（2x+1）＝1，則x的值為1【分析】已知等式利用題中的新定義化簡，求出解即可得到x的值．【詳解】解：根據(jù)題中的新定義化簡得：2x+1﹣1＝1，解得：x=1故答案為：112．（3分）我們用＜a＞表示不小于a的最小整數(shù)，例如：＜2.5＞＝3，＜4＞＝4，＜﹣1.5＞＝﹣1．若＜x+32＞=1，則x的取值范圍是﹣3＜【分析】因?yàn)椋糰＞表示不小于a的最小整數(shù)，所以＜x+32＞=1【詳解】解：∵＜a＞表示不小于a的最小整數(shù)，∴＜x+30＜x+3解得：﹣3＜x≤﹣1．故答案為：﹣3＜x≤﹣1．13．（3分）如圖，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝10cm，AC＝5cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始以2cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始以3cm/s的速度沿C→A→B的方向移動(dòng)．如果點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，P點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，P，Q兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)，移動(dòng)時(shí)間用t（s）表示．（1）當(dāng)點(diǎn)Q在AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，AQ＝（5﹣3t）cm（用含t的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)QA＝AP時(shí)，t＝1或5．【分析】（1）由題意得當(dāng)點(diǎn)Q在AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，CQ＝3tcm，即可得出結(jié)論；（2）分兩種情況，①當(dāng)點(diǎn)Q在AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)Q在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，分別根據(jù)QA＝AP列出一元一次方程，解方程即可．【詳解】解：（1）∵點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始以3cm/s的速度沿C→A→B的方向移動(dòng)，移動(dòng)時(shí)間用t（s）表示，∴當(dāng)點(diǎn)Q在AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，CQ＝3tcm，∴AQ＝AC﹣CQ＝（5﹣3t）（cm），故答案為：（5﹣3t）cm；（2）分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)Q在AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，QA＝AP，即5﹣3t＝2t，解得：t＝1；②當(dāng)點(diǎn)Q在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，QA＝AP，即3t﹣5＝2t，解得：t＝5，此時(shí)P點(diǎn)與Q點(diǎn)同時(shí)到達(dá)B點(diǎn)；綜上所述，t的值為1或5，故答案為：1或5．三．解答題（共7小題，滿分61分）14．（8分）2024年7月27日至8月12日在法國巴黎召開奧運(yùn)會(huì)，共產(chǎn)生324枚金牌．每枚金牌重529克，其中所含的黃金質(zhì)量與金牌總質(zhì)量的比為3：264.5，求本次奧運(yùn)會(huì)做金牌需要的黃金共多少克？【分析】設(shè)做一枚金牌需要3x克黃金，則一枚金牌的質(zhì)量為264.5x克，于是列方程得264.5x＝529，求得x＝2，再求出做324枚金牌所需黃金的總質(zhì)量即可．【詳解】解：設(shè)做一枚金牌需要3x克黃金，根據(jù)題意得264.5x＝529，解得x＝2，∴3×2×324＝1944（克），答：本次奧運(yùn)會(huì)做金牌需要的黃金共1944克．15．（8分）一艘船從甲碼頭順流而行，用了3小時(shí)到達(dá)乙碼頭，該船從乙碼頭返回甲碼頭逆流而行，用了5小時(shí)，已知水流速度是3千米/小時(shí)，求船在靜水中的速度．【分析】設(shè)船在靜水中的速度是x千米/小時(shí)，根據(jù)順流而行和逆流而行的路程相等，列出一元一次方程，解方程即可．【詳解】解：設(shè)船在靜水中的速度是x千米/小時(shí)，由題意得：3（x+3）＝5（x﹣3），解得：x＝12，答：船在靜水中的速度為12千米/小時(shí)．16．（8分）《烏鴉喝水》的故事我們都聽過，聰明的烏鴉銜來一個(gè)個(gè)小石子放入瓶中，水位上升后，喝到了水．根據(jù)圖中給出的信息，解答下列問題：（1）放入一個(gè)小球水面升高2cm，放入一個(gè)大球水面上升5cm．（2）如果放入10個(gè)球且使水面恰好上升到52厘米，應(yīng)放入大球多少個(gè)．【分析】（1）根據(jù)題意列式即可；（2）根據(jù)題意設(shè)放入大球x個(gè)，則放入小球（10﹣x）個(gè)，列一元一次方程即可．