專題8長方體和正方體（圖形與幾何）

‘超^知識回顧

1、認(rèn)識長方體的面、棱、頂點(diǎn)。

（1）從不同的角度觀察同一個長方體。

把長方體放在桌面上，無論從哪個角度觀察，最多只能同時觀察到長方體的三個

面。

（2）長方體的棱和頂點(diǎn)。

長方體兩個面相交的線叫作長方體的棱，三條棱相交的點(diǎn)叫作長方體的頂點(diǎn)。

2、長方體和正方體的特征。

（1）長方體是由6個長方形（也可能有2個相對的面是正方形）圍成的立體圖

形，它有6個面、12條棱和8個頂點(diǎn)。在一個長方體中，相對的面完全相同，相

對的棱長度相等。

長方體相交于同一頂點(diǎn)的三條棱的長度，分別叫作它的長、寬、高。

（2）正方體由6個完全相同的正方形圍成的立體圖形。它的6個面是完全相同

的正方形，12條棱的長度都相等，有8個頂點(diǎn)。

正方體的長、寬、高相等，都叫正方體的棱長。

3、長方體的長、寬、高不是固定不變的，它與長方體的擺放方式有關(guān)。

正方體的長、寬、高相等，都叫正方體的棱長。

長方體相交于同一頂點(diǎn)的三條棱中，通常把水平方向的兩條棱分別叫作它的長和

寬，把豎直方向的一條棱叫作它的高。

4、正方體、長方體的展開圖

（1）正方體的展開圖。

（2）長方體的展開圖。

5、表面積的含義。

物體的表面積：圍成物體表面的圖形的總面積。

長方體（正方體）6個面的總面積，叫作它的表面積。

6、長方體表面積的計(jì)算方法。

長方體的表面積二長*寬*2+長*高*2+寬*高*2=（長碗+長*高+寬*高）*2。如果用

S表示長方體的表面積，a表示長，h表示寬，h表示高，那么長方體的表面積的

計(jì)算公式可以用字母表示為s=2ab+2ah+2bh或s=2（ab+ah+bh）。

有2個面是正方形的長方體，如果正方形的邊長用a表示，那么長方體的長寬高

可以用a、a、h表示，這個長方體的表面積可以表示為2a?+4ah。

7、正方體表面積的計(jì)算方法。

正方體的表面積二棱長x棱長*6,如果用s表示正方體的表面積，用a表示正方體

的棱長，那么正方體表面積的計(jì)算公式用字母表示為s=6a2。

8、體積的意義。

物體所占空間的大小叫作物體的體積。

不同物體所占空間的大小不一樣，體積也不一樣大；相同物體所占空間的大小一

樣，體積也一樣大。

9、容積的意義。

能盛裝其他的物體的物體都可以稱為容器。容器所能容納物體的體積叫作容法的

容積。

10、體積單位。

計(jì)量物體的體積需要統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)，這個統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)就是體積單位。常用的體積單

位有立方厘米（cm3）、立方分米（dm3）、立方米（m3）0

11、容積單位。

計(jì)量容積，一般就用體積單位。計(jì)量液體的體積，通常用升或毫升做單位。1升

刁立方分米，1毫升二1立方厘米。

12、長方體體積計(jì)算公式。

長方體的體積=長*寬*高。長方體體積公式用字母表示為\，鈍帥，a,b,h分別表

示長方體的長、寬、高，V表示長方體的體積。

13、正方體的體積公式。

正方體的體積二棱長*棱長*棱長，用字母公式表示為V二a3。長方體（正方體）的

體積二底面積*高，用字母表示為V=sh（s表示底面積，h表示高）。

長方體和正方體提及的統(tǒng)一公示，不僅在長方體和正方體中可以運(yùn)用，還在相應(yīng)

