2025年有趣像函數(shù)題目及答案

一、單項選擇題1.函數(shù)\(y=3\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的最小正周期是（）A.\(\pi\)B.\(2\pi\)C.\(\frac{\pi}{2}\)D.\(4\pi\)答案：A2.若函數(shù)\(f(x)\)的圖像關(guān)于點\((a,0)\)對稱，且\(f(x)=x^{3}+bx^{2}+cx\)，已知\(f(1)=0\)，則\(f(-1)\)的值為（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(-1\)D.\(2\)答案：C3.已知函數(shù)\(y=f(x)\)的圖像與函數(shù)\(y=2^{x}\)的圖像關(guān)于直線\(y=x\)對稱，則\(f(4)\)的值為（）A.\(2\)B.\(4\)C.\(8\)D.\(16\)答案：A4.函數(shù)\(y=\log_{2}(x^{2}-4x+3)\)的定義域是（）A.\((1,3)\)B.\((-\infty,1)\cup(3,+\infty)\)C.\([1,3]\)D.\((-\infty,1]\cup[3,+\infty)\)答案：B5.函數(shù)\(y=x+\frac{1}{x}(x\gt0)\)的最小值是（）A.\(2\)B.\(-2\)C.\(1\)D.\(-1\)答案：A6.若函數(shù)\(f(x)=ax^{2}+bx+c\)，且\(f(1)=2\)，\(f(-1)=0\)，\(f(0)=1\)，則\(a\)的值為（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(-1\)D.\(0\)答案：A7.函數(shù)\(y=\cos^{2}x-\sin^{2}x\)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A.\([k\pi,k\pi+\frac{\pi}{2}](k\inZ)\)B.\([k\pi-\frac{\pi}{2},k\pi](k\inZ)\)C.\([2k\pi,2k\pi+\frac{\pi}{2}](k\inZ)\)D.\([2k\pi-\frac{\pi}{2},2k\pi](k\inZ)\)答案：B8.已知函數(shù)\(f(x)\)是定義在\(R\)上的奇函數(shù)，當(dāng)\(x\gt0\)時，\(f(x)=x^{2}-2x\)，則當(dāng)\(x\lt0\)時，\(f(x)\)的表達(dá)式為（）A.\(-x^{2}-2x\)B.\(-x^{2}+2x\)C.\(x^{2}+2x\)D.\(x^{2}-2x\)答案：A9.函數(shù)\(y=\sqrt{4-x^{2}}\)的定義域為\([-2,2]\)，則該函數(shù)的值域是（）A.\([0,2]\)B.\([0,4]\)C.\([-2,2]\)D.\([-4,4]\)答案：A10.函數(shù)\(y=\frac{1}{x-1}\)在區(qū)間\([2,3]\)上的最大值為（）A.\(1\)B.\(\frac{1}{2}\)C.\(-1\)D.\(-\frac{1}{2}\)答案：A二、多項選擇題1.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的有（）A.\(y=x^{2}\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\sinx\)D.\(y=\frac{1}{x^{2}}\)答案：ABD2.對于函數(shù)\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{6})\)，以下說法正確的是（）A.最小正周期是\(\pi\)B.圖像關(guān)于直線\(x=\frac{\pi}{6}\)對稱C.圖像關(guān)于點\((\frac{\pi}{3},0)\)對稱D.在區(qū)間\([0,\frac{\pi}{6}]\)上單調(diào)遞增答案：ABD3.已知函數(shù)\(f(x)=ax^{2}+bx+c(a\neq0)\)，若\(f(x)\)的圖像開口向上，且對稱軸在\(y\)軸左側(cè)，則（）A.\(a\gt0\)B.\(b\gt0\)C.\(c\gt0\)D.\(\frac{a}\lt0\)答案：AB4.