【詳解】解：（1）解：根據(jù)題意得：（32﹣26）÷3＝2（cm），（32﹣26）÷2＝3（cm），放入一個(gè)小球水面升高2cm，放入一個(gè)大球水面上升3cm．故答案為：2，3；（2）設(shè)放入大球x個(gè)，則放入小球（10﹣x）個(gè)，根據(jù)題意得，2（10﹣x）+3x＝52﹣26，解得：x＝6，答：應(yīng)放入大球6個(gè)．17．（9分）定義一種新運(yùn)算“△”，其規(guī)則為x△y＝xy﹣x+y．例如：3△2＝3×2﹣3+2＝5．（1）計(jì)算4△5的值；（2）若（2m）△3＝m△4，求m的值；（3）有理數(shù)的加法和乘法運(yùn)算都滿足交換律，即a+b＝b+a，ab＝ba．新運(yùn)算“△”是否滿足交換律？請(qǐng)說明理由．【分析】（1）根據(jù)題中的新定義計(jì)算即可求解；（2）已知等式利用題中的新定義可得關(guān)于m的一元一次方程，解方程即可；（3）根據(jù)題中的新定義可知“△”運(yùn)算不滿足交換律，舉例說明即可．【詳解】解：（1）4△5＝4×5﹣4+5＝21；（2）（2m）△3＝m△4，故6m﹣2m+3＝4m﹣m+4，解得：m＝1；（3）“△”運(yùn)算不滿足交換律，舉例如下：2△3＝2×3﹣2+3＝7，3△2＝3×2﹣3+2＝5，故2△3≠3△2．18．（9分）我國古代名著《張邱建算經(jīng)》中記載：“今有清酒一斗直粟八斗，醐酒一斗直粟二斗，今持粟兩斛，得酒四斗，問清、醐酒各幾何？”大意：現(xiàn)在一斗清酒價(jià)值8斗谷子，一斗翻酒價(jià)值2斗谷子，現(xiàn)在拿20斗谷子，共換了4斗酒，問清酒、醐酒各幾斗？【分析】設(shè)清酒x斗，則醐酒有（4﹣x）斗．根據(jù)“拿20斗谷子，共換了4斗酒”，即可得出關(guān)于x的方程，解之可得答案．【詳解】解：設(shè)清酒有x斗，則醐酒有（4﹣x）斗．根據(jù)題意，得8x+2（4﹣x）＝20，∴4﹣x＝2．答：清酒2斗，醐酒有2斗．19．（9分）某超市第一次用7000元購進(jìn)甲、乙兩種商品，其中甲商品的件數(shù)是乙商品件數(shù)的2倍，甲、乙兩種商品的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如表：甲乙進(jìn)價(jià)（元/件）4060售價(jià)（元/件）5080（1）該超市第一次購進(jìn)的甲、乙兩種商品各多少件？（2）該超市第一次購進(jìn)的甲、乙兩種商品售完后，第二次又以第一次的進(jìn)價(jià)購進(jìn)甲、乙兩種商品，其中甲商品的件數(shù)不變，乙商品的件數(shù)是第一次的3倍：甲商品按原價(jià)銷售，乙商品打折銷售，第二次兩種商品都售完以后獲得的總利潤比第一次獲得的總利潤少400元，求第二次乙商品是按原價(jià)打幾折銷售？【分析】（1）設(shè)第一次購進(jìn)乙種商品x件，則購進(jìn)甲種商品2x件，根據(jù)第一次用7000元購進(jìn)甲、乙兩種商品，列出一元一次方程，解方程即可；（2）設(shè)第二次乙種商品是按原價(jià)打y折銷售，根據(jù)第二次兩種商品都售完以后獲得的總利潤比第一次獲得的總利潤少400元，列出一元一次方程，解方程即可．【詳解】解：（1）設(shè)第一次購進(jìn)乙種商品x件，則購進(jìn)甲種商品2x件，根據(jù)題意得：40×2x+60x＝7000，解得：x＝50，∴2x＝2×50＝100，答：該超市第一次購進(jìn)甲種商品100件，乙種商品50件；（2）第一次獲得的總利潤為：（50﹣40）×100+（80﹣60）×50＝2000（元），設(shè)第二次乙種商品是按原價(jià)打y折銷售，根據(jù)題意得：（50﹣40）×100+（80×0.1y﹣60）×50×3＝2000﹣400，解得：y＝8，答：第二次乙商品是按原價(jià)打8折銷售．20．（10分）閱讀材料：在數(shù)軸上A點(diǎn)所表示的數(shù)為a，B點(diǎn)所表示的數(shù)為b，則點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離記為AB．線段AB的長可以用右邊的數(shù)減去左邊的數(shù)，即AB＝b﹣a．請(qǐng)用上面的知識(shí)解決下面的問題：已知：數(shù)軸上點(diǎn)A，C對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為a，c，且滿足|a+7|+|c﹣2|＝0，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)為﹣3﹒（1）a＝﹣7，c＝2．（2）若在數(shù)軸上有兩動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A，B同時(shí)出發(fā)向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P的速度為2個(gè)單位長度/秒，點(diǎn)Q的速度為1個(gè)單位長度/秒，求經(jīng)過多長時(shí)間P，Q兩點(diǎn)的距離為3．（3）若在數(shù)軸上找一個(gè)點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到點(diǎn)A和點(diǎn)C的距離之和為15，請(qǐng)求出點(diǎn)P所對(duì)應(yīng)的值．【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性，即可確定a，c的