第五章曲線擬合與函數(shù)插值1引言

函數(shù)逼近概述2

3已知：通過觀察、測(cè)量或?qū)嶒?yàn)得到的一些離散點(diǎn)上的函數(shù)值。思路：利用已知數(shù)據(jù)構(gòu)造一個(gè)簡單函數(shù)，近似代替原來的函數(shù)。方法：擬合、插值4例：研究一天當(dāng)中氣溫隨著時(shí)間變化的規(guī)律。時(shí)刻6789101112131415161718溫度236911151719181410745例：研究一天當(dāng)中氣溫隨著時(shí)間變化的規(guī)律。時(shí)刻6789101112131415161718溫度236911151719181410746例：研究一天當(dāng)中氣溫隨著時(shí)間變化的規(guī)律。7例：研究一天當(dāng)中氣溫隨著時(shí)間變化的規(guī)律。8例：研究一天當(dāng)中氣溫隨著時(shí)間變化的規(guī)律。9例：研究一天當(dāng)中氣溫隨著時(shí)間變化的規(guī)律。10例：研究一天當(dāng)中氣溫隨著時(shí)間變化的規(guī)律。11例：研究一天當(dāng)中氣溫隨著時(shí)間變化的規(guī)律。12擬合：構(gòu)造一個(gè)簡單函數(shù)，它表示的曲線與所有給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)在整體上相合的比較好。插值：構(gòu)造一個(gè)簡單函數(shù)，它表示的曲線通過所有給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)。函數(shù)逼近問題的兩種方法：本章內(nèi)容13曲線擬合：函數(shù)插值：Lagrange插值、差商與Newton插值、差分與等距節(jié)點(diǎn)插值、Hermite插值、分段低次多項(xiàng)式插值、三次樣條插值最小二乘法、最小二乘擬合多項(xiàng)式、超定方程組5.1曲線擬合的最小二乘法（1）曲紹波145.1.1

最小二乘法實(shí)例分析15

未知：模型當(dāng)中的某些參數(shù)任務(wù)：利用觀測(cè)得到的數(shù)據(jù)確定模型中的未知參數(shù)影響因素：誤差解決方法：進(jìn)行多次觀測(cè)帶來的問題：數(shù)據(jù)點(diǎn)個(gè)數(shù)遠(yuǎn)多于必要的數(shù)量解決方法：最小二乘法

161505.526556.152515.637566.283525.758576.464535.889586.605546.0310596.72表1我國20世紀(jì)50年代人口數(shù)量數(shù)據(jù)

17選擇模型的依據(jù)：問題背景、理論分析、工程實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)、繪圖等18圖1人口數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖19圖1人口數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖

20

21

22

取最小值。由多元函數(shù)取得極值的必要條件，有23

整理，得如下線性方程組

經(jīng)過計(jì)算，可得24

其誤差為注意：通過使誤差的平方和達(dá)到最小來確定待定參數(shù)，從而得到近似函數(shù)的方法，就是通常所說的最小二乘法。一般情形：25

取最小值。26

27歷史探究：最小二乘法最早是由高斯提出的，他用這種方法確定了某些行星和彗星的天體軌跡。這類天體的軌跡由5個(gè)參數(shù)確定理論上，只要對(duì)天體的位置作5次觀測(cè)就足以確定它的軌跡。但由于誤差的存在，要進(jìn)行多次觀測(cè)。

5.1曲線擬合的最小二乘法（2）曲紹波2829線性最小二乘問題：

的擬合函數(shù)，使得誤差的平方和

5.1.2

最小二乘擬合多項(xiàng)式

30

使

31

于是，得到方程組

整理，得32引入記號(hào)

則上述方程組可以寫成

(1)方程組(1)稱為正規(guī)方程組或法方程。

正規(guī)方程組的矩陣形式為33

(2)