下列函數(shù)中，在區(qū)間\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞增的有（）A.\(y=2^{x}\)B.\(y=\log_{2}x\)C.\(y=x^{3}\)D.\(y=\frac{1}{x}\)答案：ABC5.若函數(shù)\(f(x)\)滿足\(f(x+2)=f(x)\)，則\(f(x)\)可能是（）A.\(f(x)=\sin(\pix)\)B.\(f(x)=\cos(\pix)\)C.\(f(x)=\tan(\frac{\pi}{2}x)\)D.\(f(x)=x^{2}\)答案：AB6.已知函數(shù)\(y=f(x)\)的定義域為\([-1,3]\)，則函數(shù)\(g(x)=f(2x-1)\)的定義域可能是（）A.\([0,2]\)B.\([-1,3]\)C.\([-1,1]\)D.\([1,2]\)答案：AD7.函數(shù)\(y=\log_{a}x(a\gt0,a\neq1)\)，當(dāng)\(0\lta\lt1\)時，以下說法正確的是（）A.函數(shù)在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞減B.函數(shù)圖像過點\((1,0)\)C.函數(shù)的值域是\(R\)D.函數(shù)圖像在\(y\)軸右側(cè)答案：ABCD8.對于函數(shù)\(y=x^{3}-3x\)，以下說法正確的是（）A.有極大值\(2\)B.有極小值\(-2\)C.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是\((-\infty,-1)\)和\((1,+\infty)\)D.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是\((-1,1)\)答案：ABCD9.已知函數(shù)\(f(x)\)是\(R\)上的增函數(shù)，且\(f(a^{2}-a)\ltf(2a-2)\)，則\(a\)的取值范圍可能是（）A.\((1,2)\)B.\((-\infty,1)\)C.\((2,+\infty)\)D.\((-\infty,2)\)答案：A10.下列函數(shù)中，值域為\((0,+\infty)\)的有（）A.\(y=2^{x}\)B.\(y=\frac{1}{x^{2}}\)C.\(y=\sqrt{x}\)D.\(y=\log_{2}x\)答案：ABC三、判斷題1.函數(shù)\(y=\sinx\)是周期函數(shù)，最小正周期是\(2\pi\)。（√）2.若函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\((a,b)\)上滿足\(f(a)\cdotf(b)\lt0\)，則函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\((a,b)\)內(nèi)一定有零點。（√）3.函數(shù)\(y=x^{2}\)在\((-\infty,0)\)上單調(diào)遞增。（×）4.函數(shù)\(y=\log_{a}x(a\gt1)\)在\((0,+\infty)\)上是增函數(shù)。（√）5.奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱。（√）6.函數(shù)\(y=\cos(x+\frac{\pi}{2})=\sinx\)。（×）7.若函數(shù)\(f(x)\)的定義域為\([a,b]\)，則函數(shù)\(f(x+1)\)的定義域為\([a-1,b-1]\)。（×）8.函數(shù)\(y=3^{x}\)與函數(shù)\(y=\log_{3}x\)的圖像關(guān)于直線\(y=x\)對稱。（√）9.函數(shù)\(y=x+\frac{1}{x}\)的最小值是\(2\)。（×）10.二次函數(shù)\(y=ax^{2}+bx+c(a\neq0)\)，當(dāng)\(a\lt0\)時，函數(shù)圖像開口向下。（√）四、簡答題1.求函數(shù)\(y=\log_{2}(x^{2}-5x+6)\)的定義域。答案：要使函數(shù)有意義，則\(x^{2}-5x+6\gt0\)，即\((x-2)(x-3)\gt0\)。解得\(x\lt2\)或\(x\gt3\)。所以函數(shù)的定義域為\((-\infty,2)\cup(3,+\infty)\)。2.