的規(guī)則立體圖形中也適用。

14、相鄰體積單位間的進(jìn)率。

每相鄰兩個體積單位間的進(jìn)率是lOOCk1立方米=100（）立方分米I立方分米

=1000立方厘米

由“1立方分米力升”及學(xué)過的“1立方米=1000立方分米”，可以得出“1立方

米二1000升”；由“1立方厘米二1亳升”及學(xué)過的“1立方分米二1000立方厘米”，

可以得出可立方分米=1000毫升”。

15、高級體積單位和低級體積單位之間的換算。

單位換算的一般規(guī)律：高級單位換算成低級單位要乘它們之間的進(jìn)率，低級單位

換算成高級單位要除以它們之間的進(jìn)率。

16、體積單位換算的簡便方法。

相鄰的兩個體積單位間的進(jìn)率是1000,高級單位化成低級單位時，只要把小數(shù)

點(diǎn)想向右移動3位（相鄰）或6位（不相鄰，1立方米二立方厘米，有6個0,要

向右移動6位）即可。

.

中專項(xiàng)提升

一、選擇題

1.（2022上-江蘇徐州?六年級統(tǒng)考期中）將一個棱長為a厘米的正方體的高減去2厘

米，這個正方體的體積減?。ǎ┝⒎矫?。

A.2B.2aC.2a2D.8

9.（2023上?江蘇?六年級期中）把兩個長6cm、寬5cm、高4cm的小長方體合成一個大

長方體，大長方體的表面積最大是（）cnL

10.（2023上?河南平頂山-六年級統(tǒng)考期末）如圖：在無蓋的長方體玻璃容器中，擺棱

長1分米的小正方體。做這個玻璃容器至少要用玻璃（）平方分米，它的容枳是

11.如圖，由兩個長方體組合而成的密封，容器內(nèi)部是聯(lián)通的。其中A部分的容積是36

升，B部分的容積是96升。在容器里面裝了一些水，再倒置放平。根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可以算

出水的體積是（）立方分米。

12.（2023上?江蘇南京?六年級統(tǒng)考期末）一種家用電器的外包裝是一個長方體紙箱，

如圖是這個長方體紙箱的一組棱長。做這個長方體紙箱需要（）平方厘米的硬紙板

（接頭處不計(jì)），這個紙箱的空間是（）立方厘米。

40cm

------------

55cm

三、計(jì)算題

13.（2022上?江蘇泰州?六年級校考期末）計(jì)算下面圖形的表面積和體積（單位：里

14.（2022上?廣西防城港?六年級統(tǒng)考期末）計(jì)算長方體和正方體的表面積。

四、作圖題

15.（2022上?江蘇常州?六年級統(tǒng)考期末）下圖是一個正方體紙盒表面展開圖的三個

面，請?jiān)趫D中畫出正方體表面展開圖的其余幾個面。

五、解答題

16.（2023上?江蘇常州?六年級統(tǒng)考期中）李阿姨用一根彩帶為顧客捆扎一個食品盒，

這個食品盒的長、寬、高分別為20厘米、10厘米、5厘米，如圖那樣捆扎并留下20厘米

長作為手提環(huán)。這樣一共需要多少分米長的彩帶？

17.（2023下-安徽蚌埠-六年級?？计谥校┯?個直徑是25厘米的籃球，把它們放在

一個有蓋的盒子里，請你先猜一猜，這是一個什么樣的盒子？做這樣的一個盒子，需要用

多少平方厘米的紙板（紙板厚度忽略不計(jì)）要求：先畫出草圖，再解決問題。

18.（2022上?江蘇泰州?六年級統(tǒng)考期中）一個長40厘米，寬25厘米，高30厘米長

（1）求出這個水槽的容積；

（2）這時水跟水槽接觸部分的面積是多少平方厘米？

（3）如果將一個棱長6厘米的正方體鐵塊放進(jìn)去，水面會上升多少厘米？

19.鄭老師要焊接一個長方體框架模型，可供使用的鐵條材料如下表。為了方便，不改變

鐵條的長度，鄭老師選擇了其中的12根作為長方體框架的棱。

鐵條長度25厘米20厘米15厘米8厘米

鐵條根數(shù)5根7根3根4根

（1）鄭老師做的這個長方體框架模型的棱長和是（）厘米。

（2）要給這個長方體框架模型糊上一層塑料紙，至少需要塑料紙多少平方厘米？

20.（2023上?江蘇淮安?六年級?？计谥校┮粋€養(yǎng)魚池長60米，寬30米，深2米，現(xiàn)