多項(xiàng)式擬合的一般步驟：34

（4）寫出最小二乘擬合多項(xiàng)式。

例1假定有下列的測(cè)量數(shù)據(jù),求這組數(shù)據(jù)的擬合曲線。350.00.51.01.52.02.53.03.54.04.55.02.92.74.85.37.17.67.77.69.49.09.65.56.06.57.07.58.08.59.09.510.010.010.29.78.38.49.08.36.66.74.1例1假定有下列的測(cè)量數(shù)據(jù),求這組數(shù)據(jù)的擬合曲線。360.00.51.01.52.02.53.03.54.04.55.02.92.74.85.37.17.67.77.69.49.09.65.56.06.57.07.58.08.59.09.510.010.010.29.78.38.49.08.36.66.74.1例1假定有下列的測(cè)量數(shù)據(jù),求這組數(shù)據(jù)的擬合曲線。370.00.51.01.52.02.53.03.54.04.55.02.92.74.85.37.17.67.77.69.49.09.65.56.06.57.07.58.08.59.09.510.010.010.29.78.38.49.08.36.66.74.1例1假定有下列的測(cè)量數(shù)據(jù),求這組數(shù)據(jù)的擬合曲線。380.00.51.01.52.02.53.03.54.04.55.02.92.74.85.37.17.67.77.69.49.09.65.56.06.57.07.58.08.59.09.510.010.010.29.78.38.49.08.36.66.74.1

例1假定有下列的測(cè)量數(shù)據(jù),求這組數(shù)據(jù)的擬合曲線。390.00.51.01.52.02.53.03.54.04.55.02.92.74.85.37.17.67.77.69.49.09.65.56.06.57.07.58.08.59.09.510.010.010.29.78.38.49.08.36.66.74.1解：于是正規(guī)方程組為

正規(guī)方程組的另一種表示形式：40

則41

且42

于是正規(guī)方程組可以寫成

加權(quán)誤差平方和：43可以在各個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)處引入權(quán)重以表明其重要程度，這時(shí)，誤差的平方和表示為如下形式

5.1曲線擬合的最小二乘法（3）曲紹波44示例：用函數(shù)45

5.1.3

可轉(zhuǎn)換為多項(xiàng)式形式的擬合函數(shù)

(1)在（1）式的兩端取對(duì)數(shù)，得

(2)46表1可化為多項(xiàng)式形式的擬合函數(shù)及其變換關(guān)系擬合函數(shù)變換關(guān)系變換后的擬合多項(xiàng)式47例1人口模型——研究人口的變化規(guī)律（1）指數(shù)增長模型（Malthus人口模型）

(3)解得

48問題：利用指數(shù)增長模型，擬合給出的美國人口數(shù)據(jù)。年份年份17903.9190076.018005.3191092.018107.21920105.718209.61930122.8183012.91940131.7184017.11950150.7185023.21960179.3186031.41970203.2187038.61980226.5188050.21990248.7189062.92000281.4表2美國人口數(shù)據(jù)（單位：百萬）49問題：利用指數(shù)增長模型，擬合給出的美國人口數(shù)據(jù)。50問題：利用指數(shù)增長模型，擬合給出的美國人口數(shù)據(jù)。

解：指數(shù)增長模型取對(duì)數(shù)，得

年份年份17903.91.36190076.04.3318005.31.67191092.04.5218107.21.971920105.74.6618209.62.261930122.84.81183012.92.561940131.74.88184017.12.841950150.75.02185023.23.141960179.35.19186031.43.451970203.25.31187038.63.651980226.55.42188050.23.921990248.75.52189062.94.142000281.45.6451

因此得正規(guī)方程組

52

指數(shù)增長模型53

指數(shù)增長模型年份指數(shù)增長模型（1）年份指數(shù)增長模型（1）17903.96.0190076.055.818005.37.4191092.068.318107.29.11920105.783.618209.611.11930122.8102.3183012.913.61940131.7125.2184017.116.61950150.7153.3185023.220.31960179.3187.6186031.424.91970203.2229.6187038.630.41980226.5281.0188050.237.31990248.7343.8189062.945.62000281.4420.8誤差平方和

