專升本證明題真題及答案

一、單項選擇題1.設函數$f(x)$在點$x_0$處可導，且$f^\prime(x_0)=2$，則$\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=$（）A.0B.1C.2D.4答案：C2.若函數$y=f(x)$滿足$f^\prime(x)\gt0$，則函數$y=f(x)$在其定義域內（）A.單調遞增B.單調遞減C.先增后減D.先減后增答案：A3.函數$f(x)=x^3-3x$的駐點為（）A.$x=1$B.$x=-1$C.$x=\pm1$D.$x=0$答案：C4.若$\intf(x)dx=F(x)+C$，則$\intf(ax+b)dx=$（）（$a\neq0$）A.$\frac{1}{a}F(ax+b)+C$B.$aF(ax+b)+C$C.$F(ax+b)+C$D.$\frac{1}{a}F(x)+C$答案：A5.定積分$\int_{-1}^{1}x^3dx=$（）A.0B.1C.2D.4答案：A6.向量$\vec{a}=(1,-2,3)$與向量$\vec=(2,k,6)$平行，則$k=$（）A.-4B.4C.-2D.2答案：A7.平面$2x-y+3z-1=0$的法向量為（）A.$(2,-1,3)$B.$(2,1,3)$C.$(-2,-1,3)$D.$(2,-1,-3)$答案：A8.函數$z=x^2+y^2$在點$(1,1)$處的全微分$dz=$（）A.$2dx+2dy$B.$dx+dy$C.$4dx+4dy$D.$2dx+dy$答案：A9.冪級數$\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$的收斂半徑為（）A.0B.1C.+∞D.2答案：C10.微分方程$y^\prime+2y=0$的通解為（）A.$y=Ce^{2x}$B.$y=Ce^{-2x}$C.$y=Cxe^{-2x}$D.$y=Cxe^{2x}$答案：B二、多項選擇題1.下列函數中，在其定義域內連續(xù)的有（）A.$y=\frac{1}{x}$B.$y=\sinx$C.$y=e^x$D.$y=\sqrt{x}$答案：BCD2.下列求導公式正確的有（）A.$(x^n)^\prime=nx^{n-1}$B.$(\sinx)^\prime=\cosx$C.$(\lnx)^\prime=\frac{1}{x}$D.$(e^x)^\prime=e^x$答案：ABCD3.函數$f(x)$在閉區(qū)間$[a,b]$上滿足羅爾定理的條件，則在$(a,b)$內至少存在一點$\xi$，使得（）A.$f^\prime(\xi)=0$B.$f(b)-f(a)=f^\prime(\xi)(b-a)$C.$f^{\prime\prime}(\xi)=0$D.函數$f(x)$在$\xi$處取得極值答案：AD4.下列積分中，值為0的有（）A.$\int_{-\pi}^{\pi}\sinxdx$B.$\int_{-1}^{1}x^2dx$C.$\int_{-\pi}^{\pi}\cosxdx$D.$\int_{-1}^{1}x^3dx$答案：AD5.向量$\vec{a}=(1,2,-1)$與向量$\vec=(-1,k,1)$垂直，則$k$的值可以是（）A.0B.1C.-1D.2答案：A6.對于平面方程$Ax+By+Cz+D=0$，下列說法正確的是（）A.當$A=0$時，平面平行于$x$軸B.當$B=0$時，平面平行于$y$軸C.當$C=0$時，平面平行于$z$軸D.當$D=0$時，平面過原點答案：ABCD7.函數$z=f(x,y)$在點$(x_0,y_0)$處可微的充分條件有（）A.函數$z=f(x,y)$在點$(x_0,y_0)$處偏導數連續(xù)B.函數$z=f(x,y)$在點$(x_0,y_0)$處兩個偏導數都存在C.函數$z=f(x,y)$在點$(x_0,y_0)$處連續(xù)D.函數$z=f(x,y)$在點$(x_0,y_0)$處沿任意方向的方向導數都存在答案：A8.冪級數$\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n$的收斂情況有（）A.僅在$x=x_0$處收斂B.在整個數軸上都收斂C.存在一個正數$R$，在$(x_0-R,x_0+R)$內收斂D.在$(x_0-R,x_0+R]$內收斂答案：ABC9.下列微分方程中，屬于一階線性微分方程的有（）A.$y^\prime+xy=e^x$B.$y^{\prime\prime}+y^\prime+y=0$C.$y^\prime+\frac{1}{x}y=\sinx$D.$y^\prime=y^2+x$答案：AC10.下列函數中，是周期函數的有（）A.$y=\sinx$B.$y=\cos2x$C.$y=x^2$D.$y=\tanx$答案：ABD三、判斷題1.若函數$f(x)$在點$x_0$處極限存在，則$f(x)$在點$x_0$處一定連續(xù)。（）答案：錯誤2.函數$f(x)$在區(qū)間$(a,b)$內的極大值一定大于極小值。（）答案：錯誤3.$\int_{a}^f(x)dx=\int_{a}^f(t)dt$。（）答案：正確4.若向量$\vec{a}$與向量$\vec$的數量積為0，則$\vec{a}$與$\vec$一定垂直。（）答案：正確5.平面$x+y+z=0$與平面$x-y+z=0$相互垂直。（）答案：錯誤6.函數$z=f(x,y)$在點$(x_0,y_0)$處的偏導數$f_x(x_0,y_0)$就是函數$z=f(x,y_0)$在$x=x_0$處的導數。（）答案：正確7.冪級數的和函數在其收斂區(qū)間內一定可導。（）答案：正確8.微分方程$y^\prime=y$的通解是$y=Ce^x$（$C$為任意常數）。（）答案：正確9.函數$y=\lnx$在其定義域內是單調遞增函數。