改建成游泳池。

（1）在四壁和底面涂上一層水泥，涂水泥的面積是多少平方米？

(2)如果每立方米水重1噸，這個養(yǎng)魚池最多可以裝水多少噸？

參考答案

1.C

【分析】根據(jù)正方體體積公式：體積=棱長X棱長X棱長，和長方體體積公式：體積=底

面積X而，分別求出正方體體積和長方體體積，再用正方體體積減去長方體體積，就是這

個正方體的體積減少的體積。

【詳解】長方體的高為(d-2)厘米。

aXaXa—aXaX(a—2)

=a2Xa—a2X(a—2)

=a3-a:i+2a2

=2a?(立方厘米)

將一個棱長為a厘米的正方體的高減去2厘米，這個正方體的體積減小2a2立方厘米。

故答案為：C

【點(diǎn)睛】熟練掌握正方體體積公式和長方體體積公式是解答本題的關(guān)鍵。

2.D

【分析】已知這個長方體底面是一個正方形，因?yàn)檎叫?條邊都相等，就說明長方體的

長和寬相等，都等于正方形的邊長：正方形周長為40厘米，可先求出其邊長，即長方體長

和寬的長度；

乂因?yàn)檫@個長方體側(cè)面展開圖也是一個正方形，展開后，正方形豎直的一條邊相當(dāng)于長方

體的高，水平的一條邊相當(dāng)于長方體的底面周長，就說明長方體的高與其底面周長相等，

即40厘米；

長方體的長、寬、高均已知了，利用長方體體積=長><寬X高，可求得長方體的體積。

【詳解】40+4=10（厘米）

10X10X40=4000（立方厘米）

一個長方體的底面是周長為40厘米的正方形,它的側(cè)面展開圖也正好是一個正方形，這個

長方體的體積是（4000）立方厘米。

故答案為：D

【點(diǎn)睛】解題時，可以通過畫圖輔助聯(lián)想，主要是明確：如果一個長方體的側(cè)面展開圖是

一個正方形，則其高與底面周長是相等的。

3.C

【分析】根據(jù)題意，把一個正方體切成兩個完全一樣的長方體，表面積會增加兩個截面的

面積；由正方體的特征可知，每個截面是邊長為2厘米H勺止方形，根據(jù)正方形的面積=邊

長X邊長，求出一個面的面積，再乘2,即是增加的表面積。

【詳解】2X2X2=8（平方厘米）

這兩個長方體表面積的和比原來正方體的表面積增加了8平方厘米。

故答案為：C

【點(diǎn)睛】掌握正方體切割的特點(diǎn)，明確正方體切割成兩個長方體，表面積會增加正方體兩

個面的面積。

4.C

【分析】正方體的體積=棱長義棱長X棱長，據(jù)此求出木塊和鐵塊的體積，再進(jìn)行比較即

可。

【詳解】木塊和鐵塊的體積都為：

5X5X5

=25X5

=125（立方分米）

所以它們的體積相等。

故答案為：C

【點(diǎn)睛】熟練掌握正方體的體積的計(jì)算公式是解答本題的關(guān)犍。

5.C

【分析】依據(jù)小正方體的擺放可知，這個長方體容器的長是6厘米，寬是5厘米，高是3

厘米，長方體的容積=長乂寬義高，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可。

【詳解】6X5X3

=30X3

=90（立方厘米）

這個玻璃容器的容積是90立方匣米。

故答案為：C

【點(diǎn)睛】此題主要考查長方體的容積公式，明確長方體容器的長寬高是解題的關(guān)鍵。

6.C

【分析】根據(jù)正方體11種展開圖，是正方體11種展開圖里的情況即可。

【詳解】A.不是正方體展開圖；

B.不是止方體展開圖；

C.1—4—1型正方體展開圖；

【）.不是正方體展開圖。

是一個正方體表面展開圖的是門口IO

故答案為：C

7.3211

【分析】根據(jù)題意可知，這個立體圖形相當(dāng)于長3厘米，寬2厘米，高2厘米的長方體拿

掉角上一個棱長為1厘米的正方體，表面積不變，用長方體的表面積公式即可求出剩下圖

形的表面積，再根據(jù)長方體的體積公式和正方體的體積公式，川原來長方體的體積減去小

正方體的體積即可求出剩下圖形的體積。

【詳解】現(xiàn)在表面積：（3X2+3X2+2X2）X2

=(6+6+4)X2

=16X2

=32(平方厘米)