54例1人口模型——研究人口的變化規(guī)律（2）改進(jìn)的指數(shù)增長模型

指數(shù)模型改寫為

解得

55

解：改進(jìn)的指數(shù)增長模型取對(duì)數(shù)，得

年份年份17903.91.36190076.04.3318005.31.67191092.04.5218107.21.971920105.74.6618209.62.261930122.84.81183012.92.561940131.74.88184017.12.841950150.75.02185023.23.141960179.35.19186031.43.451970203.25.31187038.63.651980226.55.42188050.23.921990248.75.52189062.94.142000281.45.64

得56

因此得正規(guī)方程組

57

改進(jìn)的指數(shù)增長模型58

年份指數(shù)增長模型（1）指數(shù)增長模型（2）年份指數(shù)增長模型（1）指數(shù)增長模型（2）17903.96.03.8190076.055.873.018005.37.45.3191092.068.388.118107.29.17.31920105.783.6105.018209.611.110.01930122.8102.3123.4183012.913.613.41940131.7125.2143.2184017.116.617.81950150.7153.3163.9185023.220.323.21960179.3187.6185.1186031.424.930.01970203.2229.6206.2187038.630.438.21980226.5281.0226.8188050.237.348.11990248.7343.8246.0189062.945.659.62000281.4420.8263.359例1人口模型——研究人口的變化規(guī)律（3）Logistic人口模型

60由此導(dǎo)出的增長率函數(shù)為

解得

該模型稱為Logistic模型。61

62Logistic模型

達(dá)到最小。采用非線性最小二乘法計(jì)算得到

63Logistic模型

64

年份指數(shù)增長模型（1）指數(shù)增長模型（2）Logistic模型年份指數(shù)增長模型（1）指數(shù)增長模型（2）Logistic模型17903.96.03.87.7190076.055.873.070.518005.37.45.39.5191092.068.388.184.318107.29.17.311.71920105.783.6105.0100.018209.611.110.014.51930122.8102.3123.4117.6183012.913.613.417.81940131.7125.2143.2137.2184017.116.617.821.91950150.7153.3163.9158.4185023.220.323.226.81960179.3187.6185.1181.0186031.424.930.032.81970203.2229.6206.2204.4187038.630.438.240.01980226.5281.0226.8228.3188050.237.348.148.51990248.7343.8246.0252.0189062.945.659.658.62000281.4420.8263.3275.165考慮更多因素：如年齡結(jié)構(gòu)等建立人口模型的重要意義：我國是人口大國，建立數(shù)學(xué)模型描述人口發(fā)展規(guī)律，做出較為準(zhǔn)確的增長預(yù)測(cè)，是制定積極、穩(wěn)妥的人口政策的重要前提。5.1曲線擬合的最小二乘法（4）曲紹波6667超定方程組的提出：

5.1.4

超定方程組

（1）

68

（2）超定方程組一般沒有精確解，可以用最小二乘法的原理尋找方程組的近似解。超定方程組的求解：69

設(shè)有超定方程組70

依據(jù)最小二乘法，考慮誤差的平方和整理，得

（3）

71

正規(guī)方程組的矩陣形式為

（4）72

0.10.1180.20.1310.30.1520.40.1620.50.1800.60.1920.70.2060.80.228

73

（5）74

于是得到正規(guī)方程組

75最小二乘法的幾何解釋：

稱

76

即

77正規(guī)方程組的求解：

78正交矩陣：

性質(zhì)：正交變換不改變向量的歐氏范數(shù)

解決方法：尋找一種數(shù)值穩(wěn)定的變換類型，產(chǎn)生一個(gè)與原最小二乘問題同解的問題。這里，三角形式是簡化最小二乘問題的合適目標(biāo)。79

設(shè)有超定方程組

這個(gè)分解將原來求超定方程組最小二乘解的問題轉(zhuǎn)換為一個(gè)上三角方程組的求解問題。80

（6）

5.2插值問題的提出主講人：曲紹波81

821.01.011.021.031.040.84130.84380.84610.84850.8508表1標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表