已知函數(shù)\(f(x)\)是定義在\(R\)上的奇函數(shù)，當(dāng)\(x\gt0\)時，\(f(x)=x^{2}-3x\)，求\(f(x)\)的表達(dá)式。答案：因為\(f(x)\)是奇函數(shù)，所以\(f(0)=0\)。當(dāng)\(x\lt0\)時，\(-x\gt0\)，則\(f(-x)=(-x)^{2}-3(-x)=x^{2}+3x\)。又\(f(x)=-f(-x)\)，所以\(f(x)=-x^{2}-3x\)。綜上，\(f(x)=\begin{cases}x^{2}-3x,x\gt0\\0,x=0\\-x^{2}-3x,x\lt0\end{cases}\)3.求函數(shù)\(y=3\sin(2x+\frac{\pi}{4})\)的單調(diào)遞增區(qū)間。答案：令\(2k\pi-\frac{\pi}{2}\leq2x+\frac{\pi}{4}\leq2k\pi+\frac{\pi}{2}(k\inZ)\)，先解\(2k\pi-\frac{\pi}{2}\leq2x+\frac{\pi}{4}\)，得\(2k\pi-\frac{3\pi}{4}\leq2x\)，即\(k\pi-\frac{3\pi}{8}\leqx\)；再解\(2x+\frac{\pi}{4}\leq2k\pi+\frac{\pi}{2}\)，得\(2x\leq2k\pi+\frac{\pi}{4}\)，即\(x\leqk\pi+\frac{\pi}{8}\)。所以單調(diào)遞增區(qū)間是\([k\pi-\frac{3\pi}{8},k\pi+\frac{\pi}{8}](k\inZ)\)。4.已知二次函數(shù)\(y=ax^{2}+bx+c\)的圖像過點\((1,0)\)，\((-1,4)\)，\((0,3)\)，求該二次函數(shù)的表達(dá)式。答案：將點\((1,0)\)，\((-1,4)\)，\((0,3)\)分別代入\(y=ax^{2}+bx+c\)得：\(\begin{cases}a+b+c=0\\a-b+c=4\\c=3\end{cases}\)，把\(c=3\)代入前兩個方程得\(\begin{cases}a+b=-3\\a-b=1\end{cases}\)，兩式相加得\(2a=-2\)，\(a=-1\)，進(jìn)而得\(b=-2\)。所以二次函數(shù)表達(dá)式為\(y=-x^{2}-2x+3\)。五、討論題1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x^{2}-1}\)的定義域、值域、單調(diào)性和奇偶性。答案：定義域：要使函數(shù)有意義，則\(x^{2}-1\neq0\)，即\(x\neq\pm1\)，定義域為\((-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,+\infty)\)。值域：令\(t=x^{2}-1\)，\(t\neq0\)，則\(y=\frac{1}{t}\)，所以值域為\((-\infty,0)\cup(0,+\infty)\)。單調(diào)性：在\((-\infty,-1)\)和\((-1,0)\)上，\(t=x^{2}-1\)遞減，\(y=\frac{1}{t}\)遞減，根據(jù)復(fù)合函數(shù)同增異減，函數(shù)遞增；在\((0,1)\)和\((1,+\infty)\)上，\(t=x^{2}-1\)遞增，\(y=\frac{1}{t}\)遞減，函數(shù)遞減。奇偶性：\(f(-x)=\frac{1}{(-x)^{2}-1}=\frac{1}{x^{2}-1}=f(x)\)，所以是偶函數(shù)。2.結(jié)合函數(shù)\(y=\sinx\)與\(y=\cosx\)的圖像和性質(zhì)，討論它們在區(qū)間\([0,2\pi]\)上的交點情況。答案：令\(\sinx=\cosx\)，即\(\tanx=1\)，在區(qū)間\([0,2\pi]\)上，\(x=\frac{\pi}{4}\)或\(x=\frac{5\pi}{4}\)。從圖像上看，\(y=\sinx\)與\(y=\cosx\)的圖像在\([0,2\pi]\)上相交于這兩個點。\(y=\sinx\)的圖像是關(guān)于直線\(x=\frac{\pi}{2}+k\pi(k\inZ)\)對稱，\(y=\cosx\)的圖像關(guān)于直線\(x=k\pi(k\inZ)\)對稱。在\([0,2\pi]\)上，這兩個函數(shù)的取值、單調(diào)性等性質(zhì)不