現(xiàn)在體積：3X2X2-1X1X1

=12-1

=11(立方厘米)

表面積是32平方厘米，體積是11立方厘米。

【點(diǎn)睛】本題考查了立體圖形的切割、長方體的表面積和體積公式的靈活應(yīng)用。

8.81272

【分析】用小棒和橡皮泥制作一個正方體框架，因?yàn)樵谥谱鬟^程中，需要把小棒連接起

來，也就是正方體框架的頂點(diǎn)處需要用到橡皮泥，正方體有8個頂點(diǎn)，所以需要8團(tuán)橡皮

泥；正方體有12條棱，所以需要12根小棒；再根據(jù)正方體的校長總和=楂長X12,據(jù)此

進(jìn)行計(jì)算即可。

【詳解】6X12=72(厘米)

則亮亮用一些6厘米長的小棒和橡皮泥團(tuán)制作了一個正方體框架，他至少需要8團(tuán)橡皮泥

和12根小棒，這個正方體的棱長總和是72厘米。

【點(diǎn)睛】本題考查正方體的特征和棱長總和，明確正方體的特征和熟記正方體的棱長總和

的公式是解題的關(guān)鍵。

9.256

【分析】要想長方體的表面積最大，就把最小的兩個面拼在一起，拼成后的長方體的長是

6X2=12cm,寬和高不變，根據(jù)長方體的表面積公式：表面積=(長X寬+長X高+寬X

高)X2,代入數(shù)據(jù)，即可解答。

【詳解】長方體的長：6X2=12(cm),寬是5cm,高是4cm。

(12X5+12X4+5X4)X2

=(60+48+20)X2

=(1084-20)X2

=128X2

=256(cm2)

把兩個長6cm、寬5cm、高4cm的小長方體合成一個大長方體，大長方體的表面積最大是

256cm2o

【點(diǎn)睛】明確將兩個最小面拼合在一起，得到的新長方體的表面積最大是解決本題的關(guān)

鍵。

10.8260

【分析】由題意得：根據(jù)無蓋長方體中擺滿的小正方體個數(shù)，長為4分米，寬為3分米，

高為5分米，無蓋長方體表面積=(長X高+寬義高)X2+長X寬，計(jì)算得出玻璃的面

積；根據(jù)長方體體積=長乂寬X高，計(jì)算得出體積。

【詳解】由題意得：根據(jù)無蓋長方體中擺滿的小正方體個數(shù)，長為4分米，寬為3分米，

高為5分米。則需要玻璃：

它的容積是：

=60升

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是長方體的表面枳、體積，解題的關(guān)鍵是熟練掌握長方體表面

積、體積公式，進(jìn)而計(jì)算得出答案。

11.60

【分析】由題可知，正放時水的體積=15部分的容積一B部分空白的容積+A部分的容積，

倒放時水的體積=8部分高為1.25分米時的體積。根據(jù)正放、倒放時水的體積不變，設(shè)B

部分的底面積為S平方分米，列方程解答求出B部分的底面積，進(jìn)而根據(jù)V=Sh求出水的

體積。

【詳解】解：設(shè)B部分的底面積是S平方分米。

96-1.5S+36=1.25S

132-1.5S=1.25S

132=1.25S+1.5S

132=2.75S

2.75S=132

S=1324-2.75

S-48

48X1.25=60(立方分米)