83

（*）84【幾何解釋】

85

【首先要解決的問題】

【其他要研究的問題】（1）插值函數(shù)是否存在？是否唯一？（2）如果插值函數(shù)存在，如何將其構(gòu)造出來？（3）如何估計(jì)用插值函數(shù)近似被插值函數(shù)所產(chǎn)生的誤差？86

【選擇多項(xiàng)式的理由】實(shí)際計(jì)算方面：對(duì)于計(jì)算機(jī)來說，多項(xiàng)式是最基本的函數(shù)，CPU通常在硬件中有快速方法計(jì)算浮點(diǎn)數(shù)的加法和乘法。

87

問題1

定理1

（1）88

證明：

89

方程組的系數(shù)矩陣

注：通過解方程組確定系數(shù)，進(jìn)而求出插值多項(xiàng)式的方法稱為待定系數(shù)法。90

91待定系數(shù)法的缺點(diǎn)：（1）需要解方程組；（2）方程組的系數(shù)矩陣往往是病態(tài)的，特別是高次多項(xiàng)式時(shí)更是如此。

5.3拉格朗日插值（1）曲紹波92知識(shí)點(diǎn)：（1）Lagrange插值基函數(shù)；（2）Lagrange插值多項(xiàng)式的構(gòu)造；93

5.3.1

Lagrange插值多項(xiàng)式

94

點(diǎn)斜式方程N(yùn)ewton插值多項(xiàng)式95

點(diǎn)斜式方程

線性插值多項(xiàng)式1次Lagrange插值多項(xiàng)式96

特點(diǎn)：1次Lagrange插值多項(xiàng)式

（2）線性組合的系數(shù)是節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值；若令

則

97線性插值基函數(shù)（1）基函數(shù)與插值函數(shù)的類型相同

（2）節(jié)點(diǎn)處的取值1001

98

求過三點(diǎn)的拋物線

99

依據(jù)插值條件100

可以取

總之，有101

節(jié)點(diǎn)處的取值100010001

總之，有102

2次Lagrange插值多項(xiàng)式103

104

105

問題1

106于是，有

107

108【關(guān)于基函數(shù)的記號(hào)】

則可以求得

109例1

110于是得到3次Lagrange插值多項(xiàng)式為

5.3拉格朗日插值（2）曲紹波111知識(shí)點(diǎn)：（1）插值余項(xiàng)表達(dá)式；（2）插值余項(xiàng)的使用；112

5.3.2

插值余項(xiàng)

113

114由給定的條件可知

證明：

115

116

反復(fù)應(yīng)用Rolle定理，最后可以推知

117

于是，有

整理，得

證畢.118

119【插值基函數(shù)的性質(zhì)】

于是有

120【余項(xiàng)表達(dá)式的使用】

121【事后估計(jì)法】

122

于是可得

即123整理，得

于是有誤差的事后估計(jì)式注意：由誤差的事后估計(jì)式，有

整理，得

124

0.40.50.60.70.80.921060.877580.825340.764840.69671解：（1）線性插值

125

于是有線性插值余項(xiàng)估計(jì)如下

126（2）二次插值

127

于是有二次插值余項(xiàng)估計(jì)如下

128說明：

一般來說，內(nèi)插要比外推精確。129【Lagrange插值的優(yōu)缺點(diǎn)】優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)

格式整齊規(guī)范，結(jié)構(gòu)緊湊，便于理解記憶和理論分析。5.4差商與牛頓插值（1）曲紹波130知識(shí)點(diǎn)：（1）差商的定義與性質(zhì)；（2）Newton插值多項(xiàng)式的構(gòu)造；131