（）答案：正確10.若函數$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上可積，則$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上一定連續(xù)。（）答案：錯誤四、簡答題1.簡述函數$f(x)$在點$x_0$處可導與連續(xù)的關系。答案：函數$f(x)$在點$x_0$處可導，則一定在該點連續(xù)。因為可導的定義$\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$存在，那么$\lim\limits_{h\to0}[f(x_0+h)-f(x_0)]=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\cdoth=0$，即$\lim\limits_{h\to0}f(x_0+h)=f(x_0)$，滿足連續(xù)的定義。但反之，函數在某點連續(xù)不一定可導，比如$y=|x|$在$x=0$處連續(xù)但不可導。2.簡述定積分與不定積分的聯系與區(qū)別。答案：聯系：若$F(x)$是$f(x)$的一個原函數，則$\int_{a}^f(x)dx=F(b)-F(a)$，即定積分的值可以通過不定積分求出原函數后計算。區(qū)別：不定積分$\intf(x)dx=F(x)+C$表示的是$f(x)$的原函數的全體，結果是函數族；而定積分$\int_{a}^f(x)dx$是一個數值，它是通過分割、近似代替、求和、取極限得到的，與積分區(qū)間有關。3.簡述二元函數$z=f(x,y)$在點$(x_0,y_0)$處偏導數的幾何意義。答案：偏導數$f_x(x_0,y_0)$的幾何意義是：曲線$\begin{cases}z=f(x,y)\\y=y_0\end{cases}$在點$(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$處的切線對$x$軸的斜率；偏導數$f_y(x_0,y_0)$的幾何意義是：曲線$\begin{cases}z=f(x,y)\\x=x_0\end{cases}$在點$(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$處的切線對$y$軸的斜率。4.簡述求解一階線性非齊次微分方程$y^\prime+P(x)y=Q(x)$的步驟。答案：先求對應的齊次方程$y^\prime+P(x)y=0$的通解，分離變量得$\frac{dy}{y}=-P(x)dx$，兩邊積分得$\ln|y|=-\intP(x)dx+C_1$，即齊次方程通解$y=Ce^{-\intP(x)dx}$。再用常數變易法，設非齊次方程通解為$y=C(x)e^{-\intP(x)dx}$，代入非齊次方程求出$C(x)$，積分得$C(x)=\intQ(x)e^{\intP(x)dx}dx+C$，則非齊次方程通解為$y=e^{-\intP(x)dx}[\intQ(x)e^{\intP(x)dx}dx+C]$。五、討論題1.討論函數$f(x)=x^3-3x^2+1$的單調性、極值。答案：先求導$f^\prime(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$。令$f^\prime(x)=0$，得$x=0$和$x=2$。當$x\lt0$時，$f^\prime(x)\gt0$，函數$f(x)$單調遞增；當$0\ltx\lt2$時，$f^\prime(x)\lt0$，函數$f(x)$單調遞減；當$x\gt2$時，$f^\prime(x)\gt0$，函數$f(x)$單調遞增。所以$x=0$為極大值點，極大值$f(0)=1$；$x=2$為極小值點，極小值$f(2)=2^3-3\times2^2+1=-3$。2.討論平面$2x-y+z-1=0$與直線$\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-2}{1}$的位置關系。答案：直線的方向向量$\vec{s}=(1,-1,1)$，平面的法向量$\vec{n}=(2,-1,1)$。計算$\vec{s}\cdot\vec{n}=1\times2+(-1)\times(-1)+1\times1=4\neq0$，說明直線與平面不平行。再將直線上一點$(1,-1,2)$代入平面方程左邊得$2\times1-(-1)+2-1=4\neq0$，該點不在平面內，所以直線與平面相交。3.討論冪級數$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(x-1)^n}{n}$的收斂域。答案：令$t=x-1$，則冪級數變?yōu)?\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{t^n}{n}$。求其收斂半徑$R$，由公式$R=\lim\limits_{n\to\infty}|\frac{a_n}{a_{n+1}}|$，這里$a_n=\frac{1}{n}$，$a_{n+1}=\frac{1}{n+1}$，則$R=\lim\limits_{n\to\infty}|\frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n+1}}|=1$。當$t=1$時，級數為$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$，是調和級數，發(fā)散；當$t=-1$時，級數為$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}$，是交錯級數，滿足萊布尼茨定理，收斂。所以$-1\leqt\lt1$