水的體積是6()立方分米。

【點(diǎn)睛】本題考查體積公式的應(yīng)用。關(guān)鍵是根據(jù)正放、倒放時水的體積不變列方程，熟練

掌握長方體或正方體的體積公式。

12.1105077000

【分析】根據(jù)長方體的表面積公式：S=(ab+ah+bh)X2,長方體的體積公式：V=

abh,據(jù)此代入數(shù)值進(jìn)行計(jì)算即可。

【詳解】（55X35+55X40+35X40）X2

=（1925+2200+1400）X2

=5525X2

=11050（平方厘米）

55X35X40

=1925X40

=77000（立方厘米）

則做這個長方體紙箱需要11050平方厘米的硬紙板（接頭處不計(jì)），這個紙箱的空間是

77000立方厘米。

【點(diǎn)睛】本題考查長方體的表面積和體積，熟記公式是解題的關(guān)鍵。

13.表面積：736平方原米：體積：1176M方厘米

【分析】組合體的表面積=長是12,寬是10,高是8的長方體的表面積+棱長是6厘米的

正方體的側(cè)面積；根據(jù)長方體的表面積公式：表面積=（長X寬+長X高+寬X而）X2,

正方體側(cè)面積公式：側(cè)面積=棱氏X棱長X4,代入數(shù)據(jù)，求出組合體的表面積；

組合體的體積=長是12,寬是10,高是8的長方體的體積+棱長是6厘米的正方體的體

積，根據(jù)長方體體積公式：體積=長、寬X高，正方體體積公式：體積=楂長乂棱長X楂

長，代入數(shù)據(jù)，即可解答，

【詳解】（12X10+12X8+10X8）X2+6X6X4

=（120+96+80）X2+36X4

=（216+80）X2+144

=296X2+144

=592+144

-736（平方厘米）

12X10X8+6X6X6

=120X8+36X6

=960+216

=1176（立方厘米）

14.448cm2；150cm"

【分析】根據(jù)長方體表面積公式：表面積=（長X寬十長X島十寬X高），代入數(shù)據(jù)，求

出長方體的表面積；

根據(jù)正方體的表面積公式：表面積=棱長X棱長X6,代入數(shù)據(jù)，即可解答。

【詳解】(10X8+10X8+8X8)X2

=(80+80+64)X2

=(160+64)X2

=224X2

=448(cm2)

5X5X6

=25X6

=150(cm2)

15.見詳解

【分析】正方體已畫出三個面，則符合正方體展開圖的可能是“1一4一1”型，“2—3—

1”型或“3—3”型；據(jù)此畫圖即可。

【詳解】畫圖如下：

【點(diǎn)睛】本題主要考查正方體展開圖，牢記11種正方體展開圖是解題的關(guān)鍵。

16.16分米

【分析】由題意可知，彩帶的長度相當(dāng)于長方體的4個長的長度，4個寬的長度再加4個

高的長度，把這些長度相加之后再加上留下來的20厘米即可求解。

【詳解】20X4+10X4+5X4+20

=80+40+20+20

=160(厘米)

160厘米=16分米

答：一共需要16分米長的彩帶。

【點(diǎn)睛】此題主要考查長方體的特征，搞清彩帶是如何捆綁的，再根據(jù)棱長和的計(jì)算方法

解決問題。注意單位名數(shù)的換算。

17.這是一個長方體盒子，需要用10000平方厘米紙板

如圖，可以做一個長方體盒子，長方體表面積=(長X寬+寬X高+長X高)X2,長為

兩個籃球直徑和25X2=E()厘米，高為籃球直徑25厘米；把數(shù)據(jù)代入公式即可求出需要紙

板的面積。

【詳解】(50X50+50X25+50X25)X2

=(2500+1250+1250)X2

=(3750+1250)X2

=5000X2

=10000(平方厘米)

答：可能是長方體盒子，做這樣一個盒子需要10000平方厘米的紙板。(答案不唯一)

【點(diǎn)睛】此題主要考查長方體表面積公式的靈活運(yùn)用，美鍵是熟記公式。

18.(1)30升

(2)2950平方厘米

(3)0.216厘米

【分析】(1)根據(jù)長方體的容積公式：V=abh,把數(shù)據(jù)代入公式解答。

(2)根據(jù)無蓋長方體的表面積公式：S=ab+2sh+2bh,把數(shù)據(jù)代入公式解答。

(3)根據(jù)正方體的體積公式：V=1,求出鐵塊的體積，然后用鐵塊的容積除以水槽的底

面積即可。

【詳解】