5.4.1

差商與牛頓插值多項(xiàng)式

132

點(diǎn)斜式方程

133一次插值多項(xiàng)式

基函數(shù)基函數(shù)系數(shù)系數(shù)(斜率)常見的一次多項(xiàng)式形式

134

求過三點(diǎn)的拋物線

135

注意，此時(shí)有

136

于是，得

其中

137

一階差商

二階差商

零階差商

138節(jié)點(diǎn)0階差商1階差商2階差商3階差商4階差商

差商表139【差商的性質(zhì)】

140【差商的性質(zhì)】

141【差商的性質(zhì)】

示例：

微分中值定理142

于是，有

未知確定【牛頓插值多項(xiàng)式的構(gòu)造】143

即有

余項(xiàng)144同理，有于是

一般地，我們有

145我們得到其中

插值余項(xiàng)為

146牛頓插值多項(xiàng)式

插值條件驗(yàn)證

147【Newton插值多項(xiàng)式的優(yōu)缺點(diǎn)】優(yōu)點(diǎn)

缺點(diǎn)沒有明確的，直觀的表達(dá)式，并且隱去了函數(shù)值的信息。

5.4差商與牛頓插值（2）曲紹波1481495.4.2

插值法例題

解：150

（1）求2次插值多項(xiàng)式

1512次Newton插值多項(xiàng)式差商表零階一階二階

152

（2）求3次插值多項(xiàng)式

1533次Newton插值多項(xiàng)式差商表零階一階二階三階

1543次Lagrange插值多項(xiàng)式

于是得

1553次Newton插值多項(xiàng)式

注意到156

157

158【說明】

的線性組合表示。159（4）關(guān)于插值余項(xiàng)，有

進(jìn)而，得

5.5差分與等距節(jié)點(diǎn)插值公式（1）曲紹波160知識(shí)點(diǎn)：（1）差分的定義與性質(zhì)；（2）差分的計(jì)算；（3）Newton向前和向后插值公式；161任務(wù)：5.5.1

差分與等距節(jié)點(diǎn)插值公式在節(jié)點(diǎn)是等距節(jié)點(diǎn)的情形下，化簡Newton插值多項(xiàng)式。

162

一階差商二階差商

定義

163

前后

164二階向前差分

165【差分的性質(zhì)】（1）各階差分均可由函數(shù)值的線性組合表示

式中為二項(xiàng)式展開系數(shù)。反之，函數(shù)值也可用各階差分表示166（2）差分與差商的關(guān)系

（3）差分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

167差分表一階二階三階四階

168【Newton向前插值公式】

牛頓插值多項(xiàng)式

169差分與差商的關(guān)系

Newton插值多項(xiàng)式中

170牛頓插值多項(xiàng)式

牛頓向前插值公式公式的使用

（2）列差分表;（3）代入公式計(jì)算。171插值余項(xiàng)

于是得Newton向前插值公式的余項(xiàng)

172【Newton向后插值公式】

牛頓插值多項(xiàng)式

173差分與差商的關(guān)系

Newton插值多項(xiàng)式中

174牛頓插值多項(xiàng)式

牛頓向后插值公式公式的使用

（2）列差分表;（3）代入公式計(jì)算。

175插值余項(xiàng)

于是得Newton向后插值公式的余項(xiàng)

176向前與向后公式對(duì)比公式對(duì)比向前插值公式向后插值公式公式插值點(diǎn)插值點(diǎn)計(jì)算差分

5.5差分與等距節(jié)點(diǎn)插值公式（2）曲紹波177例11785.5.2

等距節(jié)點(diǎn)插值例題

節(jié)點(diǎn)0.10.20.30.40.5函數(shù)值0.099830.198670.295520.389420.47943

179解：列差分表0.10.099830.20.198670.30.295520.40.389420.50.479430.098840.096850.093900.09001-0.00199-0.00295-0.00389-0.00096-0.000940.00002180

0.10.20.30.40.50.12

181

0.10.099830.20.198670.30.295520.40.389420.50.479430.098840.096850.093900.09001-0.00199-0.00295-0.00389-0.00096-0.000940.00002182

代入3次牛頓向前插值公式，得

183誤差估計(jì)：3次牛頓向前插值公式的余項(xiàng)為

因此有誤差估計(jì)

184

185

0.10.20.30.40.50.48

186

0.10.099830.20.198670.30.295520.40.389420.50.479430.098840.096850.093900.09001-0.00199-0.00295-0.00389-0.00096-0.000940.00002187

代入3次牛頓向后插值公式，得

188誤差估計(jì)：3次牛頓向后插值公式的余項(xiàng)為

因此有誤差估計(jì)

1890.10.099830.20.198670.30.295520.40.389420.50.479430.098840.096850.093900.09001-0.00199-0.00295-0.00389-0.00096-0.000940.00002注意:（1）在差分的計(jì)算中，有效數(shù)字的消失十分嚴(yán)重；在計(jì)算高階差分時(shí)，誤差的傳播也較為嚴(yán)重；（2）不宜采用階數(shù)較高的差分以及進(jìn)行節(jié)點(diǎn)較多的插值。5.6埃爾米特插值曲紹波190本節(jié)內(nèi)容：191（1）埃爾米特（Hermite）插值問題的提法；（2）基函數(shù)的構(gòu)造；（3）Hermite插值余項(xiàng)；（4）例題；問題1Hermite插值問題

192

節(jié)點(diǎn)函數(shù)值導(dǎo)數(shù)值思路193仿照Lagrange插值多項(xiàng)式的構(gòu)造方法，令

194

于是，可以取

取1取0取0

195

于是，可以取

取0取0取1

196基函數(shù)節(jié)點(diǎn)處函數(shù)值節(jié)點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值1000000001000000001000000001000000001000000001000000001000000001197

198

即有

199

200最后，可得

201證明：

202

定理1（Hermite插值余項(xiàng)）203

證明思路：

204

解：插值條件

節(jié)點(diǎn)函數(shù)值導(dǎo)數(shù)值

205

這里，Lagrange插值基函數(shù)

206

207插值余項(xiàng)：

208

節(jié)點(diǎn)函數(shù)值導(dǎo)數(shù)值

209解法一：Lagrange插值節(jié)點(diǎn)函數(shù)值導(dǎo)數(shù)值插值條件基函數(shù)節(jié)點(diǎn)函數(shù)值導(dǎo)數(shù)值210插值基函數(shù)滿足的條件基函數(shù)節(jié)點(diǎn)處函數(shù)值節(jié)點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值1000010000100001211插值基函數(shù)的構(gòu)造

212

213

最后，根據(jù)（1）～（4），得到滿足插值條件的3次插值多項(xiàng)式

214解法二：Newton插值節(jié)點(diǎn)函數(shù)值導(dǎo)數(shù)值插值條件先不考慮導(dǎo)數(shù)值，利用給定的節(jié)點(diǎn)和函數(shù)值，可以確定一個(gè)2次插值多項(xiàng)式

215

216

考慮一階差商

因此，可以定義重節(jié)點(diǎn)差商

217于是，有

218插值多項(xiàng)式可以寫成

219

構(gòu)造輔助函數(shù)

220

輔助函數(shù)

這里221于是有

因此，插值余項(xiàng)表達(dá)式為

222【一般的Hermite插值問題】

5.7分段低次多項(xiàng)式插值曲紹波223知識(shí)點(diǎn)：224（1）高次多項(xiàng)式插值的龍格（Runge）現(xiàn)象；（2）分段線性插值；（3）分段三次Hermite插值；例1（Runge）考慮函數(shù)225

5.7.1

高次多項(xiàng)式插值的龍格現(xiàn)象226227228229230

231

這種插值多項(xiàng)式在插值區(qū)間內(nèi)發(fā)生劇烈振蕩的現(xiàn)象稱為Runge現(xiàn)象?！径囗?xiàng)式插值的缺點(diǎn)】232高次插值多項(xiàng)式會(huì)出現(xiàn)Runge現(xiàn)象；多項(xiàng)式具有任意階導(dǎo)數(shù)，因此由多項(xiàng)式的局部性質(zhì)即可決定它的整體性質(zhì)。這樣，在用多項(xiàng)式作插值的過程中，局部數(shù)據(jù)的誤差在計(jì)算過程中可能會(huì)擴(kuò)散或增大?！窘鉀Q方法】分段低次多項(xiàng)式插值、樣條插值233

記5.7.2

分段線性插值

234【分段線性插值問題】

235236237

節(jié)點(diǎn)函數(shù)值

238對(duì)基函數(shù)的要求（1）每個(gè)節(jié)點(diǎn)（或插值條件）對(duì)應(yīng)一個(gè)基函數(shù)；

（2）基函數(shù)與插值函數(shù)形式相同；（3）基函數(shù)在與其對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)處取值為1，其他節(jié)點(diǎn)處取值為0；

239

240

241

242

243【分段線性插值余項(xiàng)】

244

245

246若令

247

記5.7.3

分段三次Hermite插值

248【分段三次Hermite插值問題】

249

節(jié)點(diǎn)函數(shù)值導(dǎo)數(shù)值

其中基函數(shù)

分段三次Hermite插值函數(shù)250【分段三次Hermite插值余項(xiàng)】

若令

251【分段三次Hermite插值的優(yōu)缺點(diǎn)】優(yōu)點(diǎn)

二階導(dǎo)數(shù)可能間斷

缺點(diǎn)應(yīng)用時(shí)，需要給出節(jié)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值5.8三次樣條插值（1）曲紹波2522535.8.1

三次樣條插值函數(shù)的定義知識(shí)點(diǎn)：（1）三次樣條的定義；（2）三次樣條插值函數(shù)的定義；（3）邊界條件；254高次插值出現(xiàn)Runge現(xiàn)象多項(xiàng)式插值：Lagrange、Newton、Hermite分段線性插值：收斂、連續(xù)，但是在節(jié)點(diǎn)處不光滑分段三次Hermite插值：一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，但是需要提供節(jié)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，且二階導(dǎo)數(shù)有可能間斷實(shí)際需求：避免Runge現(xiàn)象，使用方便，光滑度較高的插值函數(shù)255256實(shí)際應(yīng)用角度257

數(shù)學(xué)自身角度

258

259

在此拼接260分析

在此拼接

261條件的個(gè)數(shù)

三次多項(xiàng)式三次多項(xiàng)式在內(nèi)部節(jié)點(diǎn)拼接拼接后具有二階光滑度262

（1）端點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)值

（2）端點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)值

263（3）周期性條件

5.8三次樣條插值（2）曲紹波2642655.8.2

三次樣條插值函數(shù)的計(jì)算三彎矩方法：以節(jié)點(diǎn)處二階導(dǎo)數(shù)值為參數(shù)的方法

266

267

268兩式相減，求得

相減，求得

269

270

整理，得

271

整理，得

272

273

274

整理，得

275

左右兩端同時(shí)乘以

，得

276

于是，得

其中

277

278

279

邊界條件內(nèi)部節(jié)點(diǎn)邊界條件

其中280

寫成矩陣形式為

可以用解三對(duì)角方程組的追趕法進(jìn)行求解。281

寫成矩陣形式為

可以用解三對(duì)角方程組的追趕法進(jìn)行求解。

282（3）第三類邊界條件（周期性條件）：

其次，在討論第一類邊界條件時(shí)，已經(jīng)求得

283（3）第三類邊界條件（周期性條件）：

整理，得

284（3）第三類邊界條件（周期性條件）：

整理，得

285（3）第三類邊界條件（周期性條件）：

其中

內(nèi)部節(jié)點(diǎn)邊界條件

286寫成矩陣形式為（3）第三類邊界條件（周期性條件）：

此為循環(huán)三對(duì)角方程組。287

288三轉(zhuǎn)角方法：從兩點(diǎn)三次Hermite插值公式出發(fā)來建立三次樣條插值函數(shù)的一類新的計(jì)算方案。

5.8三次樣條插值（3）曲紹波2892905.8.3

三次樣條應(yīng)用例1

012327.72829304.14.34.13.0291解：

其中

292解：

節(jié)點(diǎn)函數(shù)值一階二階

293解：

294解：

這里